Luận văn thạc sĩ khoa học một số định lý giới hạn trong lý thuyết martingale

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ THUYẾT MARTINGALE LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ

THUYẾT MARTINGALE

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG THỊ ÁNH TUYẾT

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRONG LÝ

THUYẾT MARTINGALE

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH Đặng Hùng Thắng

Hà Nội - Năm 2018

Mục lục

1.1 Martingale và các tính chất 7

1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ 7

1.1.2 Các tính chất 10

1.2 Các bất đẳng thức cơ bản 11

1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản 11

1.2.2 Bất đẳng thức hàm bình phương 15

Chương 2 Luật số lớn và các định lý hội tụ 22 2.1 Định lý hội tụ martingale 22

2.2 Luật số lớn 24

2.2.1 Luật số lớn 24

2.2.2 Luật mạnh số lớn 26

2.3 Hội tụ trong Lp 35

Chương 3 Định lý giới hạn trung tâm 46 3.1 Hội tụ L1− yếu, hội tụ ổn định 46

3.2 Tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm 53

Lời cảm ơn

Với tình cảm chân thành, em xin được bày tỏ lòng biết ơn đến trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học cùng các quí thầy cô giáo đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, chủ nhiệm bộ môn Xác suất và thống kê toán học, Khoa Toán Cơ -Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, người Thầy đã trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn khoa học cho em

Xin được cảm ơn lãnh đạo chỉ huy Học viện Phòng Không - Không Quân, lãnh đạo chỉ huy Phòng Quản Lý học viên Đoàn 871 Tổng cục chính trị - Bộ Quốc Phòng, cùng các đồng nghiệp, người thân trong gia đình, bạn bè thân thiết đã động viên giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm

vụ học tập nâng cao trình độ chuyên môn của mình

Dù tác giả đã rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mong nhận được sự góp ý, chỉ dẫn của quí thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp và những người quan tâm tới đề tài nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 15 tháng 12 năm 2018

Học viên

Dương Thị Ánh Tuyết

Danh sách ký hiệu

||.||p Chuẩn của không gian Banach Lp (X n ) Dãy các biến ngẫu nhiên

↓ Giảm h.c.c Hầu chắc chắn

d

→ Hội tụ theo phân phối

p

→ Hội tụ theo xác suất (Ω, F , P ) Không gian xác suất

L p Tập các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X|p < ∞

Lp Tập hợp các biến ngẫu nhiên X sao cho E|X| p < ∞

↑ Tăng

Lời nói đầu

Cái tên martingale đã được Ville đưa vào trong ngôn ngữ xác suất hiện đại (1939) và chủ đề này được làm nổi bật qua các công trình của Doob trong những năm 1940 và đầu những năm 1950 Lý thuyết Martingale, giống như lý thuyết xác suất, bắt nguồn từ trò chơi cờ bạc, nay trở thành một loại quá trình ngẫu nhiên có rất nhiều ứng dụng về lý thuyết cũng như thực tiễn, đặc biệt là một công cụ không thể thiếu trong tính toán ngẫu nhiên và toán học trong tài chính

Thật ra, thuật ngữ martingale đã có một lịch sử lâu dài trong trò chơi cờ bạc, khi đó ban đầu nó có nghĩa là một hệ thống để bù đắp tổn thất bằng cách tăng gấp đôi tiền thưởng sau mỗi mất mát Từ điển tiếng Anh của Oxford bắt đầu sử dụng thuật ngữ này từ năm 1815 Khái niệm hiện đại ít nhất có trong một tài liệu tham khảo trong Bachelier (1900)

Các nghiên cứu về lý thuyết martingale bởi Bernstein (1927, 1939, 1940, 1941) và Lévy (1935a, b, 1937) có trước khi sử dụng tên martingale Các tác giả này giới thiệu martingale dưới dạng các tổng liên tiếp để tổng quát hoá các kết quả giới hạn cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, công trình tiếp theo của Doob, bao gồm cả việc khám phá ra định lý hội tụ martingale, đã hoàn toàn thay đổi hướng của đề tài Cuốn sách của ông (1953) vẫn là một ảnh hưởng lớn trong gần ba thập niên Chỉ mới gần đây có sự hồi sinh quan tâm thực sự và các hoạt động trong lĩnh vực lý thuyết giới hạn martingale mà đề cập tới việc tổng quát hóa các kết quả cho tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập

Lý thuyết xác suất nói chung, lý thuyết martingale nói riêng đóng góp một vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển chung của toán học hiện đại Nó

chính là một nghành toán học lớn, vừa có tầm lý thuyết ở trình độ cao, đáp ứng đầy đủ các tiêu chuẩn chặt chẽ chính xác của toán học thuần túy đồng thời lại có phạm vi ứng dụng hết sức rộng rãi trong khoa học tự nhiên, khoa học xã hội, công nghệ, kinh tế, y sinh học

Với tính ứng dụng cao như vậy, martingale là một mảng rất đáng được quan tâm nghiên cứu và phát triển sâu rộng hơn nữa Tuy nhiên, với vốn kiến thức hết sức hạn hẹp của mình về chuyên nghành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học, tác giả cũng đã rất cố gắng học hỏi, tìm tòi, cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo vô cùng tận tình từ Thầy hướng dẫn, tác giả xin được trình bày kết quả tìm hiểu được của mình thông qua luận văn mang tên: Một số định lý giới hạn trong lý thuyết Martingale Nội dung chính của luận văn được chia làm 3 chương

Cụ thể:

Chương 1: Martingale và các bất đẳng thức cơ bản

Nội dung chương 1 của luận văn không chọn trình bày lại một số kiến thức cơ bản cũng như một số các kết qua đã được học tập, nghiên cứu trong các môn học trong chương trình đào tạo thạc sĩ Toán học chuyên nghành Xác suất và thống kê toán học mà tập trung chủ yếu trình bày một số kiến thức cơ bản nhất trong lý thuyết Martingale Đó là định nghĩa martingale, một số ví dụ, tính chất của nó và các bất đẳng thức cơ bản liên quan như: Bất đẳng thức Doob, Bất đẳng thức cắt ngang, Bất đẳng thức Burkholder, Bất đẳng thức Rosenthal

Tiếp theo, nội dung chương 2: Luật só lớn và các định lý hội tụ

Bố cục chương này được trình bày chi tiết như sau:

2.1 Định lý hội tụ Martingale

2.2 Luật số lớn

2.2.1 Luật số lớn 2.2.2 Luật mạnh số lớn 2.3 Hội tụ trong Lp

Đó cũng chính là những nội dung trọng tâm của chương này.Ở đây, hầu hết các chứng minh của các định lý hôi tụ Martingale dựa trên một số mở rộng

của các bất đẳng thức, và các bất đẳng thức thiết lập ở đây sẽ được sử dụng nhiều lần trong phần sau Trong chương này tác giả áp dụng chúng để chứng minh luật số lớn và chỉ trình bày các công cụ cơ bản

Sau cùng chương 3: Định lý giới hạn trung tâm

Trọng tâm chương 3 giới thiệu định lý giới hạn trung tâm và tốc độ hội tụ trong định lý giới hạn trung tâm

Bản chất martingale cũng là một dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn một số điều kiện đặc biệt Lý thuyết về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên, luật số lớn, luật mạnh số lớn, định lý giới hạn trung tâm có lẽ đã ko còn quá xa lạ trong

lý thuyết xác suất Và hãy cùng tìm hiểu chút khác biệt lý thú của chúng qua ngôn ngữ mới, ngôn ngữ martingale

Chương 1

Martingale và các bất đẳng thức cơ bản

1.1 Martingale và các tính chất

1.1.1 Định nghĩa Martingale và các ví dụ

Giả sử (Ω,F, P ) là không gian xác suất, G ⊂ F là σ−trường con của F Một biến ngẫu nhiên X được gọi là tương thích với G nếu X là G−đo được Trong trường hợp ấy, ta viết X ∈ G

Một dãy F n, n = 1, 2, được gọi là một dãy tăng các σ− trường nếu

F n ⊂ F n+1 ⊂ F, ∀n

1 Cho dãy tăng các σ− trường F n Dãy các biến ngẫu nhiên (Xn) được gọi

là tương thích với dãy F n nếu với mỗi n, Xn ∈F n

2 Dãy (Xn) được gọi là thuộc Lp và ta viết (Xn) ∈ Lp nếu với mọi n thì E|Xn|p < ∞

3 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một martingale đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn|F m) = Xm

Kí hiệu: martingale {Xn,F n}

4 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một supermartingale (martingale trên) đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn|F m) 6 Xm

5 Dãy Xn ∈ L1 được gọi là một submartingale (martingale dưới) đối với dãy F n nếu nó tương thích với dãy F n và với mọi m < n thì

E(Xn|F m) > Xm Chú ý:

1 Điều kiện

E(Xn|F m) = Xm Tương đương với

E(Xn+1|F n) = Xn Thật vậy, do F n ⊂ F n+1 nên theo tính chất của kỳ vọng có điều kiện thì

E(Xn+2|F n) = E(E(Xn+2|F n+1)|F n)

= E(Xn+1|F n) = Xn Tiếp tục như vậy, bằng quy nạp ta có với mọi k thì

E(Xn+k|F n) = Xn Tương tự cho các điều kiện

E(Xn|F m) 6 Xm và E(Xn|F m) > Xm

2 Dãy(Xn) là martingale trên đối với dãy F n khi và chỉ khi −Xn là martin-gale dưới đối với dãy F n

3 Giả sử σ(X)n là trường bé nhất sinh bởi {Xm, m 6 n} Hiển nhiên dãy (σ(X)n) là một dãy tăng và ta gọi nó là σ− trường tự nhiên sinh bởi dãy (Xn) Hiển nhiên dãy (Xn) luôn tương thích với dãy (σ(X)n) Ta nói (Xn)

là một martingale nếu nó là một martingale đối với σ−trường tự nhiên

Ví dụ 1.1.1 Cho dãy σ−trường tăng F n và giả sử X là một biến ngẫu nhiên

X ∈ L1 Đặt Xn = E(X|F n) Khi đó, với m < n ta có do tính chất của kỳ vọng có điều kiện

E(Xn|F m) = E(E(X|F n)|F m)

= E(X|F m) = Xm Vậy (Xn)là một martingale đối với F n

Ví dụ 1.1.2 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với EYn = 0 với mọi n Giả sử F n =B(Y1, , Yn) Khi đó, các tổng riêng

Sn = Y1+ Y2 + · · · + Yn Lập thành martingale đối với F n Thật vậy do Sn ⊂ F n và Yn+1 độc lập với

F n nên ta có

E(Sn+1|F n) = E(Sn+ Yn+1|F n)

= Sn+ E(Yn+1|F n) = Sn + E(Yn+1)

= Sn

Ví dụ 1.1.3 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EYn = 1 với mọi

n Giả sử F n = B(Y1, , Yn) Khi đó, các tích riêng

Un = Y1Y2 Yn lập thành martingale đối với F n Thật vậy do Un ∈ F n và Un+1 độc lập với

F n, nên ta có

E(Un+1|F n) = E(UnYn+1|F n)

= UnE(Yn+1|F n)

= UnE(Yn+1)

= Un

Ví dụ 1.1.4 Cho (Yn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có kỳ vọng 0, EYn = 0 với mọi n Gọi F n là σ đại số sinh bởi (Y1, , Yn) Giả sử (Vn) là dãy cácbiến ngẫu nhiên sao cho với mỗi n > 1 thì Vn ∈ F n−1 Xét dãy (Xn) như sau

Khi đó (Xn) là một martingale đối với dãy (F n) Thật vậy, vì Vn+1 ∈F n, EYn+1 =

0 nên Xn ∈ F n và

E(Xn+1|F n) = E(Xn|F n) + E(Vn+1Yn+1|F n)

= Xn+ Vn+1EYn+1

= Xn 1.1.2 Các tính chất

Định lý 1.1.5 Cho {Zn,F n, n ≥ 1} là một martingale dưới L1-bị chặn Khi

đó tồn tại một biến ngẫu nhiên Z sao cho limn→∞Zn = Z hầu chắc chắn và E|Z| ≤ lim infn→∞ < ∞ Nếu martingale khả tích đều, thì Zn hội tụ tới Z trong L1, và nếu {Zn,F n} là một martingale L2-bị chặn, thì Zn hội tụ tới Z trong L2

Định lý 1.1.6 Cho (Xn) là martingale đối với F n Cho Φ là hàm lồi sao cho Φ(Xn) ∈ L1 Khi đó (Φ(Xn)) là một martingale dưới đối với F n

Chứng minh Theo bất đẳng thức Jensen ta có với m < n

Φ(Xm) = Φ(E(Xn|F m)) 6 E(Φ(Xn)|F m)

Nói riêng |Xn| là martingale dưới và nếu Xn ∈ Lp, p > 1 thì |X|p là martin-gale dưới

Định lý 1.1.7

1 Cho {Xn,F n} là một martingale Khi đó, kỳ vọng EXn là một hằng số (không phụ thuộc n)

2 Cho {Xn,F n} là một martingale dưới Khi đó, dãy kỳ vọng an = EXn là dãy không giảm theo n

3 Cho {Xn,F n} là một martingale và Xn ∈ Lp, p > 1 Khi đó, dãy un = E|Xn|p

là dãy không giảm theo n

Thật vậy, với m 6 n ta có

EXm = E((EXn|F m)) = EXn nếu Xn là một martingale Nếu Xn là một martingale dưới thì

EXm 6 E[(EXn|F m)] = EXn

1.2 Các bất đẳng thức cơ bản

1.2.1 Một số bất đẳng thức cơ bản

Có nhiều bất đẳng thức liên quan tới martingale và martingale trên, dưới Dưới đây sẽ trình bày một vài bất đẳng thức cơ bản nhất Các bất dẳng thức này sẽ được sử dụng để thiết lập các định lý hội tụ và luật số lớn cho martingale Ta bắt đầu bằng một kết quả tổng quát hóa và chặt của bất đẳng thức Kolmogorov

Định lý 1.2.1 Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale dưới, thì với mỗi số thực λ ta có:

λP

 max i6n Si > λ



≤ E



SnI(max i≤n Si> λ)

 Chứng minh Đặt

E =

 max i≤n Si > λ



=

n [

i=1



Si > λ; max

1≤j<iSj ≤ λ



=

n [

i=1

Ei Các sự kiện Ei là F i-đo được và rời nhau Khi đó

λP (E) ≤X

i E[SiI(Ei)]

i E[E(Sn | F i)I(Ei)]

i E[E(SnI(Ei) | F i)]

i E[ESnI(Ei)]

= E[SnI(E)]

Nếu {Si, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì {|Si|p, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.1 cho martingale dưới này, ta thu được

Hệ quả 1.2.2 Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với mỗi p ≥ 1 và

λ > 0,

λpP

 max i≤n |Si| > λ



≤ E|Sn|p Định lý 1.2.1 có một ứng dụng theo một hướng khác, mà kéo theo kết quả sau

Định lý 1.2.3 (Bất đẳng thức Doob) Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale, thì với p > 1,

kSnkp ≤ max

i≤n |Si|

p

≤ qkSnkp, trong đó p−1+ q−1 = 1, ||Sn||p = (E|Sn|p)1/p, n > 1 là chuẩn Lp của Sn ∈ Lp Chứng minh Vế trái của bất đẳng thức là hiển nhiên Để chứng minh vế phải của bất đẳng thức ta chú ý rằng, theo Định lý 1.2.1 và bất đẳng thức Holder

ta được

E

 max i≤n |Si|p



= p

Z ∞

0

xp−1P

 max i≤n |Si| > x

 dx

≤ p

Z ∞

0

xp−2E



|Sn|I

 max i≤n |Si| > x



dx

= pE

"

|Sn|

Z maxi≤n|S i |

0

xp−2dx

#

= qE



|Sn|

 max i≤n |Si|p−1



≤ q(E|Sn|p

)1/p

 E

 max i≤n |Si|p

1/q

Nếu −∞ < a < b < ∞, kí hiệu v = v(a, b, n) là số lần vượt qua từ một giá trị ≤ a tới một giá trị > b của dãy {Si, 1 6 i 6 n}, khi đó v được gọi là số lần cắt đoạn [a, b] (từ dưới lên trên) bởi dãy {Si}

Định lý 1.2.4 (Bất đẳng thức cắt ngang) Ký hiệu v là số lần cắt đoạn compact [a, b] bởi martingale dưới {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} Khi đó

(b − a)E(v) ≤ E(Sn − a)+− E(S1− a)+ (1.1) Chứng minh Do {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là martingale dưới, nên {(Si − a)+ = max(Si − a, 0),F i, 1 ≤ i ≤ n}, và số lần cắt đoạn [a, b] bởi dãy {Si} bằng số lần cắt đoạn [0, b − a] bởi {(Si − a)+} Cho nên ta chỉ cần chứng minh rằng với martingale dưới không âm {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} số lần cắt v trên đoạn [0, b] thỏa mãn

Đặt τ0 = 1, τ1 bằng giá trị j nhỏ nhất sao cho Sj = 0, τ2i bằng giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−1 < j ≤ n sao cho Sj ≥ b (i ≥ 1), và τ2i−1 bằng giá trị j nhỏ nhất trong khoảng τ2i−2 < j ≤ n sao cho Sj = 0 (i ≥ 2) Ký hiệu l là giá trị i lớn nhất sao cho τi xác định đúng (1 ≤ l ≤ n), và đật τi = n với i > l Khi đó τn = n, và

Sn− S1 =

n−1 X

t=0

(Sτi+1 − Sτi) = X

i chẵn

i lẻ

Giả sử rằng i lẻ Nếu i > l thì

Sτ i+1 ≥ b > 0 = Sτ i; nếu i = l thì

Sτi+1 = Sn ≥ 0 = Sτi;

và nếu i > l thì

Sτ i+1 = Sn = Sτ i Cho nên

X

i lẻ

(Sτ i+1 − Sτ i) ≥ X

i lẻ i<l (Sτ i+1 − Sτ i) ≥ [l/2]b = vb (1.3)

([l/2] ký hiệu phần nguyên của l/2.) Biến ngẫu nhiên τi, 1 ≤ i ≤ n, tạo thành một dãy không giảm các điểm dừng đối với σ-trườngF i, và do vậy {Sτi,F τ i, 1 ≤

i ≤ n} là một martingale dưới Suy ra rằng mỗi E(Sτi+1− Sτi) ≥ 0, và vì vậy

i chẵn

(Sτi+1− Sτi)i ≥ 0

Kết hợp với (1.3) ta suy ra đẳng thức (1.2)

Ta áp dụng Định lý 1.2.4 để thu được một kết quả thay thế cho Định lý 1.2.1

Định lý 1.2.5 Nếu {Si,F i, 1 ≤ i ≤ n} là một martingale có kỳ vọng 0, thì với mỗi λ > 0,

λP

 max i≤n |Si| > 2λ



≤ λP (|Sn| > λ) + E[(|Sn| − 2λ)I(|Sn| ≥ 2λ)]

Chứng minh Đặt En = {mini≤nSi ≤ −2λ} và S0 = 0, ký hiệu F 0 là σ-trường thông thường Do E(S1) = 0, dãy mở rộng {Si,F i, 0 ≤ i ≤ n} là một martingale Ký hiệu v là số vượt qua đoạn [−2λ, −λ] bởi {Si, 0 ≤ i ≤ n} Từ Định lý 1.2.4 ta có

λE(v) ≤ E(Sn + 2λ)+− E(S0+ 2λ)−

= E(Sn+ 2λ)+− 2λ

Bây giờ,

P (En) = P (En; Sn ≥ −λ) + P (En; Sn < −λ)

≤ P (v > 0) + P (Sm < −λ)

≤ E(v) + P (Sn < −λ)

Cho nên

λP (En) ≤ E(Sn + 2λ)+− 2λ + λP (Sn < −λ)

Bằng cách xét số lần cắt đoạn [−2λ, −λ] bởi {Si, 0 ≤ i ≤ n} ta suy ra

λP

 max i≤n Si > 2λ



≤ E(−Sn + 2λ)+− 2λ + λP (Sn > λ)

Cộng hai bất đẳng thức cuối cùng lại ta thu được bất đẳng thức đầu tiên trong (1.4), và bất đẳng thức thứ hai thu được sau một số thao tác nhỏ