Skkn phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua giải bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT VĨNH LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT VĨNH LỘC

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA GIẢI BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH

MỤC LỤC

1 Mở đầu - 1

1.1 Lí do chọn đề tài - 1

1.2 Mục đích nghiên cứu - 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu - 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu - 2

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm - 2

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm - 2

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề - 3

2.3.1 Phương thức 1: Bổ sung một số kiến thức về tích phân từng phần và một số kĩ thuật giải các dạng toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần 3 2.3.2 Phương thức 2: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần để giải các bài toán tính tích phân mà trong biểu thức tích phân có chứa đạo hàm bậc nhất của hàm số

-11 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường - 16

3 Kết luận, kiến nghị - 17

3.1 Kết luận - 17

3.2 Kiến nghị - 17

Tài liệu tham khảo

-19 Danh mục các đề tài SKKN - 20

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trongquá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìmhiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiếnthức và các đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục Việt Nam có viết:

“Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ độngsáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡngphương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” Trong thời gian giảng dạy, tôiluôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đốitượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, kỹ năng giải toán cho học sinh mộtcách tốt nhất

Ngày nay trong đổi mới giáo dục toán học ở Việt Nam đã đặc biệt quan tâmđến phát triển năng lực của học sinh Các năng lực then chốt như: Năng lực giảiquyết vấn đề một cách sáng tạo, năng lực tính toán, năng lực tư duy và suy luận,năng lực ngôn ngữ, năng lực kết nối toán học với thực tiễn Việc nghiên cứuphương pháp tích phân từng phần để giải bài toán tính tích phân có nhiều khả nănggóp phần hình thành và phát triển năng lực nói trên đặc biệt là năng lực giải quyếtvấn đề và sáng tạo Để có năng lực cần phải có tri thức Tri thức toán học nóichung, tri thức về tích phân từng phần đóng vai trò là điều kiện thúc đẩy các hoạtđộng nhằm phát triển các năng lực của người học Chính vì lí do nói trên, tôi chọn

đề tài:

“Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua giải

bài toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần”

1.2 Mục đích nghiên cứu

Việc nghiên cứu đề tài với mục tiêu sau:

Bổ sung một số kĩ thuật để giải một số dạng toán về tích phân từng phầnnhằm làm phong phú thêm vai trò của phương pháp tích phân từng phần

Đề tài cũng đặc biệt quan tâm việc phát triển và mở rộng các bài toán trongchương trình phổ thông nhằm góp phần phát triển cho học sinh năng lực giải quyếtvấn đề và sáng tạo

1.3 Đối tượng nghiên cứu

dạng toán tính tích phân trong trường phổ thông.

Nghiên cứu các phương thức mở rộng và phát triển các bài toán trongchương trình trung học phổ thông

1.4 Phương pháp nghiên cứu

a, Nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp tích phân từngphần trong chương trình toán học phổ thông

b, Điều tra

- Thực dạy và kết quả kiểm tra

- Đàm thoại:

+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp

+ Trao đổi với các em học sinh về cách học

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong học tập cũng như trong cuộc sống, học sinh sẽ gặp các tình huống cóvấn đề cần giải quyết Việc nhận ra tình huống có vấn đề và giải quyết các tìnhhuống đó một cách thành công chính là năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo.Năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là khả năng của học sinh nhận ra các mâuthuẫn nhận thức trong các vấn đề học tập hoặc trong các vấn đề trong cuộc sống vàtìm ra được phương pháp để giải quyết mâu thuẫn, vượt qua các khó khăn và trởngại, từ đó học sinh tiếp thu được kiến thức, kĩ năng mới hoặc giải quyết vấn đềtrong thực tiễn

Sách giáo khoa và nhiều tài liệu đã trình bày kiến thức về phương pháp tíchphân từng phần và các ứng dụng của tích phân từng phần Tuy nhiên với thời lượngchương trình còn ít nên chưa đề cập sâu được các kiến thức cũng như hệ thống bàitập áp dụng phương pháp tích phân từng phần Trong khuôn khổ đề tài này, tôi bổsung thêm một số kiến thức về tích phân từng phần đồng thời chọn lọc một số bàitoán mà trước đây các tác giả đã giải bằng các cách khác, tôi hướng dẫn học sinhgiải bằng phương pháp tích phân từng phần Như vậy học sinh không chỉ giải theomột cách giải cũ mà luôn tìm tòi các cách giải mới Qua đó phát triển được nănglực giải quyết vấn đề và sáng tạo cũng như phát triển được năng lực học tập củabản thân

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

nội dung khó Mặc dù số tiết phân phối chương trình ít nhưng chúng ta thấy

dạng toán tính tích phân gặp nhiều trong các đề thi đặc biệt với dạng đề thi trắcnghiệm Khi gặp các bài toán tích phân, học sinh thường khó khăn để nhận ra dạngtích phân, từ đó không biết cách lựa chọn đúng phương pháp giải

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Để khắc phục những hạn chế đã nêu, trong đề tài này tôi hệ thống kiến thức

về tích phân từng phần, nêu các dạng toán tính tích phân bằng phương pháp tíchphân từng phần đồng thời chọn lọc các ví dụ, bài tập áp dụng phù hợp với đốitượng học sinh mà mình phụ trách Thông qua đó sẽ phát triển năng lực giải quyếtvấn đề và sáng tạo cho học sinh trong việc học toán ở trường phổ thông

2.3.1 Phương thức 1: Bổ sung một số kiến thức về tích phân từng phần và một

số kĩ thuật giải các dạng toán tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần.

2.3.1.1 Vai trò của việc thực hiện phương thức 1

Việc thực hiện phương thức đề ra nhằm vào các mục đích sau:

- Mở rộng tiềm năng huy động kiến thức khi giải các bài toán về tính tích phân

- Nhằm nhìn nhận một cách tổng quan các dạng toán tính tích phân

Lấy tích phân 2 vế với cận dưới là , cận trên là ta được:

Từ đó để tính tích phân từng phần, người ta thường áp dụng theo công thức sau:Nếu là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn thì:

Viết gọn là:

Đối với dạng bài tập tích phân từng phần, ta cần quan tâm thứ tự đặt Trước hếtcần đặt và sao cho tính và tìm dễ dàng nhất

Các bước để tính tích phân từng phần như sau:

Bước 1 Biến đổi tích phân đã cho về dạng

Bước 3 Khi đó:

Chú ý thứ tự ưu tiên chọn là: Lôgarit Đa thức Lượng giác Mũ

Các dạng toán cơ bản sử dụng phương pháp tích phân từng phần là:

Dạng toán 1 Gặp tích phân có các dạng sau:

* trong đó hàm số có chứa , đồng thời ta tách được như sau:

thì tiếp tục ta đặt Đặc biệt nếu tích phân có dạng: với là hàm số đa thức thì ta đặt

* đồng thời ta tách được như sau:

thì tiếp tục ta đặt Đặc biệt nếu tích phân có dạng: với là hàm số đa thức thì

* đồng thời ta tách được như sau:

thì tiếp tục đặt Đặc biệt nếu tích phân có dạng: với là hàm số đa thức thì

Dạng toán 2 Gặp tích phân có dạng thì ta đặt

Dạng toán 3 Gặp tích phân có dạng:

* trong đó hàm số có chứa tích của và , đồng thời ta tách

Còn nếu khi chúng ta tách được: thì ta tiếp tục đặt

* trong đó hàm số có chứa tích của và , đồng thời ta tách

Còn nếu khi chúng ta tách được: thì ta tiếp tục

Sau đây là một số ví dụ minh họa được lấy từ các nguồn tài liệu, đề thi thử tốt

nghiệp THPT năm 2021 và các ví dụ do bản thân tự làm, tự nghiên cứu

Ví dụ 1 Cho biết ; với Tính giá trị biểu thức

[5]

Phân tích: Ta nhận thấy hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hàm số đathức và hàm số mũ Vì vậy với tích phân này ta áp dụng phương pháp tích phântừng phần

Lời giải:

Đặt

Khi đó:

Ví dụ 2 Cho biết ; với là các số hữu tỉ Tính giá

trị biểu thức [5]

Phân tích: Ta nhận thấy hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hàm số đathức và hàm số sin Vì vậy với tích phân này ta áp dụng phương pháp tích phântừng phần

Đặt

Khi đó:

Suy ra

Ví dụ 3 Cho biết ; với là các số nguyên Tính

giá trị biểu thức [5]

Phân tích: Ta nhận thấy hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hàm số mũ vàhàm số cosin Vì vậy với tích phân này ta áp dụng phương pháp tích phân từngphần

Ví dụ 4 Cho biết , với là các số hữu tỉ; là các

số nguyên tố và Tính (Trích đề thi khảo sát chất lượng lớp

12 của Sở GD và ĐT Thanh Hóa ngày 25/4/2021, mã đề 105, câu 44)

Phân tích: Ta nhận thấy hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hàm số đathức và hàm số lôgarit vì vậy chúng ta áp dụng phương pháp tích phân từng phần.Lời giải:

Điểm nhấn của lời giải này, tôi cho rằng rất sáng tạo là khi tính thông thường

, với bài này thì giáo viên hướng dẫn học sinh chọn giúp việc tính tích phân sau trở nên đơn giản hơn nhiều Với bài tương tự sau đây

sẽ giúp học sinh tự phân tích và tìm ra hướng giải

Ví dụ 5 Cho biết , với là các số hữu tỉ; là sốnguyên tố Tính [5]

Phân tích: Ta nhận thấy hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hàm số đathức và hàm số lôgarit vì vậy chúng ta áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Vậy

Ví dụ 7 Cho biết , với và là các số

nguyên tố Tính (Trích đề thi đánh giá chất lượng lớp 12 năm học

2020 – 2021 của trường Đại học Hồng Đức, mã đề 168, câu 48)

Phân tích: Ta nhận thấy hàm số trong dấu tích phân có dạng tích của hàm số lôgarit

và hàm số nên ta áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Bài 2 Cho biết ; với là các số hữu tỉ Tính giá trị biểu thức

2.3.2.1 Vai trò của việc thực hiện phương thức 2

- Thực hiện phương thức này giúp học sinh biết cách giải quyết vấn đề và pháttriển cách giải quyết vấn đề một cách sáng tạo

- Thực hiện phương thức 2 nhằm giúp học sinh phát hiện tìm tòi cách giải nhờ sửdụng phương pháp tích phân từng phần Biết khai thác sử dụng giả thiết của bàitoán, đưa tích phân của hàm số chưa biết về tích phân đã biết Từ đó góp phần pháttriển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong dạy - học

- Tăng cường cơ sở định hướng cách huy động đúng đắn kiến thức cho việc lậpluận giải các dạng toán tính tích phân

2.3.2.2 Nội dung cụ thể:

Trong phương thức 2 này ngoài việc sử dụng các kiến thức trong phươngthức 1, chúng ta kết hợp với việc sử dụng tính chất sau của nguyên hàm:

Sau đây là một số ví dụ minh họa được lấy từ các nguồn tài liệu, đề thi thử tốtnghiệp THPT năm 2021 và các ví dụ do bản thân tự làm, tự nghiên cứu

Ví dụ 1 Cho hàm số có đạo hàm trên thỏa mãn và

Phân tích: Hàm số trong dấu tích phân có dạng tích , mặt khác đề bàiyêu cầu tính Chính vì vậy chúng ta có hướng giải là đặt và

Khi đó Lời giải:

Phân tích: Hàm số trong dấu tích phân có xuất hiện dạng tích: Đồngthời dễ dàng tính vi phân của và tìm được 1 nguyên hàm của là

Từ đó chúng ta có lời giải sau đây

Nhận xét: Nhận thấy hàm số có chứa nên cho tương ứng với

Chính vì vậy chúng ta sử dụng phương pháp đổi biến số đặt Ngoài ra lời giải này còn sử dụng một tính chất của tích phân:

Ví dụ 5 Cho hàm số có đạo hàm trên và thỏa mãn:

Bài 2 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

Bài 3 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

Kết quả:

Bài 4 Cho hàm số có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn

* Học sinh:

Thông qua đề tài này học sinh đã phần nào bỏ bớt đi tính thụ động trong giải toán Một bài toán đặt ra có nhiều cách giải khác nhau Học sinh phải luôn tìm tòi,sáng tạo để tìm ra cách giải hay nhất Vận dụng kiến thức tích phân từng phần đểgiải toán giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về phương pháp tích phântừng phần, thấy được vai trò của phương pháp tích phân từng phần Qua đó pháttriển được năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo khi học tích phân cũng như họctập môn toán

Học sinh học tập có nhiều tiến bộ và thu được kết quả khả quan Điểm tổng kếtmôn toán của 2 lớp 12 năm học 2020-2021 mà bản thân phụ trách:

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém

Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinhlàm mục đích chính; luôn trau dồi kiến thức, phương pháp; luôn tìm tòi nghiên cứuchương trình, đối tượng học sinh cụ thể để đưa ra phương pháp truyền thụ kiếnthức phù hợp đạt kết quả cao nhất trong giảng dạy Bản thân phải thấy được sự cốgắng và quan tâm tới sự tiến bộ của các em, khích lệ tuyên dương kịp thời để làmđòn bẩy giúp các em tiến bộ

Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủđộng tiếp cận kiến thức một cách khoa học Cần phát huy tính sáng tạo, tìm tòi cáchgiải mới Từ đó phát triển được năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo đồng thời

3.2 Kiến nghị:

Đây không phải là một sáng kiến mới và cũng không mang tính tuyệt đốitrong việc dạy cho học sinh giải các bài toán tính tích phân bằng phương pháp tíchphân từng phần Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu nổ lực của bảnthân cùng với sự giúp đỡ của các đồng nghiệp tôi đã đúc kết được một số phươngthức làm phong phú hơn vai trò của tích phân từng phần Đồng thời phát triển nănglực giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh trong học toán Hy vọng tài liệu này

sẽ giúp ích cho các giáo viên và học sinh Với khả năng và ngôn ngữ của bản thâncòn có phần hạn chế nên không thể tránh khỏi thiếu sót; rất mong hội đồng khoahọc và các đồng nghiệp giúp đỡ, góp ý để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụngrộng rãi trong dạy học

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung củangười khác

Người viết SKKN

Hà Ngọc Long

Tài liệu tham khảo[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo, Giải tích 12, NXB Giáo dục Việt Nam.

[2] Đặng Việt Đông Các dạng tích phân hàm ẩn điển hình

[3] Đề thi thử tốt nghiệp THPT của một số trường năm học 2020 - 2021

[4] Trần Sĩ Tùng Tuyển tập 200 bài tập tích phân hay và khó

[5] Tự làm, tự nghiên cứu

DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH

GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD & ĐT XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Hà Ngọc Long

Năm học đánh giá xếp loại

1 Cách tìm hiểu và khai thác

2

Phát triển năng lực phát

hiện và giải quyết vấn đề

cho học sinh thông qua

giải một số bài toán bằng

ứng dụng của tích vô

hướng

Sở GD & ĐT C 2017 - 2018