CHƯƠNG ICHUYÊN ĐỀ 2PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC 2 4 1 BÀI TẬP 5 TOÁN ĐẠI SỐ TOÁN ĐẠI SỐ ➉ 3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC... Phư
Trang 1CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
NHỊ THỨC NEWTON
CHUYÊN ĐỀ 2
Bài 3 Phương pháp quy nạp toán học
Bài 4 Nhị thức Newton
Bài tập cuối chuyên đề 2
NHÓM 15
Trang 2CHƯƠNG ICHUYÊN ĐỀ 2
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
1
MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÁC CỦA PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
2
4
1
BÀI TẬP
5
TOÁN ĐẠI
SỐ
TOÁN ĐẠI
SỐ ➉ 3 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Trang 31 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
thức sau
• Có nhận xét gì về các số ở vế
trái và ở vế phải của các đẳng thức trên?
• Từ đó hãy dự đoán công thức
tính tổng của số lẻ đầu tiên
.
Trang 4
1 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
thức sau
• Có nhận xét gì về các số ở vế
trái và ở vế phải của các đẳng thức trên?
• Từ đó hãy dự đoán công thức
tính tổng của số lẻ đầu tiên
Trang 5
1 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
a) Hãy tính: , , , và chứng tỏ
các kết quả nhận được đều là
số nguyên tố.
b) Hãy đưa ra một dự đoán cho
trong trường hợp tổng quát.
b) Trường hợp tổng quát
• Khẳng định là số nguyên tố với
mọi số tự nhiên là một khẳng định sai.
• Mặc dù khẳng định này đúng
với , nhưng nó lại sai khi
Thật vậy, với ta có là hợp số (vì
nó chia hết cho ).
Trang 6
1 Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Nhận xét: Để khẳng định một mệnh đề toán học phụ thuộc số tự
nhiên là đúng, ta cần phải chứng minh dù đã kiểm nghiệm nó với bao nhiêu giá trị của đi nữa.
***Chứng minh một mệnh đề toán học phụ thuộc đúng với , bằng
phương pháp quy nạp toán học , gồm hai bước sau:
Bước 1 Kiểm tra rằng mệnh đề là đúng với
Bước 2 Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên
luận.
Trang 7
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có
Lời giải: Ta chứng minh bằng quy nạp theo
• Bước 1 Với ta có Như vậy đúng cho trường hợp
• Bước 2 Giả sử đúng với thêm điều kiện , tức là ta có
Giả thiết quy nạp
Ta sẽ chứng minh rằng cũng đúng với thêm điều kiện , nghĩa là ta
sẽ chứng minh
Thật vậy, ta có:
Vậy đúng với mọi số tự nhiên
Trang 8
Luyện tập 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có
Lời giải: Bước 1: Với ta có: Vậy đúng với
Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng với , tức là ta có
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là ta sẽ chứng minh
Thật vậy, ta có:
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
Trang 9
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên (là một số tự nhiên nào đó) thì
• Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với.
• Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên và chứng minh
mệnh đề đúng với Kết luận.
Trang 10
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có
Lời giải: Ta chứng minh bằng quy nạp theo
Với , ta có Như vậy đúng với
Giả sử đúng với , tức là:
Ta sẽ chứng minh rằng công thức trên cũng đúng với , nghĩa là ta
sẽ chứng minh
.
Trang 11
Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp, ta có
Vậy đúng với mọi số tự nhiên
Trang 12
Luyện tập 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên , ta có
Lời giải: Với , ta có (đúng).
Giả sử đẳng thức đúng với nghĩa là ta có:
Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng với , nghĩa là ta sẽ chứng minh:
Thật vậy:
Vậy đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên
Trang 13
2 Một Số Ứng Dụng Khác Của Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
luôn chia hết cho 3 (3)
Lời giải: Ta chứng minh bằng quy nạp theo
Với ta có Vậy đúng với
Giả sử đúng với thêm điều kiện , tức là , ta cần chứng minh đúng với
Từ giả thiết quy nạp ta suy ra với là số tự nhiên nào đó.
Khi đó ta có
.
Vậy đúng với mọi số tự nhiên
Trang 14
2 Một Số Ứng Dụng Khác Của Phương Pháp Quy Nạp Toán Học
Nhận xét:
Vì trong hai số tự nhiên liên tiếp luôn có một số chẵn nên từ kết
quả của Ví dụ 3 suy ra: Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho