bài tập tụ luận hình học 10 chương 1 - trần sĩ tùng

· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu uuur AB.. a VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặ

1 Các định nghĩa

· Vectơ là một đoạn thẳng cĩ hướng Kí hiệu vectơ cĩ điểm đầu A, điểm cuối B là AB uuur

· Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đĩ

· Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu uuur AB

· Vectơ – khơng là vectơ cĩ điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0r

· Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau

· Hai vectơ cùng phương cĩ thể cùng hướng hoặc ngược hướng

· Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cĩ cùng độ dài

Chú ý: + Ta cịn sử dụng kí hiệu a b r, , r

để biểu diễn vectơ

+ Qui ước: Vectơ 0r

cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ

Mọi vectơ 0r

đều bằng nhau

2 Các phép tốn trên vectơ

a) Tổng của hai vectơ

· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta cĩ: uuur uuur uuur AB BC AC+ =

· Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta cĩ: uuur uuur uuur AB AD AC+ =

· Tính chất: a b b a r+ = +r r r

; (a b r+r)+ = +c a r r (b c r+r)

; a r+ =0r a r

b) Hiệu của hai vectơ

· Vectơ đối của ar là vectơ b r

sao cho a b 0 r+ =r r

Kí hiệu vectơ đối của ar là a -r

· Vectơ đối của 0r

là 0r

· a b a r- = + -r r ( )b r

· Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta cĩ: OB OA AB uuur uuur uuur- =

c) Tích của một vectơ với một số

· Cho vectơ ar và số k Ỵ R kar là một vectơ được xác định như sau:

+ kar cùng hướng với ar nếu k ³ 0, kar ngược hướng với ar nếu k < 0

+ ka r = k a r

· Tính chất: k a b(r+r)=ka kb r+ r

; (k l a ka la+ )r= r r+ ; k la( )r =( )kl a r

Û k = 0 hoặc a 0 r=r

· Điều kiện để hai vectơ cùng phương: a và b a r r (r¹0r)cùng phươngÛ $ Ỵk R b ka:r = r

· Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng Û $k ¹ 0: uuur AB k AC= uuur

· Biểu thị một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương: Cho hai vectơ khơng cùng

phương a b r,r

và xr tuỳ ý Khi đĩ $! m, n Ỵ R: x ma nb r= r+ r

Chú ý:

· Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:

M là trung điểm của đoạn thẳng AB Û MA MB 0uuur uuur r+ =

Û OA OB uuur uuur+ =2OM uuur

(O tuỳ ý)

· Hệ thức trọng tâm tam giác:

G là trọng tâm DABC Û GA GB GC 0 uuur uuur uuur r+ + = Û OA OB OC 3OG

uuur uuur uuur uuur

(O tuỳ ý)

CHƯƠNG I VECTƠ

I VECTƠ

VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ Bài 1 Cho tứ giác ABCD Cĩ thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0r

) cĩ điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B, C, D ?

Bài 2 Cho DABC cĩ A¢, B¢, C¢ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh: BC uuuur uuur uuuur¢ =C A A B¢ = ¢ ¢

b) Tìm các vectơ bằng B C C A uuuur uuuur¢ ¢ ¢ ¢,

Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,

BC Chứng minh: MP QN MQ PN uuur uuur uuur uuur= ; =

Bài 4 Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh:

a) uuur uur uuur AC BA AD- = ; uuur uuur AB AD AC+ =

b) Nếu uuur uuur uuur uuur AB AD+ = CB CD

thì ABCD là hình chữ nhật

Bài 5 Cho hai véc tơ a b r, r

Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b r+ = -r a b r r

Bài 6 Cho DABC đều cạnh a Tính AB ACuuur uuur uuur uuur+ ; AB AC

-

Bài 7 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính uuur uuur uuur AB AC AD+ +

Bài 8 Cho DABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các vectơ HA HB HCuuur uuur uuur, ,

Bài 9 Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các vectơ uuur uuur AB AD+

,

AB AC+

uuur uuur

, uuur uuur AB AD

-

Bài 10

a)

VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ – Phân tích vectơ

Để chứng minh một đẳng thức vectơ hoặc phân tích một vectơ theo hai vectơ khơng cùng phương, ta thường sử dụng:

– Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ

– Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất của các hình

Bài 1 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

a) uuur uuur uuur uuur AB DC AC DB+ = +

b) uuur uuur uuur uuur uuur uuur AD BE CF AE BF CD+ + = + +

Bài 2 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh: a) Nếu uuur uuur AB CD=

thì uuur uuur AC BD=

b) uuur uuur uuur uuur AC BD AD BC+ = + =2IJ uur

c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r+ + + =

d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và

BC Chứng minh các đoạn thẳng IJ, PQ, MN cĩ chung trung điểm

Bài 3 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC và CD Chứng minh:

AB AI JA DA DB

2(uuur uur uur uuur+ + + ) 3= uuur

Bài 4 Cho DABC Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng

minh: RJ IQ PS 0 uur uur uur r+ + =

Bài 5 Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM

a) Chứng minh: 2IA IB IC uur uur uur r+ + =0

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA OB OC uuur uuur uuur+ + =4OI uur

Bài 6 Cho DABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường

trịn ngoại tiếp Chứng minh:

a) uuur AH=2OM uuur

b) HA HB HC uuur uuur uuur+ + =2HO uuur

c) OA OB OC OH uuur uuur uuur uuur+ + =

Bài 7 Cho hai tam giác ABC và A¢B¢C¢ lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G¢

a) Chứng minh uuur uuur uuuur AA BB CC¢+ ¢+ ¢ =3GG uuuur¢

b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

Bài 8 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC Chứng minh:

AM 1AB 2AC

uuur uuur uuur

Bài 9 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm

thuộc AC sao cho CNuuur =2NA uuur

K là trung điểm của MN Chứng minh:

a) AK 1 AB 1AC

uuur uuur uuur

b) KD 1AB 1AC

uuur uuur uuur

Bài 10 Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng: a) AM 1OB OA

2

-uuur uuur uuur

b) BN 1OC OB

2

-uuur uuur uuur

c) MN 1(OC OB)

2

-uuuur uuur uuur

Bài 11 Cho DABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

a) AB 2CM 4BN

-uuur uuur uuur

c) AC 4CM 2BN

-uuur uuur uuur

c) MN 1BN 1CM

-uuuur uuur uuur

Bài 12 Cho DABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G

a) Chứng minh: AH 2AC 1AB

-uuur uuur uuur

và CH 1(AB AC)

3

uuur uuur uuur

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB

-uuuur uuur uuur

Bài 13 Cho hình bình hành ABCD, đặt uuur AB a AD b=r, uuur r=

Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tam giác BCI Phân tích các vectơ BI AG uur uuur,

theo a b r, r

Bài 14 Cho lục giác đều ABCDEF Phân tích các vectơ BC và BD uuur uuur

theo các vectơ

AB và AF

uuur uuur

Bài 15 Cho hình thang OABC, AM là trung tuyến của tam giác ABC Hãy phân tích vectơ

AM

uuur

theo các vectơ OA OB OCuuur uuur uuur, ,

Bài 16 Cho DABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB=3MC NA, =3CN PA PB, + =0

uuur uuur uuur uuur uur uuur r

a) Tính PM PN uuur uuur,

theo uuur uuur AB AC,

b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng

Bài 17 Cho DABC Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

a) Chứng minh: uuur uuur uuuur r AA BB CC1+ 1+ 1=0

b) Đặt BB uuur1=u CC r,uuuur1=v r

Tính BC CA AB uuur uur uuur, ,

theo u và v r r

Bài 18 Cho DABC Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI Gọi F là điểm trên cạnh

BC kéo dài sao cho 5FB = 2FC

a) Tính uur uuur AI AF theo AB và AC, uuur uuur

b) Gọi G là trọng tâm DABC Tính AG theo AI và AFuuur uur uuur

Bài 19 Cho DABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của G qua B

a) Chứng minh: HA uuur uuur uuur r-5HB HC+ =0

b) Đặt uuur AG a AH b= r,uuur r=

Tính uuur uuur AB AC,

theo a và b r r

VẤN ĐỀ 3: Xác định một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để xác định một điểm M ta cần phải chỉ rõ vị trí của điểm đĩ đối với hình vẽ Thơng thường ta biến đổi đẳng thức vectơ đã cho về dạng OM a uuur r= , trong đĩ O và ar đã được

xác định Ta thường sử dụng các tính chất về:

– Điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k

– Hình bình hành

– Trung điểm của đoạn thẳng

– Trọng tâm tam giác, …

Bài 1 Cho DABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0 uuur uuur uuur r- + =

Bài 2 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng

AB Trên MI kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

a) Chứng minh: BN BA MB uuur uur uuur- =

b) Tìm các điểm D, C sao cho: uuur uur uuur uuur uuur uuur NA NI ND+ = ; NM BN NC- =

Bài 3 Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh rằng: uuur uuur uuur AB AC AD+ + =2uuur AC

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: 3uuur uuur uuur uuur AM AB AC AD= + +

Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh: MN 1(AB DC)

2

uuuur uuur uuur

b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + =

Bài 5 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung

điểm của MN Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ: SA SB SC SD uur uur uur uuur+ + + =4SO uuur

Bài 6 Cho DABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) 2IB uur uur r+3IC =0

b) 2 +JA JC JB CA uur uur uur uur- = c) KA KB KC uuur uuur uuur+ + =2BC uuur

d) 3LA LB uur uur uuur r- +2LC=0

Bài 7 Cho DABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) 2IA uur uur-3IB=3BC uuur

b) JA JB uur uur+ +2JC uur r=0 c) KA KB KC BC uuur uuur uuur uuur+ - =

d) LA uur uuur uuur uuur-2LC AB= -2AC

Bài 8 Cho DABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB IC BC uur+ -uur uuur=

b) FA FB FC AB AC uur uuur uuur uuur uuur+ + = + c) 3KA KB KC uuur uuur uuur r+ + =0

d) 3uuuur uur uuur r LA-2LB LC+ =0

Bài 9 Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng

thức sau:

a) IA IB IC uur uur uur+ + =4ID uur

b) 2FA uur uuur+2FB=3FC FD uuur uuur -c) 4KA uuur uuur uuur uuur r+3KB+2KC KD+ =0

Bài 10 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB uuuur uuur uuur= +

, ME MA BC uuur uuur uuur= +

,

MF MB CA= +

uuur uuur uur

Chứng minh D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M

b) So sánh 2 véc tơ MA MB MC và MD ME MF uuur uuur uuur+ + uuuur uuur uuur+ +

Bài 11 Cho tứ giác ABCD

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r+ + + =

(G đgl trọng tâm của

tứ giác ABCD)

b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ: OG 1(OA OB OC OD)

4

uuur uuur uuur uuur uuur

Bài 12 Cho G là trọng tâm của tứ giác ABCD A¢, B¢, C¢, D¢ lần lượt là trọng tâm của các tam

giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh:

a) G là điểm chung của các đoạn thẳng AA¢, BB¢, CC¢, DD¢

b) G cũng là trọng tâm của của tứ giác A¢B¢C¢D¢

Bài 13 Cho tứ giác ABCD Trong mỗi trường hợp sau đây hãy xác định điểm I và số k sao

cho các vectơ vr đều bằng k MI.uuur

với mọi điểm M:

a) v MA MB r=uuur uuur+ +2MC uuur

b) v MA MB r=uuur uuur uuur- -2MC

c) v MA MB MC MD r=uuur uuur uuur uuuur+ + +

d) v r=2MA uuur uuur uuur uuuur+2MB MC+ +3MD

Bài 14

a)

VẤN ĐỀ 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hai điểm trùng nhau

· Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh ba điểm đĩ thoả mãn đẳng thức uuur AB k AC= uuur

, với k ¹ 0

· Để chứng minh hai điểm M, N trùng nhau ta chứng minh chúng thoả mãn đẳng thức

OM ON uuur uuur=

, với O là một điểm nào đĩ hoặc MN 0 uuuur r=

Bài 1 Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA uuur+2OB uuur uuur r-3OC=0

Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng

Bài 2 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:

BH 1BC BK, 1BD

uuur uuur uuur uuur

Chứng minh: A, K, H thẳng hàng

HD: BH AH AB BK AK AB uuur uuur uuur uuur uuur uuur= - ; =

-

Bài 3 Cho DABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB uur=2IC uur

, JC 1JA

2

=

-uur uur

,

KA= -KB

uuur uuur

a) Tính IJ IK theo AB và AC uur uur, uuur uuur

(HD: IJ AB 4AC

3

-uur u-uur uuur

)

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm DAIB)

Bài 4 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P

sao cho MB uuur=3MC uuur

, uuur NA=3CN uuur

, PA PB 0 uur uuur r+ =

a) Tính PM PN uuur uuur,

theo uuur uuur AB AC,

b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho

AD = 1

2AF, AB =

1

2AE Chứng minh:

a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng

b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành

Bài 6 Cho DABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA uur uur r+3IC =0

, JA uur+2JB uur uur r+3JC=0

Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng

Bài 7 Cho DABC Hai điểm M, N được xác định bởi: MA3uuur+4uuur r MB=0

, NB uuur uuur r-3NC=0

Chứng minh 3 điểm M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của DABC

Bài 8 Cho DABC Lấy các điểm M N, P: MB uuur uuur uuur uuur uur uuur r-2MC NA= +2NC PA PB= + =0

a) Tính PM PN theo AB và AC uuur uuur, uuur uuur

b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 9 Cho DABC Về phía ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS

Chứng minh các tam giác RIP và JQS cĩ cùng trọng tâm

Bài 10 Cho tam giác ABC, A¢ là điểm đối xứng của A qua B, B¢ là điểm đối xứng của B qua

C, C¢ là điểm đối xứng của C qua A Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ cĩ chung trọng tâm

Bài 11 Cho DABC Gọi A¢, B¢, C¢ là các điểm định bởi: 2uuur uuur r A B¢ +3A C¢ =0

, 2B C uuur uuur r¢ +3B A¢ =0

,

C A C B

2uuur uuur r¢ +3 ¢ =0

Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ cĩ cùng trọng tâm

Bài 12 Trên các cạnh AB, BC, CA của DABC lấy các điểm A¢, B¢, C¢ sao cho:

Chứng minh các tam giác ABC và A¢B¢C¢ cĩ chung trọng tâm

Bài 13 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý Gọi A¢, B¢, C¢ lần lượt là điểm đối xứng của

M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh ba đường thẳng AA¢, BB¢, CC¢ đồng qui tại một điểm N

b) Chứng minh rằng khi M di động, đường thẳng MN luơn đi qua trọng tâm G của DABC

Bài 14 Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Các điểm M, N thoả mãn: 3MA uuur+4MB uuur r=0

,

CN 1BC

2

=

uuur uuur

Chứng minh đường thẳng MN đi qua trọng tâm G của DABC

Bài 15 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho

BD DE EC= =

uuur uuur uuur

a) Chứng minh uuur uuur uuur uuur AB AC AD AE+ = +

b) Tính uur uuur uuur uuur uuur AS AB AD AC AE theo AI= + + + uur

Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

Bài 16 Cho tam giác ABC Các điểm M, N được xác định bởi các hệ thức BM BC uuur uuur uuur= -2AB

,

CN x AC BC uuur= uuur uuur

-

a) Xác định x để A, M, N thẳng hàng

b) Xác định x để đường thẳng MN đi trung điểm I của BC Tính IM

IN

Bài 17 Cho ba điểm cố định A, B, C và ba số thực a, b, c sao cho a b c 0+ + ¹

a) Chứng minh rằng cĩ một và chỉ một điểm G thoả mãn aGA bGB cGC 0 uuur+ uuur uuur r+ =

b) Gọi M, P là hai điểm di động sao cho MP aMA bMB cMC uuur= uuur+ uuur uuur+

Chứng minh ba điểm

G, M, P thẳng hàng

Bài 18 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN uuuur=2uuur uuur uuur MA+3MB MC

- a) Tìm điểm I thoả mãn 2IA uur uur uur r+3IB IC- =0

b) Chứng minh đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định

Bài 19 Cho tam giác ABC Các điểm M, N thoả mãn MN uuuur=2uuur uuur uuur MA MB MC- +

a) Tìm điểm I sao cho 2IA IB IC uur uur uur r- + =0

b) Chứng minh rằng đường thẳng MN luơn đi qua một điểm cố định

c) Gọi P là trung điểm của BN Chứng minh đường thẳng MP luơn đi qua một điểm cố định

Bài 20

a)

VẤN ĐỀ 5: Tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

Để tìm tập hợp điểm M thoả mãn một đẳng thức vectơ ta biến đổi đẳng thức vectơ đĩ để đưa về các tập hợp điểm cơ bản đã biết Chẳng hạn:

– Tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đĩ

– Tập hợp các điểm cách một điểm cố định một khoảng khơng đổi đường trịn cĩ tâm là điểm cố định và bán kính là khoảng khơng đổi

–

Bài 1 Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MA MB uuur uuur uuur uuur+ = MA MB

-b) 2MA MB uuur uuur uuur+ = MA+2uuur MB

HD: a) Đường trịn đường kính AB b) Trung trực của AB

Bài 2 Cho DABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MA MB MC 3 MB MC

2

uuur uuur uuur uuur uuur

b) MA BC uuur uuur uuur uuur+ = MA MB -c) 2MA MB uuur uuur+ = 4MB MC uuur uuur

-d) 4uuur uuur uuur MA MB MC+ + = 2MA MB MC uuur uuur uuur-

-

HD: a) Trung trực của IG (I là trung điểm của BC, G là trọng tâm DABC)

b) Dựng hình bình hành ABCD Tập hợp là đường trịn tâm D, bán kính BA

Bài 3 Cho DABC

a) Xác định điểm I sao cho: 3IA uur uur uur r-2IB IC+ =0

b) Chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức:

MN =2MA-2MB MC+

uuuur uuur uuur uuur

luơn đi qua một điểm cố định

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3HA uuur uuur uuur uuur uuur-2HB HC+ = HA HB

- d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 KA KB KC uuur uuur uuur+ + =3KB KC uuur uuur+

Bài 4 Cho DABC

a) Xác định điểm I sao cho: IA uur uur uur r+3IB-2IC=0

b) Xác định điểm D sao cho: 3DB uuur uuur r-2DC=0

c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: uuur uuur uuur MA+3MB-2MC = 2MA MB MC uuur uuur uuur-

-

Bài 5

a)

1 Trục toạ độ

· Trục toạ độ (trục) là một đường thẳng trên đĩ đã xác định một điểm gốc O và một vectơ đơn vị er Kí hiệu ( )O e ; r

· Toạ độ của vectơ trên trục: u r =( )a Û =u a e r r

· Toạ độ của điểm trên trục: M k( )ÛOM k e uuur= r

· Độ dài đại số của vectơ trên trục: AB a= Ûuuur AB a e= r

Chú ý: + Nếu uuur AB cùng hướng với e r

thì AB AB= Nếu uuur AB ngược hướng với e r

thì AB= -AB + Nếu A(a), B(b) thì AB b a = -

+ Hệ thức Sa–lơ: Với A, B, C tuỳ ý trên trục, ta cĩ: AB BC AC+ =

2 Hệ trục toạ độ

· Hệ gồm hai trục toạ độ Ox, Oy vuơng gĩc với nhau Vectơ đơn vị trên Ox, Oy lần lượt

là i j r r,

O là gốc toạ độ, Ox là trục hồnh, Oy là trục tung

· Toạ độ của vectơ đối với hệ trục toạ độ: u r =( ; )x y Û =u x i y j r r+ r

· Toạ độ của điểm đối với hệ trục toạ độ: M x y( ; )ÛOM x i y j uuur= r+ r

· Tính chất: Cho a r=( ; ),x y b r=( ; ),x y k R¢ ¢ Ỵ

, A x y( ; ), ( ; ), ( ; ) : A A B x y B B C x y C C

y y

ï =

= ïỵ

r

r + a b r± =r (x x y y± ¢; ± ¢) + ka r =( ; )kx ky

+ b r

cùng phương với a 0 r ¹r Û $k Ỵ R: x¢ kx và y¢ ky

x y

= (nếu x ¹ 0, y ¹ 0)

+ uuur AB=(x B-x y A; B-y A)

+ Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I x A x B I y A y B

+ Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: G x A x B x C G y A y B y C

+ Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k ¹ 1: A B A B

( M chia đoạn AB theo tỉ số k Û MA kMB uuur= uuur

)

II TOẠ ĐỘ

VẤN ĐỀ 1: Toạ độ trên trục Bài 1 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là -2 và 5

a) Tìm tọa độ của uuur AB

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB

c) Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2MA uuur uuur r+5MB=0

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA+3NB= - 1

Bài 2 Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B cĩ tọa độ lần lượt là -3 và 1

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho 3MA-2MB= 1

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho NA+3NB AB=

Bài 3 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(-2), B(4), C(1), D(6)

a) Chứng minh rằng:

AC AD AB

1 + 1 = 2

b) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh: IC ID IA = 2

c) Gọi J là trung điểm của CD Chứng minh: AC AD AB AJ =

Bài 4 Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C cĩ tọa độ lần lượt là a, b, c

a) Tìm tọa độ trung điểm I của AB

b) Tìm tọa độ điểm M sao cho uuur uuur uuur r MA MB MC 0+ - =

c) Tìm tọa độ điểm N sao cho 2NA uuur uuur uuur-3NB NC=

Bài 5 Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D tuỳ ý

a) Chứng minh: AB CD AC DB DA BC + + = 0

b) Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn AC, BD, AB, CD Chứng minh rằng các đoạn IJ và KL cĩ chung trung điểm

Bài 6

a)

VẤN ĐỀ 2: Toạ độ trên hệ trục Bài 1 Viết tọa độ của các vectơ sau:

a) a 2i 3 ;j b 1i 5 ;j c 3 ;i d 2j

3

= r+ r r= r- r = r r= - r

b) a i 3 ;j b 1i j c; i 3 j d; 4 ;j e 3i

= -r r r = r r+ = - +r r r= - r = r

Bài 2 Viết dưới dạng u xi yj r = r r+

khi biết toạ độ của vectơ ur là:

a) ur =(2; 3);- u r= -( 1;4);u r =(2;0);u r =(0; 1)-

b) u r =(1;3);u r=(4; 1);- u r=(1;0);u r=(0;0)

Bài 3 Cho a r=(1; 2),- b r=(0;3)

Tìm toạ độ của các vectơ sau:

a) x a b y a b z r r= +r; r r= -r; r=2a r-3b r

b) u 3a 2 ;b v 2 b w; 4a 1b

2

Bài 4 Cho a (2;0),b 1;1 ,c (4; 6)

2

r

a) Tìm toạ độ của vectơ d r =2a r-3b r+5c r

b) Tìm 2 số m, n sao cho: ma b nc 0 r+ -r r=r

c) Biểu diễn vectơ c r theo ,a b r r

Bài 5 Cho hai điểm A(3; 5), (1;0)- B

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho: OC uuur= -3uuur AB

b) Tìm điểm D đối xứng của A qua C

c) Tìm điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k = –3

Bài 6 Cho ba điểm A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0)

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Tìm các tỉ số mà điểm A chia đoạn BC, điểm B chia đoạn AC, điểm C chia đoạn AB

Bài 7 Cho ba điểm A(1; -2), B(0; 4), C(3; 2)

a) Tìm toạ độ các vectơ uuur uuur uuur AB AC BC, ,

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB

c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: CM uuur=2uuur uuur AB-3AC

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: uuur AN+2BN uuur uuur r-4CN =0

Bài 8 Cho ba điểm A(1; –2), B(2; 3), C(–1; –2)

a) Tìm toạ độ điểm D đối xứng của A qua C

b) Tìm toạ độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành cĩ 3 đỉnh là A, B, C

c) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC

Bài 9

a)

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG I Bài 1 Cho tam giác ABC với trực tâm H, B¢ là điểm đối xứng với B qua tâm O của đường

trịn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ giữa các vectơ uuur AH và B C AB và HC uuur uuur¢ ; ¢ uuur

Bài 2 Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh: uuur uuur uuur uuur AC BD AD BC+ = + =2IJ uur

b) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD 0 uuur uuur uuur uuur r+ + + =

c) Gọi P, Q là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD; M, N là trung điểm của các đoạn thẳng AD và BC Chứng minh rằng ba đoạn thẳng IJ, PQ và MN cĩ chung trung điểm

Bài 3 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB uuuur uuur uuur= +

, ME MA BC uuur uuur uuur= +

,

MF MB CA= +

uuur uuur uur

Chứng minh các điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M b) So sánh hai tổng vectơ: MA MB MC uuur uuur uuur+ +

và uuuur uuur uuur MD ME MF+ +

Bài 4 Cho DABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM

a) Chứng minh: 2IA IB IC uur uur uur r+ + =0

b) Với điểm O bất kì, chứng minh: 2OA OB OC uuur uuur uuur+ + =4OI uur

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm DABC

Chứng minh:

a) 2AI uur=2uuur uuur AO AB+

b) 3DG DA DB DC uuur uuur uuur uuur= + +