Chủ đề ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI KHOA ĐIỆN TỬ    BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN GIẢI TÍCH Tên chủ đề Ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế Nhó[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

KHOA ĐIỆN TỬ

  

BÁO CÁO NHÓM HỌC PHẦN: GIẢI TÍCH

Tên chủ đề : Ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế và ứng

Nhóm sinh viên thực hiện : Nhóm 2 Lớp : KTMT01 Giáo viên hướng dẫn : Nguyễn Thị Minh Nguyệt

Hà Nam, tháng 11, năm 2022

Danh sách thành viên

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 4

LỜI MỞ ĐẦU 5

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm của hàm của hàm một biến trong thực tế 6

1.1 Ví dụ 1 6

1.2 Ví dụ 2 6

Chương 2: Ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế 7

2.1 Cực trị tự do 7

2

2.1.1 Ví dụ 1 7

2.1.2 Ví dụ 2 8

2.1.3 Ví dụ 3 8

2.2 Cực trị có điều kiện 9

2.2.1 Ví dụ 1 9

2.2.2 Ví dụ 2 10

2.2.3 Ví dụ 3 12

KẾT LUẬN 14

3

LỜI CẢM ƠN

Bộ môn Giải tích là bộ môn thực sự bổ ích, thú vị và có tính thực tế cao Vì

vậy trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu chúng em đã có cơ hội tìm hiểu

về các ứng dụng thú vị của đạo hàm và cực trị trong đời sống Từ đó có thể vận dụng linh hoạt hơn trong mọi tình huống, có thể đưa ra các phương án giải quyết hữu hiệu nhất trong đời sống Để góp phần tạo nên sự thành công khi nghiên cứu

bộ môn này chúng em đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn rất tận tình, chu đáo của cô và các bạn Lời đầu tiên nhóm 2 chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành

và sự tri ân sâu sắc tới cô Nguyễn Thị Minh Nguyệt– giảng viên Khoa Điện Tử– Trường Đại học Công Nghiệp Hà Nội đã trực tiếp hỗ trợ chúng em hoàn thành tốt bài báo cáo này Bằng tất cả những kiến thức, sự hiểu biết, tâm huyết với nghề và tình cảm mà cô dành cho học trò cô luôn luôn chỉ dạy và giúp đỡ chúng em trong các buổi học

Báo cáo thực hành được thực hiện trong khoảng thời gian không quá dài Bước đầu đi vào nghiên cứu các chiến lược trong thực tế của chúng em còn nhiều

bỡ ngỡ, trình độ lý luận cũng như kiến thức và kinh nghiệm còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót Nhóm 2 chúng em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của cô Nguyễn Thị Minh Nguyệt để báo cáo của nhóm được hoàn thiện và đạt kết quả tốt nhất Cuối cùng nhóm chúng em xin chúc cô thật dồi dào sức khỏe, mãi vui tươi, nhiệt huyết trong công việc mà cô đã chọn

Chân thành cảm ơn cô!

4

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngày nay, khi Toán học trở thành một yếu tố hết sức gần gũi, quen thuộc và không kém phần quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu, lĩnh vực kinh tế - kỹ thuật và đời sống chúng ta Đặc biệt là toán Giải Tích có một ý nghĩa hết sức quan trọng, nó giúp chúng ta giải được các bài toán nhanh, gọn và chính xác Và ứng dụng đạo hàm của hàm một biến và ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến trong giải tích luôn luôn là đề tài mới mẻ đối với giáo viên, học sinh và sinh viên nghiên cứu vấn đề này Chính bởi lý do

đó nên nhóm muốn thực hiện đề tài nghiên cứu: Ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế.

2 Ý nghĩa của đề tài đã chọn

Việc tìm hiểu, nghiên cứu các ứng dụng đạo hàm của hàm một biến và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong giải tích giúp nhóm nghiên cứu có cái nhìn sâu sắc hơn, toàn diện hơn về giá trị thực tế của toán giả tích nói chung và ứng dụng đạo hàm, cực trị nói riêng trong cuộc sống Từ đó có thể dễ dàng bình tĩnh xử lý những tình huống phát sinh trong cuộc sống

3 Cấu trúc của bài báo cáo nhóm

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm của hàm một biến trong thực tế

Chương 2: Ứng dụng của cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế

5

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm của hàm của hàm một biến trong thực tế 1.1 Ví dụ 1

Có một cái hồ hình chữ nhật rộng 40 m và dài 160 m Một vận động viên tập luyện chạy phối hợp với bơi như sau: Xuất phát từ vị trí điểm A chạy theo chiều dài bể bơi đến vị trí điểm M

và bơi từ vị trí điểm M thẳng đến đích là điểm B (đường nét đậm) như hình vẽ Hỏi vận động viên đó nên chọn vị trí điểm M các điểm A bao nhiêu mét (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) để đến đích nhanh nhất, biết rằng vận tốc bơi là 1,6m/s, vận tốc chạy là 4,8m/s

Đặt AM=x (0≤x≤160) ta có:

• Thời gian chạy bộ trên đoạn AM là t1=AM4,8 = 4,8X

• Thời gian bơi trên đoạn MB là t2 =MB1,6 =

Tổng thời gian xuất phát từ A để đến đích B là

t(x) = t1 + t2 = 4,8X +

Khảo sát hàm số t(x) trên đoạn [0;160], ta có

t′(x) = 4,81

-t′(x) = 0  3(160-x)x)) = √ (160-x)x)) 2 + 40 2  x) = 174,14 (loại)

6

√(160-x)x)) 2 + 40 2

1,6

√(160-x)x)) 2 + 40 2

1,6

160-x)x) 1,6 √(160-x)x)) 2 + 40 2

x) = 145,85 (T/m)

min [ 0;160 ] t(x) = min { t(0), t (160), t (145,85) } = t (145,85)

dấu bằng đạt tại x = 145,85 m

1.2 Ví dụ 2

Một xe khách đi từ Việt Trì về Hà Nội chở tối đa được là 60 hành khách một chuyến Nếu

một chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là (30-5m/ 2)^2 đồng Tính số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận mỗi chuyến xe là lớn

nhất.?

Gọi x là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất,

(0 ≤x) ≤ 60)

Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được (F(x): đồng)

Số tiền thu được : x(30-5m/2)^2 =90000x-1500 x2 +(25 x3 )/4

Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất

F’(x) =90000-3000x+(75/4) x2

F’(x)=0 90000-3000x+(75/4) x2=0

 x)=120 (loại) hoặc x)= 40(t/m)

F’’(x))=-x)3000+(150/4)x

F’’(40)<0 -x)> F(x)) max) -x)> Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách

đó phải chở 40 người.

7

hương 2: Ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong thực tế

2.1 Cực trị tự do

2.1.1 Ví dụ 1

Một công ty chuyên sản xuất hai loại sản phẩm với sản lượng tương ứng là x (đơn vị) và y (đơn vị) Giả sử giá tính theo đơn vị là USD của sản phẩm loại một và loại hai cho 1 đơn vị lần lượt là p(x) = 30 - x và q(y)= 30 - y Biết rằng tổng chi phí để sản xuất hai loại sản phẩm trên là C (x,y) = x2 + xy + y2 (USD) Vậy công ty nên sản xuất bao nhiêu đơn vị sản phẩm mỗi loại để tổng lợi nhuận thu được cực đại?

Bài giải

Gọi x, y lần lượt là số đơn vị sản phẩm loại một và loại hai cần sản xuất ra

( x,y ≥ 0 ) Ta có: Lợi nhuận = Tổng doanh thu – Tổng chi phí

Tổng doanh thu: R=x(30-x) + y(30-y)

Tổng chi phí: C= x2 + xy + y2

Vậy Lợi nhuận: π = x(30−x) + y(30 – y) − ( x2 +xy+ y2 )

= 30x – x2 + 30y – y2 − x2 – xy − y2

= −2x2 − 2y2 – xy + 30x + 30y

Ta có hệ phương trình

π’x= -4x – y + 30=0 x = 6

π’x= -4y - x + 30=0 y = 6

Ta có: π”xx = - 4

π”xy = - 1

π”yy = - 4

Tại điểm (10:10) ta có:

A = π”xx (6;6) = - 4

B = π”xy (6;6) = - 1

C = π”yy (6;6) = - 4

8

Do B2 – AC = 15 < 0; 4 = − 4 < 0 nên hàm số π đạt cực đại tại điểm (6;6) Vậy công ty cần sản xuất mỗi loại sản phẩm là 6 đơn vị thì đạt được lợi nhuận cực đại

2.1.2 Ví dụ 2

Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thu tạo hai thị trường tách biệt Giả sửu các hàm cầu trên hai thị trường lần lượt là:

Q p 1=80−p1

3 ;Q D2=80− p2

4 Hàm tổng chi phí: C (Q)=Q2+30Q+10 , Q=Q1+Q2 là tổng sản lượng

nhuân đạt cao nhất?

Bài giải

Giả sử công ty cung cấp cho thị trường 1 là Q1 sản phẩm, thị trường 2 là Q2 sản phẩm

Q1=80−P1

3 ;Q2=P2

4 v à Q=Q1+Q2

⇒ P1=240−3 Q1; P2=320−4 Q2

Do đó doanh thu trên các thị trường lần lượt là:

R1=(240−3 Q1)Q1

R2=(320−4 Q2)Q2

Khi đó tổng lợi nhuận là:

π=R1+R2−C

¿(240−3 Q1)Q1+(320−4 Q2)Q2−(Q2+30 Q+10) (Q=Q1+Q2¿

Γ Q ' 1=210−8Q1−2Q2=0

Γ Q ' 2=290−10 Q2−2Q1=0

⇔Q1=20,Q2=25 Cực đại hàm π là (Q1,Q2¿=(20,25)

Vậy công ty cung cấp cho thị trường thứ nhất là Q1=20 đơn vị hàng vói đơn giá

P1=240−3 Q1=180 ;cung cấp cho thị trường thứ 2 là Q2=25 đơn vị hàng hóa với đơn giá

là P2=320−4 Q2=220

2.1.3 Ví dụ 3

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền hai loại linh kiện điện tử, biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đó : Q1 =240-p1, Q2 =300- p2, hàm chi phí để doanh nghiệp sản xuất là: C= Q12 +2Q1Q2+Q22+20 Xác định cơ cấu sản xuất (Q1,Q2) và giá bán từng sản phẩm

để lợi nhuận doanh thu lại là tối đa?

Bài giải

Bài toán dẫn tới cần tìm cực trị của hàm lợi nhuận : π= p1Q1+p2Q2-(Q12

+2Q1Q2+Q2+20)

=240Q1- 2Q12+300Q2-2Q22-2Q1Q2-20

Xét hệ: {π ' Q1=240−4 Q 1−2 Q2=0

π ' Q 2=300−4 Q 2−2 Q1=0 =>{Q1=30 Q2=60

9

Ta có:

A=π ' ' Q12 = - 4

B=π ' ' Q1Q2 = -2

C=π ' ' Q22 = - 4

Tại (Q1,Q2)= (30,60) có : B2-AC= -12<0, A<0

 Vậy lợi nhuận đạt max tại (Q1,Q2)=(30,60) và πCĐ=12580, p1=210 , p2=240

2.2 Cực trị có điều kiện

2.2.1 Ví dụ 1

Công ty A chỉ sử dụng 500 triệu đồng cho quảng cáo trên truyền hình và quảng cáo trên báo chí Nếu x triệu đồng được chi vào quảng cáo trên truyền hình và y triệu đồng được chi vào quảng các trên báo chí thì số lượng bán ra là F(x, y) = 60 xy (đơn vị sản phẩm) Như vậy công ty nên chi bao nhiêu tiền vào quảng cáo trên truyền hình và bao nhiêu tiền vào quảng cáo trên báo chí để số lượng bán ra lớn nhất ?

Bài giải

Gọi x và y lần lượt là số tiền chi vào quảng cáo trên truyền hình và trên bào chí

Vì công ty chỉ sử dụng 500 triệu đồng cho quảng cáo nên ta có: x + y = 500

Theo bài toán chúng ta cần tìm x và y để F(x, y) = 60 xy đạt giá trị lớn nhất thỏa mãn điều kiện x + y = 500

Đặt g(x,y) = x+y-500

Ta có: L(x,y, λ)) = F(x, y) + λ).g(x,y)

= 60xy + λ).( x+y-500)

L’x = 60y + λ) = 0 x = 250

L’λ) = x + y - 500 = 0 λ) = - 15000

10

Ta lại có :

L’’xx =0

L’’yy =0

L’’xy=60

g’x =1 g’y =1

0 g’x g’y

g’y L’’x L’’yy

Det (H) = 120 >0 , Hàm F(x, y) đạt cực đại tại (250,250)

Vậy công ty cần chia đều 500 triệu để quảng cáo thì bàn được nhiều sản phẩm nhất

2.2.2 Ví dụ 2

Trên một diện tích mặt nước 16 ha người ta định nuôi 2 loại thủy sản tôm xù và cá

ba sa Năng suất của tôm sú theo tính toán nếu nuôi x ha được ( 10 - 2x ) tấn trên 1 ha và năng suất của cá ba sa theo tính toán nếu nuôi y ha được ( 12 -2y ) tấn trên một ha Hãy xác định diện tích nuôi từng loại thủy sản để tổng sản lượng thu được là lớn nhất

11

Bài giải

Phương trình tính tổng sản lượng : z = x ( 10 -2x ) + y.( 12-2y)

Điều kiện : x + y =16 ( ha) => G(x)= x+y-16

 Hàm Lagrange: L = x ( 10 -2x ) + y.( 12 -2y) + λ) ( x +y -16)

Ta có :

L’x = 10-x + λ) =0 x= 7

L’y= 12 -y + λ) =0 => y= 9

L’λ)= x+y -16 =0 λ)=-3

Ta có :

L’’xx= -1

L’’xy=0

L’’yy=-1 g’(x)=1 g’(y)=1

0 g’(x) g’(y)

H = g’(x) L’’xx L’’xy g’(y) L’’yx L’’yy

0 1 1

= 1 -1 0

1 0 -1

Det H = 1 > 0 => cực đại có điều kiện tại ( 7;9) và Z max=113 Vì hàm chỉ có một cực trị duy nhất nên cực đại ( 7;9) chính là cực trị cần tìm

Vậy cần nuôi 7 ha tôm sú và 9 ha cá ba sa để sản lượng đạt lớn nhất là 113 tấn

12

2.2.3 Ví dụ 3

Cho hàm tiêu dùng:

U = x1 + x2 + x1.x2

Trong đó x1 , x2 tương ứng đối với lượng cầu của mặt hàng 1 và 2 U là lợi ích tiêu dùng của cả hai mặt hàng đó Giả sử giá của hai mặt hàng đó lần lượt là p1 = 2$ và p2 = 5$ và thu nhập người tiêu dùng là M = 53$ Hãy xác định lượng của của mỗi mặt hàng để người tiêu dùng được lợi nhất

Ta có tổng chi phí người tiêu dùng được lợi nhất là

TC = x1p1 +x2p2 = 2x1 + 5x2

Vì tổng thu nhập của người tiêu dùng là 53$

=> 2x1 + 5x2 = 53

Bài toán đặt ra là xác định x1 , x2 sao cho U = x1 + x2 + x1x2 max

Với điều kiện ràng buộc là 2x1 + 5x2 = 53

lập hàng lagrange

G = x1 + x2 + x1x2 + A( 53 – 2x1 – 5x2 )

Ta có :

G’x1 = 1 + x2 - 2A

G’x2 = 1 + x1 - 5A

G’A = 53 – 2x1 – 5x2

Điều kiện cần

G’x1 = 0 1 + x2 - 5A = 0 x2 - 5A = -1 x2 = 5

G’x2 = 0  1 + x1 - 2A = 0  x1 - 2A = -1  x1 = 14

G’A = 0 53 – 2x1 – 5x2 = 0 -2x1 – 5x2 = 53 A= 3

Vậy M ( 14 ,5 ) ứng với A =3 là điểm dừng

G’’x1x1 = 0 G’’x1x2 = 1 G’’x2x2 = 0

g’x1 = 2 g’x2 = 5

Tại M ( 14, 5 ) và A= 3 ta có :

G11 = 0 G12 = G21 = 1 G22 = 0 g1 = 2 g2 = 5

13

0 2 5 |H| = 2 0 1 20> 0

5 1 0

 Hàm số đạt cực đại tại M( 14 ,5 ) với điều kiện 2x1 + 5x2 = 53 Vậy với x1 = 14 x2 = 5 thì lợi ích tiêu dùng đạt lớn nhất

14

KẾT LUẬN

Ngày nay chúng ta chú trọng nhiều về khía cạnh thực hành hơn lý thuyết sách vở Bất cứ khi nghiên cứu một mảng kiến thức về một lĩnh vực nào đó thì điều người ta quan trọng là nó sẽ được ứng dụng và trong thực tế ra sao, nó có vận dụng tốt được vào cuộc sống hàng ngày của họ hay không và toán học cũng vậy Đặc biệt đối với Giải tích thì khía cạnh về việc ứng dụng những khiến thức đã học vào đời sống lại càng được chú trọng hơn Thông qua bài báo cáo mà nhóm 2 nghiên cứu ta có thể thấy được một số ứng dụng tiêu biểu ở đạo hàm của hàm một biến và ứng dụng cực trị của hàm nhiều biến trong Giải tích được ứng dụng trong thực tế như nào, qua đó thấy được vai trò, tầm quan trọng của Giải tích nói riêng của Toán học nói chung trong việc áp dụng vào xử lý những vấn đề thực tiễn trong cuộc sống Bài báo cáo của nhóm 2 được hoàn thành trong thời gian ngắn và còn nhiều thiếu sót trong quá trình tìm hiểu và nghiên cứu vấn đề Nhóm chúng em mong cô góp ý để bài báo cáo của nhóm được ngày một hoàn thiện hơn Một lần nữa nhóm 2 chúng em xin cám ơn cô Nguyễn Thị Minh Nguyết đã hỗ trợ, cung cấp tài liệu cũng như giải đáp thắc mắc cho chúng em trong suốt quá trình làm báo cáo

15