Chương 3 hệ phương trình tuyến tính

Các khái niệm cơ bản về hệ PTTTCác phương pháp giải hệ PTTT Khảo sát hệ PTTT Một số mô hình tuyến tính trong kinh tế 1 2 3 4 CHƯƠNG 3.. Dạng khai triển: Hệ phương trình tuyến tính m phươ

Các khái niệm cơ bản về hệ PTTT

Các phương pháp giải hệ PTTT Khảo sát hệ PTTT

Một số mô hình tuyến tính trong kinh tế

1

2

3

4 CHƯƠNG 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Bài 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

7 Hai loại hệ pt tuyến tính đơn giản (tam giác, hình thang)

1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng quát

2 Ma trận hệ số và ma trận mở rộng

3 Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính

5 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

4 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

6 Các phép biến đổi sơ cấp

1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính

3 Các dạng biểu diễn của hệ phương trình tuyến tính:

a Dạng khai triển:

Hệ phương trình tuyến tính m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn,

có thể biểu diễn dưới 3 dạng:

NX: Hệ phương trình có nghiệm  vectơ B biểu diễn tuyến tính

qua hệ vectơ cột của ma trận A

Khi đó nghiệm của hệ là các hệ số của sự biểu diễn tuyến tính đó

4 Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

ĐN: Nghiệm của hệ phương trình tuyến tính gồm n ẩn số

là bộ gồm n số thực có thứ tự sao cho khi gán

thì nó thỏa mãn tất cả các phương trình của hệ

5 Hệ tương đương và phép biến đổi tương đương

ĐN1: Hai hệ phương trình tuyến tính với các ẩn số như nhau

được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

ĐN2:

Một phép biến đổi biến một hệ phương trình thành một hệkhác tương đương với nó được gọi là phép biến đổi tươngđương

6 Các phép biến đổi sơ cấp

ĐN: Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ phương trình

tuyến tính được gọi là các phép biến đổi sơ cấp:

Đổi chỗ hai phương trình của hệ;

Các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi tương đương

Định lý:

Phép 1:

Phép 2: Nhân hai vế của một phương trình của hệ với một số ≠ 0

Biến đổi một phương trình của hệ bằng cách “cộng vào 2

vế của nó bội hai vế tương ứng của một phương trình khác”

Phép 3:

7 Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác của n ẩn số x1,

7 Hai loại hệ phương trình tuyến tính đơn giản

• Từ trên xuống dưới các ẩn mất dần;

• Phương trình cuối cùng có nhiều hơn 1 ẩn

Các ẩn x1, x2, ,xm được gọi là các ẩn chính;

Cách giải: Xét hệ hình thang:

Các ẩn xm+1, ,xn được gọi là các ẩn tự do

Bước 1: Gán cho ẩn tự do giá trị thực tùy ý xm+1 = αm+1 xn = αn

Bước 2: Chuyển hệ thành hệ tam giác với các ẩn chính, giải hệ tam giác này sẽ được NGHIỆM TỔNG QUÁT của hệ đã cho

Trong hệ hình thang trên:

Bài 2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

I Hệ Cramer và phương pháp định thức (quy tắc Cramer)

1 K/N hệ Cramer: Hệ phương trình Cramer là hệ phương trình

tuyến tính với số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận

I Hệ Cramer và phương pháp định thức (quy tắc Cramer)

2 ĐLý Cramer : Hệ phương trình Cramer

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

Xét hệ phương trình:

Lấy pt(1) nhân với rồi cộng vào pt(i), i = 2,…,m

Trong quá trình khử trên mà xuất hiện pt:

Nếu b = 0 thì loại pt khỏi hệ;Nếu b ≠ 0 thì hệ pt vô nghiệm

a - a

0.x + 0.x + + 0.x = b

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

Chú ý:

Việc thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên hệ sẽ được thay bằng thực hiện các phép biến đổi sơ cấp tương ứng trên ma trận mở rộng của nó Cụ thể:

Đổi chỗ 2 phương trình của

hệ; Đổi chỗ 2 dòng tương ứng của ma trận;

Nhân 2 vế phương trình với

số α ≠ 0;

Nhân dòng tương ứng với

số α;

Cộng vào phương trình (i) bội

k lần phương trình (j); Cộng vào dòng (i) bội k lần dòng (j);

II Phương pháp khử ẩn liên tiếp (khử Gauss)

Bài 3 KHẢO SÁT HỆ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

Xét hệ phương trình m phương trình, n ẩn x1, x2,…, xn.

Hệ phương trình trên có 3 khả năng về nghiệm:

✓ Hệ có vô số nghiệm (đưa được về dạng HÌNH THANG)

Khi nào thì hệ có nghiệm?

✓ Hệ vô nghiệm; (xuất hiện phương trình 0.x1+∙∙∙+ 0.xn = b ≠ 0)

✓ Hệ có nghiệm duy nhất; (đưa được về dang TAM GIÁC)

I Điều kiện có nghiệm:

Định lý CRONECKER - CAPELLI

Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma

trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng: r A = r A( ) ( )

II Điều kiện có nghiệm của hệ PTTT tổng quát:

Khảo sát một hệ phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ

số là A và ma trận mở rộng là

Trước hết ta tính r(A) và

1 Nếu thì hệ VÔ NGHIỆM;r A( )  r A( ) (hay r A < r A( ) ( ) )

2 Nếu thì hệ CÓ NGHIỆM; Khi đó:r A = r A = r( ) ( )

a Nếu r = n (số ẩn) thì hệ CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

(hệ tương đương với một hệ Cramer)

b Nếu r < n thì hệ CÓ VÔ SỐ NGHIỆM;

II Điều kiện có nghiệm của hệ PTTT tổng quát:

Ví dụ: Với giá trị nào của m thì hệ sau có nghiệm?

10-2

I Mô hình cân bằng thị trường

Trong thị trường nhiều hàng hóa liên quan, giá của hàng hóa này

có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các loại hànghóa khác

Q = a + a p + a p + + a p i = 1,2, ,n

Xét thị trường gồm n hàng hóa liên quan, đánh số là 1, 2, 3,…, n

Qsi là lượng cung hàng hóa i

Qdi là lượng cầu hàng hóa i

pi là giá hàng hóa i; i = 1, 2, …, nVới giả thiết các yếu tố khác không đổi, hàm cung và hàm cầutuyến tính có dạng:

I Mô hình cân bằng thị trường

Mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có dạng:

Giá cân bằng được xác định từ hệ phương trình:

❑ Mô hình cân bằng kinh tế vĩ mô dạng đơn giản

Ylà thu nhập quốc dân

E là tổng chi tiêu kế hoạchTrạng thái cân bằng được biểu diễn dưới dạng phương trình

C: Tiêu dùng của các hộ gia đình; G: Chi tiêu của chính phủ;

I: Chi tiêu cho đầu tư của các nhà sản xuất

Trong một nền kinh tế đóng, tổng chi tiêu kế hoạch của toàn bộ

nền kinh tế bao gồm các thành phần sau:

Phương trình cân bằng trong trường hợp nền kinh tế đóng là:

Y = C + G + I Giả sử I = I0, G = G0, C = aY + b (0 < a < 1, b > 0) Ta có hệ pt:

Giải hệ với các ẩn Y, C ta được mức thu nhập cân bằng và mứctiêu dùng cân bằng của nền kinh tế

Nếu tính thuế thu nhập thì khi đó hàm tiêu dùng là

Trong đó Yd là thu nhập sau thuế:

d

C = aY + b

d

Y = Y - T (T là tổng thuế thu nhập)Gọi tỷ lệ thuế thu nhập là t, ta có: T= t.Y , do vậy:

d

Y = Y - tY = 1- t Y, C = a 1- t Y + bKhi đó mô hình thu nhập quốc dân cân bằng là:

C = a(1- t)Y + b -a(1- t)Y + C = b

Giải hệ ta được thu nhập và tiêu dùng cân bằng là:

Mô hình IS – LM được sử dụng để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế trong hai thị trường: hàng hoá và tiền tệ.

• Các ký hiệu:

✓ Tổng cung: Y là tổng thu nhập của nền kinh tế;

✓Tổng cầu: E là tổng chi tiêu của nền kinh tế

Các thành phần của tổng cầu:

C là tiêu dùng của các hộ gia đình; G là chi tiêu của chính phủ,

I là chi tiêu cho đầu tư sản xuất; X là xuất khẩu, M là nhập khẩu

 E = C + I + G + X – M

✓ L là lượng cầu tiền, M0 là lượng cung tiền,

(các biến trên đều tính bằng đơn vị tiền tệ)

r là lãi suất (tính bằng %)

• Các giả thiết của mô hình:

✓ C = C(Y) = a + bY (đây là dạng tuyến tính của hàm tiêu dùng, trong đó: mức tiêu dùng tự định a thoả mãn a > 0; xu hướng tiêu dùng cận biên b thoả mãn 0 < b < 1 )

✓ I = I(r) = c – dr dạng tuyến tính của hàm đầu tư; c, d > 0

✓ G = G0 (chi tiêu của chính phủ theo kế hoạch là cố định)

III Mô hình IS-LM (Đọc thêm)

✓ NX = X – M = 0 (nền kinh tế đóng hoặc cán cân thương mại

cân bằng);

✓ Lượng cung tiền M0 cố định

✓ Lượng cầu tiền có quan hệ cùng chiều với thu nhập và ngược chiều với lãi suất:

Giải hệ phương trình ta xác định được mức thu nhập cân bằng và lãi suất cân bằng:

Giải hệ ta được thu nhập và lãi suất cân bằng

III Mô hình IS-LM (Đọc thêm)

Xét một nền kinh tế bao gồm n ngành sản xuất (1, 2,…, n), với các giả thiết sau:

1 Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa thuần nhất;

2 Các sản phẩm đầu vào của sản xuất của mỗi ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định

Tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành bao gồm:

➢ Cầu trung gian: Từ phía các nhà SX sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất;

➢ Cầu cuối cùng: Từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu

Ký hiệu:

xi là tổng cầu (dạng giá trị ) đối với hàng hóa của ngành i; i =1,2, ,n

xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành k cần SD cho việc SX

(cầu trung gian)

bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần cho tiêu dùng & xuất khẩu

(cầu cuối cùng)

IV Mô hình Input – Output của Leontief (Đọc thêm)

x x

X =

x

n

b b

B =

b

Ma trận cầu cuối cùng

Đặt:

IV Mô hình Input – Output của Leontief (Đọc thêm)

Hệ được viết dưới dạng ma trận:

❖ Tổng tất cả các phần tử của cột k là chi phí mà ngành k phải trả cho việc mua hàng hóa của các ngành (kể cả ngành k) để làm ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa của mình

0 < a1k + a2k + + ank < 1

IV Mô hình Input – Output của Leontief (Đọc thêm)

Ví dụ1: Giả sử trong một nền kinh tế có 2 ngành sản xuất (ngành 1, 2)

Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:

1 Giải thích ý nghĩa của con số 0,3 trong ma trận A;

2 Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị của hoạt động sản

xuất) của ngành 2 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó;

3 Cho biết lượng cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành

1, 2 lần lượt là: 17, 52 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu

đối với mỗi ngành

IV Mô hình Input – Output của Leontief (Đọc thêm)

1 Ý nghĩa của con số 0,3 trong ma trận A: Để ngành 1 sản xuât ra

1 đơn vị giá trị hàng hóa ( 1 đồng hay 1$ ) thì ngành 1 phải mua của ngành 2 số đơn vị giá trị hàng hóa là 0,3 ( đồng hay $)

2 Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành 2 là: 1 – (0,2 + 0,4) = 0,4

3 Gọi x1, x2 lần lượt là tổng cầu của ngành 1 và ngành 2 thì x1, x2

Ví dụ 2: Giả sử trong một nền kinh tế có 3 ngành sản xuất

(ngành 1, 2, 3) Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:

1 Giải thích ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A;

2 Cho biết tỷ phần giá trị gia tăng (giá trị của hoạt động sản xuất) của ngành 3 trong tổng giá trị sản phẩm của ngành đó;

3 Cho biết lượng cầu cuối cùng đối với hàng hóa của các ngành

1, 2, 3 lần lượt là: 10, 5, 6 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành

4 Xác định tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào của mỗi ngành

IV Mô hình Input – Output của Leontief (Đọc thêm)

1 Ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A: Để ngành 1 sản

xuât ra 1 đơn vị giá trị hàng hóa ( 1 đồng hay 1$ ) thì ngành 1 phải mua của ngành 2 số đơn vị giá trị hàng hóa là 0,4 (đồng hay $)

2 Tỷ phần giá trị gia tăng của ngành 2 trong tổng giá trị sản

4 Gọi c1, c2, c3 lần lượt là tổng chi phí cho nguyên liệu đầu vào của ngành 1, ngành 2 và ngành 3 thì ci, i = 1,2,3 sẽ tìm được

từ công thức:

ci = xi ( tổng cột i), i = 1,2, 3

IV Mô hình Input – Output của Leontief (Đọc thêm)