CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂMCÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

Ⓐ.Tóm tắt lý thuyết:

XU THẾ TRUNG TÂM Chương V:

*Số trung bình ( số trung bình cộng ) của mẫu số liệu , kí hiệu là , được tính bằng công thức:

*Chú ý: Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:

Trong đó là tần số của giá trị và

*Ý nghĩa Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để dại diện cho mẫu số liệu

*Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm mà dùng số trung vị

Để tìm trung vị (kí hiệu ) của một mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

- Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

- Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu

*Ý nghĩa Trung vị là giá trị chia đôi mẫu số liệu, nghĩa là trong mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm thì giá trị trung vị ở vị trí chính giữa Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường trong khi số trung bình bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường

① SỐ TRUNG BÌNH VÀ TRUNG VỊ

* Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có giá trị, ta làm như sau:

- Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

- Tìm trung vị Giá trị này là

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái (không bao gồm nếu lẻ) Giá trị này là

- Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải (không bao gồm nếu lẻ) Giá trị này là

được gọi là các tứ phân vị của mẫu số

 Chú ý được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên

bốn phần, mỗi phần đều chứa giá trị

② TỨ PHÂN VỊ

*Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất

*Ý nghĩa Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau

③ MỐT

5.20 8.21 11.22 10.23 6.24

22,140

+ Số trung bình cộng của các số liệu thống kê được tính theo công thức:

Trong đó: là giá trị khác nhau của dấu hiệu X

+ Trong trường hợp mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính bằng công thức:

Trong đó: là giá trị khác nhau của dấu hiệu X

là các tần số tương ứng

* Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu Nó

là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu

➊ Dạng 1 Tìm số trung bình

Giải Điểm số trung bình của xạ thủ là:

6.4 7.3 8.8 9.9 10.6

8,3330

2.9 1.10 2.11 10.12 8.13 8.14 24.15 14.16 18.17 10.18 3.19

15,13100

2 20 42 10 16

a) Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 1

b) Tìm số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 2

c) Hỏi nhóm nào có thu nhập cao hơn?

Giải a) Số trung bình của thu nhập gia đình/năm của nhóm 1

1

4.12,75 40.13, 25 73.13,75 0.14, 25 3.14,75

13,575120

c) So sánh thu nhập trung bình của hai nhóm: nhóm 2 có thu nhập cao hơn

II Bài Tập Trắc Nghiệm:

Câu 1 Điểm kiểm tra môn Toán cuối năm của một nhóm gồm 9 học sinh lớp 6 lần lượt là 1; 1; 3; 6; 7;

8; 8; 9; 10 Điểm trung bình của cả nhóm gần nhất với số nào dưới đây?

A 7,5 B 7 C 6,5 D 5,9

Lời giải

Số trung bình cộng của bảng đã cho là

 4.2 5.8 6.7 7.10 8.8 9.3 10.2 : 40 6,775 6,8         

Câu 3 Thời gian chạy 50m của 20 học sinh được ghi lại trong bảng dưới đây:

Thời gian (giây) 8,3 8,4 8,5 8,7 8,8

Hỏi trung bình mỗi học sinh chạy 50m hết bao lâu?

Lời giải Chọn D

Thời gian trung bình để mỗi học sinh chạy được 50m là

8,3.2 8,4.3 8,5.9 8,7.5 8,8 8,53

20

Câu 4 Một tổ học sinh gồm 10 học sinh có điểm kiểm tra giữa học kì 2 môn toán như sau:

5;6;7;5;8;8;10;9;7;8 Tính điểm trung bình của tổ học sinh đó

A 7 B 8 C 7,3 D 7,5

Lời giải Chọn C

Điểm trung bình của tổ học sinh đó là: 5.2 6 7.2 8.3 9 10 7,3

A 3725000 đồng B 3745000 đồng C 3715000 đồng D 3625000 đồng.

Lời giải Chọn A

Ta có tiền thưởng trung bình được tính theo công thức:

2.5 3.15 4.10 5.6 6.4

3, 72540

Câu 6 Số trung bình của mẫu số liệu 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41 là

Lời giải Chọn B

1 2 3 4 5 6

Số hộ gia đình

1 4 7 11 5 2

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

A 3,5 B 2 C 3,7 D 5

Lời giải Chọn C

Số trung bình: 1 1.111 3.112 4.113 5.114 4.115 2.116 1.117 113,9

20

Câu 9 Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của

trường A, người điều tra chọn một mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng phân bố tần số sau đây

Tần số 1 1 3 5 8 13 19 24 14 10 2 N=100

Số trung bình của bảng số liệu trên là

Lời giải Chọn A

Ta có số trung bình cộng là

1 1 2 2 0.1 1.1 2.3 10.2

6, 23100

Câu 10 Kết quả thi tốt nghiệp THPT môn Toán trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm vừa qua của trường

A được cho trong bảng sau:

Điểm trung bình môn Toán trong kỳ thi tốt nghiệp THPT năm vừa qua của các học sinh của trường A là:

0.0 0.1 3.2 5.3 15.4 30.5 52.6 36.7 25.8 8.9 2.10

6,12178

 Bài tập minh họa:

I Bài Tập Tự Luận:

Bài 1: Điểm kiểm tra thường xuyên môn toán của tổ 1 như sau: 9 8 10 8 7 9 9 Tìm số trung

vị của mẫu số liệu trên

Lời giải Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 7 8 8 9 9 9 10

Do mẫu số liệu có 7 giá trị nên số trung vị nằm chính giữa  Me 9

Bài 2: Chiều cao (đơn vị cm) của 8 bạn học sinh lớp 10 cho như sau:

Tìm số trung vị của mẫu số liệu trên

Lời giải Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

Phương pháp: Để tìm số trung vị (ký hiệu ) của mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

* Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

* Nếu số giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu số liệu là trung vị Nếu là

số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu số liệu

➋ Dạng 2 Tìm số trung vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

Do mẫu số liệu có 7 giá trị nên số trung vị nằm chính giữa  Me 52

Nhận xét: trong hai số liệu trên thì số trung vị đại diện tốt hơn cho chiều dài của cá voi trưởng thành

Bài 4: Cho mẫu số liệu gồm ba số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình bằng 6 và số trung

vị bằng 7, hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu bằng 9 Hãy tìm các giá trị của mẫu số liệu

Lời giải Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a b c, , với a b c  và a b c , , *





  

Vậy các giá trị của mẫu số liệu là 1, 7 ,10

Bài 5: Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 6 và số trung

vị là 5 Tìm các giá trị của mẫu số liệu đó sao cho hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là a b c d, , , với a b c d   và a b c d , , ,  *

TH2: Với b3

Do: b c 10 c 10 b 7

Ta có hai mẫu số liệu là 1; 4 ; 6;13 và 2 ; 4 ; 6 ;12 và 3 ; 4 ; 6 ;11

Do hiệu của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ nhất nên mẫu số liệu 3 ; 4 ; 6 ;11 thỏa mãn

II Bài Tập Trắc Nghiệm:

Câu 1 Chọn câu trả lời đúng trong bốn phương án sau: người ta xác định cân nặng của 10 học sinh và

xếp thứ tự không giảm Số trung vị của 10 học sinh là

A Khối lượng của học sinh thứ 5

B Khối lượng của học sinh thứ 6

C Không tìm được trung vị

D Khối lượng trung bình của em thứ 5 và thứ 6

Lời giảiChọn D

Vì có 10 học sinh tham gia khảo sát và xếp thứ tự không giảm nên số trung vị của 10 học sinh

là khối lượng trung bình của em thứ 5 và thứ 6

Câu 2 Điểm thi môn toán cuối năm của một nhóm gồm 7 học sinh là 3;4;5;6;7;8;9 Số trung vị của

dãy số đã cho là

Lời giảiChọn C

Mẫu số liệu đã cho có 7 phẩn tử đã sắp xếp theo thứ tự không giảm Nên số trung vị là số đứng chính giữa của dãy

Vậy số trung vị là Me 6

Câu 3 Cho mẫu số liệu thống kê  6;4;4;1;9;10;7  Số liệu trung vị của mẫu số liệu thống kê trên là:

Lời giảiChọn B

Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm là:

1 4 46 7 9 10 Vậy trung vị là số chính giữa của dãy Me 6

Câu 4 Cho bảng số liệu ghi lại điểm của 40 học sinh trong bài kiểm tra 1 tiết môn toán

Số trung vị là

Lời giảiChọn B

Bảng thống kê đã cho gồm 40 số liệu nên số trung vị bằng trung bình cộng số điểm của học sinh thứ 20 và học sinh thứ 21

Câu 5 Bảng xếp loại học lực của học sinh lớp 10 Acủa trường THPT X, năm học 2021-2022

Học lực Kém Yếu Trung bình Khá Giỏi Cộng

Số trung vị của bảng trên là

Lời giải Chọn D

Bảng thống kê đã cho gồm 43 số liệu nên số trung vị là hạnh kiểm của học sinh ở vị trí 22 Do

đó số trung vị Melà học lực Khá

Câu 6 Số quần bán được trong một quý ở một cửa hàng thời trang được thống kê ở bảng sau:

Size 26 27 28 29 30 31 32 Cộng

Số quần bán 128 105 119 16 8 2 1 379 Tìm số trung vị Me?

Lời giảiChọn D

Số quần bán được là 379 chiếc

 Số trung vị Me là số chính giữa của dãy khi xếp số quần bán được thành một dãy không giảm Do đó số trung vị là quần có size đứng ở vị trí 190 Me 27

Câu 7 Thống kê 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là 20) Kết quả cho trong

Bảng thống kê đã cho gồm 100 số liệu nên số trung vị bằng trung bình cộng số điểm của hai học sinh thứ 50 và 51 trong bảng số liêu

Ta có trung vị 15 16 15,5

2

e

Câu 8 Khối lượng (đơn vị: pound; 1 pound = 4,54 kg) của một nhóm người tham gia câu lạc bộ sức

khỏe được ghi lại như sau:

Sắp xếp 26 giá trị trong bảng dữ liệu theo thứ tự không giảm như sau:

Câu 9 Cho mẫu số liệu gồm ba số tự nhiên khác nhau và khác 0, biết số trung bình là 9 , số trung vị

bằng 9 và số lớn nhất gấp đôi số nhỏ nhất Tính tổng bình phương các giá trị của mẫu số liệu

đó

Lời giảiChọn B

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là ; ;a b c với a b c a b c   , ,  *

Do đó các giá trị của mẫu số liệu là 6 ,9 ,12 Vậy a2    b2 c2 62 9 122 2261

Câu 10 Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác nhau và khác 0, có tổng bằng 22, số trung vị là 11

Giả sử các giá trị của mẫu số liệu là , , ,a b c d với a b c d a b c d    , , ,  *

Ta có hệ:  

2 2 2 2

2 2 2 2

10166

111

*11

11

1669

+ Với c  7 b 11 7 4

Do đó các giá trị của mẫu số liệu là 1, 4, 7,10 Vậy a bc d 1.4.7.10 280.

 Bài tập minh họa:

I Bài Tập Tự Luận:

Câu 1 Điểm kiểm tra toán của một lớp cho kết quả như sau: 7; 9; 6; 10; 5; 8; 4 Tứ phân vị thứ nhì của

mẫu số liệu trên là

Lời giải

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10

Tứ phân vị thứ nhì là trung vị của dãy số liệu là:

2 7

Q 

Câu 2 Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu: 27; 15; 18; 30; 19; 40; 100; 9; 46; 10; 200

Lời giải

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 9; 10; 15; 18; 19; 27; 30; 40; 46; 100; 200

Tứ phân vị thứ nhì là trung vị của dãy số liệu là:

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có giá trị, ta làm như sau:

 Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

 Tìm trung vị Giá trị này là

 Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái (không bao gồm nếu lẻ) Giá trị này là

 Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải (không bao gồm nếu lẻ) Giá trị này là

được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu

Chú ý được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới, được gọi là tứ phân vị thứ ba hay

tứ phân vị trên

➌ Dạng 3 Tìm các tứ phân vị

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 9; 10; 15; 18; 19; 27; 30; 40; 46; 100; 200

Tứ phân vị thứ nhì là trung vị của dãy số liệu là: Q2 27

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu: 30; 40; 46; 100; 200

Khi đó tứ phân vị thứ ba là: Q3 46

Câu 4 Số học sinh của các lớp khối 12 trong một trường trung học được thống kê như sau: 35; 40; 37;

46; 38; 42; 43; 36 Tứ phân vị thứ nhì của mẫu số liệu được thống kê ở trên là:

Lời giải

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 35; 36; 37; 38; 40; 42; 43; 46

Dãy số liệu trên có 2 số chính giữa nên tứ phân vị thứ nhì là:

2

38 40

392

Câu 5 Số nhân khẩu của các hộ gia đình ở một khu vực trong thành phố được thống kê như sau: 2; 5;

3; 7; 11; 12; 4; 6; 5 Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là:

Lời giải

Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm: 2; 3; 4; 5; 5; 6; 7; 11; 12

Dãy số liệu trên có giá trị chính giữa bằng 5 nên

II Bài Tập Trắc Nghiệm:

Câu 1 Cho mẫu số liệu có số giá trị là n31và được sắp xếp theo thứ tự không giảm Tứ phân vị

dưới là giá trị tại vị trí số thứ

Lời giảiChọn A

Vì n31 là số lẻ nên trung vị Q là giá trị số thứ 16 2

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 8

Câu 2 Cho mẫu số liệu có số giá trị là n31và được sắp xếp theo thứ tự không giảm Tứ phân vị trên

là giá trị tại vị trí số thứ

Lời giảiChọn C

Vì n31 là số lẻ nên trung vị Q2là giá trị số thứ 16

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 24

Câu 3 Cho mẫu số liệu có số giá trị là n30 và được sắp xếp theo thứ tự không giảm Tứ phân vị

dưới xác định bởi

Vì n30 là số chẵn nên trung vị Q2là giá trị trung bình cộng số thứ 15 và 16

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 8

Câu 4 Cho mẫu số liệu có số giá trị là n30 và được sắp xếp theo thứ tự không giảm Tứ phân vị

Vì n30 là số chẵn nên trung vị Q là giá trị trung bình cộng số thứ 15 và 16 2

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 23

Câu 5 Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh

Vì n31 là số lẻ nên trung vị là số thứ 16: Q2  3

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 8: Q1 2

Câu 6 Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh

Vì n31 là số lẻ nên trung vị là số thứ 16: Q2  3

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị số thứ 24: Q3 4

Câu 7 Bảng sau đây cho biết số lần học tiếng Anh trên Internet trong một tuần của một số học sinh

lớp 10:

Các tứ phân vị của mẫu số liệu này là

A Q11;Q22;Q3 3 B Q12;Q25;Q3 7

C Q13;Q2 4;Q3 5 D Q12;Q2 3;Q3 4

Lời giảiChọn D

Vì n30 là số chẵn nên trung vị là giá trị trung bình công số thứ 15 và 16: Q2  3

Bên trái Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 8: Q1 2

Bên phải Q2 có 15 số liệu nên trung vị của nửa này là số thứ 23: Q34

Câu 8 Một của hàng giày thể thao đã thống kê cỡ giày của một số khách hàng nam được chọn ngẫu

nhiên cho kết quả như sau:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm như sau:

Vì n16 là số chẵn nên trung vị là giá trị trung bình công số thứ 8 và 9: Q2 39

Bên trái Q2 có 8 số liệu nên trung vị của nửa này là giá trị trung bình công số thứ 4 và 5:

Câu 10 Để khảo sát kết quả thi tuyển sinh môn Toán trong kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua của

trường A, người điều tra chọn một mẫu số liệu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh đó Điểm môn Toán (thang điểm 10) của các học sinh này được cho ở bảng sau đây: