Đề kiểm tra đội tuyển olympic môn toán lớp 10 năm 2022 (lần 1)

https //thuvientoan net/ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN 10 *********** Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm) a) Cho , ,a b c là các số thực dương Chứng minh rằng[.]

https://thuvientoan.net/

ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN OLYMPIC TOÁN 10

***********

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

  b) Cho dãy số  a n được xác định bởi a 1 0 và a n1  a n1 với mọi số nguyên dương n Chứng minh rằng:

2

n

n



Câu 2 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương a b c; ;  thỏa mãn 5a29b213 c2

Câu 3 (2,0 điểm)

Tìm tất cả các hàm số f :, thỏa mãn:

       2    

x f y yf x  f xy  f x  f f y x y 

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho tam giác ABC có M là trung điểm đoạn BC Gọi   là đường tròn nằm trong tam giác ABC tiếp xúc với

,

AB AC lần lượt tại E F, Kẻ tiếp tuyến MP MQ, của   với P Q, là tiếp điểm sao cho P B, cùng phía với

AM Gọi X là giao điểm của PM và BF, Y là giao điểm của QM và CE Chứng minh rằng nếu BC2PM

thì XY là tiếp tuyến của  

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho A B, là tập hợp các số nguyên dương phân biệt với A  và 2 B 2 Gọi S là một tập hợp chứa A B 1 phần tử có dạng ab trong đó aA và bB

a) Giả sử A  và 2 B 3 Hỏi có bao nhiêu tập S thỏa mãn ?

b) Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên dương phân biệt x y z, , thuộc S sao cho yz chia hết cho x

-HẾT -