Diện tích xung quanh của hình trụ có một đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác và chiều cao bằng cạnh của hình lập phương bằng Câu 28.. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằ
Trang 1ĐỀ KSCL LỚP 12 - KHỐI THPT TRƯỜNG ĐH KHTN- SỐ 2 Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm
Câu 2. Liên hợp của số phức là
Câu 3. Trong không gian , vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng :
?
Câu 4. Hàm số nào dưới đây có đồ thị như hình vẽ?
Câu 5. Trong không gian , cho hai điểm và Đoạn thẳng có độ dài bằng
Câu 6. Với số thực dương thỏa mãn , giá trị của bằng
Câu 7. Họ nguyên hàm của hàm số là
Câu 8. Giá trị của biểu thức bằng
Câu 9. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:
Số nghiệm phương trình là
lần lượt là
Trang 2Câu 11. Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đã cho nghịch biến trên
khoảng nào dưới đây?
Câu 12. Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông tại Biết ,
và Thể tích của khối lăng trụ bằng
Câu 13. Hàm số nào dưới đây có đồ thị trong hình bên?
Câu 14. Trong một lớp học có 18 bạn nam và 12 bạn nữ Số cách chọn ra hai bạn trực nhật là
Câu 15. Điểm trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức nào dưới đây?
Câu 17. Nghiệm của phương trình là
Câu 18. Cho hình nón có đường sinh bằng 2 và góc ở đỉnh bằng Bán kính đáy của hình nón đã cho
bằng
Câu 19. Đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là
Câu 20. Với cách đặt thì phương trình trở thành
Trang 3A B
Câu 21. Trong không gian tọa độ, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng
Câu 22. Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội Số hạng tổng quát được xác định
bởi công thức
Thể tích của khối chóp bằng
Câu 24. Với cách đồi biến , tích phân trở thành
Câu 25. Gọi là hai điềm cực trị của hàm số Giá trị của bằng
Câu 26. Số lượng vi khuẩn tại thời điểm (phút), tính từ lúc bắt đầu thực hiện thí nghiệm, trong phòng
thí nghiệm được xác định theo công thức Hỏi sau nửa giờ số lượng vi khuần là bao nhiêu con, biết rằng lúc bắt đầu thí nghiệm số vi khuẩn là 2400000 con?
A 4.800.000 B 3.000.000 C 2.427.000 D 6.400.000.
Câu 27. Cho hình lập phương có đường chéo Diện tích xung quanh của hình
trụ có một đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tứ giác và chiều cao bằng cạnh của hình lập phương bằng
Câu 28. Họ nguyên hàm của hàm số là
Câu 29. Trong không gian , cho hai điểm và Đường thẳng có phương
trình
Câu 30. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng
Câu 31. Với các số và , biểu thức bằng
Câu 32. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số và trục hoành bằng
Trang 4A B C D
Câu 33. Cho hình chóp có đáy là hình thoi tâm , vuông góc với đáy, ,
, Tính
Câu 34. Cho số phức thỏa mãn Môdun của số phức bằng
Câu 35. Trong không gian , cho hai điểm và Mặt phẳng qua và vuông
góc với có phương trình là
Câu 36. Với giá trị nào của tham số thì hàm số nghịch biến trên
?
Câu 37. Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ và bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi trong hộp Tính xác
suất để trong viên bi lấy ra có đủ màu và số bi xanh và bi đỏ bẳng nhau
Câu 38. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông tâm cạnh ,
(tham khảo hình vẽ)
O
C
B
S
Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
Câu 39. Số giá trị nguyên để phương trình 4x- (m+2).2x+1- m+ = có 2 nghiệm thực phân biệt4 0
thoả mãn
Câu 40. Cho hình chóp , có vuông góc mặt phẳng ; tam giác vuông tại Biết
, , Khi đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Câu 41. Cho hàm số xác định trên thỏa mãn và
Tổng bằng
Trang 5#A B C D
Câu 42. Cho các số phức thỏa mãn Môđun của số phức bằng:
Câu 43. Cho tứ diện có thể tích bằng Gọi lần lượt là trung điểm của và ,
là điểm thuộc cạnh sao cho Mặt phẳng cắt cạnh tại Thể tích của khối đa diện lồi là
Câu 44. Có bao nhiêu số nguyên để
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm , mặt phẳng
và mặt cầu Xét các đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (P) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm Khi AB nhỏ nhất đường thẳng (d) có phương trình là
Câu 46. Xét các số phức thoả mãn: ; Tìm giá trị nhỏ nhất của là
chéo trong hình dưới đây được giới hạn bởi tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng
0 và Biết diện tích của hình bằng
Giá trị của bằng
Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đạt
cực tiểu tại ?
Trang 6Câu 50. Trong không gian , cho các điểm , và Đường tròn
Xét là điểm di động trên đường tròn , giá trị lớn nhất của bằng
BẢNG ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
A D A D C C C D A C B D A B C B D D B B A D B A C
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
A C B B C B C B D D A A A B D B A D C A A B D C D
Câu 35. Trong không gian , cho hai điểm và Mặt phẳng qua và vuông
góc với có phương trình là
Lời giải
Mặt phẳng cần tìm nhận làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm nên có
Câu 36. Với giá trị nào của tham số thì hàm số nghịch biến trên
?
Lời giải
Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi
(Do )
Câu 37. Một hộp đựng bi xanh, bi đỏ và bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi trong hộp Tính xác
suất để trong viên bi lấy ra có đủ màu và số bi xanh và bi đỏ bẳng nhau
Lời giải
Lấy ngẫu nhiên bi trong bi nên
Gọi là biến cố: “trong viên bi lấy ra có đủ màu và số bi xanh và bi đỏ bẳng nhau”
Câu 38. Cho hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông tâm cạnh ,
(tham khảo hình vẽ)
Trang 7C
A
D
B
S
Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
Lời giải
H
M O
C
A
D
B
S
Gọi là trung điểm
Gọi là hình chiếu vuông góc của lên
vuông cân tại
Câu 39. Số giá trị nguyên để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt
thoả mãn
Lời giải
Đặt , với và với mỗi cho một
Phương trình đã cho trở thành
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt
Xét hàm số trên , ta có
BBT
1
4x - (m+2).2x+ - m+ =4 0
Trang 8Từ đó suy ra do m nguyên nên có 2 giá trị của m là 1 và 2.
Câu 40. Cho hình chóp , có vuông góc mặt phẳng ; tam giác vuông tại Biết
, , Khi đó bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Lời giải
Theo đề bài:
BC AB gt
BC (SAB) BC SB
Ta có: và là hai tam giác vuông tại và Gọi là trung điểm
suy ra nên mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu tâm I đường kính SC
Câu 41. Cho hàm số xác định trên thỏa mãn và
Tổng bằng
Lời giải
Ta có:
Trang 9Câu 42. Cho các số phức thỏa mãn Môđun của số phức bằng:
Lời giải
Ta có:
Câu 43. Cho tứ diện có thể tích bằng Gọi lần lượt là trung điểm của và ,
là điểm thuộc cạnh sao cho Mặt phẳng cắt cạnh tại Thể tích của khối đa diện lồi là
Lời giải
Q
N
P B
D
C A
H M
Giả sử khối tứ diện có chiều cao là
Vậy ta có
Trang 10Do lần lượt là trung điểm của và nên
Câu 44. Có bao nhiêu số nguyên để
Lời giải
BBT:
Vậy
(luôn đúng ) Do nguyên nên
Kết luận nên có 9 giá trị của thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 45. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm , mặt phẳng
và mặt cầu Xét các đường thẳng (d) đi qua M nằm trong (P) cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm Khi AB nhỏ nhất đường thẳng (d) có phương trình là
Lời giải
Trang 11Dễ thấy điểm M nằm bên trong mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao là một đường tròn tâm J, gọi I là tâm mặt cầu, khi đó J là hình chiếu của I lên mặt (P).
Toạ độ J(x;y;z) thoả mãn hệ
H M B
A
J
Ta có , để AB nhỏ nhất thì lớn nhất, do nên
lớn nhất khi H trùng với M, khi đó đường thẳng (d) vuông góc với JM suy ra:
Vậy phương trình đường thẳng (d) là:
Câu 46. Xét các số phức thoả mãn: ; Tìm giá trị nhỏ nhất của là
Lời giải
Vậy tập các số phức là đường tròn tâm bán kính:
Kết hợp với (*) ta có:
Vậy: giá trị nhỏ nhất của là
Dấu xảy ra khi: thẳng hàng và nằm giữa ; Khi đó là giao đoạn
với đường tròn ; Xét thấy: nên tồn tại thoả mãn
chéo trong hình dưới đây được giới hạn bởi tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng
0 và Biết diện tích của hình bằng
Trang 12Giá trị của bằng
Lời giải
Tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ bằng 0:
Diện tích hình :
Câu 48. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số đạt
cực tiểu tại ?
Lời giải
Ta có
Hàm số đạt cực tiểu tại khi:
Do nguyên nên
Thử lại:
- đạt cực tiểu tại
- đạt cực tiểu tại
-Với Hàm số này không có cực trị Loại
Ta thấy đổi dấu từ sang tại nên hàm số
Trang 13đạt cực tiểu tại Suy ra thỏa mãn.
Ta thấy đổi dấu từ sang tại nên hàm số đạt cực đại tại Loại
Tổng hợp hai trường hợp, ta có 3 giá trị nguyên của tham số thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Lời giải Cách 1: (Casio).
Dễ dàng kiểm tra với mỗi thì phương trình theo vô nghiệm
Vì và nên ta xét 5 phương trình:
PT1: có 2 nghiệm (theo casio)
PT2: có 2 nghiệm (theo casio)
PT3: có 2 nghiệm (theo casio)
PT4: có 2 nghiệm (theo casio)
PT5: có 1 nghiệm (theo casio)
Vậy có nghiệm thỏa mãn phương trình
Cách 2: (Tự luận – Trịnh Văn Thạch).
Xét bổ đề:
Chứng minh bổ đề:
Xét hàm số
Áp dụng bổ đề trên, ta có
Ta xét phương trình theo ẩn , là tham số
BBT:
Trang 14Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:
+ Với phương trình theo ẩn có nghiệm
+ Với phương trình theo ẩn có 1 nghiệm
Vậy có nghiệm thỏa mãn bài toán
Câu 50. Trong không gian , cho các điểm , và Đường tròn
Xét là điểm di động trên đường tròn , giá trị lớn nhất của bằng
Lời giải
Gọi là đường thẳng qua tâm và vuông góc với mặt phẳng
Phương trình của là ,
Gọi , khi đó tọa độ điểm thỏa mãn phương trình:
, suy ra
Nhận thấy, thuộc mặt phẳng , lại có và Suy ra tam giác đều có đường tròn ngoại tiếp tâm
Vậy chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều
Không mất tính tổng quát, ta xét thuộc cung nhỏ
Khi đó ta hoàn toàn chứng minh được:
Gọi sao cho , suy ra tam giác đều, suy ra
Trang 15Suy ra Hay (đpcm).