Luận văn thạc sĩ toán học một số dạng của định lý stolz cesàro và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ CESÀRO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI[.]

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ DẠNG CỦA ĐỊNH LÝ STOLZ-CESÀRO

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 84 60 113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS Trần Văn Thắng

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

Chương 1 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro 3

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1.1 Dãy số 3

1.1.2 Chuỗi số 5

1.1.3 Hàm số 6

1.2 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro 8

1.2.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro 8

1.2.2 Một số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro 14

1.2.3 Một số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro 22

Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro 26 2.1 Tính giới hạn của dãy số 26

2.2 Tổng các lũy thừa với số mũ nguyên 46

2.3 Bài toán 11174 của P P Dalyay 47

MỞ ĐẦU

Các định lý Stolz-Cesàro cổ điển được các nhà toán học Otto Stolz (1842-1905) và Ernesto Cesàro (1859- 1906) đưa ra Định lý đề cập tới

sự tồn tại của các giới hạn lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn và n→∞lim

an

bn cùng các điều kiện

để các giới hạn này bằng nhau Định lý được xuất bản lần đầu tiên trong [11] và kể từ đó, đã được xuất bản lại trong nhiều tài liệu khác nhau có chủ đề về dãy số và chuỗi số Định lý được xem như là phiên bản rời rạc của quy tắc L’Hopital trong giới hạn của hàm số và nó cho ta một phương pháp hữu hiệu để tính các giới hạn có dạng không xác định ∞

∞

và 0

0 trong các bài toán tính giới hạn, đặc biệt là trong các bài toán tính

giới hạn liên quan tới tổng Gần đây, định lý được sử dụng tính hệ số của

đa thức được định nghĩa là tổng các lũy thừa của các số nguyên ([7]) và nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số ([5]) Với những ứng dụng

kể trên, định lý Stolz-Cesàro ngày càng được các nhà toán học quan tâm

mở rộng, phát biểu ở những dạng khác nhau và có thêm được những ứng dụng mới, điển hình là các kết quả của C Mortici ([8]), G Nagy ([9]) và

S Puspană ([10])

Luận văn này sẽ tổng hợp và trình bày một số dạng cổ điển của định

lý Stolz-Cesàro; một số dạng mở rộng của G Nagy và S Puspană; và một số dạng mới được đưa ra bởi C Mortici Tiếp theo, luận văn trình bày một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạn của dãy số, trong đó có tính giới hạn của một tổng, đây là bài toán hay thường xuất hiện trong các đề thi toán dành cho học sinh và sinh viên Một ứng dụng khác của định lý Stolz-Cesàro là tính tổng hữu hạn của các lũy thừa nguyên cũng được chúng tôi trình bày trong luận văn này

Cuối cùng, chúng tôi sẽ sử dụng một dạng mở rộng định lý Stolz-Cesàro của G Nagy để nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P P Dalyay

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Một số dạng của định lý Stolz-Cesàro

Phần đầu của chương trình bày một số khái niệm cơ bản phục vụ cho các mục sau của luận văn Tiếp theo, chúng tôi trình bày các dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và mới của định lý Stolz-Cesàro

Chương 2 Một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro

Chương này tìm hiểu một số ứng dụng của định lý Stolz-Cesàro trong việc tính giới hạn của dãy số, tính tổng lũy thừa của các số nguyên và nghiên cứu tính chất tuần hoàn của hàm số trong bài toán 11147 của P

P Dalyay

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Lời đầu tiên tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Thắng Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong Khoa Toán -Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn

Xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp tại trường THPT Tiên Du số 1 và gia đình thân yêu đã tạo điều kiện về thời gian và luôn ủng hộ tôi trong suốt quá trình học tập

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Người viết luận văn

Nguyễn Thị Nga

Chương 1

Một số dạng của định lý

Stolz-Cesàro

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản, dạng cổ điển và một

số dạng mở rộng của định lý Stolz-Cesàro

1.1.1 Dãy số

Định nghĩa 1.1.1 Dãy số là một hàm số từ N vào một tập hợp số (N, Q, R) Các số hạng của dãy số thường được ký hiệu là un, vn, xn, yn

Dãy số được ký hiệu là {un}, {vn}, {xn}, {yn}

Nhận xét 1.1.2 Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên

nó cũng có các tính chất của một hàm số

Định nghĩa 1.1.3 (i) Dãy số {xn} được gọi là dãy giảm nếu xn+1 ≤ xn

với mọi n ∈ N∗

(ii) Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng nếu xn+1 ≥ xn với mọi n ∈ N∗ (iii) Dãy số {xn} được gọi là dãy giảm ngặt nếu xn+1 < xn với mọi

n ∈N∗

(vi) Dãy số{xn}được gọi là dãy tăng ngặt nếuxn+1 > xn với mọin ∈ N∗ Dãy số tăng hoặc dãy số giảm được gọi chung là dãy đơn điệu

Định nghĩa 1.1.4 Dãy số {xn} được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thựcM sao choxn ≤ M với mọi n Dãy số {xn} được gọi là bị chặn dưới

nếu tồn tại số thực m sao cho xn ≥ m với mọi n Một dãy số vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

Định nghĩa 1.1.5 (i) Ta nói dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a khi n

dần đến vô cùng nếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn} và ) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn − a| nhỏ hơn 

Ta viết

lim

n→∞xn = a ⇔  > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn− a| < 

(ii) Dãy số {xn} dần đến dương vô cùng khi n dần đến vô cùng nếu với mọi số thực dương M lớn tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số {xn} và M) sao cho với mọi n > N0 ta có |xn| lớn hơn M Ta viết

lim

n→∞xn = +∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0, |xn| > M

(iii) Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khin dần đến vô cùng gọi là dãy phân kỳ Giả sử {xn} là một dãy bị chặn Với mỗi n ta đặt

un = sup{xn+1, xn+2, } = sup

k=1,2,

xn+k,

vn = inf{xn+1, xn+2, } = inf

k=1,2, xn+k

Dễ thấy un đơn điệu giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn Giới hạn này được gọi là giới hạn trên của dãy {xn} và ký hiệu là lim sup

n→∞

xn Tương tự, dãy{vn}là dãy tăng và bị chặn trên, nên tồn tại giới hạn Giới hạn này được gọi là giới hạn dưới của dãy {xn} và ký hiệu là lim inf

n→∞ xn Định lý 1.1.6 Điều kiện cần và đủ để dãy hội tụ là giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy đó bằng nhau

Định lý 1.1.7 (Sự hội tụ của dãy đơn điệu)

Dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ Dãy số giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Định lý 1.1.8 Nếu {xn}, {yn} là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a, b thì các dãy số {xn+ yn}, {xn− yn}, {xnyn},



xn

yn

 cũng hội

tụ và có giới hạn tương ứng là a + b, a − b, ab và a

b (trong trường hợp

dãy số thương, ta giả sử yn và b khác không)

Định lý 1.1.9 Giả sử an ≤ bn ∀n ≥ N0, N0 ∈ N và lim

n→∞an = a,

lim

n→∞bn = b Khi đó, ta có a ≤ b

Định lý 1.1.10 (Nguyên lý kẹp) Giả sử lim

n→∞an = lim

n→∞bn = a và

an ≤ zn ≤ bn với mọi n ∈ N Khi đó, ta có lim

n→∞zn = a

1.1.2 Chuỗi số

Định nghĩa 1.1.11 Cho dãy số u1; u2; ; un; Khi đó gọi tổng vô hạn

u1 + u2 + + un +

là chuỗi số và ký hiệu là

∞

P

n=1

un un là số hạng tổng quát ; sn = u1+ u2+ + un được gọi là tổng riêng thứn của chuỗi số; rn = un+1+ un+2+

được gọi là phần dư thứn Nếu lim

n→∞sn = s (hữu hạn) thì chuỗi được gọi

là hội tụ và s là tổng của chuỗi Nếu sn không dần tới một giá trị hữu hạn thì chuỗi đó gọi là phân kỳ

Định lý 1.1.12 Chuỗi số

∞

P

n=1

un hội tụ thì lim

n→∞un = 0

Chuỗi số

∞

P

n=1

un được gọi là chuỗi số dương nếu un > 0 với mọi n ∈ N.

Định lý 1.1.13 (Tiêu chuẩn so sánh) Cho 2 chuỗi số dương

∞

P

n=1

un và

∞

P

n=1

vn nếu un ≤ vn với ∀n ≥ n0(n0 ∈ N ) thì từ sự hội tụ của

∞

P

n=1

vn suy

ra sự hội tụ của

∞

P

n=1

un và từ sự phân kỳ của

∞

P

n=1

un suy ra sự phân kỳ của

∞

P

n=1

vn

Định lý 1.1.14 (Tiêu chuẩn tương đương) Cho hai chuỗi số dương

∞

P

n=1

un và

∞

P

n=1

vn và lim

n→∞

un

vn = k Khi đó, ta có:

Nếu (0 < k < +∞) thì hai chuỗi đã cho cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ

Nếu k = 0 thì từ sự hội tụ của

∞

P

n=1

vn suy ra sự hội tụ của

∞

P

n=1

un Nếu k = +∞ thì từ sự phân kỳ của

∞

P

n=1

vn, ta suy ra sự phân kỳ của

∞

P

n=1

un

1.1.3 Hàm số

Cho hàm số thực f (x) xác định trên một miền trong R

Định nghĩa 1.1.15 Cho hàm số y = f (x) có tập xác định D và (a; b)

là một khoảng con của D Hàm số gọi là hàm số đồng biến trên khoảng

(a; b) nếu

x1, x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≤ f (x2)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) nếu

x1, x2 ∈ (a; b) : x1 ≤ x2 ⇒ f (x1) ≥ f (x2)

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) gọi là đơn điệu trên khoảng (a; b)

Định nghĩa 1.1.16 Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn của hàm số f (x) khi x → a nếu:

∀ > 0, ∃δ > 0 : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − l| < 

Định nghĩa 1.1.17 Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận của a (có thể trừ điểm a) Số thực l hữu hạn được gọi là giới hạn trái

(phải) của hàm số f (x) khi x → a nếu:

∀ > 0, ∃δ > 0 : −δ < x − a < 0(0 < x − a < δ) ⇒ |f (x) − l| < 

Định nghĩa 1.1.18 Cho hàm số y = f (x) xác định trong một lân cận củax0 Khi đó hàm f (x)được gọi là liên tục tạix0 nếu lim

x→x 0

f (x) = f (x0) Định nghĩa 1.1.19 Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trái (phải) tại x0 nếu hàm f (x) xác định trong một lân cận trái (phải) của x0 (kể

cả x0) và

lim

x→x−0

f (x) = f (x0)( lim

x→x+0

f (x) = f (x0))

Định nghĩa 1.1.20 Hàm f (x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b)

nếu f (x) liên tục tại mọi x thuộc khoảng (a; b) Hàm f (x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f (x) liên tục trong khoảng (a; b), liên tục phải tại

x = a và liên tục trái tại x = b

Định nghĩa 1.1.21 Hàm f (x) được gọi là liên tục đều trên D nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ D thỏa mãn |x − y| < δ

ta có |f (x) − f (y)| < ε

Định lý 1.1.22 Hàm f (x) liên tục trên tập compact D thì liên tục đều trên tập D

Một hệ quả được suy ra từ định lý trên

Hệ quả 1.1.23 Mọi hàm liên tục tuần hoàn trên R là liên tục đều Định lý 1.1.24 (Định lý giá trị trung gian) Cho f (x) là một hàm số liên tục trên [a; b], f (a) 6= f (b) Khi đó f (x) đạt mọi giá trị trung gian giữa f (a) và f (b) trên [a; b]

Định nghĩa 1.1.25 Hàm f (x) được gọi là tuần hoàn với chu kỳ T > 0

trên miền D nếu x ± T ∈ D với mọi x ∈ D và

f (x ± T ) = f (x), ∀x ∈ D

Định nghĩa 1.1.26 Cho hàm sốy = f (x) xác định trong khoảng (a; b),

x0 ∈ (a; b) Nếu giới hạn

lim

x→x 0

f (x) − f (x0)

x − x0

tồn tại hữu hạn thì giá trị giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số

y = f (x) tại điểm x0, ký hiệu là f0(x0)

Định lý 1.1.27 (Định lý giá trị trung bình Cauchy) Cho các hàm số

f và g cùng liên tục trên [a; b] và khả vi trên (a, b) Khi đó tồn tại một điểm c ∈ (a; b) sao cho

(f (b) − f (a))g0(c) = (g(b) − g(a))f0(c)

Nếu g(a) 6= g(b) và g0(c) 6= 0, điều này tương đương với

f0(c)

g0(c) =

f (b) − f (a) g(b) − g(a).

Mục này trình bày một số dạng cổ điển, một số dạng mở rộng và một

số dạng mới của định lý Stolz-Cesàro

1.2.1 Một số dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro

Phần này, chúng tôi trình bày ba dạng cổ điển của định lý Stolz-Cesàro được các nhà toán học Otto Stolz và Ernesto Cesàro đưa ra

Định lý 1.2.1 Cho {an} và {bn} là hai dãy số thực, dãy {bn} tăng ngặt

và không bị chặn trên Nếu tồn tại giới hạn

lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = l ∈ R,

thì lim

n→∞

an

bn

= l

Chứng minh Xét trường hợp l ∈ R và giả sử rằng {bn} là dãy tăng và

lim

n→∞bn = ∞ Cho V là một lân cận của l, khi đó tồn tại α > 0 sao cho

(l − α, l + α) ⊆ V Cho β ∈ R sao cho 0 < β < α Do lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = l

nên tồn tại k ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ k thì

an+1 − an

bn+1 − bn ∈ (l − β, l + β),

từ đó suy ra rằng:

(l − β)(bn+1− bn) < an+1 − an < (l + β)(bn+1− bn), ∀n ≥ k

Ta lại có:

(l − β)(bk+1 − bk) < ak+1 − ak < (l + β)(bk+1 − bk), (l − β)(bk+2 − bk+1) < ak+2 − ak+1 < (l + β)(bk+2 − bk+1),

(l − β)(bn − bn−1) < an− an−1 < (l + β)(bn − bn−1)

Cộng từng vế các bất đẳng thức này ta được:

(l − β)(bn− bk) < an − ak < (l + β)(bn − bk)

Vì lim

n→∞bn = ∞ nên bắt đầu từ một chỉ số n nào đó ta có bn > 0 Do đó

(l − β)(bn− bk) < an − ak < (l + β)(bn− bk)

⇔(l − β)(1 − bk

bn) <

an

bn − ak

bn < (l + β)(1 −

bk

bn)

Do

lim

n→∞

ak + (β − l)bk

bn

= lim

n→∞

ak − (β + l)bk

bn

= 0,

nên tồn tại một chỉ số p ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ p chúng ta có:

ak + (β − l)bk

ak − (β + l)bk

bn ∈ (β − α, α − β)

Do vậy chúng ta có các bất đẳng thức sau:

ak + (β − l)bk

bn > β − α,

ak − (β + l)bk

bn < α − β.

Chọn m = max{k, p}, khi đó, ∀n ≥ m chúng ta có:

l − α < an

bn < l + α.

Điều này có nghĩa an

bn ∈ V Suy ra lim

n→∞

an

bn = l.

Trong trường hợp l = ±∞ ta có thể chứng minh tương tự khi ta chọn

V = (α, +∞) và V = (−∞, α)

Nhận xét 1.2.2 Dạng phát biểu đảo của định lý Stolz-Cesàro sẽ không còn đúng, nghĩa là với giả thiết {bn} tăng, không bị chặn và lim

n→∞

an

bn = l

thì chưa chắc có khẳng định

lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = l.

Để thấy điều này ta lấy an = 3n − (−1)n và bn = 3n + (−1)n, ta có

lim

n→∞

an

bn = 1 và

an+1− an

bn+1− bn =

3 + 2(−1)n

3 + 2(−1)n+1

Dễ dàng chỉ ra rằng không tồn tại giới hạn

lim

n→∞

an+1− an

bn+1− bn.

Từ kết quả của định lý trên chúng ta thu được các hệ quả sau

Hệ quả 1.2.3 Cho dãy số thực dương {un} Nếu tồn tại giới hạn

lim

n→∞

un+1

un = l thì chúng ta có:

lim

n→∞

n

√

un = lim

n→∞

un+1

un .

Chứng minh Chúng ta có

lim

n→∞ln√n

un = lim

n→∞

ln un

n .

Đặt an = ln un và bn = n, áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an} và

{bn} ta thu được

lim

n→∞

an+1− an

bn+1− bn = limn→∞

ln un+1 − ln un (n + 1) − n = limn→∞lnun+1

un = ln l.

Do đó

lim

n→∞

n

√

un = lim

n→∞eln n

√

un

= en→∞lim ln√n

un

= eln l = l

Nhận xét 1.2.4 Hệ quả trên còn được phát biểu dưới dạng tương đương sau:

Cho dãy số thực dương {un} với lim

n→∞un = l Khi đó chúng ta có

lim

n→∞

n

√

u1u2 un = l

Chứng minh Đặt an = u1u2 un, ta có

lim

n→∞

an+1

an = limn→∞un+1 = l

Áp dụng Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro cho dãy{an}ta thu được

lim

n→∞

an+1

an = limn→∞

n

√

an = lim

n→∞

n

√

u1u2 un = l

Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.3 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình nhân Stolz-Cesàro

Hệ quả 1.2.5 (Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro) Cho dãy số{un},

lim

n→∞un = l Khi đó chúng ta có

lim

n→∞

u1 + u2 + + un

Chứng minh Đặt an = u1 + u2 + + un và bn = n, ta có

lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = limn→∞un+1 = l

Áp dụng Định lý 1.2.1 cho hai dãy {an} và {bn} ta thu được

lim

n→∞

an

bn = limn→∞

u1 + u2 + + un

Nhận xét 1.2.6 Bằng cách đặt vn = u1 + u2 + + un ta thu được phát biểu dưới dạng tương đương với hệ quả trên như sau

Cho dãy số thực {vn} Nếu tồn tại giới hạn lim

n→∞(vn+1− vn) = l thì ta có

lim

n→∞

vn

n = limn→∞(vn+1 − vn)

Từ đây về sau chúng ta gọi Hệ quả 1.2.5 và dạng phát biểu tương đương của nó là Định lý trung bình cộng Stolz-Cesàro

Tiếp theo chúng tôi trình bày một dạng khác của định lý Stolz-Cesàro

Định lý 1.2.7 (Trường hợp 0

0) Nếu {an} và {bn} là hai dãy số thực thỏa mãn

i lim

n→∞an = lim

n→∞bn = 0,

ii {bn} là dãy số giảm,

iii lim

n→∞

an+1− an

bn+1− bn = l ∈ R,

thì lim

n→∞

an

bn = l.

Chứng minh Ta chia ba trường hợp sau:

- Trường hợp 1: lim

n→∞

an+1 − an

bn+1 − bn = l ∈ R. Khi đó, với bất kỳ  > 0, tồn

tại một chỉ số N sao cho

l −  < an+1− an

bn+1− bn < l + ,

với mọi n ≥ N Vì {bn} là dãy số giảm, nên bn+1 − bn < 0 với mọi n Suy ra

(l − )(bn+1 − bn) > an+1− an > (l + )(bn+1− bn),

với mọi n ≥ N Cố định số n, viết các bất đẳng thức trên tương ứng với

n, n + 1, , n + p, ta được

(l − )(bn+2 − bn+1) > an+2 − an+1 > (l + )(bn+2 − bn+1) (l − )(bn+3 − bn+2) > an+3 − an+2 > (l + )(bn+3 − bn+2)