Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.... Làm thế nào để giúp các em giải nhanh các bài toán trắc nghiệm liên quan đế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Giảng viên hướng dẫn : ThS Ngô Thị Bích Thủy

Sinh viên thực hiện : Vũ Thị Thu Hiền

Lớp : 18ST

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2022

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học

Sư phạm – Đại học Đà Nẵng đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, cho phép tôi được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô Ngô Thị Bích Thủy, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn những ý kiến quý báu, sự động viên, giúp đỡ nhiệt tình của gia đình, người thân, bạn bè, nhất là các bạn lớp 18ST trong quá trình tôi làm khóa luận tốt nghiệp này

XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Đà Nẵng, tháng 01 năm 2022

Sinh viên

Vũ Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 1

MỤC LỤC 2

MỞ ĐẦU 4

1 Lý do chọn đề tài 4

2 Mục đích nghiên cứu 4

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

4 Phương pháp nghiên cứu 4

5 Bố cục khóa luận 5

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Tính đơn điệu của hàm số 6

1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.2 Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm 6

1.1.3 Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số 7

1.2 Cực trị của hàm số 7

1.2.1 Định nghĩa 7

1.2.2 Chú ý 8

1.2.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị 9

1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 10

1.3.1 Định nghĩa 10

1.3.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn 12

1.4 Khảo sát sự biến thiên và dạng đồ thị của hàm số 12

1.4.1 Hàm số y ax= 3 +bx2 +cx d a+ (  0) 12

1.4.2 Hàm số y ax= 4 +bx2 +c a(  0) 13

1.4.3 Hàm số y ax b(c 0,ad bc 0) cx d + =  −  + 14

1.5 Một số chú ý khi giải bài toán trắc nghiệm 16

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG TOÁN TRUNG HỌC PHỔ

THÔNG 17

2.1 Dạng 1 Bài toán về tính đơn điệu của hàm số 17

2.1.1 Loại 1 Bài toán không chứa tham số 17

2.1.2 Loại 2 Bài toán chứa tham số 23

2.2 Dạng 2 Bài toán về cực trị của hàm số 26

2.2.1 Loại 1 Xác định điểm cực trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số, tìm giá trị cực trị của hàm số 26

2.2.2 Loại 2 Tìm điều kiện hàm số đã cho có điểm cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước 28

2.3 Dạng 3 Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 31

2.3.1 Loại 1 Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên đoạn a b;  (khoảng ( )a b; ) 31

2.3.2 Loại 2 Xác định m để hàm số đạt giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trên đoạn a b;  (khoảng ( )a b; ) 34

2.3.3 Loại 3 Ứng dụng của giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất vào thực tiễn, giải quyết các vấn đề tối ưu 35

2.4 Dạng 4 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 37

2.4.1 Loại 1 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm 37

2.4.2 Loại 2 Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến khi biết phương (biết hệ số góc k) 40

KẾT LUẬN 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO 45

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi, Toán học là nền tảng cho tất cả các ngành khoa học tự nhiên khác Trong chương tình toán trung học phổ thông, việc dạy học ứng dụng đạo hàm đóng vai trò quan trọng trong việc rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh Đặc biệt, trong các năm gần đây, đề thi trung học phổ thông Quốc Gia đã chuyển sang hình thức trắc nghiệm khách quan Làm thế nào để giúp các em giải nhanh các bài toán trắc nghiệm liên quan đến ứng dụng đạo hàm trong thời gian vài phút là vấn đề trăn trở?

Là sinh viên sư phạm, với mong muốn trang bị kiến thức vững chắc về bài toán trắc nghiệm liên quan đến ứng dụng đạo hàm cho bản thân nói riêng và sinh viên khoa

toán sắp ra trường nói chung, tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Một số phương pháp giải nhanh các bài toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm trong chương trình toán trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Đưa ra một số phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm trong chương trình trung học phổ thông nhằm giúp học sinh lĩnh hội và sáng tạo khi học chương ứng dụng đạo hàm

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

− Nghiên cứu cơ sở lí luận

− Nghiên cứu các phương pháp giải nhanh bài toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm

4 Phương pháp nghiên cứu

− Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số tài liệu liên quan tới phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm nhằm hiểu rõ nội dung ứng dụng đạo hàm để từ đó rút ra được cách giải nhanh

− Nghiên cứu thực tế: Trao đổi với một số giáo viên trung học phổ thông dạy chương ứng dụng đạo hàm – Giải tích lớp 12 (sách giáo khoa hiện hành) để tham khảo các kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh giải các bài toán trắc nghiệm về ứng dụng đạo hàm

5 Bố cục khóa luận

Khóa luận gồm có 2 chương sau:

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1.2 Cực trị của hàm số

1.3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

1.4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

1.5 Một số chú ý khi giải bài toán trắc nghiệm

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Dạng 1: Bài toán về tính đơn điệu của hàm số

2.2 Dạng 2: Bài toán về cực trị của hàm số

2.3 Dạng 3: Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

2.4 Dạng 4: Bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của hàm số

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Tính đơn điệu của hàm số

1.1.1 Định nghĩa

Hàm số đồng biến nghịch biến trên K (với K là một khoảng (đoạn, nửa

khoảng)) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K

1.1.2 Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

1.1.2.1 Định lý

Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên K Khi đó:

− Nếu f x( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) đồng biến trên K

− Nếu f x( ) 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f x( ) nghịch biến trên K Tóm lại, trên K:

− f x( )  0 f x( ) đồng biến

− f x( )  0 f x( ) nghịch biến

Chú ý: Nếu f x( )=   0, x K thì f x( ) không đổi trên K

1.1.2.2 Định lý mở rộng

a Giả sử hàm số f x( ) có đạo hàm trên khoảng K

− Nếu f x( ) 0 với mọi x K và f x( )= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của

Kthì hàm số đồng biến trên K

− Nếu f x( ) 0 với mọi x K và f x( )= 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của

Kthì hàm số nghịch biến trên K

− Nếu f x( )= 0 với mọi x K thì f x( ) không đổi trên K

b Giả sử hàm số f x( ) liên tục trên nửa khoảng a b; ) và có đạo hàm trên khoảng ( )a b,

− Nếu f x( ) 0 (hoặc f x( ) 0) với mọi x( )a b; thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng a b; )

− Nếu f x( )= 0 với mọi x( )a b; thì hàm số không đổi trên nửa khoảng

− Nếu tồn tại h 0 sao cho f x( ) ( ) f x0 với mọi x(x0 −h x; 0 +h) và

0

x x thì ta nói hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại x0

Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y =0 hoặc y không xác định được thể hiện ở hình 1

− Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên khoảng ( )a b, và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0 thì f x( )0 = 0

1.2.3 Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1.2.3.1 Định lý

Giả sử hàm số y f x= ( )liên tục trên khoảng K =(x0 −h x; 0 +h) và có đạo hàm trên

K hoặc K x\ 0 , với h 0

− Nếu f ( )0  0 trên khoảng (x0 −h x; 0) và f ( )0  0 trên khoảng (x x0 ; 0 +h)

thì x0là một điểm cực đại của hàm số f x( )

− Nếu f ( )0  0 trên khoảng (x0 −h x; 0) và f ( )0  0 trên khoảng (x x0 ; 0 +h)

thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x( )

Hình 2 mô tả điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

− Bước 3: Lập bảng biến thiên

− Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị

Cho hàm số y f x= ( ) xác định trên tập D Khi đó:

− Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x= ( ) trên tập D nếu

Đến đây, ta có thể kết luận: Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số được xét trên vùng lân cận với điểm cực trị, vì vậy cho nên thường được gọi là “cực trị địa phương”, còn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số được xét trên toàn miền Ví dụ cụ thể khi thể hiện giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) và điểm cực đại (cực tiểu) của đồ thị hàm số được thể hiện ở hình 3

Hình 3

Ta thấy giá trị cực đại và giá trị lớn nhất của hàm số khác nhau Điểm cực đại nằm giữa khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến, còn giá trị lớn nhất là tung độ của điểm “cao nhất” của đồ thị hàm số trên a b;  Chú ý rằng, ở hình 3 giá trị lớn nhất của hàm số có thể nằm ở điểm đầu mút của a b; , giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) có thể trùng với giá trị cực trị của hàm số Ta thấy đây là đồ thị của một hàm liên tục có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, nên ta có định lý sau đây:

Định lý: Mọi hàm số liên tục trên a b;  có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn a b; 

Chú ý: Với hàm liên tục luôn có một giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất đó có thể đạt được tại không chỉ một điểm x a= mà có thể nhiều hơn

Ví dụ: Như hình 4 với đồ thị hàm số f x( )= − 9 x2 trên

1.3.2 Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn

a Nhận xét

− Nếu đạo hàm f x( ) giữ nguyên dấu trên đoạn a b;  (hay nói cách khác là hàm số đơn điệu trên đoạn a b; ), khi đó f x( ) đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đầu mút của đoạn

− Nếu chỉ có một số hữu hạn các điểm x x i( i x i+1) mà tại đó f x( ) bằng 0hoặc không xác định thì hàm số y f x= ( ) đơn điệu trên mỗi khoảng (x x i; i+1) Rõ ràng giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của hàm số trên đoạn a b;  là số lớn nhất (số nhỏ nhất) trong các giá trị của hàm số tại hai đầu mút a b, và các điểm x i nói trên

Các kết quả đáng chú ý về đồ thị hàm bậc ba như sau:

− Kết quả 1: Đồ thị hàm số y ax= 3 +bx2 +cx d a+ (  0) (có y = 3ax2+ 2bx c+ ) hoặc có hai điểm cực trị hoặc là không có điểm cực trị nào

+ Đồ thị hàm số có điểm cực trị  = y b2 − 3ac 0 + Đồ thị hàm số không có điểm cực trị  = y b2 − 3ac 0

− Kết quả 2: Đồ thị hàm số bậc ba luôn cắt trục hoành tại ít nhất một điểm

− Kết quả 3: Đồ thị hàm số bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Lưu ý: Các kết quả trên rất quan trọng trong việc nhận dạng đồ thị

1.4.2 Hàm số y ax= 4 +bx2 +c a(  0)

Dạng đồ thị hàm số y ax= 4 +bx2 +c a(  0), như sau:

Các kết quả đáng chú ý về hàm số bậc bốn trùng phương như sau:

− Kết quả 1: Hàm số trùng phương hoặc có ba điểm cực trị khi (ab 0), hoặc

có duy nhất một điểm cực trị khi ab 0

− Kết quả 2: Đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương nhận trục tung làm trục đối xứng

− Kết quả 3: Nếu đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương có ba điểm cực trị thì ba điểm cực trị này tạo thành một tam giác cân tại đỉnh thuộc trục tung

− Kết quả 4: Đồ thị của hàm số bậc bốn trùng phương cắt trục hoành tại bốn

điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng 2

0, 01009

Các kết quả đáng chú ý về hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất như sau:

cx d

−

 =+ luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên từng khoảng xác định (hay nói cách khác là đồng biến hoặc nghịch biến

− Kết quả 3: Đồ thị hàm số y ax b

cx d

+

=+ có đường tiệm cận đứng là đường

− Kết quả 5: Tích hai khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đồ thị hàm

−

− Kết quả 6: Đường thẳng y mx n= + cắt đồ thị hàm số y ax b

cx d

+

=+ tại hai điểm phân biệt M N, và cắt hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số tại A B, thì ta có

MA NB=

1.5 Một số chú ý khi giải bài toán trắc nghiệm

− Đọc đề cần thận, làm theo thứ tự từ dễ đến khó, không để sai những câu

cơ bản Xác định những câu có thể làm ngay để ưu tiên giải quyết trước, đọc một câu khoảng 30 giây mà không có hướng giải thì nên bỏ qua để làm câu khác

− Không được bỏ sót câu nào, đối với những câu không biết thì lô tô

− Nên xem các phương án A, B, C, D như là một phần giả thiết của đề toán,

để từ đó định hướng phán đoán cách giải hoặc có thể loại suy đáp án

− Nhận dạng, sử dụng các phương pháp thích hợp, kết hợp nhuần nhuyễn các kĩ năng đổi biến, tích phân từng phần

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Dạng 1 Bài toán về tính đơn điệu của hàm số

2.1.1 Loại 1 Bài toán không chứa tham số

❖ Giải thông thường

− Bước 1: Tìm tập xác định

− Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số

− Bước 3: Kiểm tra dấu y để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Suy ra kết quả

❖ Giải nhanh: Sử dụng lệnh TABLE trong máy tính CASIO để chọn đáp án như sau:

− Bước 1: MODE 7, nhập hàm số cần tìm giá trị

− Bước 2: Start? Nhập x bắt đầu từ đâu

− Bước 3: End? Nhập x kết thúc ở đâu

− Bước 4: Step? Bước nhảy giữa các giá trị, tính từ điểm đầu mút

a Ví dụ 1: Hàm số nào sau đây là hàm số đồng biến trên ?

Giải thông thường

Hàm số không thể đồng biến trên vì y(0)= − 3 0, do đó đáp án A

bị loại

− Với hàm số y x x= 2 + 1 xác định trên vì:

2 2

Do đó đáp án B là đúng, tới đây ta dừng lại

Giải nhanh: Sử dụng máy tính bỏ túi để thử đáp án:

− Kiểm tra đáp án A

+ Bước 1: MODE 7, nhập hàm số ( 2 )2

y= x + − x + Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ −5 + Bước 3: End: Nhập mốc x kết thúc tại 5

+ Bước 4: Step: Bước nhảy là 1 Sau khi nhập máy hiện như hình:

Nhận thấy khi x chạy từ -5 tới 0 thì giá trị của hàm số tăng nhưng khi x chạy

từ 1 tới 5 thì giá trị của hàm số giảm nên đáp án A → Loại

− Kiểm tra đáp án B

+ Bước 1: MODE 7, nhập hàm số y x x= 2 + 1 + Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ −5 + Bước 3: End: Nhập mốc x kết thúc tại 5

+ Bước 4: Step: Bước nhảy là 1

Sau khi nhập máy hiện như hình:

Nhận thấy khi x chạy từ -5 tới 5 thì giá trị tăng nên đáp án B → Có thể nhận

− Kiểm tra đáp án C

+ Bước 1: MODE 7, nhập hàm số y x 1

x

= − + Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ −5 + Bước 3: End: Nhập mốc x kết thúc tại 5

+ Bước 4: Step: Bước nhảy là 1 Sau khi nhập máy hiện như hình:

Nhận thấy khi x =0 hàm số không xác định nên đáp án C → Loại

− Kiểm tra đáp án D

+ Bước 1: MODE 7, nhập hàm số y= −cotx + Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ −5

Nhận thấy khi x =0 hàm số không xác định nên đáp án D → Loại

Vậy đáp án chính xác là đáp án B

Nhận xét: Ta có thể kết hợp việc sử dụng điều kiện cần để hàm số đơn điệu trên

D là phải xác định trên D để loại ra câu C và D sau đó ta dùng máy tính bỏ túi với những đáp án còn lại để tìm ra đáp án cuối cùng

b Ví dụ 2: Hàm số y= x x− 2 nghịch biến trên khoảng:

− Nhận thấy điều kiện là x    0;1 , do vậy loại luôn đáp án C và D

− Ở đáp án B và A, các đầu mút của các khoảng cách nhau 0,5, do vậy ta có thể chọn STEP là 0,1 khi sử dụng TABLE trong máy tính

+ Bước 1: MODE 7, nhập hàm số y= x x− 2

+ Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ 0

+ Bước 3: End: Nhập mốc x kết thúc tại 1

+ Bước 4: Step: Bước nhảy là 0,1

Sau khi nhập máy hiện như hình:

Nhận thấy khi x chạy từ 0 tới 0,5 thì giá trị của hàm số tăng, tức hàm số đồng

A Hàm số đồng biến trên các khoảng (− 2;0) và (2;+)

B Hàm số đồng biến trên các khoảng (− − ; 2) và ( )0;2

C Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− − ; 2) và (2;+)

D Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− 2;0) và (2;+)

Giải:

Đáp án A

− Bước 2: Start: Nhập mốc x bắt đầu từ −5

− Bước 3: End: Nhập mốc x kết thúc tại 5

− Bước 4: Step: Bước nhảy là 1

Sau khi nhập máy hiện như hình:

Nhận thấy giá trị của hàm số tăng khi x chạy từ -2 đến 0 và từ 2 đến 5, giá trị của hàm số giảm khi x chạy từ -5 đến -2 và từ 0 đến 2

Do đó ta có thể xác định được hàm số đồng biến trên các khoảng (− 2;0) và (2;+)

và nghịch biến trên các khoảng (− − ; 2) và ( )0;2 Nên chọn câu A