Luận văn nghiên cứu didactic việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7 trong môi trường tích hợp cabri ii plus

• Nhận thức được tầm quan trọng và sự cần thiết của suy luận, chứng minh trong Toán học • Hình thành và phát triển kỹ năng chứng minh • Xây dựng kỹ năng tìm hiểu mối liên hệ giữa các địn

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

MỤC LỤC 4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5

1 Ghi nhận ban đầu: 6

2 Câu hỏi xuất phát: 7

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu: 7

3.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức 8

3.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức: 8

3.3 Tổ chức toán học 8

3.4 Đồ án didactic 9

3.5 Hợp đồng Didactic 9

4 Câu hỏi nghiên cứu: 10

5 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu: 10

6 Tổ chức luận văn: 11

Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC 12

1.1 Khái niệm dẫn nhập trong luận văn: 12

1.2 Tìm hiểu bước đầu về khái niệm suy luận trong toán học: 12

1.3 Tìm hiểu về việc dạy học Định lý và Chứng minh: 19

Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP CHỨNG MINH HÌNH HỌC” 24

2.1 Tóm tắt một số kết quả của các luận văn khóa trước: 24

2.2 Phân tích chương trình và phân tích quan hệ thể chế với đối tượng “dạy học định lý” liên quan đến việc dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7: 32

Chương 3: THỰC NGHIỆM 91

3.1 Mục đích thực nghiệm: 91

3.2 Đối tượng và thời gian thực nghiệm: 91

3.3 Chuẩn bị kiến thức cho thực nghiệm: 91

3.4 Nội dung thực nghiệm: 91

3.5 Phân tích tiên nghiệm: 92

3.5.1 Biến didactic: 92

3.5.2 Các chiến lược và cái có thể quan sát: 93

3.6 Phân tích hậu nghiệm: 97

Kết luận: 99

PHỤ LỤC 102

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK Sách giáo khoa SBT Sách bài tập SGV Sách giáo viên

GV Giáo viên

HS Học sinh

CT Chương trình THCS Trung học cơ sở

CL Chiến lược

MỞ ĐẦU

1 Ghi nhận ban đầu:

• Ở bậc tiểu học và lớp 6, học sinh chỉ tiếp cận với hình học mang tính trực quan (gọi tắt là hình học trực quan):

 Tập dùng các dụng cụ như thước kẻ, êke, thước đo độ, compa,…

 Làm việc trên “hình vẽ”: dựa trên hình vẽ và các thao tác đo đạc, tính toán,…

để phát hiện và kiểm chứng lại các tính chất của một hình cũng như nhận dạng một hình hình học dạng tổng thể

• Ở lớp 7, hình học mang tính suy diễn (gọi tắt là hình học suy diễn) bắt đầu được đưa vào:

 Phải thông qua suy luận và chứng minh mới đưa ra các nhận xét về tính chất của hình

 Tiếp cận “hình”: hình chỉ mang tính đại diện cho một lớp các hình, đồng thời

là phương tiện trực giác giúp tạo hướng đi trong quá trình chứng minh hình học Vậy đã có sự thay đổi cơ bản khi chuyển từ hình học bậc tiểu học và lớp 6 sang hình học lớp 7 Liệu học sinh có nhận thấy nhu cầu và vai trò của hình học suy diễn không?

• Nhận thức được khó khăn của học sinh, sách giáo khoa và sách bài tập Toán lớp 7 (2001) đã xây dựng các hoạt động thể hiện sự quan tâm đến bước chuyển tiếp trên

Cụ thể có khá nhiều hoạt động được sách giáo khoa đưa vào theo tiến trình: Đo đạc, quan sát → Dự đoán → Chứng minh Tuy nhiên pha dự đoán với vai trò kết nối còn các hạn chế sau:

 Thực hiện trên một hình

 Sau khi thực nghiệm, dự đoán dễ dàng được đưa ra và được khẳng định

Do đó, không tạo sự nghi ngờ ở học sinh, tức là không tạo được nhu cầu “hợp thức hóa bằng suy luận”

• Thể chế mong đợi như vậy, nhưng trên thực tế, liệu giáo viên đang giảng dạy Toán lớp 7 có quan tâm đến vấn đề chuyển tiếp trên hay không? Có quan tâm đến việc phải xây dựng một tình huống nối khớp như thế nào hay không?

• Trong thời đại công nghệ thông tin bùng nổ và ngày càng phát triển, các phần mềm

hỗ trợ cho việc dạy và học Toán ngày càng phong phú, thân thiện và hiệu quả, trong đó phải kể đến phần mềm hình học động Cabri II Plus với rất nhiều tiện ích:

 Cabri II Plus tạo ra các hình vẽ, các hình một cách chính xác

 Sự tương tác được với hình cho phép học sinh đưa ra các dự đoán và tìm hướng chứng minh, cũng như mở rộng bài toán gốc

Với tính ưu việt về sự tương tác, phần mềm Cabri II Plus được dùng ra sao để hạn chế phần nào các khó khăn của học sinh khi bắt đầu làm quen hình học suy diễn?

2 Câu hỏi xuất phát:

Từ những ghi nhận ban đầu trên, chúng tôi nhận thấy cần thiết phải trả lời các câu hỏi sau:

Q’1: Sự chuyển tiếp từ hình học trực quan đến hình học suy diễn được trình bày như thế nào trong chương trình Toán hình học lớp 7 hiện hành (SGK, SBT, SGV (2001))? Cách trình bày này tác động như thế nào đến học sinh khi bắt đầu làm quen với hình học suy diễn?

Q’2: Những hoạt động nối khớp “thực nghiệm và lý thuyết” trong Hình học lớp 7 (2001) có tạo được hiệu quả thực sự trong việc chuyển tiếp không?

Q’3: Tính tương tác của phần mềm Cabri II Plus có lợi ích gì? Đặc tính đó có tác động như thế nào trong việc dẫn nhập chứng minh hình học ở lớp 7?

Q’4: So với môi trường truyền thống, việc dẫn dắt học sinh vào bài toán suy luận sẽ có những thay đổi như thế nào khi có sự kết hợp với môi trường Cabri II Plus?

Q’5: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học”, đảm bảo được sự nối khớp giữa hình học trực quan và hình học suy diễn đòi hỏi những yêu cầu nào? Với sự hỗ trợ của Cabri II Plus, có thể xây dựng được tình huống nào như vậy không?

3 Phạm vi lý thuyết tham chiếu:

Nghiên cứu của chúng tôi được đặt trong phạm vi lý thuyết của Didactic Toán, cụ thể:

• Lý thuyết nhân chủng học

• Đồ án didactic

• Hợp đồng didactic

Chúng tôi chọn Lý thuyết nhân chủng học làm cơ sở để tiến hành nghiên cứu mối quan hệ

thể chế, mối quan hệ cá nhân với đối tượng được chọn Đồng thời tìm hiểu các tổ chức toán học nào có thể được khai thác thêm bằng phần mềm Cabri II Plus

Chúng tôi quan tâm đến:

Đối tượng: liên quan đến sự chuyển tiếp “hình học trực quan – hình học suy diễn”

Thể chế: dạy học Toán hình học lớp 7 hiện hành

Đồ án didactic cho phép chúng tôi xây dựng một tiểu đồ án didactic, nhằm mục đích trả lời

câu hỏi Q’5 và giúp học sinh tiếp cận đối tượng mới trong môi trường có sự hỗ trợ của Cabri II Plus

Chúng tôi trình bày tóm tắt những khái niệm đó và cố gắng làm rõ tính thỏa đáng của sự lựa chọn phạm vi lý thuyết của mình

3.1 Quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức

Một đối tượng là một cái gì đó tồn tại, ít nhất đối với một cá nhân Quan hệ cá nhân của một cá nhân X đối với một đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O), là tập hợp những tác động qua lại mà X có đối với O R(X,O) cho biết X nghĩ gì về O, X hiểu O như thế nào, thao tác O ra sao

Đối tượng O trong nghiên cứu của chúng tôi là “dẫn nhập chứng minh hình học”

3.2 Quan hệ thể chế đối với một đối tượng tri thức:

Một cá nhân không thể tồn tại lơ lửng ở đâu đó mà luôn phải ở trong ít nhất trong một thể chế Vì vậy, việc thiết lập hay biến đổi quan hệ R(X,O) phải được đặt trong thể chế I nào

đó mà có sự tồn tại của X

Kí hiệu R(I,O) để chỉ tập hợp các ràng buộc mà thể chế I có với tri thức O

Trong một thể chế I, quan hệ R(X,O) hình thành hay thay đổi dưới các ràng buộc của

R(I,O) Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là: Thể chế dạy học theo chương trình hiện hành (áp dụng trong năm học 2011-2012)

Để làm rõ mối quan hệ R(I,O) và R(X,O) ta phải nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O Hơn nữa, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép ta hình dung một số yếu tố của quan hệ cá nhân của chủ thể X tồn tại trong O, tức là quan hệ các nhân học sinh duy trì với O trong thể chế I

Vậy thế nào là “tổ chức toán học”?

3.3 Tổ chức toán học

Hoạt động toán học là một bộ phận của hoạt động xã hội Do đó cũng cần thiết xây dựng mô hình cho phép mô tả và nghiên cứu thực tế đó Chevallard (1998) đã đưa ra khái niệm praxeologie Mỗi praxeologie là một bộ gồm 4 thành phần [T, , ,τ θ Θ], trong đó T là

một kiểu nhiệm vụ, τ là kĩ thuật cho phép giải quyết T, θ là công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ , Θ là lý thuyết giải thích cho θ, Θ còn gọi là công nghệ của công nghệ θ

3.4 Đồ án didactic

Theo Artigue M (1988) và Chevallard Y (1982), đồ án didactic là một tình huống dạy học được xây dựng bởi nhà nghiên cứu, là một hình thức công việc didactic tựa như công việc của người kỹ sư: nó dựa trên kiến thức khoa học thuộc lĩnh vực của mình để làm việc trên các đối tượng phức tạp hơn nhiều so với các đối tượng được sàng lọc của khoa học

Đồ án didactic cho phép thực hiện:

- Một hoạt động trên hệ thống giảng dạy, dựa trên nghiên cứu didactic trước đó

- Một kiểm chứng về những xây dựng lý thuyết được thực hiện bằng việc nghiên cứu, bằng việc thực hiện chúng trong một hệ thống giảng dạy

Khái niệm hợp đồng didactic cho phép ta “giải mã” các ứng xử của giáo viên và học sinh, tìm ra ý nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách

rõ ràng và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học

Theo A.Bessot và C.Comiti (2000), để thấy được hiệu ứng của các hợp động

didactic, người ta có thể tiến hành như sau:

- Tạo ra một sự biến loạn trong hệ thống giảng dạy, sao cho có thể đặt những

thành viên chủ chốt (giáo viên, học sinh) trong một tình huống khác lạ - được gọi là tình huống phá vỡ hợp đồng

- Phân tích các thành phần của hệ thống giảng dạy đang tồn tại, bằng cách:

o Nghiên cứu câu trả lời của học sinh trong khi học

o Phân tích các đánh giá của học sinh trong việc sử dụng tri thức

o Phân tích những bài tập được giải hoặc được ưu tiên hơn trong các sách giáo khoa

Đặc biệt, ta có thể nhận ra một số yếu tố của hợp đồng didactic đặc thù cho tri thức bằng cách nghiên cứu những tiêu chí hợp thức hóa việc sử dụng tri thức, bởi vì việc

sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức, bởi vì việc sử dụng đó không chỉ được quy định bởi các văn bản hay bởi định nghĩa của tri thức mà còn phụ thuộc vào tình huống vận dụng tri thức, vào những ước định được hình thành (trên cơ sở mục tiêu didactic) trong quá trình giảng dạy

Việc nghiên cứu các quy tắc của hợp đồng didactic là cần thiết để chuẩn bị cho tương lai, giáo viên phải xem xét đến quá khứ mà hợp đồng hiện hành là dạng thể hiện thực

tế của nó Phá vỡ hợp đồng là nguyên tắc chủ đạo để có sự tiến triển mong đợi

4 Câu hỏi nghiên cứu:

Trong khung lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi xuất phát thành các câu hỏi định hướng nghiên cứu như sau:

Q1: Quan hệ thể chế với đối tượng liên quan đến sự chuyển tiếp từ hình học trực quan đến hình học suy diễn có đặc điểm gì? Các tổ chức Toán học nào được trình bày trong chương trình lớp 7 hiện hành?

Q2: Hình trong hình học suy diễn có những thay đổi nào? Chức năng của Cabri II Plus đối với việc dạy học dẫn nhập chứng minh hình học là gì? Những kiểu nhiệm vụ nào sẽ được khai thác thêm trong môi trường Cabri II Plus, khi đó sẽ thêm những kỹ thuật và công nghệ mới nào?

Q3: Một tình huống dạy học “dẫn nhập chứng minh hình học” cần đạt những yêu cầu gì?

Có thể xây dựng được tình huống như vậy trong môi trường tích hợp Cabri hay không?

5 Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu: tìm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu:

• Phân tích chương trình, phân tích SGK, SBT, SGV Toán lớp 7 (2001): phân tích quan hệ thể chế, tìm các tổ chức Toán học liên quan đến hình học trực quan–hình học suy diễn và sự chuyển tiếp Từ đó hình thành các giả thuyết và hợp đồng (nếu có)

• Tìm hiểu Cabri II Plus: cách thao tác thực hiện, đặc điểm nổi bật của Cabri, tìm và phân tích các kiểu nhiệm vụ có thể khai thác khi dùng kết hợp Cabri Từ đó thiết kế một tình huống dẫn nhập chứng minh hình học

• Thực nghiệm:

 Thực nghiệm 1: kiểm chứng giả thuyết và các hợp đồng được đưa ra

 Thực nghiệm 2: dùng chức năng tương tác của Cabri để điều chỉnh mối quan

hệ cá nhân của học sinh và một tính chất

6 Tổ chức luận văn:

Cấu trúc của luận văn gồm phần mở đầu và 3 chương:

Phần mở đầu, gồm: những ghi nhận ban đầu, các câu hỏi xuất phát, phạm vi lý thuyết tham chiếu, câu hỏi nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn

Chương 1 nhằm tìm hiểu các khái niệm, các con đường suy luận, chứng minh; đồng thời tìm hiểu về hình hình vẽ và hình hình học Từ đó, để nhận thấy chương trình dạy học lớp 7 tiếp cận chứng minh như thế nào

Chương 2 nhằm trả lời cho Q1, Q2 Qua đó, chúng tôi xây dựng các quy tắc hợp đồng và giả thuyết nghiên cứu

Chương 3 nhằm trả lời cho Q3

Chương 1: PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM SUY LUẬN, CHỨNG MINH Ở CẤP

ĐỘ TRI THỨC BÁC HỌC 1.1 Khái niệm dẫn nhập trong luận văn:

1.1.1 Dẫn nhập chứng minh hình học là gì?

Theo chúng tôi, đó là hoạt động có vai trò hình thành cho học sinh các kỹ năng: tự khám phá, tự dự đoán, tự tìm hướng chứng minh và tự đánh giá kết quả

1.1.2 Nếu kết hợp Cabri thì vai trò dẫn nhập thể hiện như thế nào?

• Củng cố niềm tin cho học sinh ở những tính chất được SGK thừa nhận (đo đạc  dự đoán  không chứng minh, có những tính chất được đưa vào không trải qua một pha nào)

 Có thể dùng Cabri xây dựng tình huống dạy học đủ các pha (tạo cơ hội rèn luyện các kỹ năng trên)

• Tạo tình huống mà pha dự đoán gây nghi ngờ (tức là cho nhiều kết quả) để

hs thấy được vai trò của suy luận (hai hình vẽ trên giấy của cùng một học sinh cho hai kết quả khác nhau, hoặc hình vẽ của hai học sinh cho hai kết quả khác nhau  dùng Cabri để cho hs thao tác nhiều lần vẫn cho một kết quả  tạo nghi ngờ về hình vẽ của hs: đo đạc là chưa chính xác nên phải tìm cách lập luận và tạo hướng để chứng minh: một kết quả lặp đi lặp lại khi hình vẽ được thay đổi, đó chính là kết quả cần chứng minh)

• Tạo ra các gợi ý trong chứng minh (hình phẳng đảm bảo đầy đủ tính chất nếu hình vẽ chính xác, quan sát hình cảm nhận được một kết quả nào đó cần cho kết quả sau cùng, cứ như vậy theo một tiến trình quy nạp sẽ tìm được cách chứng minh, ở lớp 7 các bước lập luận thường ngắn)

1.2 Tìm hiểu bước đầu về khái niệm suy luận trong toán học:

Dựa theo nghiên cứu của tác giả trong [22], chúng tôi tóm tắt được các kết quả sau:

Ví dụ:

Tiền đề:

Nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó là tam giác đều

Trong mỗi tam giác đều, mỗi góc bằng 600

ABC là tam giác có 3 cạnh bằng nhau

Kết luận:

60

A= = =B C

1.2.1.2 Quy tắc suy luận:

a) Suy luận không hợp logic:

Suy luận không hợp logic là suy luận theo một quy tắc nào đó nhưng ta có thể chỉ ra được trường hợp các tiền đề đều đúng mà kết luận lại sai

Ví dụ:

Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau

Tiền đề 2: Hai góc đã cho là bằng nhau

Kết luận: Hai góc đó đối đỉnh

Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh”

Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau”

Khi đó, suy luận theo cấu trúc: Tiền đề 1: P⇒ Q

Tiền đề 2: Q Kết luận: P

Suy luận này theo quy tắc P Q Q,

P

⇒

Xét P sai, Q đúng thì P⇒ Q đúng, ta có hai tiền đề P ⇒ và Q Q đúng nhưng

kết luận P sai Do đó đây là suy luận không hợp logic

b) Suy luận hợp logic:

Suy luận hợp logic là suy luận theo một quy tắc nào đó, nếu các tiền đề đều đúng thì kết luận cũng phải đúng Khi đó kết luận được gọi là kết luận logic của các tiền đề

Ví dụ:

Tiền đề 1: Nếu hai góc là đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau

Tiền đề 2: Hai góc đã cho là đối đỉnh

Kết luận: Hai góc đó bằng nhau

Gọi P là mệnh đề “hai góc là đối đỉnh”

Q là mệnh đề “hai góc bằng nhau”

Khi đó, suy luận theo cấu trúc: Tiền đề 1: P⇒ Q

Tiền đề 2: P Kết luận: Q

Suy luận này theo quy tắc P Q P,

Q

⇒

Ta có P⇒ Q đúng mà P đúng nên Q đúng Vậy kết luận đúng Do đó đây là

suy luận hợp logic

Khi đó, ta nói Q là kết luận logic của tiền đề P ⇒ và P Q

1.2.1.3 Suy luận diễn dịch (suy diễn):

Mọi tam giác cân đều có hai góc ở đáy bằng nhau

Dạng x∀ , F x ( ) với x là tam giác cân

MNP là tam giác cân tại M

Kết luận:

MNP có  N = P dạng F(∆MNP)

Suy luận này là suy luận diễn dịch với quy tắc tổng quát là:

Tiền đề: ∀x F x, ( )

Kết luận: F a ( ) với a là một giá trị xác định của x

b) Quan hệ đúng sai giữa tiền đề và kết luận logic:

Ví dụ:

Xét quy tắc: P Q P,

Q

⇒Khi đó ta có mệnh đề: (P⇒Q)∧P ⇒ luôn đúng Q

Thật vậy,

Nếu P⇒ đúng và P đúng thì Q (P⇒Q)∧ đúng P

nên Q đúng

Nếu P⇒ sai hoặc P sai thì Q (P⇒Q)∧ sai nên P (P⇒Q)∧P ⇒ đúng Q

Giả sử C là kết luận logic của các mệnh đề A và B, tức là mệnh đề

Đây là quy tắc suy luận rất phổ biến Thường người ta lược bớt một số tiền

đề trong suy luận

Ví dụ:

P⇒Q: nếu một tam giác là tam giác cân thì tam giác đó có hai góc ở đáy bằng nhau

P: tam giác ABC là tam giác cân tại A

Q: tam giác ABC có B= C

• Quy tắc kết luận ngược:

P⇒Q: nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó có ba góc đều bằng 600

Q : tam giác ABC có góc  0

Q⇒R: nếu một tam giác là tam giác đều thì tam giác đó cân và có 1 góc 600

P⇒ R: nếu tam giác có 3 cạnh bằng nhau thì tam giác đó cân và có 1 góc 600

• Phép quy nạp hoàn toàn:

Sơ đồ:

Tiền đề 1: P(n) đúng với n=1

Tiền đề 2: Nếu P(n) đúng với n=k thì P(n) đúng với n=k+1

Kết luận: P(n) đúng với mọi n

Đặc trưng:

Đây là quy tắc suy luận hợp logic

d) Các quy tắc suy luận có các tiền đề dạng S_P:

1.2.1.4 Suy luận nghe có lý:

a) Định nghĩa:

Suy luận nghe có lý là suy luận không theo một quy tắc tổng quát nào Các tiền đề dù đúng thì kết luận được rút ra cũng không chắc đúng Kết luận của suy luận nghe có lý chỉ mang tính dự đoán, giả thiết

b) Phép quy nạp không hoàn toàn:

Tương tự nghĩa là giống nhau

Hai đối tượng gọi là tương tự nếu có nhiều tính chất giống nhau (đường tròn

và mặt cầu); có vai trò giống nhau (đường thẳng và mặt phẳng); …

Tùy theo phương diện tương tự mà người ta quan tâm, sẽ có nhiều kết luận khác nhau được rút ra Các kết luận của phép tương tự chỉ mang tính phỏng đoán

Với phân tích trên, chúng tôi đặt ra câu hỏi: Những kiểu suy luận nào được chương trình lựa chọn giảng dạy cho học sinh lớp 7?

1.2.2 Chứng minh:

1.2.2.1 Chứng minh:

• Giả sử C là kết luận logic của tiền đề A, B; tức là nếu A và B đúng thì C cũng phải đúng Khi đó ta nói C đã được chứng minh

• Chứng minh mệnh đề C phải nêu rõ:

+ C là kết luận logic của các tiển đề

+ Các tiền đề trên phải đúng

Thông thường để chứng minh mệnh đề C ta xuất phát từ 1 mệnh đề đã được thừa nhận hoặc chứng minh tính đúng đắn (định nghĩa, tiên đề, định lý đã biết, ….), dùng một dãy các suy luận để chứng minh các mệnh đề trung gian, sau đó mới chứng minh mệnh đề C

Khi đó, phép chứng minh một mệnh đề là một dãy các mệnh đề (định nghĩa, tiên đề, định lý đã biết, giả thiết, kết luận logic của một số mệnh đề đứng trước mệnh

a) Tia phân giác của một góc chia góc thành hai góc có sđ bằng nhau

b) OM là tia phân giác góc AOB

f) Nên AOM∆ =∆BOM

g) Hai tam giác bằng nhau có các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau

• Bác bỏ mệnh đề P bằng cách: xuất phát từ việc lấy mệnh đề P và các mệnh đề

đã được thừa nhận hoặc chứng minh đúng làm tiền đề, theo các quy trắc suy luận, rút ra kết luận logic Q; Q sai thì P sai

• Sơ đồ bác bỏ P:

P∧ ⇒R Q ⇒ ⇒ Q

(P là mệnh đề cần bác bỏ, R là mệnh đề đúng hoặc giả thiết)

Q sai nên P∧ R sai, mà R đúng Do đó, P sai

Đặc biệt nếu mệnh đề cần bác bỏ có dạng ∀x F x, ( ) thì ta chỉ cần đưa ra một giá trị

a của x sao cho P(a) sai (đưa ra phản ví dụ)

1.2.2.3 Chứng minh phản chứng:

• Chứng minh mệnh đề Q bằng phản chứng là tìm cách bác bỏ Q

Đặc biệt, nếu xuất phát từ Q rút ra kết luận logic sai mà kết luận sai này là phủ định của giả

thiết (sai là do trái với giả thiết) thì trong trường hợp này phép chứng minh bằng phản chứng gọi là phép chứng minh trực tiếp mệnh đề phản đảo của mệnh đề đã cho

Một câu hỏi nữa nảy sinh trong nghiên cứu là: Chứng minh là yêu cầu quan trọng và cần thiết của hình học suy diễn Vậy những hình thức chứng minh nào (hoặc những hình thức nhen nhóm của chứng minh nào) xuất hiện trong chương trình lớp 7? Việc bác bỏ một mệnh

đề sai hay nói cách khác là tìm cách phủ định một mệnh đề có được thể chế quan tâm hay không?

1.3 Tìm hiểu về việc dạy học Định lý và Chứng minh:

Tìm hiểu [23], chúng tôi cũng có được một số ghi nhận sau:

1.3.1 Mục đích của việc dạy học định lý:

• Nhận thức được tầm quan trọng và sự cần thiết của suy luận, chứng minh trong Toán học

• Hình thành và phát triển kỹ năng chứng minh

• Xây dựng kỹ năng tìm hiểu mối liên hệ giữa các định lý và vận dụng vào việc chứng minh

Nhìn chung việc dạy học định lý ở trường trung học phải đảm bảo các yêu cầu trên, tuy nhiên mức độ yêu cầu có sự thay đổi phù hợp với trình độ phát triển của học sinh theo từng lứa tuổi Trong giai đoạn đầu THCS, khi mà khái niệm định lý và chứng minh định lý bắt đầu được đưa vào thì mục đích 1 được chương trình đặc biệt quan tâm, với mong muốn tách rời học sinh khỏi quan điểm chỉ dựa vào thực nghiệm để kết luận Sau giai đoạn chuyển tiếp giữa hình học trực quan và hình học suy diễn thì mục đích 2 và 3 được đặt ra với mức độ cao hơn cùng các bài toán phức tạp hơn

1.3.2 Tiến trình dạy học định lý:

1.3.2.1 Tiến trình Thực nghiệm – Suy luận:

• Tiến trình này dựa trên quan điểm rằng hoạt động thực nghiệm và hoạt động suy luận luôn có mối quan hệ biện chứng với nhau

• Tiến trình này gồm các bước:

B1: Nghiên cứu thực nghiệm

B2: Phỏng đoán

B3: Khẳng định hoặc bác bỏ phỏng đoán (chứng minh)

B4: Phát biểu thành định lý nếu phỏng đoán là đúng

B5: Củng cố và vận dụng định lý

Tiến trình này thể hiện một quá trình hình thành và phát triển của một định lý, trong đó bước 3 đóng vai trò là cầu nối từ hoạt động thực nghiệm ở bước 1, 2 sang hoạt động suy luận ở bước 4, 5 Do đó, với rất nhiều ưu điểm, tiến trình còn tạo được ở học sinh rất nhiều

kỹ năng cần thiết cho việc nghiên cứu khoa học

Yếu tố dẫn nhập được khai thác rất hiệu quả nếu việc dạy học định lý được thực hiện theo tiến trình này, học sinh tiến hành quan sát, thực nghiệm; tự khám phá và đưa ra các dự đoán; tự mò mẫm tính đúng sai của dự đoán; tự tìm tòi phương hướng chứng minh; thể chế hóa, khái quát hóa định lý

Giai đoạn chuyển tiếp rất quan tâm đến việc tạo động cơ chứng minh, tức là việc trả lời câu hỏi: tại sao phải chứng minh, tại sao phải từ bỏ việc khẳng định tính chất của hình thông qua quan sát thực nghiệm Một hướng tạo động cơ được nghĩ đến là dùng hình vẽ tạo ra các hạn chế của việc quan sát, tuy nhiên hướng này khó và hiệu quả không cao Một hướng khác có hiệu quả hơn và khả thi hơn là thực hiện dạy học theo tiến trình Thực nghiệm – Suy luận, khai thác tính độc lập, tìm tòi, sáng tạo của học sinh

1.3.2.2 Tiến trình Bài toán – Định lý:

B1: Giải bài toán

B2: Phát biểu định lý (thể chế hóa)

B3: Củng cố và vận dụng định lý

Không có khâu dự đoán trong tiến trình này, điều này không tạo tính lưỡng lự ở học sinh, nhu cầu chứng minh chưa rõ ràng Tuy nhiên, tiến trình này vẫn có thể đáp ứng được một phần của yêu cầu về dẫn nhập khi học sinh thể chế hóa bài toán thành định lý

1.3.2.3 Tiến trình Suy diễn:

Câu hỏi mà chúng tôi quan tâm: Khi mới cho học sinh lớp 7 làm quen với hình học suy diễn thì tiến trình dạy học định lý nào được sử dụng trong SGK lớp 7 hiện hành? Tiến trình đó bao gồm các hoạt động nào? Việc xây dựng tiến trình đó có tác động tích cực đến việc tiếp thu kiến thức của học sinh không?

1.3.3 Dạy học chứng minh:

• Ở cấp độ khoa học Toán học:

Chứng minh là một phép suy luận để thiết lập sự đúng hay sai của một khẳng định (phán đoán, mệnh đề, định lý)

• Ở cấp độ giảng dạy ở trung học:

Chứng minh là dùng lập luận để suy từ giả thiết ra kết luận

Do cách định nghĩa khái niệm định lý ở hai cấp độ này có chút khác nhau nên khái niệm chứng minh định lý cũng có sự khác nhau đó Tuy nhiên khái niệm chứng minh dù ở cấp độ nào cũng mang những đặc trưng cơ bản sau:

• Chứng minh là dãy các mệnh đề nối với nhau theo vai trò của từng mệnh đề

• Mỗi mệnh đề được tạo ra bằng việc thay thế mệnh đề cũ bằng mệnh đề mới với

“quy tắc thay thế là một mệnh đề chuẩn”

1.3.5 Phương pháp tìm tòi chứng minh:

Chứng minh là hoạt động phức tạp Khó khăn của học sinh thường là không biết bắt đầu

từ đâu, không biết phải dùng những điều kiện vào nào để bắt đầu, do đó việc tìm mệnh đề xuất phát cho chứng minh giữ vai trò quan trọng

Các điều kiện vào

đề, định lý)

Mệnh đề cần chứng minh

Có hai phương pháp cơ bản, đặc thù của hoạt động tìm tòi chứng minh:

• Phương pháp phân tích đi lên:

Cần chứng minh T, ta cần chứng minh T1

Muốn có T1, ta cần chứng minh T2

…

Muốn có Tn-1, ta cần chứng minh Tn

Từ đó trình bày lại bài chứng minh: Tn⇒Tn-1 ⇒T2⇒T1⇒ T

• Phương pháp phân tích đi xuống:

Xuất phát từ điều cần chứng minh T⇒T1⇒T2⇒ ⇒Tn-1⇒Tn

Nếu Tn sai thì kết luận T sai (dùng để bác bỏ dự đoán)

Nếu Tn đúng thì chưa kết luận được, ta tiến hành kiểm tra tính đúng sai của dãy

Quy yêu cầu chứng minh về các yêu cầu tương tự

• Thực hiện các phép thử, dự đoán, tìm lời giải trên một vài trường hợp cụ thể

Chương 2: QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI ĐỐI TƯỢNG “DẪN NHẬP CHỨNG

MINH HÌNH HỌC”

2.1 Tóm tắt một số kết quả của các luận văn khóa trước:

2.1.1 Hình học ở bậc tiểu học – Hình học ghi nhận:

• Hình học ở tiểu học là hình học ghi nhận, không được xây dựng chặt chẽ và hệ

thống Các tính chất, các quy tắc được đưa vào hầu hết là dựa trên quan sát, đo đạc, tính toán trên một hình vẽ cụ thể, cắt ghép một hình tổng quát vể một hình quen thuộc, rồi sau đó khái quát thành tính chất chung của hình Theo Nicolas Balacheff, các tính chất trên được kiểm chứng theo “Thí nghiệm quyết đoán” và “Thí dụ đại diện và thực

nghiệm thầm trong óc” [16, trang 18]

• Tình huống suy luận bắt đầu xuất hiện ở lớp 5 bằng việc xây dựng quy tắc tính diện tích xung quanh và thể tích của hình lập phương Quy tắc này được rút ra qua một bước suy luận đơn giản khi xem hình lập phương là một hình hộp chữ nhật đặc biệt (trước đó học sinh đã biết quy tắc tính tương ứng của hình hộp chữ nhật)

2.1.2 Hình học ở bậc THCS – Hình học suy diễn:

2.1.2.1 Hình học suy diễn chỉ thực sự xuất hiện ở bậc THCS:

• Theo [16], tính chất được tiếp cận theo 3 giai đoạn:

 Giai đoạn 1: Tính chất gắn liền với quan sát thực nghiệm

+ Tất cả các tính chất ở lớp 6 đều được tiếp cận theo cách này [16, trang

47]

+ Hình học 6 được trình bày theo kiểu tiếp cận quy nạp, từ quan sát, thử

nghiệm, đo, vẽ, nêu nhận xét rồi đi dần đến kiến thức mới [7, trang 130]

+ Đây cũng là cách tiếp cận tính chất hình học ở bậc tiểu học Sự tiếp cận này mang tính kế thừa

+ Các kết quả được phát biểu dưới thuật ngữ “Nhận xét”

 Giai đoạn 2: Tính chất gắn liền với suy luận

+ Cách tiếp cận này xuất hiện bắt đầu từ lớp 7 trở về sau Theo đó, tính chất phải gắn với suy luận, các kết quả thực nghiệm, quan sát chỉ mang tính

phỏng đoán Để khẳng định tính chất, học sinh phải suy luận [16, trang

48] Suy luận để có khẳng định đúng và tổng quát… Suy luận nhằm mục

đích chứng minh [11, trang 84]

+ Thuật ngữ “Tính chất” xuất hiện

 Giai đoạn 3: Tính chất gắn liền với chứng minh

+ Từ bài “Định lý” trở về sau, tất cả các tính chất đều được chứng minh dù bằng các hình thức khác nhau (SGK phô bày chứng minh, SGK gợi ý cho học sinh chứng minh, học sinh tự chứng minh, “chúng ta thừa nhận tính

chất sau”, “người ta đã chứng minh được”, … ) [16, trang 49]

• Tài liệu [16] còn nêu ra hai quy trình hợp thức một tính chất hình học ở lớp 7:

 Quy trình suy diễn (Phát biểu định lý – Chứng minh)

 Quy trình thực nghiệm–lý thuyết (Quan sát thực nghiệm – Dự đoán – Phát biểu tính chất – Chứng minh)

2.1.2.2 Quan hệ thể chế với đối tượng “Suy luận và chứng minh”:

• Quan điểm tiên đề, cơ sở cho việc xây dựng Hình học đã bị loại bỏ Mục tiêu chủ yếu của dạy học Toán Hình học ở trường THCS vẫn là rèn luyện khả năng suy luận và chứng minh, tuy nhiên vị trí của suy luận và chứng minh bị thu hẹp ở lớp 6, 7 và mở rộng dần ra từ lớp 7 đến lớp 9

• Quan điểm thực nghiệm-suy luận bắt đầu được đưa vào chính thức, đặc biệt là việc xuất hiện pha dự đoán đóng vai trò quan trọng trong việc nối khớp giữa thực hành và lý thuyết Việc vận dụng quan điểm thực nghiệm còn chưa triệt

∗ SGK coi trọng mặt quy nạp trong việc dạy học Hình học 7, có thể xem đây là

sự kế thừa cách nhận thức các kiến thức hình học nhờ vào quan sát đã được áp

dụng trước lớp 7, là cơ sở cho bước chuyển dần sang hình học suy diễn

∗ Pha dự đoán có vai trò rất quan trọng, việc xuất hiện pha dự đoán sau khi tiến

hành đo đạc rồi sau đó là pha suy luận muốn chứng tỏ một thỏa thuận: kết quả

đạt được từ thực nghiệm chỉ mang tính phỏng đoán có thể đúng có thể sai, phải

dùng suy luận để hợp thức các dự đoán

∗ Tuy vậy, có một số điểm như sau:

+ Pha dự đoán chưa mang tính bấp bênh, chưa thể hiện được vai trò nối khớp

Hình học thực nghiệm suy luận và Hình học suy diễn

+ Các bài học từ sau bài Định lý không có pha dự đoán, khi đó giữa thực nghiệm

và lý thuyết có sự tách rời

+ Các đối tượng dùng trong thực nghiệm không đa dạng, thường chỉ trên một đối

tượng, điều này không tạo nhu cầu suy luận vì không có sự khác biệt giữa các

kết quả có được từ thực nghiệm

 Hoạt động Tập suy luận:

∗ Là hoạt động cho phép học sinh quen dần với suy luận và chứng minh

∗ Trước bài Định lý, suy luận xuất hiện qua các yêu cầu khác nhau: vì sao, giải

thích vì sao, …

 Hoạt động ngôn ngữ:

∗ Gồm phát biểu lại mệnh đề, phát biểu mệnh đề theo nhiều dạng khác nhau,

phát biểu mệnh đề theo dạng “nếu thì” , dùng được các ký hiệu để trình bày

các mệnh đề

∗ Hoạt động này khá mờ nhạt trong SGK Toán 7

 Hoạt động liên quan trực tiếp đến định lý và chứng minh định lý:

∗ Gồm đưa định lý về dạng “ nếu thì”, phân tích cấu trúc định lý (ghi giả thiết và

kết luận), chứng minh định lý

∗ Đây là hoạt động đặc biệt quan trọng trong dạy học hình học

 Hoạt động điền vào chỗ trống:

∗ Gồm điền vào chỗ trống trong một phát biểu của một tính chất hình học, điền

vào chỗ trống của một suy luận

∗ Đây cũng là hoạt động quan trọng trong việc tiếp cận với suy luận và chứng minh Hoạt động này giúp học sinh nhận biết các thành phần của một tính chất, dãy các mệnh đề trong chứng minh, bổ sung các căn cứ, sắp xếp các mệnh đề theo trình tự hợp lý trong một chứng minh

2.1.2.3 Đặc trưng suy luận và chứng minh ở THCS trong [16]:

• Ở bậc THCS, tình huống suy luận bắt đầu xuất hiện trong bài “Hai góc đối đỉnh” Tình huống đưa vào pha dự đoán rút ra từ các hoạt động thực nghiệm, sau đó

là pha suy luận, tuy nhiên pha dự đoán chưa đạt hiệu quả cao, do chưa tạo được sự bấp bênh, chưa tạo được ở học sinh sự nghi ngờ về kết quả của pha dự đoán Hơn nữa nhiều tính chất trong SGK được trình bày thành định lý ngay sau pha dự đoán

và trước khi chứng minh, “điều này thể hiện: các tính chất này đã được hợp thức

bởi kết quả thực nghiệm” [16, trang 74] Như vậy học sinh càng chưa thấy được

nhu cầu nảy sinh suy luận để hợp thức các phỏng đoán

• Phần bài tập lớp 6 bắt đầu có suy luận, tuy nhiên vẫn là những suy luận đơn giản (1 đến 3 bước) và gắn liền với số đo Từ lớp 7 trở đi, các suy luận dài hơn được trình bày (tối đa là 9 bước) và hầu hết các định lý đều được chứng minh, các thuật ngữ “tính chất”, “định lý”, “chứng minh” xuất hiện chính thức và xuyên suốt Suy luận và chứng minh đóng vai trò rất quan trọng, mức độ phức tạp của chứng minh tăng dần theo cấp lớp

Như vậy HHSD được xây dựng chặt chẽ và hệ thống, quan điểm thực nghiệm đã hiện diện trong chương trình và SGK Toán 7 Tuy nhiên còn nửa vời, chưa triệt để,

bước chuyển từ HHGD sang HHSD chưa được thuyết phục [16, trang 70] vì sự nối

khớp trình bày trong SGK chưa cho phép thực hiện được bước chuyển từ hình học quan sát thực nghiệm sang hình học suy diễn

2.1.2.4 Các tổ chức toán học ở hình học 6 và 7 trong [16]:

OM1: Nhận dạng hình (Cụ thể là nhận dạng tam giác)

Tính chất tam giác được nhận dạng bằng các suy luận từ các định lý đã học và học sinh tự vẽ hình

OM2: Tính giá trị đại lượng

Kỹ thuật 1: dùng dụng cụ đo giá trị đại lượng

Kỹ thuật 2: dùng tính chất, công thức để tính giá trị đại lượng

Kỹ thuật 1 xuất hiện hầu hết ở lớp 6, kỹ thuật 2 chủ yếu dùng cho lớp 7, mang tính khái quát và không phụ thuộc hình vẽ

OM3: Tạo ra một hình hình học

Kỹ thuật 1: Vận dụng khái niệm và tính chất để vẽ hình mà không suy luận

Kỹ thuật 2: Vận dụng khái niệm và tính chất kết hợp với suy luận để vẽ hình

Theo [16], với số lượng lớn bài tập thuộc OM3, giai đoạn đầu của HHSD vẫn rất

quan tâm đến vấn đề hình vẽ “Muốn học hình học trước hết phải biết vẽ hình”[7,

trang 136]

OM4: So sánh giá trị hai đại lượng

Kỹ thuật 1: Dùng dụng cụ đo giá trị rồi so sánh

Kỹ thuật 2: Dùng tính chất, định lý để so sánh

Kỹ thuật 2 xuất hiện rất nhiều, chủ yếu ở lớp 7, cho thấy trong HHSD phải dùng đến suy luận, chỉ có pha thực nghiệm là không chấp nhận được, hình vẽ chỉ mang tính minh họa

Vai trò của hình vẽ có sự thay đổi nào tương ứng với OM3 khi có sự chuyển đổi HHGN sang HHSD?

OM2 và OM4 được khai thác như thế nào trong SGK, SGV Toán 7 nhằm thực hiện hoạt động dẫn dắt học sinh bước dầu vào chứng minh hình học?

OM5: Khẳng định tính đúng đắn của một mệnh đề

Kỹ thuật 1: Quan sát

Kỹ thuật 2: Thực nghiệm

Kỹ thuật 3: Suy luận

Kỹ thuật 1 và 2 chủ yếu ở lớp 6 Kỹ thuật 3 chỉ bắt đầu có ở lớp 7, tức là muốn hợp thức tính đúng đắn của một khẳng định thì phải suy luận từ các tính chất và định lý “Lập luận để chứng minh định lý là khái quát cho mọi trường hợp, không

phụ thuộc vào dụng cụ đo, vào thực nghiệm, vào từng trường hợp riêng” [11,

trang 102]

OM6: Chứng minh một tính chất hình học

Đây là kiểu nhiệm vụ chính của hình học ở THCS

Bằng các phân tích về tổ chức toán học, [16, trang 65] đưa ra nhận xét “lớp 6 là

giai đoạn chuyển tiếp giữa hai loại hình học ở bậc tiểu học và THCS” và khẳng

định có một “quy ước ngầm ẩn rằng từ nay học sinh không thể sử dụng các kết quả quan sát thực nghiệm mà phải dựa vào suy luận chứng minh để khẳng định tính đúng đắn của một mệnh đề”

Chúng tôi sẽ phân tích OM5 mới: Khẳng định tính đúng sai của mệnh đề; sau đó phân tích thêm OM6 để trả lời cho câu hỏi: những kiểu suy luận và kiểu chứng minh nào được dùng

để chứng minh các định lý trong lớp 7 Hơn nữa, phân tích xem những hoạt động nào được xem là tập dượt cho học sinh khi bắt đầu học chứng minh?

Tóm lại, nghiên cứu chúng tôi tập trung phân tích các kiểu nhiệm vụ có tác dụng dẫn nhập chứng minh (những suy luận bước đầu trước khi chứng minh hình thức) và khai thác những kiểu nhiệm vụ có thể dùng kết hợp với Cabri

Với những phân tích trên thì [16] rút ra bảng tổng kết về các đặc trưng của HHGN

và HHSD như sau:

2.1.3 Đặc trưng HHGN và HHSD:

Khái niệm Không được định nghĩa, gán thẳng

tên gọi kèm hình vẽ

Được định nghĩa, gắn liền với hình

vẽ Tính chất Thực nghiệm trên một hình cụ thể

rồi khái quát thành tính chất chung

Thực nghiệm trên một hình cụ thể, hợp thức hóa bằng suy luận rồi khái quát thành tính chất chung

Kiểu nhiệm vụ Có sẵn hình vẽ

Cho số đo cụ thể

Tự vẽ hình Cho số đo bằng số hoặc bằng chữ

Kỹ thuật Thực nghiệm (đo đạc, quan sát, gấp

hình,….)

Suy luận và chứng minh không phụ thuộc vào hình vẽ

Suy luận Khái niệm suy luận chưa xuất hiện

Kỹ thuật suy luận rất đơn giản, chỉ

gồm một bước A⇒ B

Khái niệm suy luận xuất hiện

Chứng minh Khái niệm chứng minh chưa xuất

hiện, chỉ ngầm ẩn qua suy luận một bước

Khái niệm chứng minh chính thức xuất hiện

Mức độ chứng minh tăng dần theo cấp lớp

Các lưu ý khác Định nghĩa và tính chất trộn lẫn vào Định nghĩa và tính chất tách rời

nhau Mối quan hệ giữa các hình không được đề cập tường minh

“Định nghĩa”, “tính chất”, “chứng minh” không xuất hiện

nhau Mối quan hệ giữa các hình được đề cập tường minh

“Định nghĩa”, “tính chất”, “chứng minh” xuất hiện

Kết luận Không được xây dựng hệ thống và

chặt chẽ

Được xây dựng hệ thống và chặt chẽ

− Là hình biểu diễn phẳng của các hình hình học, theo hai cơ chế:

Cơ chế 1: khi nghiên cứu hình học bằng quan điểm thực nghiệm, hình vẽ được xem “là hình biểu diễn của một đối tượng có thể dựng được của thực

tế”.[4, trang 189]

Cơ chế 2: khi nghiên cứu hình học bằng quan điểm tiên đề thì hình vẽ

được xem “là hình biểu diễn của các khái niệm trừu tượng” [4, trang 189]

− Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học

− Hình vẽ là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này thì số đo giữ vai trò trung tâm

− Hình vẽ được vẽ cụ thể trên giấy, không thể phản ánh đúng tính chất vốn

có đối với bài toán, vị trí của hình vẽ chỉ là một vị trí cụ thể của một đối tượng hình học

2.1.4.2 Vai trò của hình vẽ:

• Hình vẽ trong HHGN – một đối tượng vật chất:

− Hình vẽ là đối tượng nghiên cứu

− Người học phải làm việc trên hình vẽ (đo đạc, tô, vẽ, cắt ghép, quan sát, ), thông qua các hoạt động này mà nhận biết được các đối tượng và tiếp thu

các kiến thức hình học Do đó “hình vẽ là công cụ thích hợp để truyền đạt tri thức tại tểu học”

− hình vẽ:

o “Là công cụ thích hợp giúp hình thành khái niệm

o Có tác dụng minh họa, làm rõ khái niệm

o Cho phép nhận biết tính chất của hình và kiểm tra tính chất trực tiếp trên hình

o Những ghi nhân của học sinh dựa trên hình vẽ là kết quả được thừa nhận”

Hình vẽ là một mô hình của đối tượng vật chất Hình vẽ được dùng như “là một mô hình của một đối tượng vật chất để hình thành cho học sinh các

tính chất của đối tượng hình học”

hình vẽ:

“Thể hiện giả thiết bài toán Minh họa đề toán để học sinh tìm ra cách chứng minh Minh họa cho cách trình bày bài giải

Hình vẽ chỉ là công cụ hỗ trợ cho chứng minh”

2.1.4.3 Sự chuyển biến vai trò hình vẽ tương ứng với sự chuyển đổi HHGN sang HHSD:

Ở bậc tiểu học, hình vẽ được xem là một đối tượng vật chất, học sinh thực nghiệm ngay trên hình vẽ và rút ra các kết luận về tính chất của một đối tượng hình học dựa trên các hình ảnh quan sát trực tiếp và các hoạt động thực nghiệm trên Đến giai đoạn đầu THCS (lớp 6, 7), Có thể do thể chế mong muốn không tạo ra một khoảng cách quá lớn trong việc học hình học khi chuyển từ tiểu học sang THCS nên giai đoạn đầu THCS (lớp 6, 7) mang tính

kế thừa của hình học tiểu học, đảm bảo sự nối tiếp này thì hình vẽ vẫn được xem là đối tượng vật chất, sau đó trong một số tình huống chuẩn bị cho suy luận và chứng minh thì hình vẽ được xem như mô hình của một đối tượng

hình học “Sự thay đổi vai trò của hình vẽ tương ứng với giai đoạn học sinh

sẽ thay đổi quan hệ bản thân với hình học thông qua việc chứng minh” “Học sinh dựa vào hình vẽ để suy luận, để chứng minh chứ không còn dựa vào

Định lý là một mệnh đề Toán học đã được chứng minh

* Về tri thức giảng dạy:

Định lý là một mệnh đề đã được chứng minh là đúng (tức là ở mức độ giảng dạy chỉ nghiên cứu các định lý với tư cách là các mệnh đề đúng)

Đã có một sự chuyển đổi didactic

Khái niệm Định lý và chứng minh định lý đóng vai trò quan trọng và cơ bản của Toán suy diễn Để phù hợp với sự phát triển của hs, việc tiếp cận phân môn Hình học được chia theo 2 giai đoạn: Hình học trực quan và Hình học suy diễn với khoảng cách giữa hai giai đoạn khá lớn Định lý và chứng minh định lý là hai khái niệm mở đầu cho giai đoạn thứ 2,

do đó việc đưa vào nếu không chú ý đến khả năng tiếp cận của hs sẽ gây ra khó khăn, hụt hẫng cho hs

SGK Hình học 7 đã có sự quan tâm thích đáng đến việc trình bày 2 khái niệm này như thế nào? Thông qua việc phân tích SGK, SGV, chúng tôi ghi nhận như sau:

SGK trang 100

Tính chất “2 góc đối đỉnh thì bằng nhau” được khẳng định là đúng không phải bằng đo trực tiếp mà bằng suy luận Một tính chất như vậy là một định lý Ta có thể hiểu: Định lý là một khẳng định suy ra từ những khẳng định được coi là đúng

2 góc đối đỉnh là giả thiết, hai góc đó bằng nhau là kết luận

Chứng minh định lý là dùng lập luận để từ giả thiết suy ra kết luận

Nhận xét:

+ Vì lý do sư phạm nên khái niệm định lý và chứng minh định lý không được định nghĩa tường minh và chính xác SGV còn nêu rõ chỉ yêu cầu hs hiểu: định lý phải

được khẳng định bằng suy luận chứ không phải bằng đo trực tiếp Hơn nữa là biết

Đảm bảo sự kết hợp trực quan và suy diễn

Làm cho hs nhận thấy vai trò quan trọng và cơ bản của việc “suy diễn” trong một tiến trình chứng minh

Lớp 7 là giai đoạn chuyển tiếp giữa hình học trực quan và hình học suy diễn Thực tế có một sự ngắt quãng khá lớn giữa hình học trực quan và hình học suy diễn Do đó, việc dạy học định lý ở lớp 7 có những đặc điểm rất riêng để đảm bảo sự nối khớp trên

Hoạt động chứng minh là hoạt động chính, xuyên suốt toàn bộ chương trình Hình học lớp 7, xuất hiện ngầm ẩn và tường minh thông qua các hoạt động sau:

* Theo quan điểm thực nghiệm thì các tính chất được hình thành theo tiến trình:

Quan sát – thực nghiệm – mô tả – khái quát hóa

+ Với yêu cầu chủ yếu là: rèn luyện cách sử dụng các công cụ; thao tác đo đạc, cắt ghép, dựng hình; từ đó quan sát và rút ra các tính chất

+ Không yêu cầu cao về suy luận:

Coi trọng các thao tác vẽ hình, quan sát và PP quy nạp để thông qua việc quan sát hình có thể rút ra được các tính chất

Việc “suy luận” có được đề cập đến tuy nhiên không quá trừu tượng, không quá phức tạp và thường diễn ra trong các giờ bài tập; chứng minh phản chứng không xuất hiện

* SGK 7 hiện hành tuy không phải xây dựng hoàn toàn theo quan điểm thực nghiệm

nhưng rõ ràng yếu tố thực nghiệm đã được tính đến Đặc biệt các kiến thức hình học được trình bày theo con đường kết hợp trực quan và suy diễn (SGV) Cụ thể chúng tôi

ghi nhận được việc dạy học các tính chất ở lớp 7 diễn ra theo các kiểu như sau:

Hình học là lĩnh vực mà dối tượng rất quen thuộc việc chm hình học dựa trên hình vẽ xây dựng phỏng đoán phê phán phỏng đoán hợp thức hóa bằng chm Đây là tiến trình mà mối liên hệ giũa trực giác và tính chặt chẽ lập luận được duy trì (Lê

Thị Hoài Châu, PPDH hình học ở trường THPT)

Và đây là tiến trình cơ bản để hình thành một tính chất Việc đưa vào tiến trình này c động khá tích cực:

+ Đặt hs vào một quy trình đúng của nghiên cứu khoa học

+ Một tính chất xuất hiện một cách hệ thống và chặt chẽ (không phải do chủ quan của một ai tự nghĩ ra)

+ Thực nghiệm chỉ khẳng định được dự đoán trong một hoặc một số hình vẽ cụ thể nào đó nhưng không thể kiểm nghiệm được dự đoán có đúng cho tất cả các hình không Thực nghiệm là khâu đầu tiên và đóng vai trò hỗ trợ cho hs đưa ra các phỏng đoán

+ Các dự đoán muốn được hợp thức hóa thì bắt buộc phải qua suy luận bằng các công cụ lý thuyết

Ví dụ:

Tính chất “hai góc đối đỉnh” SGK1 tr 81

Bước 1: Xem hình 1

O 1

2 3

Bước 2: Hãy đo góc O 1 và O 3 So sánh sđ 2 góc đó[….]

Bước 3: Dự đoán kết quả [….]

Bước 4: Tập suy luận [….]

Bước 5: Ta có tính chất [….]

Tuy nhiên ý nghĩa pha dự đoán của ví dụ chưa thực sự được bộc lộ:

Chưa gây nghi ngờ, do dó nhu cầu “hợp thức hóa kết quả bằng suy luận” vẫn chưa cần thiết

Lý do cho sự xuất hiện của suy luận ở đây là “theo yêu cầu đề toán”

hoặc nhằm mục đích “Suy luận để có khẳng định đúng và tổng quát”

Kết quả dự đoán dễ dàng, từ đó tạo thói quen đưa ra dự đoán chỉ căn cứ vào một hình

số các pha dự đoán trong SGK đều xuất hiện chỉ sau khi thực nghiệm trên một hình (có khi là hình được SGK cung cấp) Nhưng dù vậy, kiểu 1, kiểu 2 cũng đã vẽ ra bước chuyển tiếp từ hình học ghi nhận sang hình học suy diễn

Ngoài ra có những tính chất mà pha thực nghiệm chỉ là quan sát hình có sẵn trong SGK Hình có sẵn là không nên vì:

+ Khi hs tự vẽ, tự đo đạc thì sẽ tạo được sự nghi ngờ nếu hình của hs này khác

hs kia

+ SGK cho hình sẵn, điều này thường nhắm đến nội dung SGK muốn truyền tải, đôi khi là tạo hướng dự đoán quá rõ ràng

Ví dụ:

Tính ch ất “quan hệ vuông góc và song song” [9, tr 97]

Nếu hs tự vẽ thì mới có thể xảy ra trường hợp 2 đường thẳng d và d’ trùng nhau; từ đó mới nhấn mạnh được điều kiện phân biệt của hai đường thẳng

Tiến trình này có thể được khắc phục nếu có sự kết hợp của các phần mềm hình học động Nhờ vào đặc tính của phần mềm là đảm bảo được các yếu tố bất biến của hình nên khi hình được di chuyển, các tính chất sẽ được nhận ra thông qua việc quan sát Hs sẽ tránh được sự gượng ép khi phải thừa nhận tính chất mà SGK đưa ra và yêu cầu hs suy luận bằng việc quan sát 1 hình cố định Như vậy bước chuyển tiếp đã ngầm xuất hiện Tuy nhiên, cần phải nhấn mạnh cho hs thấy phần mềm mang tính hỗ trợ, các tính chất được rút ra cũng chỉ mang cơ chế phỏng đoán và chỉ được khẳng định khi công việc “suy luận” thành công

Kiểu 4:

Dạy học tính chất theo tiến trình: thực nghiệm – rút ra tính chất

Do yêu cầu cải cách cho phù hợp với khả năng tiếp thu của hs lớp 7 nên một số chứng minh đã được lược bỏ Nhưng đa số các tính chất kiểu này đều được viết “ta

đã chứng minh được”, “hs tự chứng minh”, “từ các định lý, ta suy ra”; điều này cho thấy ý đồ của SGK: thông qua thực nghiệm để hs nhận ra tính chất, và tính chất đó đã được người ta dùng “suy luận” để khẳng định, nhưng do tính phức tạp nên không trình bày ra Việc đưa vào tiến trình này cung cấp cho hs những tính chất có ý nghĩa lớn trong hình học (ví dụ: định lý Pytago) nhưng vẫn đảm bảo tính cải cách và yêu cầu về việc tiếp cận với hình học suy diễn

Hình học ghi nhận (lớp 6) và hình học suy diễn (lớp 7 trở đi) có một khoảng cách nếu không lưu tâm sẽ khiến hs gặp rất nhiều khó khăn và không có định hướng rõ, hoặc chấp nhận dùng suy luận là do sự bắt buộc từ phía GV chứ không thấy rõ nhu cầu Vì vậy, việc đưa vào pha dự đoán trong tiến trình hình thành tính chất của SGK hiện hành là việc rất cần thiết và quan trọng Pha dự đoán giữ vai trò là cầu nối giữa thực nghiệm và suy diễn, khiến hs không quá bỡ ngỡ khi tiếp cận với hình học suy diễn Hơn nữa, pha dự đoán, với đặc trưng cơ bản là tạo sự nghi ngờ sẽ khiến nảy sinh nhu cầu phải thuyết phục người khác, nên thực nghiệm không là chưa đủ mà phải bằng suy luận để khẳng định tính đúng đắn của một tính chất Đây là một sự cải cách quan trọng của SGK 7

Tuy nhiên, pha dự đoán còn khá nhiều hạn chế:

+ Không tạo được sự nghi ngờ

+ Các pha dự đoán thường kèm theo các câu hỏi gợi ý (thường là khá gần với nội dung mà SGK mong muốn)

+ Một tiến trình đầy đủ trong SGK và SBT không nhiều

Bậc 1 (phân tích): học sinh nhận ra các đặc điểm của hình thông qua việc quan sát và thực nghiệm Khi đó, hình vẽ giúp học sinh tìm tòi các tính chất của hình, giúp phát triển kỹ năng quan sát, mô tả, từ đó phát triển trí tưởng tượng không gian Ví dụ: phát hiện tính chất bằng nhau của hai góc đối đỉnh, nhận xét được hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau

Bậc 2 (suy diễn không hình thức): học sinh thiết lập quan hệ giữa các tính chất của một hình hoặc giữa các hình; phân loại và định nghĩa các hình; có dùng lý lẽ Do đó, vai trò hình vẽ càng rõ ràng, đó là chỗ dựa trực giác cho việc dạy học khái niệm và suy luận

Cụ thể, SGK Toán 7 gồm các hoạt động liên quan đến hình vẽ:

Đo đạc, gấp hình, cắt ghép hình (14 bài)

Đưa ra các phỏng đoán về tính chất của hình

Kiểm tra tính chất đã được rút ra bằng suy luận (đã chứng minh rồi)

Hình thành cách vẽ một số hình phổ biến và quan trọng, chẳng hạn: vẽ tia phân giác của một góc Theo đó bài toán vẽ hình bằng compa và thước thẳng được đưa vào ngầm ẩn trong sách lớp 7, bao gồm hai bước là nêu cách

vẽ và chứng minh bước vẽ, cụ thể SGK nêu cách vẽ còn học sinh tìm lập luận

để chứng minh bước vẽ (20tr115)

Vẽ hình thỏa tính chất đã cho (46tr127, 37tr72)

Hình thành các suy luận bước đầu Phân tích mối quan hệ giữa các tính chất

Vẽ hình thể hiện giả thiết, kết luận của bài toán (52tr128):

Tạo điểm tựa cho suy luận Thao tác trên hình là kiểu nhiệm vụ giúp hình học sinh động, gần gũi và dễ tiếp thu với học sinh, góp phần hỗ trợ trực giác cho suy luận

2.2.3.2 Đặc trưn g hình vẽ trong HHGN và HHSD:

Khái niệm hình không được định nghĩa

mà gán với một cái tên kèm theo các đặc

điểm và hình vẽ minh họa

Các kỹ thuật dùng để giải quyết kiểu

“Hình là một tập hợp điểm”

Các kỹ thuật dùng cho kiểu nhiệm vụ

“Nhận dạng hình” và “Tạo hình hình học” được xây dựng trên các định nghĩa, tính chất và định lý có liên quan

Hình vẽ sẵn có

Tạo ra một hình theo biểu tượng đã có

Quan hệ giữa các hình hình học không

đó dần đưa vào bài toán dựng hình 4 bước

Hình được tạo ra từ các bộ phận có quan

hệ Bản thân các hình cũng có quan hệ với nhau

Hình vẽ gợi mở các dự đoán và tạo cơ sở trực giác để chứng minh kiến thức

2.2.4 Môi trường truyền thống và môi trường có hỗ trợ Cabri

2.2.4.1 Môi trường truyền thống:

a) Môi trường có hỗ trợ Cabri:

• Hình vẽ động

• Tác động được lên hình, mỗi tác động đều kéo theo sự thay đổi tương ứng của các yếu tố có liên quan, do đó vẫn đảm bảo cấu trúc hình Chẳng hạn, vẽ M là trung điểm của đoạn thẳng AB, người vẽ muốn đoạn AB dài hơn để dễ quan sát thì khi thực hiện thao tác kéo dài đoạn AB thì điểm M sẽ tự động thay đổi theo để vẫn giữ được tính chất là trung điểm của đoạn AB mới

• Bảo toàn tính bất biến của hình Do các yếu tố hình đều có sự thay đổi tương ứng với nhau nên những yếu tố bất biến sẽ thể hiện rõ trên hình khi người vẽ thao tác Tính chất này hỗ trợ rất hiệu quả cho khâu dự đoán trong các bài toán quỹ tích, tìm điểm cố định

• Cabri là môi trường rèn luyện suy luận một cách ngầm ẩn Trong Cabri, các

bộ phận của hình vẽ có mối quan hệ mật thiết với nhau nên đòi hỏi tính chính xác cao Hơn nữa, ngoài các hình đặc biệt đã được thiết lập sẵn trong Cabri thì các hình khác được dựng dựa trên các tính chất của hình bằng các công cụ sẵn

có Ví dụ, dựng tam giác cân: nếu dựng bằng giấy bút thì canh theo ô ly giấy hoặc dùng thước để đo và dựng hai cạnh bằng nhau  hình vẽ dựng trên tính chất tam giác cân và có kết hợp việc đo đạc; nếu dựng trong Cabri: vì không

có công cụ đo hai đoạn bằng nhau (hình theo nghĩa hình hình học chứ không phải hình vẽ cố định gắn với một số đo cụ thể) cho nên tam giác cân được dựng dựa trên tính chất hai cạnh bằng nhau và hai cạnh bằng nhau dựng dựa trên tính chất của một điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng Vì vậy thao tác dựng hình trong Cabri gắn chặt với việc suy luận, góp phần hỗ trợ thêm kỹ năng suy luận hình học của người học và hình thành mối quan hệ giữa các khái niệm, tính chất của các hình, phát triển khả năng phân tích và tổng hợp

Tuy nhiên, trong Cabri pha dự đoán không thể hiện được đúng vai trò tạo sự bấp bênh và nghi ngờ dẫn đến việc phải dùng đến suy luận, bởi vì hình vẽ trong Cabri dựng được mang tính chính xác cao

Việc thao tác dịch chuyển hình nhìn chung vẫn là hoạt động thực nghiệm trên hình, cho nên dù có hiệu quả thì vẫn không thể khẳng định là đã thực hiện được trên tất cả các khả năng có thể có của hình, các pha dự đoán về cơ bản vẫn chỉ là “đoán”, những khả năng quan sát được vẫn chỉ là hữu hạn, do đó vẫn phải cần đến suy luận

để hợp thức hóa kết quả Như vậy, việc kết hợp Cabri trong dạy học góp phần củng

cố thêm việc bác bỏ một ràng buộc “Kết luận dựa vào thực nghiệm” vốn đã hình thành ở học sinh từ giai đoạn đầu học hình học; từ đó càng nâng cao vai trò của suy luận trong chứng minh hình học

Tuy pha dự đoán không tạo được bấp bênh nhưng hiệu quả lại thể hiện rất rõ trong pha tìm tòi và phát hiện tính chất; đó cũng là một trong các hoạt động cần thiết

và quan trọng trong quá trình nghiên cứu

(phân biệt “dự đoán” và “tìm tòi, phát hiện” ở cấp độ dạy học

Dự đoán một tính chất đang nghi vấn Vd: Cho biết a c ⊥ và b c⊥ Dự đoán xem a và b có song song với nhau không? (?1 trang 96)

Dự đoán một tính chất theo hướng có gợi mở trước Vd: quan sát tam giác vừa cắt (trên đó

có vẽ ba đường trung tuyến), cho biết ba đường trung tuyến của tam giác này có cùng đi qua một điểm không? (?2 trang 65)

Tìm tòi và phát hiện một tính chất được thực hiện dựa trên thực nghiệm và quan sát các bất biến từ đó đưa ra một dự đoán về một tính chất (không có gợi mở trước như pha dự đoán trên) Hơn nữa việc kết hợp Cabri sẽ giúp rút ngắn thời gian vì tính bấp bênh ít)

2.2.5 Hình và hình vẽ trong HHGN và HHSD

Hình vẽ vừa cụ thể vừa tổng quát, vừa trực quan vừa trừu tượng Đặc điểm này khiến học sinh rất dễ bị cái cụ thể cản trở cái tổng quát, gây khó khăn khi suy luận Hình vẽ không bao quát hết tất cả các trường hợp dẫn đến bài giải không đầy đủ Nếu thực hiện trên giấy thì học sinh rất dễ mắc sai lầm Còn nếu trong Cabri thì các sai lầm trên sẽ được hạn chế vì nhờ

có thao tác di chuyển hình dễ dàng và nhanh chóng nên học sinh có thể nhận ra nhiều trường hợp khác

2.2.6 Phân tích các chức năng của hình vẽ trong hình học lớp 7 trong hai môi trường truyền thống và Cabri:

2.2.6.1 Minh họa đề toán, thể hiện giả thiết

a) Môi trường truyền thống:

Nếu nhiều giả thiết thì hình vẽ dễ gây khó khăn trực quan, hình vẽ rối (chẳng hạn có các đường vẽ trùng lên nhau) Khi đó hình vẽ gây cản trở việc suy luận

của học sinh

Vì hình vẽ mang tính cố định, cục bộ nên khi muốn chỉnh sửa lại hình vẽ thì mất nhiều thời gian và công sức, trong khi nếu dùng lại hình vẽ cũ thì lại gặp

khó khăn về trực giác b) Môi trường Cabri:

Khắc phục hai khó khăn trên của môi trường truyến thống

Có một số hình thông dụng được vẽ sẵn bằng các macro, hình vẽ minh họa

một cách chính xác các tính chất hình Gắn liền hoạt động lập luận với hoạt động vẽ hình

Dễ dàng phát hiện hình vẽ đúng hay sai, vì nếu hình vẽ sai thì khi dịch chuyển hình vẽ sẽ biến dạng, các bộ phận của hình không thay đổi tương ứng

2.2.6.2 Giải toán

Hình vẽ giữ vai trò dự đoán kết quả đối với các bài toán mở Hình vẽ mang

nghĩa “thí dụ ngược”, là một phương tiện thăm dò tình huống và cho phép đặt

ra các giả thuyết Trong quá trình giải toán, hình vẽ còn giúp tìm ra đường lối

và cách giải Theo đó, hình vẽ có chức năng thực nghiệm, được dùng như một công cụ khám phá

Nhìn chung, hình vẽ dù trong môi trường nào cũng mang các chức năng đặc thù nêu trên trong giai đoạn tìm tòi và phát hiện của hoạt động giải toán Tuy nhiên, môi trường có tích hợp Cabri có ưu điểm hơn nhờ hình vẽ động và thao tác được trên hình Cabri cho phép thu hẹp phạm vi thăm dò các tình huống, cho phép đặt ra các giả thuyết khả thi và hợp lý hơn Vd: 51 trang 128, 30 trang 67

2.2.6.3 Trình bày lời giải của học sinh

Hình vẽ minh họa các giai đoạn làm bài của học sinh (gọi thêm điểm, kẻ thêm đường phụ, ….)

Đối với bài toán dựng hình thì hình vẽ là kết quả cần đạt được sau các bước lập luận cần thiết

2.2.7 Phân tích các tổ chức toán học liên quan đến “dẫn nhập chứng minh hình học lớp 7”

T1: Tính giá trị đại lượng

T2: So sánh hai đai lượng

T3: Xác định tính chất của một tam giác

• Vẽ hình theo đúng kích thước của các đối tượng trong bài toán

• Dùng thước đo độ để trả lời số đo góc

Bài 4 [9, trang 82]

Vẽ góc xBy có số đo bằng 60 Vẽ góc đối đỉnh với góc xBy Hỏi góc này có số đo bằng bao nhiêu độ

Lời giải [11, trang 85]

Góc đối đỉnh với  xBy là  x By và ' ' x By' '=600

Lời giải trên không giải thích rõ căn cứ nào để có góc  0

x By = Học sinh được yêu cầu

vẽ một góc, vẽ góc đối đỉnh và hỏi số đo của góc đối đỉnh Học sinh có thể dùng kỹ thuật đo đạc (thực nghiệm) để trả lời câu hỏi trên, do ảnh hưởng của hình học ghi nhận trước đó và

do thể chế không ghi rõ mong muốn Tuy nhiên lời giải kiểu này chỉ xuất hiện một lần Còn

từ đó về sau thể chế đều bộc lộ rõ mong muốn phải dùng lập luận để giải quyết bài toán

o Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì tạo ra các cặp góc so

le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau

o Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 1800

(Bài 2 [9, trang 108])

o Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với góc đó (Bài 2

[9, trang 108], cách 2)

o Tam giác cân có hai góc ở đáy bằng nhau

o Tam giác đều có ba góc đều bằng 600

θ1.1.2: Tính chất 2 góc đối đỉnh; 2 góc kề bù; tính chất 2 đường thẳng song song;…

tính chất tổng 3 góc trong 1 ∆ ; tính chất về 2 góc đáy của tam giác cân