Các dạng hệ phương trình đặc biệt Chuyên đề môn Toán lớp 10 VnDoc com Các dạng hệ phương trình đặc biệt Chuyên đề môn Toán lớp 10 Chuyên đề Các dạng hệ phương trình đặc biệt I Lý thuyết & Phương pháp[.]
Trang 1Các dạng hệ phương trình đặc biệt
Chuyên đề môn Toán lớp 10
Chuyên đề: Các dạng hệ phương trình đặc biệt
I Lý thuyết & Phương pháp giải
II Ví dụ minh họa
I Lý thuyết & Phương pháp giải
DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp thế
- Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia
- Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn
- Số nghiệm của hệ tùy theo số nghiệm của phương trình bậc hai này
DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
1 Phương pháp giải
a Hệ đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng:
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi)
Cách giải
- Đặt S = x + y, P = xy
- Đưa hệ phương trình (I) về hệ (I') với các ẩn là S và P
- Giải hệ (I') ta tìm được S và P
- Tìm nghiệm (x; y) bằng cách giải phương trình: X2 - SX + P = 0
b Hệ đối xứng loại 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng:
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)
- Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔
Trang 2- Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔
- Như vậy (II) ⇔
- Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ (II)
c Chú ý: Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là (x0; y0) thì (y0; x0) cũng là một nghiệm của nó
DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI
1 Phương pháp giải
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng:
- Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)
- Khi x ≠0, đặt y = tx Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này
ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)
II Ví dụ minh họa
Bài 1: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a Đặt S = x + y, P = xy (S2 - 4P ≥ 0)
Ta có:
⇒S2 - 2(5-S) = 5 ⇒ S2 + 2S - 15 = 0
⇒ S = -5; S = 3
S = -5⇒ P = 10 (loại)
S = 3⇒ P = 2 (nhận)
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 - 3X + 2 = 0
⇔ X = 1; X = 2
Vậy hệ có nghiệm (2; 1), (1; 2)
b ĐKXĐ: x ≠0
Hệ phương trình tương đương với
Trang 3Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) là (1; 1) và (2; -3/2)
Bài 2: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a Hệ phương trình tương đương
Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y(y+4) + y + 4 - y = -1
⇔ y2 + 4y + 5 = 0 (vn)
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = {(0; 1), (-1; 0)}
b Đặt S = x+y; P = xy, ta có hệ:
Trang 4- Với S = 2 + √2; P = 2√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
Với S = -4-√2; P = 6 + 4√2 ta có x, y là nghiệm phương trình:
X2 + (4+√2)X + 6 + 4√2 = 0 (vô nghiệm)
Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)
Bài 3: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a Hệ phương trình tương đương
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = {(0;0), (2;2)}
b Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được:
(y2 - x2 = x3 - y3 - 3(x2 - y2) + 2(x-y) ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 2x - 2y + 2) = 0 ⇔ 1/2(x-y)[x2 + y2 + (x + y - 2)2] = 0 ⇔ x = y) (vì x2 + y2 + (x+y-2)2 > 0)
Thay x = y vào phương trình đầu ta được:
Trang 5x3 - 4x2 + 2x = 0 ⇔ x(x2 - 4x + 2) = 0
Vậy hệ phương trình có ba nghiệm: (0; 0); (2+√2; 2+√2) và (2-√2; 2-√2)
Bài 4: Giải hệ phương trình
Hướng dẫn:
a Ta có : x3 - 3x = y3 - 3y ⇔ (x-y)(x2 + xy + y2) - 3(x-y) = 0
⇔ (x-y)(x2 + xy + y2 - 3) = 0
Khi x = y thì hệ có nghiệm
Khi x2 + xy + y2 - 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 - xy, ta có x6 + y6 = 27
⇔ (x2 + y2)(x4 - x2y2 + y4) = 27
⇒(3-xy)[(3-xy)2 - 3x2y2] = 27 ⇔ 3(xy)3 + 27xy = 0
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm
b Hệ phương trình tương đương
Trang 6Bài 5: Xác định m để hệ phương trình có nghiệm
Hướng dẫn:
Hệ phương trình tương đương
(x2 + y2 - 2xy) - (x + y - 4xy) = m + 1 - 2m ⇔ (x+y)2 - (x+y) + m - 1 = 0
Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 - 4(m-1) ≥ 0 ⇔ 5 - 4m ≥ 0
⇔ m ≤ 5/4
Từ phương trình thứ 2 ta có(x-y)2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ -1
Do đó -1 ≤ m ≤ 5/4
Với nội dung bài Các dạng phương trình đặc biệt trên đây chúng tôi xin giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô nội dung cần nắm vững khái niệm, phương pháp giải các dạng phương trì nh đặc biệt