Chương 3 Tam giác đồng dạng Chương 3 Tam giác đồng dạng Chương 3 Tam giác đồng dạng Chương 3 Tam giác đồng dạng Chương 3 Tam giác đồng dạng Chương 3 Tam giác đồng dạng Chương 3 Tam giác đồng dạng Chươ[.]
Trang 1Chương
Chương
Chương
Chương
Chương
Chương
Chương
Định lý Ta-lét
§1
Tóm tắt lý thuyết
1
1.1 Tỉ số của hai đoạn thẳng
Định nghĩa 19 Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo
1.2 Đoạn thẳng tỉ lệ
Định nghĩa 20 Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A0B0 và C0D0 nếu có tỉ lệ thức : AB
CD =
A0B0
C0D0 hay AB
A0B0 = CD
C0D0
1.3 Định lý Ta-lét
Định lí 9 Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
GT 4ABC, M N ∥ BC (M ∈ AB, N ∈ AC)
KL AM
AB =
AN
AC;
AM
M B =
AN
N C;
M B
AB =
N C
AC.
C
A
B
4! 22 Chú ý : Định lý Ta-lét vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại
Trang 2Bài tập và các dạng toán 2
| Dạng 36 Viết tỉ số các cặp đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng
Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau
AB = 125 cm, CD = 625 cm; ĐS: 1
5
a) M N = 45 cm, P Q = 13,5 dm ĐS: 1
3. b)
L Lời giải
AB
CD =
125
625 =
1
5.
P Q =
45
135 =
1
3. b)
b Ví dụ 2 Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng sau
AB = 5 cm, CD = 15 cm; ĐS: 1
3
a) EF = 48 cm, GH = 16 dm ĐS: 3
10 b)
L Lời giải
AB
CD =
5
15 =
1
3.
GH =
48
160 =
3
10. b)
b Ví dụ 3 Đoạn thẳng AB gấp 5 lần đoạn thẳng CD, đoạn thẳng A0B0 gấp 7 lần đoạn thẳng CD
a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng AB và A0B0
ĐS: 5 7 b) Cho biết đoạn thẳng M N = 55 cm và M0N0 = 77 cm; hỏi hai đoạn thẳng AB và A0B0
có tỉ lệ với đoạn thẳng M N và M0N0 không?
ĐS: Có tỉ lệ
L Lời giải
a) AB
A0B0 = 5CD
7CD =
5
7.
b) M N
M0N0 = 55
77 =
5
7 =
AB
A0B0 = M N
M0N0 Vậy hai đoạn thẳng AB và A0B0 tỉ lệ với đoạn thẳng M N và M0N0
Trang 3
424 1 Định lý Ta-lét
b Ví dụ 4 Cho biết độ dài của M N gấp 5 lần độ dài của P Q và độ dài đoạn thẳng M0N0 gấp 12 lần độ dài của P Q
a) Tính tỉ số của hai đoạn thẳng M N và M0N0
ĐS: 5 12 b) Cho biết đoạn thẳng DE = 9 cm và D0E0 = 10,8 dm, hỏi hai đoạn thẳng M N và
M0N0 có tỉ lệ với đoạn thẳng DE và D0E0 không?
ĐS: Không tỉ lệ
L Lời giải
a) M N
M0N0 = 5P Q
12P Q =
5
12.
b) DE
D0E0 = 9
108 =
1
12 6= 5
12 =
M N
M0N0 Vậy hai đoạn thẳng M N và M0N0 không tỉ lệ với đoạn thẳng DE và D0E0
| Dạng 37 Sử dụng định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng hoặc
chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ
Bước 1 Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta-lét
Bước 2 Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm
độ dài đoạn thẳng cần tính
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Tính x trong các trường hợp sau
a
a ∥ BC
x
5
4
10
C
A
B
M N
ĐS: x = 2
a)
4
ON ∥ LM
5
3,5
M
K
L
O N
x
ĐS: x = 6,8
4
x
5
R
P
Q
S
T 8,5
ĐS: x = 2,8 c)
Trang 4a) AM
M B =
AN
N C ⇔ x
5 =
4
10 ⇔ x = 2
b) KN
KL =
KO
KM ⇔ 4
x =
5
5 + 3,5 ⇔ x = 6,8
c) P S
SQ =
P T
T R ⇔ 4
x =
5
8, 5 − 5 ⇔ x = 2,8
b Ví dụ 2 Tính x trong các trường hợp sau
DE ∥ BC
17
10
x
9 C
A
B
ĐS:
x = 15,3
16 20
15 P
M
N
x
ĐS:
x = 28 b)
L Lời giải
a) AD
DB =
AE
EC ⇔ 17
10 =
x
9 ⇔ x = 15, 3
b) M I
M N =
M K
M P ⇔ 16
x =
20
20 + 15 ⇔ x = 28
b Ví dụ 3 Cho hình thang ABCD có (AB ∥ CD) và AB < CD Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự tại M , N Chứng minh
M A
AD =
N B
BC;
M D =
N B
N C;
DA =
N C
CB. c)
L Lời giải
Trang 5426 1 Định lý Ta-lét
Gọi giao điểm của AD và BC là E
a) Vì AB ∥ CD nên EA
AD =
EB
BC và AB ∥ M N nên EA
AM = EB
BN.
Từ 2 điều trên suy ra M A
AD =
N B
BC.
b) Theo ý a) ta có M A
N B =
AD
BC =
EA
EB =
AM
BN nên theo tính chất của tỉ lệ thức suy ra M A
N B =
AD − AM
BC − BN =
M D
N C Vậy
M A
M D =
N B
N C.
c) Theo ý b) ta có M D
N C =
DA
CB =
M A
N B nên theo tính chất của tỉ
lệ thức suy ra M D
N C =
M D + M A
N C + N B =
AD
BC Vậy
M D
DA =
N C
CB.
C
E
D
A
M
B
N
b Ví dụ 4 Cho tam giác ABC, đường thẳng d cắt AB, AC lần lượt tại B0, C0 sao cho
AB0
AB =
AC0
AC Chứng minh
AB0
B0B =
AC0
C0C;
0
AB =
CC0
AC . b)
L Lời giải
Từ AB
0
B0B =
AC0
AC suy ra d ∥ BC (theo định lí Ta-lét đảo)
a) Vì B0C0 ∥ BC nên theo định lí Ta-lét ta có AB
0
B0B =
AC0
C0C;
b) Vì B0C0 ∥ BC nên theo định lí Ta-lét ta có BB
0
AB =
CC0
AC.
d
C
A
B
B0 C0
Bài tập về nhà
3
} Bài 1 Viết tỉ số của các cặp đoạn thẳng có độ dài như sau
M N = 25cm và P Q = 10dm; ĐS: 1
4
a) EF = 1,2m và GH = 24cm ĐS: 5
1 b)
L Lời giải
M N
P Q =
25
100 =
1
4.
GH =
120
24 =
5
1. b)
Trang 6} Bài 2 Cho biết AB
CD =
3
4 và CD = 12cm Tính độ dài AB. ĐS: AB = 9 cm
L Lời giải
Ta có AB
12 =
3
4 ⇔ AB = 12 · 3
} Bài 3 Tính x trong các trường hợp sau Tính x trong các trường hợp sau
F E ∥ BC
6, 5
x
4
2 C
A
B
ĐS:
x = 3,25
x
10,5
9
F
D
E
I
K 24
ĐS: x = 6,3 b)
L Lời giải
AF
F B =
AE
EC ⇔ 6,5
x =
4
2 ⇔ x = 3,25
IE =
DK
KF ⇔ x
10,5 =
9
24 − 9 ⇔ x = 6,3 b)
} Bài 4 Cho góc xAy khác góc bẹt Trên tia Ax lấy các điểm B, C Qua B và C vẽ hai đường thẳng song song, cắt Ay lần lượt tại D và E Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt tia
Ax tại F
a) So sánh AB
AC và
AD
AE;
AC
AF và
AD
AB
AC =
AD
AE;
AC
AF =
AD AE b) Chứng minh AC2 = AB · AF
L Lời giải
a) Theo định lí Ta-lét ta có AB
AC =
AD
AE;
AC
AF =
AD
AE.
b) Từ a) ta có AB
AC =
AC
AF suy ra AC
2 = AB · AF
x
y
D E
Trang 7
428 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
428 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
428 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
§2
Tóm tắt lý thuyết
1
1.1 Định lý Ta-lét đảo
Định lí 10 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại
GT 4ABC, M ∈ AB, N ∈ AC
AM
M B =
AN
N C
KL M N ∥ BC
B
A
M
C N
1.2 Hệ quả của định lý Ta-lét
Định lí 11 Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho
GT 4ABC, M N ∥ BC(M ∈ AB, N ∈ AC)
KL AM
AB =
AN
AC =
M N
BC .
4! 23 Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại
Trang 8Bài tập và các dạng toán 2
| Dạng 38 Sử dụng hệ quả của định lý Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỷ lệ có được nhờ hệ quả của định lý Ta-lét
Bước 2: Sử dụng độ dài các đoạn thẳng đã có và vân dụng các tính chất của tỷ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng cần tính
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Tính x trong các trường hợp sau
a)
C
A
N M
B
2
3
x
6,5
M N ∥ BC
b)
O
2 3
x
5,2
M N ∥ P Q
L Lời giải
a) M N
BC =
AM
AB =
2
3 + 2 ⇒ M N −2
5BC =
2
5 · 6,5 = 2,6(đvđd)
b) OP
ON =
P Q
M N ⇔ x
2 =
5,2
3 ⇔ x = 52
15(đvđd).
b Ví dụ 2 Tính x trong các trường hợp sau
a)
9, 5
28
8
x
IK ∥ EF
D
K
F
I
E
b)
4, 2
3
6
x
D
O
C
L Lời giải
a) IK
x =
DI
DE ⇔ x = IK · DE
DI =
8 · (9, 5 + 28)
9, 5 =
600
19(đvđd).
Trang 9430 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
430 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
430 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
b) OB
OC =
AB
CD ⇔ 3
6 =
4, 2
x ⇔ x = 8, 4(đvđd)
b Ví dụ 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, M N ∥ BC (M ∈ AB, N ∈ AC), AB = 24
cm, AM = 16 cm, AN = 12 cm Tính độ dài của các đoạn thẳng N C và N B
L Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì AM
AB =
AN
AC.
⇒ AC = AB · AN
AM =
24 · 12
16 = 18(cm)
⇒ N C = AC − AN = 6 cm
Lại có tam giác AN B vuông tại A
Tính được N B =√
AN2+ AB2 = 12√
5
A
b Ví dụ 4 Cho tam giác ABC, M N ∥ BC (M ∈ AB, N ∈ AC), AB = 25 cm, AM = 16
cm, BC = 45 cm, AN = 12 cm Tính độ dài của các đoạn thẳng M N và AC
L Lời giải
Theo định lí Ta-lét thì AM
AB =
AN
AC =
M N
BC Suy ra
M N = AM · BC
AB =
16 · 45
25 = 28,8 cm.
AC = AB · AN
AM =
25 · 12
16 = 18,75 cm.
A
| Dạng 39 Sử dụng định lý Ta-lét đảo để chứng minh các đường
thẳng song song
Thực hiện theo các bước
Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỷ lệ trong tam giác
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta-lét để chứng minh các đoạn thẳng song song
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Cho hình thang ABCD (AB ∥ CD) Gọi trung điểm của các đường chéo AC
và BD lần lượt là M, N Chứng minh rằng M N , AB và CD song song với nhau
L Lời giải
Trang 10Gọi giao điểm của hai đường chéo là O Vì AB ∥ CD nên
OC
OA =
OD
OB ⇒ OC + OA
OA =
OD + OB
OB Suy ra
AC
OA =
BD
OB.
Từ AC = 2AM và BD = 2BN
Suy ra 2AM
OA =
2BN
OB ⇒ AM
OA =
BN
OB. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
AM − OA
OA =
BN − OB
OB hay
OM
OA =
ON
OB.
Áp dụng định lý Ta-lét đảo suy ra M N ∥ AB mà AB ∥ CD
(do ABCD là hình thang) nên M N ∥ AB ∥ CD
B A
C D
M N
O
b Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC = 4CM Trên cạnh
AC lấy điểm N sao cho CN
AN =
1
3 Chứng minh M N song song với AB.
L Lời giải
Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có
CN
AN =
1
3 ⇒ CN
AN + CN =
1
3 + 1 ⇒ CN
AC =
1
4. Mặt khác CM
BC =
1
4 Suy ra
CM
BC =
CN
AC Vậy M N ∥ AB
C
A
N
B M
| Dạng 40 Sử dụng hệ quả định lý Ta-lét để chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau
Thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỷ lệ
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả,
từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho AK = KI = IH Qua I, K vẽ các đường thẳng EF ∥ BC, M N ∥ BC
1 Tính độ dài các đoạn thẳng EF và M N
2 Tính diện tích tứ giác M N EF , biết rằng diện tích của tam giác ABC là 270 cm2
L Lời giải
Trang 11432 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
432 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
432 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
a) Ta có EF
BC =
AE
AB =
AK
AH =
1
3 Suy ra EF =
1
3BC = 5 (cm).
Ta có M N
BC =
AM
AB =
AI
AH =
2
3 Suy ra M N =
2
3BC = 10 (cm)
b) Vì SABC = 270 nên AH · BC = 540
Suy ra AH = 36 nên IK = 12
Suy ra SABCD = IK(EF + M N )
2 = 90 (cm
2)
A
M E
B
F
N
C H
K
I
b Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB, AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B0, C0, H0
1 Chứng minh AH
0
AH =
B0C0
BC .
2 Cho AH0 = 1
3AH và diện tích tam giác ABC là 67,5 cm
2 Tính diện tích tam giác
AB0C0
L Lời giải
a) Ta có AH
0
AH =
AB0
AB =
B0C0
BC .
b) Vì AH0 = 1
3AH nên B
0C0 = 1
3BC.
Suy ra SAB0 C 0 = 1
2· AH0· B0C0 = 1
2·1
3· AH ·1
3· BC = 1
9SABC = 7,5 cm2
A
B
B0 C0
C H
H0
b Ví dụ 3 Cho hình thang ABCD(AB ∥ CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, N, P, Q Chứng minh
1 M D
AD =
CQ
BC.
2 M N = P Q
L Lời giải
a) Ta có M D
AD =
DN
DB =
CQ
CB.
b) Ta có M N
AB =
M D
AD =
CQ
CB =
P Q
AB.
O
Trang 12b Ví dụ 4 Cho hình thang ABCD với AB ∥ CD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại O và đường thẳng qua O song song với đáy cắt các cạnh bên tại AD và BC theo thứ tự tại M và N Chứng minh OM = ON
L Lời giải
Xét 4ADC có M O ∥ DC nên theo định lí Ta-lét ta có
OM
DC =
OA
AC. (1) Xét 4BCD có ON ∥ CD nên theo định lí Ta-lét ta có
ON
CD =
BN
BC. (2) Xét 4CAB có ON ∥ CD nên theo định lí Ta-lét ta có
BN
BC =
AO
AC. (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra OM
DC =
OA
AC =
BN
BC =
ON
CD. Suy ra OM = ON
O
Bài tập về nhà 3
} Bài 1 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD =
DE = EB Từ D, E kẻ các đường thẳng song song với BC cắt AC theo thứ tự tại M, N Tính theo a độ dài các đoạn thẳng DM và EN
L Lời giải
Áp dụng định lý Ta-lét ta có AD
AB =
DM
BC =
1
3 ⇒ DM = a
3. Tương tự ta có AD
AE =
DM
EN =
1
2 ⇒ EN = 2DM = 2
3a.
C
A
B
D
E
M
N
} Bài 2 Cho hình thang cân ABCD(AB ∥ CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BD và AC Biết rằng M D = 2M O, đáy lớn CD = 5, 6 cm
1 Tính độ dài đoạn thẳng M N
2 Chứng minh M N = CD − AB
2 .
L Lời giải
Trang 13434 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
434 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
434 2 Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
a) Vì AB ∥ CD nên OD
DB =
OC
AC ⇒ OD
2M D =
OC 2N C ⇒ OD
M D = OC
N C.
Suy ra M N ∥ CD nên M N
CD =
OM
OD =
1
3 Vậy M N =
1
3 ·
CD = 28
15.
b) Vì OB = M B − OM = M D − OM = OM
nên AB
CD =
OB
OD =
M O 3M O =
1
3 suy ra CD = 3AB.
Vậy M N = 1
3CD =
1
2CD −
1
6CD =
1
2CD −
1
6 · 3AB = 1
2(CD − AB).
B A
C D
N M
O
} Bài 3 Cho hình thang cân ABCD (AB ∥ CD) Đường thẳng song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC và các đường chéo BD, AC lần lượt tại M, Q, N, P Chứng minh
1 DN
BD =
CP
AC.
2 M N = P Q
L Lời giải
a) Ta có DN
BD =
DM
DA =
CP
AC.
b) Ta có M N
AB =
DN
DB =
CP
CA =
P Q
AB suy ra M N = P Q.
O
} Bài 4 Tam giác ABC, đường cao AH Đường thẳng d song song với BC, cắt các cạnh AB,
AC và đường cao AH theo thứ tự tại các điểm B0, C0, H0 Chứng minh
a) AH
0
AH =
B0C0
BC ;
b) SAB0C0
SABC =
Å B0C0 BC
ã2
L Lời giải
Trang 14a) AH
0
AH =
B0H0
BH =
AB0
AB =
B0C0
BC .
b) SAB0C0
SABC =
AH0· B0C0
AH · BC =
Å B0C0 BC
ã2
A
B
B0 C0
C H
H0
Trang 15
436 3 Tính chất của đường phân giác của tam giác
436 3 Tính chất của đường phân giác của tam giác
436 3 Tính chất của đường phân giác của tam giác
Tính chất của đường phân giác của tam giác
§3
Tóm tắt lý thuyết
1
1.1 Định lý
Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng
tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy
Ta có
GT 4ABC, AD là tia phân giác của [BAC, (D ∈
BC)
KL DB
DC =
AB
AC.
C
A
B
D
4! 24 Định lý vẫn đúng đối với tia phân giác của góc ngoài của tam giác
Bài tập và các dạng toán
2
| Dạng 41 Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để
tính độ dài đoạn thẳng
Thực hiện theo các bước
Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ
Bước 2: Sử dụng các đoạn thẳng tỉ lệ đó để tính độ dài đoạn thẳng chưa biết
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Tính x trong hình và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất
Trang 16D
5 8,5
3
x a)
I
L
6,2
8,7
x
12, 5 b)
L Lời giải
Hình a: Do AD là đường phân giác trong của góc A nên ta có
DC
DB =
AC
AB ⇒ DC = AC
AB · DB
Thay số ta có DC = 8,5
5 · 3 = 5,1 Khi đó x = DB + DC = 3 + 5,1 = 8,1
Hình b: Với KL = 12,5 − x và do IL là đường phân giác trong của góc I nên theo tính chất đường phân giác ta có
Theo tính chất đường phân giác ta có KL
LJ =
IK
IJ ⇒ 12,5 − x
x =
6,2 8,7 ⇔ x = 2175
298 ≈ 7,3
b Ví dụ 2 Tính x trong hình và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất
A
D
x 25
a)
I
L
x 28 b)
L Lời giải
Hình a: Ta có BD = 25 − x
Theo tính chất đường phân giác trong ta có DB
DC =
AB
AC ⇒ 25 − x
x =
20
15 ⇔ x = 75
7 ≈ 10,7
Hình b: Ta có LJ = 28 − x
Theo tính chất phân giác trong ta có LK
LJ =
IK
IJ ⇒ x
28 − x =
20
12 ⇔ x = 35
2 = 17,5.
Trang 17
438 3 Tính chất của đường phân giác của tam giác
438 3 Tính chất của đường phân giác của tam giác
438 3 Tính chất của đường phân giác của tam giác
| Dạng 42 Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để
tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các đoạn thẳng bằng nhau,
các đường thẳng song song
Thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định đường phân giác và lập các đoạn thẳng tỉ lệ
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) và định lí đảo của định lí Ta-lét để tính tỉ số đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức Từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng nhau hay các đường thẳng song song
ccc BÀI TẬP MẪU ccc
b Ví dụ 1 Cho tam giác cân ABC, có BA = BC = a, AC = b Đường phân giác của góc
A cắt BC tại M , đường phân giác góc C cắt BA tại N
1 Chứng minh M N ∥ AC
2 Tính M N theo a, b ĐS: M N = ab
a + b.
L Lời giải
1 Theo tính chất đường phân giác trong của góc A và góc C ta có:
BM
CM =
AB
AC =
a
BN
AN =
CB
CA =
a
Từ (1) và (2) suy ra BM
CM =
BN
AN Theo định lý Thales đảo ta được
M N ∥ AC
2 Tính M N theo a, b
Theo (2) có BN
AN =
a
b ⇒ AB
AN =
a + b
b ⇔ AN
AB =
b
a + b ⇒ BN
AB = a
a + b.
Do M N ∥ AC nên BN
BA =
M N
AC ⇔ M N = BN
BA · AC = a
a + b · b = ab
a + b.
C
M
A N
B
b Ví dụ 2 Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Tia phân giác góc AM B cắt AB tại D, tia phân giác góc AM C cắt cạnh AC tại E Chứng minh DE ∥ BC
L Lời giải