ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TRANG TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌ[.]
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- -
NGUYỄN THỊ TRANG
TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- -
NGUYỄN THỊ TRANG
TOÁN TỬ SAI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS TS Trịnh Thanh Hải
THÁI NGUYÊN - 2019
Trang 3Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS.TS Trịnh Thanh Hải (ĐHKH - ĐHTN), thầy đã trực tiếp hướng dẫn tận tình
và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua
Xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K11, các bạn học viên, và các bạn đồng nghiệm đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này
Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn
Xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019
Tác giả
Nguyễn Thị Trang
Trang 4Mục lục
1.1 Một số khái niệm cơ bản 3
1.2 Một số tính chất của toán tử sai phân 5
1.3 Phương trình sai phân tuyến tính 8
1.4 Phương trình sai phân phi tuyến 18
2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành cho học sinh khá, giỏi 20 2.1 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tìm số hạng tổng quát 20
2.2 Ứng dụng toán tử sai phân vào giải bài toán tính tổng 23
2.3 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về bất đẳng thức 27
2.4 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán chia hết, phần nguyên 29
2.5 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài tổ hợp 34
2.6 Ứng dụng toán tử sai phân vào một số bài toán về giới hạn 36 2.7 Một số bài tập đề nghị 39
Trang 5Mở đầu
Toán tử sai phân cho ta nhiều lời giải thú vị khi ta dựa vào định nghĩa, tính chất của toán tử sai phân để giải quyết một số bài toán sơ cấp, đơn cử:
• Bài toán chia hết, phần nguyên;
• Bài toán đếm của giải tích tổ hợp;
• Bài toán về giới hạn hàm số;
• Bài toán về bất đẳng thức;
• Tính tổng của một dãy số;
• Xác định số hạng tổng quát của một dãy số
Ngoài việc vận dụng phương pháp sai phân vào các dạng bài toán kể trên, ta còn có thể tìm thấy rất nhiều ví dụ minh họa việc vận dụng phương pháp sai phân vào giải các bài toán thực tiễn
Với mong muốn tìm hiểu, sưu tầm việc vận dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi THPT để vận dụng vào quá trình dạy học của bản thân, Em đã lựa chọn đề tài về ứng dụng toán tử sai phân vào giải một số bài toán sơ cấp Luận văn có các nhiệm vụ chính sau:
• Tìm hiểu về định nghĩa và các tính chất của toán tử sai phân;
• Đọc hiểu ý tưởng vận dụng toán tử sai phân vào giải môt số bài toán
sơ cấp được trình bày trong bài báo [5], [6]
• Sưu tầm một số bài toán, đề thi tổ hợp dành cho học sinh giỏi mà những bài tập đó có thể giải bằng cách vận dụng khái niệm, tính chất của toán tử sai phân;
Trang 6• Trình bày tường minh lời giải một số bài toán trên cơ sở vận dụng khái niệm, tính chất của toán tử sai phân
Ngoài ra, luận văn cũng trình bày các cách giải khác nhau của cùng một bài toán và so sánh những phương pháp giải với lời giải khi ứng dụng tính chất của toán tử sai phân đó người đọc có thể đưa ra nhận xét, so sánh giữa các lời giải với nhau
Trang 7Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 được chúng tôi sử dụng để nhắc lại các kiến thức thường được trình bày trong các giáo trình giảng dạy ở bậc đại học Nội dung chương 1
được chúng tôi tham khảo từ các tài liệu [4] - [7]
Định nghĩa 1.1.1 [5] Cho h là một số thực khác 0 và hàm f (x) Khi
là sai phân bậc nhất của f tại x với bước nhảy h Cho các hàm f, g và số thực c, ta có
và
Ký hiệu ∆0hf (x) hoặc If (x) thay cho f (x) Với bất kỳ số nguyên n > 1, chúng ta định nghĩa sai phân bậc n bởi
Ví dụ
Trang 8Bằng quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được
n
X
k=0
trong đó Cn0 = 1 Với k > 0, ta có
k
Chú ý rằng với nhiều công thức, chúng ta có thể cho n là các số thực
một dãy {xn}, chúng ta có ∆xn = xn+1 − xn
Nhận xét
(i) Cho hàm f (x), n = 0, 1, 2, ,
f (x + n) =
n
X
k=0
Cnk∆kf (x);
trong trường hợp đặc biệt, nếu ∆mf (n) là hằng số khác 0 với mỗi số nguyên dương n thì
f (n) =
n
X
k=0
Cnk∆kf (0)
(ii) Nếu P (x) = a0 + a1x + a2x2 + + anxn, với an 6= 0 thì với mọi x,
ta có:
và
Với k là một số nguyên dương cho trước Như một hàm của x, Cxk có các tính chất:
(a) Cxk−1 + Cxk = Cx+1k (vì ∆Cxk = Cxk−1)
(b) Ta có ∆rCxk = Cxk−r, với 0 6 r 6 k và ∆rCxk = 0, với r > k
Tương tự (i), nếu f (x) là đa thức có bậc m thì
f (x) =
m
X
k=0
Trang 91.2 Một số tính chất của toán tử sai phân
Tính chất 1.2.1 [4] Nếu c = const thì ∆c = 0
Chứng minh Nếu c = const thì ∆c = c − c = 0 Tính chất 1.2.2 [4] Ta có ∆n(xn) = n!hn; ∆m(xn) = 0(m > n)
Chứng minh Ta có
Từ Tính chất 1.4.2, suy ra ∆m(xn) = 0, ∀m > n
Tính chất 1.2.3 [4] Nếu P (x) là đa thức bậc n ta có:
∆P (x) = P (x + h) − P (x)
=
n
X
i=1
hi
(i)(x)
Tính chất 1.2.4 [4]
f (x + nh) =
n
X
i=0
Cni∆if (x)
Chứng minh Ta có f (x + h) = (1 + ∆)f (x) = f (x) + ∆f (x)
Sử dụng liên tiếp công thức trên, ta được:
f (x + nh) = (1 + ∆)f (x + (n − 1)h)
=
=
n
X
i=0
Cni∆if (x)
Trang 10
Tính chất 1.2.5 [4].
n
X
i=0
Chứng minh Ta có
=
n
X
i=0
=
n
X
i=0
Tính chất 1.2.6 [4] Giả sử f ∈ Cn[a; b] và (x; x + nh) ⊂ θ(0; 1), khi đó:
Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp Với n = 1, ta có công thức
số gia hữu hạn:
f (x + h) − f (x)
Giả sử công thức đúng với k = n, nghĩa là:
Ta chứng minh công thức trên đúng với k = n + 1
Thật vậy, ta có:
trong đó θ0 ∈ (0; 1)
Áp dụng công thức số gia hữu hạn cho f(n)(x + θ0nh) ta có
= h(n+1)f(n+1)(x + θ0nh + θ”h); với (θ0, θ” ∈ (0; 1))
∆(n+1)f (x) = f(n+1)(x + θ(n + 1)h)
Trang 11
Tính chất 1.2.7 [4] Nếu f (x) xác định trên tập số nguyên và h = 1; kí
n
X
i=1
Chứng minh Ta có:
n
X
i=1
với ∆xi = xi+1− xi
Vậy
n
X
i=1
Giả sử ∆ là toán tử sai phân D trên hàm giá trị thực Với hàm giá trị thực f tồn tại giới hạn:
f (x + h) − f (x)
∆ có các tính chất của toán tử sai phân D.Ta xét một số tính chất thông qua các định lý sau với D(xn) = nxn−1
Định lý 1.2.1 [7] Nếu f (x) = x−n = x(x − 1) (x − n + 1) thì
Trong đó x−n là kí hiệu của giai thừa dưới
Chứng minh Ta có
∆f (x) = f (x + 1) − f (x)
∆f (x) = (x + 1)x (x + 1 − n + 1) − x(x − 1) (x − n + 1)
∆f (x) = (x + 1)x (x − n + 2) − x(x − 1) (x − n + 1)
∆f (x) = ([x + 1] − [x − n + 1])(x(x − 1) (x − n + 2))
Từ đó ta có định lý sau
Trang 12Định lý 1.2.2 [7] Nếu f (x) = 2x thì ∆f (x) = ∆2x = 2x.
Chứng minh
Định lý 1.2.3 [7] Nếu f (x) = xk thì ∆f (x) = k−1x
Chứng minh Dựa vào tính chất dương và tương tự Định lý 1.2.1 ta có
∆f (x) = ∆
x k
k
−
k!
k
−
k−1
k−1
−
(k − 1)!
∆f (x) =
x
k − 1
Định nghĩa 1.3.1 [4] Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến tính của sai phân các cấp dạng:
trong đó ∆kun là sai phân cấp k của un, k là bậc của phương trình sai phân
Định nghĩa 1.3.2 [4] Phương trình sai phân tuyến tính của hàm un là một hệ thức tuyến tính giữa các giá trị của hàmun tại các điểm khác nhau Phương trình sai phân tuyến tính tổng quát có dạng:
a0un+k + a1un+k−1 + + akun = fn, (1.3)
Trang 13trong đó a0, a1, , ak (với a0 6= 0, ak 6= 0) là các hệ số biểu thị bởi hằng số cho trước hay các hàm số của n, fn là một hàm số của biến n, un là ẩn số cần tìm
Định nghĩa 1.3.3 [4]
+ Nếu fn ≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất;
+ Nếu fn 6≡ 0 thì (1.3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất;
+ Nếu fn ≡ 0 và a0, a1, , ak là các hằng số, a0 6= 0, ak 6= 0 thì (1.3) trở thành
a0un+k + a1un+k−1 + + akun = 0 (1.4) Đây là phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậckvới hệ số hằng + Nếu a0, a1, , ak là các hàm số của n thì (1.3) là phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên
Định nghĩa 1.3.4 [4]
+ Hàm số un thỏa mãn (1.3) là nghiệm của phương trình sai phân tuyến tính (1.3)
+ Hàm số un thỏa mãn (1.4) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất (1.4) Nếu với mọi tập giá trị ban đầu
để nghiệm un trở thành nghiệm riêng của (1.4), nghĩa là đồng thời thỏa mãn (1.4) và un = ui, i = 0, k − 1
Cấu trúc nghiệm:
Định lý 1.3.1 [4] Nghiệm tổng quát của (1.3) là un = un+ u∗n, trong đó
un là nghiệm tổng quát của (1.4), u∗n là nghiệm riêng của (1.3)
Định lý 1.3.2 [4] Nghiệm tổng quát của (1.4) có dạng:
trong đóun1, un2, , unk làk nghiệm độc lập tuyến tính của (1.4) vàC1, C2, , Ck
là các hằng số tùy ý
Trang 14Định lý 1.3.3 [4] Xét phương trình đặc trưng:
+ Trường hợp 1 Nếu (1.5) có k nghiệm thực khác nhau là λ1, λ2, , λk
thì hệ {λn
nghiệm tổng quát của (1.5) là
trong đó Ci, i = 1, 2, , k là các hằng số tùy ý
+ Trường hợp 2 Nếu (1.5) có nghiệm thực λj bội s thì ngoài nghiệm
λnj ta bổ sung thêm s − 1 nghiệm nλnj, n2λnj, , ns−1λnj cũng là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.5) Khi đó
k
X
j6=i=1
Ciλni +
s−1
X
i=1
Cjiniλnj,
trong đó Cji và Ci là các hằng số tùy ý
+ Trường hợp 3 Nếu (1.5) có nghiệm phức
thì ta lấy thêm các nghiệm rncos nϕ, rnsin nϕ Khi đó
k
X
j6=i=1
trong đó Ci, Cj1, Cj2(i = 1, 2, , k) là các hằng số tùy ý
Phương pháp tìm nghiệm riêng Phương pháp 1 Phương pháp chọn (hệ số bất định) Trong một số trường hợp đặc biệt hàm của fn, ta có thể tìm u∗n một cách đơn giản Để xác định các tham số trong các dạng nghiệm ta dùng phương pháp hệ số bất định
* Trường hợp 1 Nếu fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
+ và (1.5) không có nghiệm λ = 1 thì ta chọn u∗n = Qm(n) + và (1.5) có nghiệm λ = 1 bội s thì ta chọn u∗n = nsQm(n)
* Trường hợp 2 Nếu fn = αnPm(n), α 6= 0, m ∈ N, Pm(n) là đa thức bậc m của n
Trang 15+ và (1.5) có nghiệm thực khác α thì ta chọn u∗n = αnQm(n) + và (1.5) có nghiệm λ = α bội s thì ta chọn u∗n = nsαnQm(n)
* Trường hợp 3 Nếu fn = α cos nu + β sin nu, với α, β là các hằng
số thì ta chọn
* Trường hợp 4 Nếu fn = fn1 + fn2 + + fns thì ta chọn
u∗n = u∗n1 + u∗n2 + + u∗ns,
trong đó u∗ni ứng với các hàm fni, i = 1, s
Phương pháp 2 Phương pháp biến thiên hằng số Lagrenge Nghiệm tổng quát là
Phương pháp 3 Phương pháp đưa về dạng chính tắc của phương trình sai phân tuyến tính
Xét phương trình sai phân tuyến tính cấp k, k > 3:
un+k = a1un+k−1 + a2un+k−2+ + akun + fn
Trong đóa1, a2, , aklà các hệ số;un, un+1, , un+k là các ẩn;u0, u1, , uk−1
là các gia trị ban đầu
Phương trình đã cho luôn đưa được về dạng chính tắc
−
n+1 = A−→y
n+ −→
Trong đó
−
n+1 =
un+k−1
f0 0
0
, −→y
0 =
u0
và
A =
Trang 16Với mọi ma trận A đều tìm được ma trận Q không suy biến sao cho
QAQ−1 = Λ Trong đó Λ là ma trận đường chéo Gioocđan
Thực hiện phép đổi biến
−
n = Q−→y
n,−→
ta có
−
n = Λn−→x
0 +
n
X
k=1
Fk−1, −→y
n = Q−1−→x
n
Từ đó xác định được un
Định nghĩa 1.3.5 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất + Nếu fn 6≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất
+ Nếu a, b hay q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng
+ Nếu a, b hay q là các hàm củanthì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có dạng: un = un + u∗n, trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có dạng un = Cλn, với λ = −b/a hay λ = q
Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1 Nếu fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n, m ∈N
* Trường hợp 2 Nếu fn = αnPm(n), α 6= 0, m ∈ N, Pm(n) là đa thức bậc m của n
Trang 17+ và λ = α thì u∗n = nαnQm(n).
* Trường hợp 3 Nếufn = α cos nu+β sin nu, α2+β2 6= 0, u 6= kπ, k ∈ Z
thì ta có
Ví dụ 1.3.1 Giải phương trình
Giải Xét phương trình đặc trưng λ − 2 = 0 ⇔ λ = 2 Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho có dạng:
trong đó un = C2n, u∗n = an + b
Suy ra a = −1, b = −2 Do đó u∗n = −n − 2
Định nghĩa 1.3.6 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 có dạng:
+ Nếu fn ≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất + Nếu fn 6≡ 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
+ Nếu a, b, c hay p, q là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng
+ Nếu a, b, c hay p, q là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số biến thiên
Nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất có dạng: un = un + u∗n, trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất
Trang 18Để tìm nghiệm tổng quátun của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất, ta giải phương trình đặc trưng
+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1, λ2 thì số hạng tổng quát có dạng:
un = c1λn1 + c2λn2
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ thì số hạng tổng quát có dạng:
+ Nếu phương trình đặc trưng không có nghiệm thực thì số hạng tổng quát có dạng:
trong đó
−b
p
|∆|
Để tìm nghiệm riêng u∗n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất, ta xét các trường hợp sau:
* Trường hợp 1 Nếu fn = Pm(n) là đa thức bậc m của n, m ∈ N
* Trường hợp 2 Nếu fn = αnPm(n), α 6= 0, m ∈ N, Pm(n) là đa thức bậc m của n
* Trường hợp 3 Nếufn = Pm(n) cos αn+Q`(n) sin αn,vớiPm(n), Q`(n)
tướng ứng là các đa thức bậc m, ` củan Ký hiệu k = max{m, `} Ta thấy + Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
Trang 19+ Nếu α = cos β + i sin β, i2 = −1 là nghiệm của phương trình đặc trưng thì
Ví dụ 1.3.2 Giải phương trình sai phân
Giải Xét phương trình đặc trưng
Khi đó số hạng tổng quát của dãy có dạng un = c12n+ c23n
Theo giả thiết
⇔
⇔
Vậy un = 2n+ 3n
Ví dụ 1.3.3 Giải phương trình
Giải Xét phương trình đặt trưng λ2 − λ + 1 = 0 có hai nghiệm phức liên hợp
√ 3i
π
3.
Suy ra
nπ
Theo giả thiết u1 = u2 = 1 ta có
C1 12
√ 3 2
= 1
√ 3 2
= 1
⇔
√ 3 3
Vậy
√ 3
nπ
Trang 20Định nghĩa 1.3.7 [4] Phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 có dạng:
hoặc
+ Nếu fn = 0 ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất + Nếu fn 6= 0ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần nhất
+ Nếua, b, c, d hayp, q, k là các hằng số thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 với hệ số hằng
+ Nếu a, b, c, d hay p, q, k là các hàm của n thì ta có phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 với hệ số biến thiên
Định nghĩa 1.3.8 [4] Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần nhất có dạng: un = un+ u∗n, trong đó un là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất
và u∗n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 không thuần nhất
Cách tìm nghiệm tổng quát un của phương trình sai phân tuyến tính cấp 3 thuần nhất:
Giải phương trình đặc trưng:
+ Nếu phương trình đặc trưng có ba nghiệm phân biệt λ1, λ2, λ3 thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:
un = c1λn1 + c2λn2 + c3λn3
+ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội λ1 = λ2 = λ3 = λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng:
+ Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt λ1 vàλ2 = λ3 =
λ thì số hạng tổng quát của dãy có dạng: