Chương 2 ma trận và định thức

Ma trận tam giác ĐN: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về một phía của đường chéo chính bằng 0... Các phép biến đổi sơ cấp ĐN : Các phép biến đổi trên dòng trên cột c

CHƯƠNG 2 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

Bài 1 MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TUYẾN TÍNH

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

2 Đẳng thức ma trận

ĐN: Hai ma trận được coi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng có

cùng cấp và các phần tử ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau

ĐN: Ma trận đối của một ma trận A là ma trận cùng cấp mà mỗi

phần tử của nó là số đối của các phần tử tương ứng của

ma trận A

Ký hiệu: Ma trận đối của A được ký hiệu là -A

I Các khái niệm cơ bản về ma trận

II Các dạng ma trận

2 Ma trận tam giác

ĐN: Ma trận tam giác là ma trận vuông có các phần tử nằm về

một phía của đường chéo chính bằng 0

3 Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị

ĐN: Ma trận đường chéo là ma trận vuông có tất cả các phần tử

nằm ngoài đường chéo chính bằng 0 Ma trận đường chéo cấp n có dạng:

ĐN: Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có tất cả các phần tử

trên đường chéo chính bằng 1

Ma trận đơn vị được ký hiệu là E

III Các phép toán tuyến tính trên các ma trận

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp mxn, ký hiệu là

A + B và được xác định như sau:

( ij m n) x

α A = α a

Tích của ma trận A với một số α là một ma trận cấp mxn, ký hiệu

là và được xác định như sau:α A

III Các phép toán tuyến tính trên các ma trận

-17 -19 -13

III Các phép toán tuyến tính trên các ma trận

TC7: (α + β)A = αA + βA

TC8: (αβ)A = α(βA) = β(αA)

IV Các phép biến đổi trên ma trận

1 Các phép biến đổi sơ cấp

ĐN : Các phép biến đổi trên dòng (trên cột) của ma trận :

1- Đổi chỗ hai dòng (hoặc hai cột)

2- Nhân một dòng (hoặc một cột) với một số khác 0,

3- Cộng vào một dòng (một cột) bội của một dòng (cột) khác

ĐN: Ma trận A‘ nhận được bằng cách đổi các dòng (cột ) của A

thành các cột (dòng) tương ứng được gọi ma trận chuyển

1n

a a

a

21 22

2n

a a

a

m1 m2

mn

a a

a n m

m n 

IV Các phép biến đổi trên ma trận

3 5 -2

1 5 -5

7 9

1 3x4

Bài 2 ĐỊNH THỨC

I Khái niệm định thức

II Các tính chất cơ bản của định thức

III Phương pháp tính định thức

Ta có thể tính định thức của A cấp 3 theo cách sau:

12

22

32

a a a

A: 43

C: 58

B: - 72

D: 97 50:50

4 -1 5

3 9 -7

3 4 1

= 36 + 21+ 60 - (135 - 112 - 3) = 97

B: - 8k+128

D: 8k - 128

50:50

C: - 8k - 128 A: 8k+128

= 8k + 0 + 20 - ( - 48 - 60 + 0) = 8k +128

II Các tính chất cơ bản của định thức

Từ tính chất 1 cho thấy tất cả các tính chất của định thức

đúng với dòng đều đúng với cột.

II Các tính chất cơ bản của định thức

II Các tính chất cơ bản của định thức

NX : Ta có thể đưa bội của một dòng ra ngoài dấu định thức

Hệ quả: Định thức bằng 0 nếu có hai dòng tỷ lệ.

II Các tính chất cơ bản của định thức

II Các tính chất cơ bản của định thức

Tính chất 5:

Ví dụ Tính định thức sau:

y ' c cx

y ' b bx

y ' a ax

' c '

b '

a

c b

a

3

+ +

+

=



II Các tính chất cơ bản của định thức



0

▼NX: Định thức của ma trận dạng tam giác bằng tích các phần

tử trên đường chéo chính

Bài 3 PHÉP NHÂN MA TRẬN-MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

I Phép nhân ma trận với ma trận

II Ma trận nghịch đảo

1 Khái niệm phép nhân ma trận với ma trận

2 Các tính chất cơ bản của phép toán

2 Ma trận phụ hợp của ma trận vuông

3 Điều kiện tồn tại và công thức tìm ma trận nghịch đảo

1 Khái niệm ma trận nghịch đảo

kỳ thì k(AB) = (kA)B = A(kB)TC4: Mọi ma trận đều không thay đổi khi nhân với ma trận đơn vị

AE = A; EB = B

II Ma trận nghịch đảo

1 Khái niệm và tính chất của ma trận nghịch đảo

K/N: Ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông A là một ma trận vuông X (cùng cấp với A) thỏa mãn điều kiện:

AX = XA = E

Ma trận nghịch đảo của ma trận A được ký hiệu là A-1

Chú ý:Ma trận nghịch đảo của ma trận A nếu tồn thì là duy nhất

Ma trận A* được gọi là MA TRẬN PHỤ HỢP của ma trận A.

Bài 4 HẠNG CỦA MA TRẬN

I Khái niệm hạng của ma trận

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

1 Khái niệm định thức con của ma trận

2 Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

3 Định thức con cơ sở của ma trận

III Các phương pháp tìm hạng của ma trận

1 Phương pháp định thức bao quanh

2 Phương pháp biến đổi ma trận

Với ma trận hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A).A = a( )ij m nx

I Khái niệm hạng của ma trận

ĐN: Hạng của một ma trận là hạng của hệ vectơ cột của nó.

NX:

✓ Với ma trận thì r(A) ≤ min {m, n}A = a( )ij m nx ,

✓ Cho A là ma trận khác ma trận O thì r(A) = 1  A có các

cột (các dòng) tỉ lệ

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

( )ij m nx

A = aVới ma trận

1 Khái niệm định thức con của ma trận

Xét s dòng và s cột bất kỳ (1 ≤ s ≤ min{m, n})

Chỉ số của s dòng là: 1 i < i < < i 1 2 s  mChỉ số của s cột là: 1 j < j < < j1 2 s  nGiữ nguyên s dòng và s cột ở trên, những dòng và những cột còn lại được xóa hết, ta sẽ thu được một ma trận vuông cấp s

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

Ví dụ 1: Xét ma trận

1 Khái niệm định thức con của ma trận

Khi đó, giá trị một số định thức con của A là:

14 13

1 4

= 6-1 2

3 2

= 11

124 123

D =

-2 1 3

3 -1 5 = 79-4 6 3

134 123

D =

-2 4 3

3 2 5 = -85-4 1 3

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

2 Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

II Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

2 Liên hệ giữa hạng của ma trận và các định thức con

Hệ quả 1: Phép chuyển vị không làm thay đổi hạng của ma trận.

( ) ( )

r A = r A

Hệ quả 2: Hạng của ma trận bằng hạng của hệ vectơ dòng của nó.

Hệ quả 3: Điều kiện cần và đủ để một định thức bằng 0 là hệ vectơ

dòng (cột) của nó phụ thuộc tuyến tính

III Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng của ma trận

Trong đó s ≤ n và bii ≠ 0 với mọi i = 1, 2, ,s

Rõ ràng là ma trận B có hạng s, với định thức con cơ sở chính là:

12 s 12 s 11 22 ss

D = b b b

Biến đổi sơ cấp trên dòng & cột

III Phương pháp biến đổi sơ cấp tìm hạng của ma trận

Chú ý là phép biến đổi sơ cấp trên dòng & trên cột không làm

thay đổi hạng của ma trận

Từ kết quả của sự biến đổi ta có r(A) = r(B) = s.