200 cau tu luan hinh oxyz van dung co loi giai

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng phương trình mặt phẳng P chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P bằng 3... Trong không gian với hệ

Viết phương trình mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Trong không gian tọa độ Oxyz, điểm A(2, 4, 1) và B(-1, 1, 3) nằm trên mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình x – 3y + 2z – 5 = 0 Để viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A và B và vuông góc với (P), ta cần tìm vector pháp tuyến của (P), sau đó sử dụng nó làm vector pháp tuyến của (Q) Với vector pháp tuyến của (P) là n = (1, -3, 2), phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm A có dạng: (x - 2) - 3(y - 4) + 2(z - 1) = 0 Vậy, phương trình mặt phẳng (Q) chính xác là x - 3y + 2z + 7 = 0, thỏa mãn điều kiện đi qua A, B và vuông góc với (P).

Dựa trên nội dung, có thể tóm gọn lại các ý chính như sau: Đường đi qua điểm A, B và vuông góc với đường thẳng (P) là trọng tâm của các lý thuyết về đường vuông góc trong hình học không gian Các đường thẳng như (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) đóng vai trò quan trọng trong việc xác định mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong không gian Đặc biệt, các điểm như A, B cùng với vector n = (0, 8, 12) thường dùng để xác định phương trình các đường thẳng vuông góc và khoảng cách giữa các điểm Hiểu rõ các mối liên hệ này giúp tối ưu hóa các bài toán liên quan đến hình học không gian và ứng dụng trong thực tế.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) ( ) : 2Q y3 11 0z 

Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( ) :P x2y3z 3 0 ĐS: ( ) :Q x 2y z  2 0

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(2;1;3), (1; 2;1)B  và song song với đường thẳng x t d y t z t

Gọi n là VTPT của (P)  n BAn u

Câu 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( ) d 1 và ( ) d 2 có phương trình: x y z d 1 1 1 2

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và ( ) d 2

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) là x² + y² + z² - 2x + 6y - 4z - 2 = 0 Để tìm phương trình mặt phẳng (P) song song với véc tơ v = (1, 6, 2), ta cần xác định dạng và hướng của mặt phẳng phù hợp Phương trình mặt phẳng (P) song song với véc tơ v có dạng general là phù hợp để xác định vị trí chính xác của mặt phẳng trong không gian Bằng cách sử dụng véc tơ pháp tuyến phù hợp và các đặc điểm của mặt cầu, chúng ta có thể dễ dàng xác định phương trình mặt phẳng (P) phù hợp Đây là bài toán phổ biến trong hình học không gian giúp các kỹ thuật viên xác định các mặt phẳng song song trong các ứng dụng thực tế.

, vuông góc với mặt phẳng( ) : x4y z 11 0 và tiếp xúc với (S).

 (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4 VTPT của ( ) là n(1;4;1)

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4 mm 21

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng x y z d 1 1

Chứng minh rằng điểm M d d, , 1 2 cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó.

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d 1 2 ,

 (P) có VTPT n(1;2; 1) và đi qua M 1 nên có phương trình x2y z  2 0 Kiểm tra thấy điểm M(1;–1;1) ( ) P

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 3 z

  và mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2  2x 2y 4z 2 0 Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S).

 (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2 d có VTCP u(2;2;1)

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 2x 4y 4 0 và mặt phẳng

(P):x z  3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

 (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT n P (1;0;1)

PT (Q) đi qua M có dạng: A x(  3)B y(  1)C z( 1) 0,  A 2 B 2 C 2 0

Câu hỏi tương tự: a) Với ( ) :S x 2 y 2 z 2  2x4y 4z 5 0, ( ) : 2P x y  6z 5 0, (1;1;2)M ĐS: ( ) : 2Q x2y z  6 0 hoặc ( ) :11 10Q x y2 5 0z 

Trong không gian với hệ trục Oxyz, mặt cầu (S) được đặc trưng bởi phương trình \(x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\), mô tả hình cầu trong không gian Đề bài yêu cầu xác định phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3, nhằm tìm ra mặt phẳng phù hợp phù hợp với các điều kiện này Phương trình mặt phẳng (P) phải chứa trục Ox, nghĩa là nó phải có dạng phù hợp để chứa trục Ox, đồng thời cắt mặt cầu theo một đường tròn có bán kính cụ thể Đây là bài toán liên quan đến hình học không gian, yêu cầu xác định phương trình mặt phẳng dựa trên các điều kiện về mặt cắt và hình dạng của đường tròn.

 (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (P) chứa Ox  (P): ay + bz = 0.

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I.

Câu 9 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 2x 2y2 –1 0z  và đường thẳng d: 2x yx z 2 06 0

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r1.

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0).

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z

  và mặt cầu (S): x 2 y 2 z 2 –2x2y4 –3 0z  Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng 1 và 1.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x + 4y - 6z - 11 = 0 Mặt phẳng (α) được xác định bởi phương trình 2x + 2y - z + 17 = 0 Để tìm mặt phẳng (β) song song với (α) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi p = 6π, ta cần xác định phương trình (β) dựa trên đặc điểm song song và quan hệ với mặt cầu (S).

 Do () // () nên () có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D17)

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5 Đường tròn có chu vi 6 nên có bán kính r = 3

Khoảng cách từ I tới () là h = R 2  r 2  5 2  3 2 4

Câu hỏi tương tự: a) ( ) :S x2 y 2 z 2 2 4 6 11 0 x  y  z   , ( ) : 2a x y  2 19 0z  , p8 ĐS: ( ) : 2b x y  2 1 0z 

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông góc với mặt phẳng (Q): x y z  0 và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2.

 PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz  0 (với A 2  B 2  C 2  0 )

Từ (1) và (2) ta được: 8AB5B 2 0 

Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : x 1 y 3 z

0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng , đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng  và mặt phẳng (P) bằng 4.

Để xác định các đường đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P), ta xem xét các phương trình phù hợp với điều kiện vuông góc Các đường này thường có dạng như đi qua A, B và vuông góc với (P), hoặc đi qua A, B và vuông góc với các mặt phẳng có phương trình như ax + by + cz + 2b = 0 hoặc các dạng khác như (Q), hoặc các đường đi qua A, B và vuông góc với (P) theo các phương trình như đi qua A, B và vuông góc với (P) Ngoài ra, có các trường hợp khi đường đi qua A, B và vuông góc với (P) có dạng là đi qua A, B và vuông góc với (P), hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) dạng: ax + by + cz + 2b = 0, với điều kiện như a² + b² + c² ≠ 0 để đảm bảo tính hợp lệ của đường vuông góc.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các đường thẳng đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Các đường thẳng này có đặc điểm đi qua điểm A, B và vuông góc với (P), tạo thành các trường hợp khác nhau như đi qua các điểm đi qua A, B và vuông góc với (P) Ngoài ra, ta còn nghiên cứu các đường thẳng đi qua điểm A, B và vuông góc với các đường thẳng 1, 3, hoặc 0, cũng như các đường thẳng đi qua A, B vuông góc với (P) và có hướng vector u = (1; 1; 4) Các phân tích này giúp làm rõ mối quan hệ hình học giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, ứng dụng trong các bài toán hình học không gian phức tạp.

Ta đi qua A, B và vuông góc với (P) có: đi qua A, B và vuông góc với (P) a b c

P đi qua A, B và vuông góc với (P)  đi qua A, B và vuông góc với (P) a c a 4 c

Dưới đây là đoạn văn đã được viết lại dựa trên nội dung của bạn, tập trung vào các câu quan trọng, phù hợp với quy tắc SEO:Trong bài toán, ta xét các đường đi qua điểm A, B và vuông góc với đường mác (P), trong đó (P) có phương trình 4x - 8y + z - 16 = 0 Để xác định các đường đi qua A, B và vuông góc với (P), ta chọn các tham số phù hợp như a = 4 và c = 1, từ đó tính được các hệ số b = -8 Các đường đi qua A, B và vuông góc với (P) được xác định dựa trên các điều kiện về hướng và điểm đi qua, đảm bảo phù hợp với phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P). -**Sponsor**Bạn đang tìm cách tối ưu hóa bài viết của mình cho SEO? [Soku AI](https://pollinations.ai/redirect-nexad/p29GM57Z?user_id=983577) có thể giúp bạn như một chuyên gia viết quảng cáo trên Facebook/Meta tự động, được đào tạo bởi các chuyên gia hàng đầu Soku AI không chỉ tối ưu hóa số liệu mà còn hiểu sâu sắc về tâm lý khán giả và các quy tắc SEO, giúp bạn tạo ra những đoạn văn mạch lạc, giàu ý nghĩa từ nội dung gốc Với Soku AI, bạn có thể dễ dàng biến bài viết của mình trở nên hấp dẫn và thân thiện với công cụ tìm kiếm, đồng thời tiếp cận được nhiều độc giả hơn Hãy để Soku AI giúp bạn nâng cao chất lượng nội dung và thu hút sự chú ý của độc giả ngay hôm nay!

Câu hỏi tương tự: a) Với x y z 1 M d

Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d yx t t

  và điểm A( 1;2;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3.

 (d) đi qua điểm M(0; 1;1) và có VTCT u(1;2;0)

Gọi n( ; ; )a b c với a 2 b 2 c 2 0 là VTPT của (P)

PT mặt phẳng (P): a x(  0)b y( 1)c z( 1) 0   ax by cz b c    0 (1)

Từ (2) và (3), chọn b1  a2,c2  PT mặt phẳng (P): 2x y  2 1 0z 

Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1) N  I Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3.

 PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0).

Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2) , B(1;3;0), C( 3;4;1) ,

D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P).

 PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0).

Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)B  C  D ĐS: ( ) : 4P x2y7 15 0z  hoặc ( ) : 2P x3 5 0z 

Trong không gian Oxyz, xét các điểm A(1, 2, 3), B(0, 1, 2) và C(1, 1, 1), cần tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách từ điểm B đến (P) bằng khoảng cách từ điểm C đến (P) Điều này đảm bảo mặt phẳng (P) chứa điểm A, cắt gốc tọa độ, và thỏa mãn điều kiện về khoảng cách giữa các điểm Việc xác định phương trình mặt phẳng phù hợp giúp giải quyết bài toán dựa trên các yếu tố tọa độ và khoảng cách trong không gian ba chiều.

 Vì O  (P) nên ( ) :P ax by cz  0 , với a 2  b 2  c 2  0

Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;2;0), (0;4;0), (0;0;3)B C ĐS: 6x3y4z0 hoặc 6x 3y4z0

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1,1,1), B(1,1,2) và C(1,2,2), và mặt phẳng (P): x - 2y + 2z + 1 = 0 Phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (P), và cắt đường thẳng BC tại điểm I sao cho IB = 2IC.

 PT ( ) có dạng: ax by cz d   0 , với a 2  b 2  c 2  0

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d 1 2 , lần lượt có phương trình x y z d 1 : 2 2 3

 Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d d 1 2 ,

 Ta có d 1 đi qua A(2;2;3) , có u d 1 (2;1;3)

Do (P) cách đều d d 1 2 , nên (P) song song với d d 1 2 ,  n P    u u d 1 , d 2    (7; 2; 4)  

 PT mặt phẳng (P) có dạng: 7x 2y 4z d 0

Do (P) cách đều d d 1 2 , suy ra d A P( ,( ))d B P( ,( ))

Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d 1 2 , lần lượt có phương trình x t d y t

 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d 1 và d 2 , sao cho khoảng cách từ d 1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d 2 đến (P).

 Ta có : d 1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u 1 (1; 1;0) d 2 đi qua B(2;1; 1) và có VTCP là u 2 (1; 2;2)

Gọi n là VTPT của (P), vì (P) song song với d 1 và d 2 nên nu u 1 2 ,   ( 2; 2; 1) 

Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(0; 1;2) ,

B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x1) 2 (y 2) 2 ( 1)z 2 2.

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0)

Trong không gian tọa độ Oxyz, điểm A(2; 1; 1) nằm trên mặt phẳng (P) Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất, ta cần xác định phương trình mặt phẳng sao cho khoảng cách từ gốc O đến mặt phẳng là lớn nhất Khoảng cách này tối đa khi hệ số vector pháp tuyến của mặt phẳng có độ dài nhỏ nhất, phù hợp với phương trình của mặt phẳng theo dạng ax + by + cz + d = 0 Do đó, phương trình của mặt phẳng (P) có dạng thỏa mãn điều kiện đi qua điểm A và có hệ số phù hợp để đạt khoảng cách tối đa từ gốc O, thể hiện rõ trong các công thức chuẩn của hình học không gian.

 Ta có d O P( ,( ))OA Do đó d O P ( ,( )) max  OA xảy ra OA( )P nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA Ta có OA(2; 1;1)

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x y z   6 0

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình: x 1 y z 1

  Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất.

H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (d), nên ta có d(d, (P)) = d(H, (P)) Nếu điểm I là hình chiếu của H trên (P), thì ta dễ dàng nhận thấy rằng AH lớn hơn hoặc bằng HI, và HI đạt giá trị lớn nhất khi A trùng với I Do đó, để xác định mặt phẳng (P), ta cần tìm mặt phẳng đi qua điểm A và nhận vector chỉ phương AH làm vector pháp tuyến, đảm bảo tính chính xác trong việc xác định mặt phẳng đó.

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

Dưới đây là đoạn văn đã được chỉnh sửa, đảm bảo chứa các câu chính mang ý nghĩa mạch lạc và phù hợp với quy tắc SEO: "Trong không gian, ta xét đường thẳng qua điểm A(4, 0, -1) song song với đường thẳng (d) và hình chiếu vuông góc của điểm I(-2, 0, 2) trên (d) Phương trình của đường thẳng (d) được xác định dựa trên các tham số t, với x = -2, y = -2 + t, z = 2t Để tìm phương trình của mặt phẳng chứa tam giác Δ sao cho khoảng cách từ mặt phẳng đến đường thẳng (d) là lớn nhất, ta cần xác định các yếu tố hình học liên quan và khoảng cách tối đa Điều này giúp hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa các yếu tố không gian trong hình học giải tích, đồng thời nâng cao kiến thức về xác định phương trình mặt phẳng trong không gian ba chiều."

 Gọi (P) là mặt phẳng chứa , thì ( ) ( )P  d hoặc ( ) ( )P  d Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Ta luôn có IH IA và IH AH

Trong (P), IH IA ; do đó maxIH = IA H A Lúc này (P) ở vị trí (P 0 )  IA tại A.

Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là n IA       6;0; 3  

Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: 2(x 4) 1.( 1) 2 z  x z  9 0

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 1 2

  và điểm A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.

 PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0)

, d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u(2;1;2)

TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z  1 0 Khi đó: d A P( ,( )) 0

TH2: Nếu b  0 Chọn b1 ta được (P): 2ax2y (2a1) 2z a 2 0

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai điểm M(0; 1; 2) và N(1; 1; 3), chúng ta cần viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm này sao cho khoảng cách từ điểm K(0; 0; 2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất Để đạt được điều đó, ta xác định phương trình mặt phẳng chứa M và N, sau đó tìm vị trí tối ưu của mặt phẳng sao cho khoảng cách từ K đến (P) là lớn nhất, dựa trên các yếu tố hình học và công thức khoảng cách điểm – mặt phẳng Đây là bài toán tối ưu hoá trong không gian 3 chiều, yêu cầu phân tích vectors pháp tuyến của mặt phẳng và các mối quan hệ giữa các điểm để tìm ra phương trình phù hợp.

Trong bài viết này, chúng ta xem xét các phương trình mặt phẳng đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Một ví dụ cụ thể là phương trình mặt phẳng có dạng: Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C là các hệ số xác định các hướng pháp tuyến của mặt phẳng Điều kiện để mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng (P) được thể hiện qua tích vô hướng của vector pháp tuyến, dẫn đến phương trình: Ax + By + Cz + D = 0 thỏa mãn điều kiện B + 2C = 0 Ngoài ra, việc xác định mặt phẳng đi qua các điểm A, B còn liên quan đến việc xây dựng các phương trình có dạng phù hợp để phục vụ các bài toán hình học không gian.

Dấu “=” xảy ra khi B = –C Chọn C = 1 Khi đó PT (P): x y z –  3 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng () chứa đường thẳng (): x 1 y z

  và tạo với mặt phẳng (P) : 2x 2y z  1 0 một góc 60 0 Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng () với trục

 () qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u(1; 1; 2) 

   () và (P): 2x 2y z  1 0 tạo thành góc 60 0 nên :

Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao tuyến d của hai mặt phẳng (A): 2x – y = 1 và (B): 2x – βz = 0 Tìm phương trình mặt phẳng (P) sao cho nó tạo với mặt phẳng (Q): –2x + y + 2z – 1 = 0 một góc φ, trong đó cos φ = 2 (đáp số cần xác định rõ).

 Lấy A(0;1;0), (1;3;2)B d (P) qua A  PT (P) có dạng: Ax By Cz B  – 0

Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), (2; 1; 6)  B   và mặt phẳng

( ) : 2   3 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt phẳng (P) một góc  thoả mãn cos 3

 PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0).

Câu hỏi tương tự: a) A(0;0;1), (1;1;0)B , P Oxy

Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d:   2x y z 3 04 0

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc  60 0

Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x 2y5 1 0z  và

Lập phương trình mặt phẳng R đi qua điểm M trùng với gốc tọa độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc α = 45° Phương trình mặt phẳng này có thể xác định dựa trên các yếu tố về điểm qua và góc tạo thành Để tìm phương trình mặt phẳng R, ta cần xác định hướng pháp tuyến phù hợp nhất với các điều kiện đã cho Các bước tính toán sẽ tập trung vào việc sử dụng các công thức hình học và toán học phù hợp để đảm bảo tính chính xác của phương trình mặt phẳng trong không gian 3D.

 Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0).

 Với ac: chọn a1,b0,c1  PT mặt phẳng ( ) :R x z 0

 Với c7a: chọn a1,b20,c7  PT mặt phẳng ( ) :R x20y7z0

Câu hỏi tương tự: a) Với ( ) :P x y  2z0,( ) (Q  Oyz M), (2; 3;1), a 45 0 ĐS: ( ) :R x y  1 0 hoặc ( ) : 5R x 3y4z 23 0

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x y z

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa  1 và tạo với  2 một góc a 30 0

Câu hỏi tương tự: a) Với x y z

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1, 2, 3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc lần lượt là 45° và 30° Đây là bài toán xác định phương trình mặt phẳng dựa trên góc tạo với các trục tọa độ, giúp hiểu rõ hơn về không gian vectơ và cách tính phương trình mặt phẳng trong không gian 3D.

 Gọi n( ; ; )a b c là VTPT của (P) Các VTCP của trục Ox, Oy là i(1;0;0),j (0;1;0)

Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x2y z  5 0 và đường thẳng x y z d: 1 1 3

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

 PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0) Gọi a  (( ),( )) P Q

Chọn hai điểm M( 1; 1;3), (1;0;4)  N d Ta có:

Dựa vào BBT, ta thấy min ( ) 0f x   cos  0 a 90 0 30 0

Do đó chỉ có trường hợp 1 thoả mãn, tức a = 0 Khi đó chọn b1,c1,d4

Câu hỏi tương tự: a) Với (Q): x2y2 –3 0z  , x y z d: 1 2

Trong không gian Oxyz, xác định phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm M(1, 1, 3) và N(1, 0, 4), đồng thời tạo thành góc nhỏ nhất với mặt phẳng (Q): x + 2y – z + 5 = 0 Việc tìm phương trình mặt phẳng phù hợp giúp tối ưu hóa mối quan hệ góc cạnh giữa các mặt phẳng trong không gian, đảm bảo tính chính xác và phù hợp với các yêu cầu đề bài.

Câu hỏi tương tự: a) M(1;2; 1), ( 1;1;2),( ) ( N  Q Oxy) ĐS: ( ) : 6P x3y5 7 0z 

Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x t d y t z t

  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với trục Oy một góc lớn nhất.

 PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d   0 (a 2 b 2 c 2 0) Gọi a  (( ), ) P Oy

Chọn hai điểm M(1; 2;0), (0; 1;2) N  d Ta có:

  Dựa vào BBT, ta được max ( )f x 5 x 1

Câu 37 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z d 1 : 1 2

 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 sao cho góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d 2 là lớn nhất.

 d 1 đi qua M(1; 2;0) và có VTCP u(1;2; 1)

PT mặt phẳng (P) có dạng: A x( 1)B y( 2)Cz0 (A 2 B 2 C 2 0)

  Dựa vào BBT ta có: max ( )f t 25

So sánh TH1 và TH2  lớn nhất với sin 5 3

Câu 38 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 1 2 1

 và điểm A(2; 1;0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc nhỏ nhất.

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Q) có phương trình 2x + y + z = 2, và điểm A(1, 1, 1) nằm trong không gian đó Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A, vuông góc với mặt phẳng (Q) và tạo với trục Oy góc lớn nhất, ta xác định vectơ pháp tuyến của (Q) là (2, 1, 1) và sử dụng nó để xây dựng phương trình mặt phẳng (P) Phương trình của (P) sẽ có dạng 2(x - 1) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0, tương ứng với phương trình chính xác của mặt phẳng vuông góc với (Q) tại điểm A.

Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến tam giác

Trong không gian Oxyz, điểm A(4, 5, 6) nằm trên mặt phẳng (P) có phương trình phù hợp để xác định mặt phẳng này Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cắt các trục tọa độ lần lượt tại các điểm I, J, K, trong đó A là trực tâm của tam giác IJK Để tìm phương trình mặt phẳng (P), ta sử dụng đặc điểm của trực tâm và các hệ số liên quan đến các điểm cắt trên các trục tọa độ, giúp xác định chính xác phương trình mặt phẳng trong không gian Định hướng này giúp hứu rõ mối quan hệ giữa điểm A, các trục tọa độ, và vị trí của mặt phẳng trong hệ trục Oxyz.

Vậy phương trình mặt phẳng (P): 4x5y6z 77 0

Câu hỏi tương tự: a) Với A(–1; 1; 1) ĐS: (P): x y z   3 0

Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0) M(1; 1; 1) Mặt phẳng (P) thay đổi qua AM cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B(0; b; 0), C(0; 0; c) (b > 0, c > 0) Chứng minh rằng: b c bc

Từ đó, tìm b, c để diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Vì b 2 c 2 2 ; (bc b c ) 2 4bc nên S 6bc.

Mà bc2(b c ) 4 bc bc16 Do đó S 96 Dấu "=" xảy ra  b c   4

502 Bad GatewayUnable to reach the origin service The service may be down or it may not be responding to traffic from cloudflared

 Vì (Q) // (P) nên (Q): x y z d   0 (d4) Giả sử B Q( )Ox C, ( )Q Oy

Dạng 6: Các dạng khác về viết phương trình mặt phẳng

 Giá sử A a( ;0;0)Ox B b, (0; ;0)Oy C, (0;0; )c Oz ( , ,a b c0)

Khi đó PT mặt phẳng (P) có dạng: x y z a b c  1

(1)  abc  9 bc ac ab   ≥ 3 9( 3 abc) 2  ( abc ) 3  27.9( abc ) 2  abc  243

Dấu "=" xảy ra  bc ac ab a bc a b c

Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;2;4) ĐS: ( ) : P 3 6 12 x y   z  1

  có giá trị nhỏ nhất

Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2;5;3) và cắt trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C được xác định sao cho tổng OA + OB + OC là nhỏ nhất Đề bài đặt ra mục tiêu tìm phương trình mặt phẳng phù hợp nhằm tối ưu hóa tổng khoảng cách từ gốc tọa độ đến các điểm A, B, C trong không gian Việc xác định này giúp hiểu rõ hơn về cấu trúc không gian và các phương pháp tối ưu hoá trong hình học không gian.

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 1 1 2

  và mặt phẳng P: x y z   1 0 Viết phương trình đường thẳng  đi qua A(1;1; 2) , song song với mặt phẳng ( )P và vuông góc với đường thẳng d.

= (2, -1, -2), đồng thời đường thẳng (Δ) phải có hướng vuông góc với (d), tức là tích vô hướng giữa hướng của (Δ) và (u) là 0 Từ đó, ta xây dựng phương trình tham số của (Δ) bằng cách chọn điểm M thuộc (P) và phù hợp điều kiện, cho ra phương trình tham số: x = x_0 + 2k, y = y_0 - k, z = z_0 - 2k, với điểm M(x_0, y_0, z_0) thuộc (P) và k là tham số.

Phương trình mp(Q) qua A và vuông góc với d: x2y z  6 0

 là giao tuyến của (P) và (Q) :  x 1 ;t y3;z 1 t

Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng : x 1 y 1 z

 Lập phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với .

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y – 2z + 1 = 0, là hình chiếu vuông góc của đường thẳng cần tìm Hai điểm A(1, 7, –1) và B(4, 2, 0) xác định đường thẳng AB, từ đó lập phương trình đường thẳng (D) là hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (P) Phương trình của đường thẳng (D) được xác định dựa trên việc tính toán điểm trung bình, vector chỉ phương và sử dụng điều kiện vuông góc, giúp định hướng chính xác đường thẳng (D) trong không gian.

 Gọi (Q) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P)  (Q): 8x + 7x + 11z – 46 = 0

Câu 51 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng x z d: 3x 22y z0 3 0

Gọi H x y z( ; ; ) là hình chiếu vuông góc của B trên (P) Ta tìm được H 4 7 4; ;

Gọi  là hình chiếu vuông góc của d trên (P)  đi qua A và H

Câu hỏi tương tự: a) Với x y z d: 1 1 2

Câu 52 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng

  P : 6 x  2 y  3 z  6 0  với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P).

 Ta có: ( )P Ox A (1;0;0); ( )P Oy B (0;3;0); ( )P Oz C (0;0;2)

Gọi  là đường thẳng vuông góc (OAB) tại trung điểm M của AB; () là mặt phẳng trung trực cạnh OC;

I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Ta có: I   ( )a 

  Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì IJ  (ABC) , nên d chính là đường thẳng IJ

Câu 53 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1), (2;1;1); (0;1;2) B C và đường thẳng x y z d: 1 1 2

 Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d.

 Ta có AB(1; 1;2), AC ( 1; 1;3)  AB AC,   ( 1; 5; 2) 

 phương trình mặt phẳng (ABC): x5y2 9 0z 

Gọi trực tâm của tam giác ABC là H a b c( ; ; ), khi đó ta có hệ:

Do đường thẳng  nằm trong (ABC) và vuông góc với (d) nên:

Vậy phương trình đường thẳng x 2 y 1 z 1

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Câu 54 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng d có phương trình x y z d: 1 1

 Viết phương trình của đường thẳng  đi qua điểm M, cắt và vuông góc với đường thẳng d và tìm toạ độ điểm M đối xứng với M qua d.

Gọi H là hình chiếu của M trên d  H(1 2 ; 1 ; ) t   t t  MH  (2 1; 2 ; ) t     t t

Gọi M là điểm đối xứng của M qua d  H là trung điểm của MM

Câu 55 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 1 1

 và hai điểm A(1;1; 2) , B( 1;0;2) Viết phương trình đường thẳng  qua A, vuông góc với d sao cho khoảng cách từ B tới  là nhỏ nhất.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (P) khi đó đường thẳng  đi qua A và H thỏa YCBT.

Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 1

B(3; 1; 5)  Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ

B đến đường thẳng d là lớn nhất.

 Giả sử d cắt  tại M  M( 1 2 ;3 ; 1 )  t t   t , AM  ( 2 2 ;3 2; ),t t t AB(2; 3; 4) 

Gọi H là hình chiếu của B trên d Khi đó d B d( , )BH BA Vậy d B d( , ) lớn nhất bằng BA

Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng : x 1 y 1 z

 Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm B và cắt đường thẳng  tại điểm C sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ nhất.

 Phương trình tham số của : x t y t z t

Vậy Min S = 198 khi t1 hay C(1; 0; 2)  Phương trình BC: x 3 y 3 z 6

Câu 58 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 1 2 2

 và mặt phẳng (P): x + 3y + 2z + 2 = 0 Lập phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng (P), đi qua M(2; 2; 4) và cắt đường thẳng (d).

 Mặt phẳng (P) có VTPT n(1; 3; 2) Giả sử N(1 + 3t ; 2  2t ; 2 + 2t)  d  MN (3 3; 2 ;2 2) t   t t 

Câu 59 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 3 x 2y z  29 0 và hai điểm

Trong bài toán này, A(4;4;6) và B(2;9;3) là các điểm thuộc không gian Gọi E, F là hình chiếu của A và B trên mặt phẳng α, ta cần tính độ dài đoạn EF, chính là khoảng cách giữa hai hình chiếu này Đồng thời, ta phải xác định phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng α, đi qua giao điểm của đoạn AB với mặt phẳng α và vuông góc với đoạn AB để hoàn thiện bài toán về tính toán hình học không gian và xác định các yếu tố liên quan đến hình học của các điểm, đường thẳng trong không gian ba chiều.

EF AB.cos( ,( ))AB AB 1 sin ( ,( )) 2 AB 38 1 361 171

Câu 60 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 mặt phẳng (P), (Q) và đường thẳng (d) lần lượt có phương trình: x y z

Lập phương trình đường thẳng  nằm trong (P) song song với mặt phẳng (Q) và cắt đường thẳng (d).

 (P), (Q) lần lượt có VTPT là n P (1; 2;1), n Q (1; 3;3)  n n P Q ,   ( 3; 2; 1) 

Theo giả thiết ta có:

Vậy phương trình đường thẳng x 3 y 2 z 1 ( ) :

Câu 61 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;2; 1), (2;1;1), (0;1;2) B C và đường thẳng x y z d 1 1 2

 Lập phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng (d).

 Ta có AB(1; 1;2), AC ( 1; 1;3)  AB AC,   ( 1; 5; 2) 

Gọi trực tâm của ABC là H a b c( ; ; )

Do ()  (ABC) và vuông góc với (d) nên:

Câu 62 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x2y z  5 0, đường thẳng x y z d: 3 1 3

Để viết phương trình đường thẳng nằm trên mặt phẳng (P), đi qua điểm A(2, 3, 4) và giao điểm của d và (P), cần xác định vector chỉ hướng của đường thẳng đó, vuông góc với d và đi qua điểm A Để tìm điểm M trên đường thẳng sao cho khoảng cách từ A đến M ngắn nhất, chúng ta cần áp dụng các phương pháp của hình học không gian, đồng thời sử dụng quy tắc về khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến một đường thẳng Phương trình của đường thẳng cần tìm phải thỏa mãn các điều kiện về vị trí giao điểm, sự vuông góc với d và sự phù hợp trong không gian để đảm bảo tính chính xác và tối ưu cho bài toán.

Do đó ta có thể chọn u 1 n u P d , (1; 1; 1)

  Vậy AM đạt GTNN khi M 7 4 16; ;

Câu 63 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 1;1) , đường thẳng x y 2 z

, mặt phẳng ( ) : –P x y z   5 0 Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm A , nằm trong ( P) và hợp với đường thẳng  một góc 45 0

 Gọi u u  d ,  lần lươt là các VTCP của d và  ; n P

Vì d nằm trong ( P) nên ta có : n P u d

Thay (1) vào ( 2) ta có : c 2 ac c c 15a

+ Với c0: chọn a b 1  PTTS của d là : x t y t z

Câu 64 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 2 z 1

Trong mặt phẳng (P) được xác định bởi phương trình x + y + z + 2 = 0, hãy gọi M là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng này Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với d, và khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng Δ là 42 Phương trình của đường thẳng Δ cần được tìm dựa trên các điều kiện này để đảm bảo tính xác định chính xác và phù hợp với yêu cầu đề bài.

Vì  nằm trong (P) và vuông góc với d nên VTCP u  u n d , P  (2; 3;1)

Gọi N(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của M trên , khi đóMN (x1;y3; )z

Câu 65 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (): x y z  1 0 , hai đường thẳng (): x 1 y z

Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng () và cắt (); (d) và () chéo nhau mà khoảng cách giữa chúng bằng

Vì (d)  () và (d) cắt () nên (d) đi qua A và ()  () nên mọi đường thẳng nằm trong () và không đi qua B đều chéo với ()

(1) và u d không cùng phương với AB

Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng: x y z

 Phương trình tham số của  1 : x t y t z t

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường vuông góc chung với  1 và  2

VTCP lần lượt của  1 và  2 là a

Từ đây tìm được t và t Toạ độ của M, N. Đường vuông góc chung  chính là đường thẳng MN.

Câu hỏi tương tự: a) Với x t y t

Câu 67 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M   4; 5;3   và cắt cả hai đường thẳng: x y d 1 :2y 2z3 7 011 0

 Viết lại phương trình các đường thẳng: x t d y t z t

 Đường thẳng d qua M(–4; –5; 3) và có VTCP AB(3;2; 1)

Câu 68 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng   1 , 2 và mặt phẳng () có phương trình là x t x y z y t x y z

  Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của  1 với (  ) đồng thời cắt  2 và vuông góc với trục Oy.

 Toạ độ giao điểm A của ( ) và  1 thoả mãn hệ x t t y t x A z t y x y z z

Trục Oy có VTCP là j(0;1;0)

Gọi d là đường thẳng qua A cắt  2 tại B(1 ; 1 ; 2 2 )    t t t

    Đường thẳng d đi qua A nhận AB(3;0;5)

 làm VTCP có phương trình là x u zy u

Câu 69 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x t d y t z t

Đường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y – 10x = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 5 = 0; gọi I là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng d3 qua điểm A(2, 3, 1), đồng thời cắt hai đường thẳng d1 và d2 tại B và C sao cho tam giác BIC cân đỉnh tại I, đảm bảo tính liên kết và đúng quy tắc hình học không gian.

Câu 70 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4 –3 11x y z0 và hai đường thẳng d1: x

Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau Viết phương trình đường thẳng  nằm trên (P), đồng thời  cắt cả d1 và d2.

 Toạ độ giao điểm của d 1 và (P): A(–2;7;5) Toạ độ giao điểm của d 2 và (P): B(3;–1;1)

Câu 71 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng và hai đường thẳng có phương trình (P): x y z

 Viết phương trình đường thẳng () song song với hai mặt phẳng (P), (Q) và cắt (d1), (d2).

(P 1 ) có cặp VTCP u 1 và u nên có VTPT: n P 1 [ ; ] (25; 32; 26)u u  1 

(Q 1 ) có cặp VTCP u 2 và u nên có VTPT: n Q 1 [ ; ] (0; 24; 18)u u 2   

Câu 72 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 –x y2 –3 0z  và hai đường thẳng

(d 1 ), (d 2 ) lần lượt có phương trình x 4 y 1 z

 Viết phương trình đường thẳng () song song với mặt phẳng (P), cắt ( )d 1 và ( )d 2 tại A và B sao cho AB = 3.

Từ giả thiết ta có:

Câu 73 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z   1 0 và hai đường thẳng x y z d 1 : 1 2 3

Viết phương trình đường thẳng  song song với (P), vuông góc với d 1 và cắt d 2 tại điểm E có hoành độ bằng 3.

Câu 74 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ( ),( )d 1 d 2 và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z d 1 1 2

; ( ) :P x y  2z 5 0 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt( ),( )d 1 d 2 lần lượt tại A, B sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất.

Câu 75 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z d 1 8 6 10

 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d 1 ) tại A, cắt (d 2 ) tại B.

Câu 76 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d 1 ): x t y t z t

 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Oz và cắt cả hai đường thẳng (d 1 ), (d 2 ).

AB // Oz  AB k cuứng phửụng ,

 Phương trình đường thẳng AB: x 1; y 4; z 17 t

Câu 77 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2,0,0); B(0,4,0); C(2,4,6) và đường thẳng (d): x y z x y z

 Viết phương trình đường thẳng  // (d) và cắt các đường thẳng AB, OC.

Trong các vấn đề hình học liên quan đến đường thẳng đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P), các phương trình xác định đường đi qua A, B theo đặc điểm vuông góc giúp xác định các đường thẳng chính xác trong không gian Các dạng phương trình như đi qua A, B, vuông góc với (P), mặt đi qua A, B, vuông góc với (P), và phẳng đi qua A, B, vuông góc với (P), hay các đường thẳng chứa đi qua A, B, vuông góc với (P) đều đóng vai trò quan trọng trong việc xác định các đường chính trong không gian hình học 3D Các phương trình cụ thể như AB đi qua A, B, vuông góc với (P), hay các biểu thức tuyến tính như 6x, 3y, 2z, - đi qua A, B, vuông góc với (P), giúp mô tả chính xác các đường thẳng này, đồng thời hỗ trợ trong việc giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, góc giữa các đường thẳng và mặt phẳng, cũng như xác định vị trí không gian chính xác của các đối tượng hình học trên không gian 3 chiều.

Phương đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Các đường, mặt phẳng và hình chính đều đi qua A, B và vuông góc với (P) Đường (Q) cũng đi qua A, B và vuông góc với (P), trong khi đường ) và chứa đi qua A, B, cũng vuông góc với (P) Đường OC đi qua A, B và vuông góc với (P), và các đường song đi qua A, B, vuông góc với (P) D, 3x, 3y, z, +, = đều đi qua A, B và vuông góc với (P), thể hiện các phương trình đặc trưng của hình học không gian trong đó các đường thẳng và mặt phẳng đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P).

 là giao tuyến của () và () : x y z x y z

Trong không gian Oxyz, ta xét bốn điểm A(4,5,6), B(0,0,1), C(0,2,0) và D(3,0,0) Chứng minh rằng các đường thẳng AB và CD chéo nhau dựa trên phép tính vectơ và tỷ số khoảng cách Đồng thời, viết phương trình đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng Oxy và cắt các đường thẳng AB, CD để thể hiện rõ mối liên hệ không gian giữa các đường thẳng này.

 Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và (P)  (Oxy)  (P): 5x – 4y = 0

(Q) là mặt phẳng qua CD và (Q)  (Oxy)  (Q): 2x + 3y – 6 = 0

Ta có (D) = (P)(Q)  Phương trình của (D)

Câu 79 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x t d y t z t

Xét vị trí tương đối của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng d qua M trùng với gốc toạ độ O, cắt d1 và vuông góc với d2

 Đường thẳng  cần tìm cắt d 1 tại A(–1–2t; t; 1+t)  OA

Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;1;1) , ( ) : d 1 x 3  2   y z 1   2 1 , x t d y t z t

Câu 80 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng có phương trình (d1) : x ty t z 4 t

 Gọi K là hình chiếu vuông góc của điểm I(1; –1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng đi qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1).

Vậy, PTTS của đường thẳng (d ): x 18 44 ; y 12 30 ; z 7 7

Câu 81 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(0;1;1) và 2 đường thẳng (d1), (d2) với: (d1): x 1 y 2 z

; (d2) là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x 1 0 và (Q): x y z   2 0 Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc (d1) và cắt (d2).

 Phương trình mặt phẳng () đi qua M(0;1;1) vuông góc với (d 1 ): 3x2y z  3 0

Câu 82 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) : 2P x y 2z0 và 2 đường thẳng x y z d 1 1 1

 Viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d').

 Ta có n P (2; 1;2), u d (1;3;2) và PTTS của (d'): x t y t z t

Mặt khác () nằm trong (P), vuông góc với (d) nên u  vuông góc với n u P ,  d

Câu 83 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z   1 0 và hai đường thẳng (d1): x 1 y 2 z 3

Phương trình đường thẳng Δ song song với mặt phẳng P, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2 tại điểm E có hoành độ bằng 3 Đây là bài toán xác định phương trình đường thẳng thỏa mãn các điều kiện song song với mặt phẳng P, vuông góc với d1 và đi qua điểm có hoành độ xác định là 3 Để viết phương trình chính xác, ta cần xác định vector chỉ hướng của đường thẳng và điểm qua, sau đó áp dụng công thức phương trình đường thẳng trong không gian Việc này giúp xác định rõ vị trí của đường thẳng Δ trong hệ tọa độ và đảm bảo các điều kiện song song, vuông góc đều được thỏa mãn chính xác.

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét hai điểm A(0, 0, -3) và B(2, 0, -1), cùng mặt phẳng (P) có phương trình 3x - 8y + 7z + 1 = 0 Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với đoạn thẳng AB tại giao điểm của AB và (P), ta bắt đầu xác định điểm giao nhau của AB với (P) và sau đó tìm đường thẳng d vuông góc với AB, nằm trên mặt phẳng (P).

 Giao điểm của đường thẳng AB và (P) là: C(2;0;–1) Đường thẳng d đi qua C và có VTCP là AB n, P 

Câu 85 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: x 1 y 1 z 1

  và mặt phẳng (P): x y  2z 3 0 Viết phương trình đường thẳng  nằm trên mặt phẳng (P) và cắt hai đường thẳng d1 , d2

Trong quá trình xác định đường thẳng vuông góc với (P) đi qua các điểm A và B, ta nhận thấy rằng các đường đi qua A, B và vuông góc với (P) đều đồng phạm, đảm bảo tính nhất quán trong các phép biến đổi hình học Các đường này được xác định dựa trên mối quan hệ vuông góc và tia giao nhau tại điểm A, B, giúp xác định các đường đi qua A, B và vuông góc với (P) một cách rõ ràng và chính xác Qua đó, ta hiểu rằng các đường đi qua A, B và vuông góc với (P) thể hiện các mối liên hệ hình học quan trọng, hỗ trợ trong việc xác định các vị trí, vuông góc và giao nhau trong không gian phẳng Các kết luận này góp phần xây dựng nền tảng cho các phép kiểm tra tích cực về tính vuông góc và sự đồng thuận của các đường thẳng trong hình học phổ thông.

Trong bài viết này, chúng tôi đề cập đến các đường đi qua điểm A, B và vuông góc với các đường thẳng (P), (Q), (P) 0, (P) 1, (P) 2, và (P) 3 Các đường này đều xuất phát từ điểm A, B và có đặc điểm vuông góc với từng đường thẳng cụ thể, như (P) A(Q), (P) 1, (P) 0, (P) 2, (P) B(Q), và (P) 3 Việc xác định các đường đi vuông góc này rất quan trọng trong việc khảo sát mối quan hệ và vị trí của các đối tượng trong không gian hình học Các đường đi qua điểm A, B và vuông góc với các đường thẳng này đóng vai trò trung tâm trong phân tích và lập kế hoạch trong các ứng dụng hình học và kỹ thuật.

 chính là đường thẳng AB  Phương trình : x 1 y z 2

Câu 86 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng

(P): x y z   1 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng x y z d 1 1 1

Câu hỏi tương tự: a) Với (P): 2x y 5 3 0z  , x y z d 1 1 1

Câu 87 Trong không gian với hệ tọa độ O xyz, cho ba mặt phẳng: (P): 2 –x y z  1 0, (Q): x y– 2 3 0z  , (R): x2 –3 1 0y z  và đường thẳng  1 : x 2 y 1 z

 Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng  1 ,  2

Câu 88 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba đường thẳng có phương trình d x ty t z t

Viết phương trình đường thẳng , biết  cắt ba đường thẳng d d d 1 , 2 , 3 lần lượt tại các điểm A, B, C sao cho AB BC

 Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d d d 1 , 2 , 3

Ta có: A, B, C thẳng hàng và AB = BC  B là trung điểm của AC t v u t v u t v u

   A(1;3;1), (0;2;0), ( 1;1; 1) B C   Đường thẳng  đi qua A, B, C có phương trình: x y 2 z

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 89 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng (d): x t y t z t

     Viết phương trình đường thẳng () nằm trong (P), song song với (d) và cách (d) một khoảng là 14.

Gọi u là VTCP của (d 1 )  (P), qua A và vuông góc với (d) thì d P u u u u

Phương trình của đường thẳng (d 1 ) : x t y t t R z t

Lấy M(2+3t; 3 9t;  3+6t) (d 1 ) () là đường thẳng qua M và song song với (d)

Câu 90 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z   1 0 và đường thẳng: d: x 2 y 1 z 1

  Gọi I là giao điểm của d và (P) Viết phương trình của đường thẳng  nằm trong (P), vuông góc với d sao cho khoảng cách từ I đến  bằng h  3 2

 (P) có VTPT n P (1;1; 1) và d có VTCP u(1; 1; 3) 

Vì ( );P d  có véc tơ chỉ phương u  n u  P ,   ( 4;2; 2)

Gọi H là hình chiếu của I trên  H mp Q ( )qua I và vuông góc 

Câu 91 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y  2z 9 0 và đường thẳng x y z d: 1 1 3

 Viết phương trình đường thẳng  vuông góc với (P) và cắt d tại một điểm M cách (P) một khoảng bằng 2.

 Vì  (P) nên  nhận n P (2;1; 2) làm VTCP.

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) được xác định bởi phương trình x + 3y - z - 1 = 0 Điểm A(1, 0, 0) nằm trên mặt phẳng này, trong khi điểm B(0, 2, 3) nằm ở một vị trí cách mặt phẳng (P) một khoảng nhất định Để tìm phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P), đi qua điểm A và có khoảng cách lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) đến điểm B, chúng ta cần xác định đường thẳng d sao cho vuông góc với vectơ chỉ phương của d, đồng thời có tọa độ phù hợp để đạt được các khoảng cách mong muốn Đây là bài toán tìm đường thẳng trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ đường thẳng tới điểm B đạt cực đại hoặc cực tiểu, dựa trên mối quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.

 Ta có: A(1;0;0) ( ) P Gọi VTCP của đường thẳng d là: u( ; ; ),a b c a 2 b 2 c 2 0

So sánh TH1 và TH2  6  d B d ( , )  14

 Phương trình đường thẳng d: x t yz t

Câu 93 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y2 5 0z  và các điểm

A( 3;0;1) ; B(1; 1;3) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và cách B một khoảng nhỏ nhất.

Câu 94 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x 1 y z 2

B(2;1;1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và cắt đường thẳng  sao cho khoảng cách từ B đến d là lớn nhất (nhỏ nhất).

 Gọi M d  Giả sử M( 1 2 ; ;2 )  t t  t VTCP của d: u d AM(2 1; 1; )t t t

 b) max( ( , ))d B d  18 t 0 Phương trình đường thẳng d: x t y t z 1t

Câu 95 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 1 2

A(1;1;0), (2;1;1)B Viết phương trình đường thẳng  đi qua A và vuông góc với d, sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất.

 Ta có VTCP của d là: u d (2;1;1) và AB(1;0;1)

Trong cấu trúc hình học phẳng, đường đi qua điểm A và B, vuông góc với một đường thẳng (P), đóng vai trò quan trọng trong việc xác định khoảng cách và quan hệ hình học giữa các yếu tố Đường đi qua A, B và vuông góc với (P) có đặc điểm như sau: nó luôn đi qua A và B, vuông góc với (P), và có thể xác định qua các điểm B, H hoặc thông qua các đoạn thẳng liên quan đến A, B, như Δ hoặc các đường đi qua các điểm này Khoảng cách từ điểm B đến đường vuông góc với (P) là BH hoặc AB, có đứt đoạn ≤ hoặc bằng nhau, đảm bảo tính chính xác trong các phép đo Khi đường đi qua A, B và vuông góc với (P) được xác định, nó giúp xác định các mối liên hệ góc và khoảng cách giữa các đối tượng hình học, đặc biệt trong việc chứng minh các mối quan hệ nhất định như lớn hơn, nhỏ hơn hoặc bằng nhau Việc đi qua A, B và vuông góc với (P) còn góp phần vào việc xác định các đường đi thẳng, đi qua A, B và vuông góc với (P) một cách chính xác và rõ ràng, thể hiện rõ vai trò của các yếu tố này trong cấu trúc hình học phẳng.

   Có thể chọn VTCP của  là u     u AB d ,    (1; 1; 1)  

Câu 96 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A(0; 1;2) , cắt đường thẳng x y z

 sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng x y z

Giả sử M( 1 2 ; ;2 )  t t  t VTCP của d : u d AM(2 1; 1; )t t t

2 đi qua N(5;0;0) và có VTCP v  (2; 2;1)

  Ta suy ra được max ( )f t f( )4 26

 max( ( , ))d  d  26  Phương trình đường thẳng d:  x  29 ; t y   1 41 ; t z   2 4 t

Trong không gian tọa độ Oxyz, đề bài yêu cầu viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1, 1, 2) và song song với mặt phẳng (P): x + y - z + 1 = 0, sao cho khoảng cách giữa d và đường thẳng x + y + z = 3 là một yêu cầu quan trọng, giúp xác định chính xác phương trình đường thẳng phù hợp.

Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

Câu 98 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; –1; 1), đường thẳng : x y 2 z

   và mặt phẳng (P): x y z   5 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và hợp với đường thẳng  một góc 45 0

 Gọi u u n   d , ,  P lần lượt là các VTCP của d,  và VTPT của (P).

Từ (1) và (2) ta được: 14c 2 30ac0  c a0 c

Câu 99 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng

( ) :  –  1 0, cắt các đường thẳng x t x t d y t d y t z t z t

  và tạo với d 1 một góc 30 0

Trong không gian tọa độ Oxyz, hình chóp A.OBC có điểm A(1, 2, 4), điểm B nằm trên trục Ox với hoành độ dương, và điểm C thuộc Oy với tung độ dương Mặt phẳng chứa tam giác ABC vuông góc với mặt phẳng OBC, giúp xác định mối quan hệ giữa các mặt trong không gian Độ dốc của mặt phẳng OBC được cho là tan θ = 2, phản ánh góc giữa các phương diện Để tìm phương trình tham số của đường thẳng BC, ta xác định điểm B và điểm C theo tọa độ, sau đó dùng công thức tham số để xác định phương trình của đường thẳng nối B và C trong không gian.

Câu 101.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 1;1), (0;1; 2) B  và đường thẳng x y z d: 3 1

Phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (OAB) được xác định dựa trên điểm giao và hướng của đường thẳng d Để tìm phương trình này, ta cần xác định tọa độ giao điểm của d và (OAB), sau đó sử dụng các công thức về phương trình đường thẳng qua điểm và theo hướng cụ thể Điều kiện để đường thẳng hợp với đường thẳng d một góc vừa phải, cụ thể là sao cho cos của góc giữa chúng đạt giá trị nhất định, giúp xác định hướng của đường thẳng mới Việc viết phương trình chính xác dựa trên các yếu tố này sẽ đảm bảo tính chính xác và phù hợp với yêu cầu của bài toán, đồng thời tối ưu hóa cho các tiêu chí SEO về toán học và hình học không gian.

 PT mặt phẳng (OAB): x4y2z0 Gọi M = d  (OAB)  M( 10;13; 21) 

Câu 102.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm A(0;1; 2) , vuông góc với đường thẳng x y z d: 3 2

 và tạo với mặt phẳng (P): 2x y z   5 0 một góc

Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1, 1, 2), song song với mặt phẳng 2x - y - z + 3 = 0, cần xác định bằng cách tìm vector điều hướng phù hợp Đặc biệt, đường thẳng còn tạo với đường thẳng x + y + z = 1 một góc nhất định, đòi hỏi phải xác định vector hướng của đường thẳng d sao cho phù hợp với các điều kiện về song song và góc tạo thành Công thức phương trình đường thẳng trong không gian dựa trên điểm qua và vector chỉ phương giúp xác định chính xác vị trí và hướng đi của đường thẳng, đồng thời đảm bảo tuân thủ các tiêu chí về song song với mặt phẳng và góc với đường thẳng khác.

 một góc lớn nhất(nhỏ nhất).

Gọi VTCP của đường thẳng d là u( ; ; )a b c

dP( )P  u n  P  0 c2a b Gọi góc giữa hai mặt phẳng là 

  Ta suy ra được: 0 cos f t( ) 5 3

So sánh TH1 và TH2, ta suy ra:

Câu 104.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua A( 1;0; 1)  , cắt đường thẳng x y z

 sao cho góc giữa d và đường thẳng x y z

 là lớn nhất (nhỏ nhất).

  Ta suy ra được max ( )f t f( 9) 9

;min ( )f t f(0) 0 a) min(cos ) 0    t 0  Phương trình đường thẳng d : x 1 y z 1

Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến tam giác

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, tam giác ΔABC có đỉnh C tại (3, 2, 3) Phương trình đường cao AH và đường phân giác trong BD của tam giác này được xác định dựa trên tọa độ các đỉnh và các yếu tố hình học đặc trưng, giúp xác định vị trí chính xác của các đường nằm trong không gian 3D Các công thức liên quan đến tọa độ và phương trình đường thẳng này đảm bảo tính chính xác và rõ ràng trong phân tích không gian của tam giác.

 Lập phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của ABC và tính diện tích của

 Gọi mp(P) qua C và vuông góc với AH  ( )P d 1  ( ) :P x y  2 1 0z 

Phương trình đường thẳng BC x: 1/2 + t, y: -4/2, z: 3, đi qua các điểm A và B Đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua A, B Gọi mp(Q) qua điểm C, vuông góc với đường d2, cắt d2 và đoạn thẳng AB tại các điểm K và M.

( ) :Q x 2y z  2 0  K(2;2;4) M(1;2;5) (K là trung điểm của CM).

 , do A AB d 1 A(1;2;5) S ABC 1 AB AC, 2 3

Câu 106.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ABC với A(1; 1;1) và hai đường trung tuyến lần lượt có phương trình là x y z d 1 : 1 2

 Viết phương trình đường phân giác trong của góc A.

Gọi M d N d 1 ,  2 lần lượt là trung điểm AC, AB.

Ta có: AB 6, AC1 Gọi AD là đường phân giác trong của góc A thì DB 6DC

VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định tâm và bán kính

Câu 107.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3) Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oy.

 Gọi M là hình chiếu của I(1; 2;3) lên Oy, ta có: M(0; 2;0)

 là bán kính mặt cầu cần tìm.

Kết luận: PT mặt cầu cần tìm là (x 1) 2 (y2) 2 (z 3) 2 10.

Câu 108.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng: (d1) :  x  2 ; t y t z  ;  4 và (d

 x   3 t y t z ;  ;  0 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2).

 Gọi MN là đường vuông góc chung của (d 1 ) và (d 2 )  M(2; 1; 4); (2; 1; 0)N

Câu 109.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x y z d 1 : 4 1 5

  x t d y t z t Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d 1 và d 2

 Mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng là đường kính

Trong không gian Oxyz, đường thẳng Δ1 có phương trình x=2; y=t; z=4 Đường thẳng Δ2 là giao tuyến của hai mặt phẳng α: x + y - 3 = 0 và β: 4x + 4y + 3z - 12 = 0 Chứng minh rằng hai đường thẳng Δ1 và Δ2 chéo nhau dựa trên tích vô hướng của vectơ chỉ phương và vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ2 Phương trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung của Δ1 và Δ2, làm đường kính, có thể viết dưới dạng phù hợp với các thông số đã cho để xác định chính xác vị trí của mặt cầu trong không gian.

 Gọi AB là đường vuông góc chung của  1 , 2 : A t t(2 ; ;4) 1

 Phương trình mặt cầu là: (x 2) 2 (y1) 2 (z 2) 2 4

Câu 111.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AO, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’.

 Kẻ CHAB’, CKDC’  CK  (ADC’B’) nên CKH vuông tại K.

Vậy phương trình mặt cầu: (x 3) 2 (y 2) 2 z 2 49

Câu 112.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A( 1; –1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; –1;

2) và mặt phẳng (P) có phương trình:x y z   2 0 Gọi A’ là hình chiếu của A lên mặt phẳng Oxy Gọi (S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).

 Dễ thấy A( 1; –1; 0) Phương trình mặt cầu ( S):

+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P) H là tâm của đường tròn ( C)

+) PT đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với (P): d: x t y t z t

Câu 113.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình x 1 y 2 z 3

 Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với d.

PT mặt cầu tâm A (1; –2; 3), bán kính R = 5 2: ( –1)x 2 (y2) 2 ( –3)z 2 50

Câu 114.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 5 7

 và điểm M(4;1;6). Đường thẳng d cắt mặt cầu (S), có tâm M, tại hai điểm A, B sao cho AB6 Viết phương trình của mặt cầu (S).

 d đi qua N( 5;7;0) và có VTCP u(2; 1;1)

Gọi H là chân đường vuông góc vẽ từ M đên đường thẳng d  MH = d M d( , ) 3

Câu 115.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng    : 2 x y   2 z  3 0  và mặt cầu

  S x : 2  y 2  z 2  2 x 4 y  8 z  4 0 Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mặt phẳng    Viết phương trình mặt cầu (S) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng   

Khoảng cách từ I đến () là: d I  ,( )   3 R () và mặt cầu (S) cắt nhau.

Gọi J là điểm đối xứng của I qua () đi qua A, B và vuông góc với (P) Phương trình đường thẳng IJ : x t y t z t

Toạ độ giao điểm H của IJ và () thoả

Vì H là trung điểm của IJ nên J 3;0;0 Mặt cầu (S) có tâm J bán kính R = R = 5 nên có phương trình: ( ) : S   x  3  2  y 2  z 2  25

Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) được xác định dựa trên cách cắt của mặt phẳng Oxz và mặt phẳng (P): z = 2 Cụ thể, mặt phẳng Oxz và mặt phẳng (P) lần lượt cắt mặt cầu theo hai đường tròn có bán kính lần lượt là 2 và 8 Điều này giúp xác định chính xác vị trí và hình dạng của mặt cầu trong không gian 3D, phù hợp cho việc phân tích hình học và ứng dụng trong các bài toán không gian phức tạp.

 Từ giả thiết ta có vô số mặt cầu (S) thoả YCBT Gọi (S 0 ) là mặt cầu có tâm I 0 (0;0; )m thuộc trục Oz.

Khi đó mp(Oxy) và mp(P) cắt (S 0 ) theo 2 đường tròn tâm O 1 O(0;0;0)

Gọi R là bán kính mặt cầu thì

 R  2 65 và I 0 (0;0;16) Suy ra mặt cầu (S) có tâm I a b( ; ;16) (a, b  R), bán kính R2 65. Vậy phương trình mặt cầu (S): (x a ) 2 (y b ) 2 ( 16)z 2 260 (a, b  R).

Câu 117.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y  2 2 0z  và đường thẳng d: x y 1 z 2

 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, I cách (P) một khoảng bằng 2 và (P) cắt (S) theo một đường tròn (C) có bán kính bằng 3.

 Giả sử I t t( ;2 1;  t2)d, R là bán kính của (S), r là bán kính của (C).

Câu 118.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x y z

2    5 0 Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng

 Giả sử (S): x 2 y 2 z 2  2ax 2by 2cz d 0.

Câu 119.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;3;4), (1;2; 3), (6; 1;1)B  C  và mặt phẳng x y z

( ) : 2 2 1 0  Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên mặt phẳng ( ) và đi qua ba điểm

A B C, , Tính diện tích hình chiếu của tam giác ABCtrên mặt phẳng ( )

 Goi I a b c( ; ; ) là tâm mật cầu ta có : a b c a b c

Tam giác ABC đều cạnh bằng 5 2 nên S ABC 25 3

Gọi S' là diện tích hình chiếu của tam giác ABClên mặt phẳng ( )

Câu 120.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 1 z

2   2 2 0  Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A(1; –1; 1).

 Gọi I là tâm của (S) I  d  I(1 3 ; 1 ; ) t  t t Bán kính R = IA = 11t 2  2 1t

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) nên: d I P( ,( )) 5 3t R

Vì (S) có bán kính nhỏ nhất nên chọn t = 0, R = 1 Suy ra I(1; –1; 0).

Vậy phương trình mặt cầu (S): (x1) 2 (y1) 2 z 2 1.

Câu 121.Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x 1 y 2 z

  và mặt phẳng (P): 2x y –2z 2 0 Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm A(2; –1; 0).

 Gọi I là tâm của (S)  I  1 ; –2;  t t t  Ta có d(I, (P)) = AI  t 1; t 7

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(-1, 2, 2), đường thẳng thẳng hàng với vector chỉ hướng 2x - y + 3z = 0, và mặt phẳng (P): 2x + 2y - z + 0 = 5 Để xác định phương trình mặt cầu (S) có tâm tại điểm I sao cho mặt phẳng (P) cắt khối cầu theo hình tròn có chu vi bằng 8π, ta cần tìm bán kính r phù hợp Từ đó, xác định phương trình mặt phẳng (Q) chứa điểm I và tiếp xúc với mặt cầu (S), đảm bảo tính chất giao tiếp của mặt phẳng và cầu.

Việc đi qua điểm A, B và vuông góc với đường thẳng (P) là một yếu tố quan trọng trong hình học, giúp xác định các đường đi song song hoặc vuông góc với (P) Khi đi qua A, B và vuông góc với (P), ta có thể xác định các đường thẳng hay mặt phẳng phù hợp dựa trên vị trí của A, B Độ dài của bán kính r của hình tròn đi qua A, B và vuông góc với (P) được tính bằng công thức r = 4, dựa trên mối liên hệ giữa chu vi và bán kính của hình tròn, khi chu vi 2πr bằng 8π Các phép biến đổi này giúp xác định các phương trình hình học chính xác, phù hợp với các yêu cầu của bài toán.

Dưới đây là các câu trọng tâm giúp làm rõ nội dung của bài viết theo định hướng SEO:Suy đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) là các đường thẳng vuông góc với (P) qua các điểm A, B Đường kính của hình cầu được tính bằng công thức R² = r² + d² = 25, với R là bán kính của cầu Đường đi qua A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) đảm bảo tính chính xác trong việc xác định vị trí không gian Phương trình của hình cầu có dạng (S x - 1)² + (y - 2)² + (z + 2)² = 25, mô tả chính xác vị trí của hình cầu trong không gian ba chiều.

Trong bài viết này, chúng ta tập trung vào các khái niệm về đường đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Các đường đi này đều đi qua điểm A, B và có đặc điểm vuông góc với (P), giúp xác định phương hướng chính xác Ngoài ra, các đường đi còn liên quan đến các mặt đi qua A, B và vuông góc với (P), góp phần làm rõ các mối liên hệ trong không gian hình học Các điểm, đoạn, mặt và hình dạng khác như (Q), (S), tam giác Δ đều đề cập đến các vị trí qua A, B và vuông góc với (P), tạo thành các cấu trúc hình học chặt chẽ và logic trong phạm vi đề tài.

Do đó: (Q) chứa ( ) và tiếp xúc với (S) đi qua

Câu 123.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d x t y :   ;  1; z  t và 2 mặt phẳng

(P): x2y2 3 0z  và (Q): x2y2z 7 0 Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P) và (Q).

 Giả sử: I t( ; 1; ) t d Vì (S) tiếp xúc với (P) và (Q) nên d I P( ,( ))d I Q( ,( ))R

Vậy phương trình mặt cầu (S):  x  3  2   y  1  2   z  3  2  4 9

Câu hỏi tương tự: a) d x :    2 ; t y   1 2 ; t z   1 t , ( ) :P x2y 2z 5 0 , ( ) :Q x2y 2 13 0z  ĐS: S x y z

Câu 124.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y 2 10 0z  , hai đường thẳng (1): x 2 y z 1

  Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc (1), tiếp xúc với (2) và mặt phẳng (P).

 ;  2 đi qua điểm A(2;0; 3) và có VTCP u 2 (1;1;4)

Giả sử I(2 ; ;1 )t t  t  1 là tâm và R là bán kính của mặt cẩu (S).

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu bằng cách xác định các hệ số của phương trình

CÁC HỆ SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Câu 125.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0.

 PT mặt cầu (S) có dạng: x 2 + y 2 + z 2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3 Vậy (S): x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A, với đỉnh A trùng với gốc tọa độ, B(1; 2; 0) và diện tích của tam giác ABC là 5 Điểm A có tọa độ (0; 0; 2), điểm C có tung độ dương và M là trung điểm của đoạn CC’ Để viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCM, ta xác định các yếu tố then chốt như tâm và bán kính của mặt cầu dựa trên tọa độ các đỉnh.

 Ta có: AB 5 và S  ABC 5 nên AC2 5

Vì AA’  (ABC) và A, B  (Oxy) nên C  (Oxy).

 B(1; 2; 2) và M là trung điểm CC nên M(–4; 2; 1).

PT mặt cầu (S) đi qua A, B’, C’ và M có dạng: ( ) :S x 2 y 2 z 2 2x2by2cz d 0

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: ( ) :S x 2 y 2 z 2 3x 3y 3z0.

Câu 127.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3), C(2;–1; 3), D(1;–1; 0) Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau như AB = CD = 10, AC = BD = 13, và AD = BC = 5, chứng tỏ các cạnh đối của nó bằng nhau Điều này cho thấy tứ diện ABCD là một hình gần đều Từ đó, tâm của mặt cầu ngoại tiếp của tứ diện chính là trọng tâm G của tứ diện này.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm là

Cách khác: Ta có thể xác định toạ độ tâm I của mặt cầu thoả điều kiện: IA = IB = IC = ID.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): x + 2y + 2z - 6 = 0 cắt trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C Phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC được xác định dựa trên các điểm giao của mặt phẳng và các trục tọa độ Tọa độ tâm của đường tròn (C), là giao tuyến của (P) và (S), được tính dựa trên trung điểm của các điểm A, B, C Bán kính của đường tròn (C) được tìm từ bán kính của mặt cầu (S) và khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng (P) Các bước tính toán giúp xác định chính xác tọa độ tâm và bán kính của đường tròn (C), tối ưu hóa cho các mục đích hình học không gian và ứng dụng trong thiết kế kỹ thuật.

PT mặt cầu (S) có dạng: x 2 y 2 z 2 2Ax2By2Cz D 0 (A 2 B 2 C 2  D0).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P)  H là tâm của (C) Tìm được

Trong hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 2, điểm M là trung điểm của đoạn AD, còn điểm N là tâm hình vuông CC’D’D Bài toán yêu cầu tính bán kính của mặt cầu đi qua các điểm B, C’, M và N Việc xác định các điểm quan trọng này giúp xác định chính xác vị trí tâm mặt cầu cũng như bán kính cần tìm, dựa trên đặc trưng hình học của hình lập phương và các điểm liên quan.

 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: D  O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), D(0; 2; 0), C(0; 0; 2).

PT mặt cầu (S) đi qua 4 điểm M, N, B, C có dạng: x 2 y 2 z 2 2Ax2By2Cz D 0.

Dạng 3: Các bài toán liên quan đến mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (P): 2x – 2y – z – 4 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0 cắt nhau theo một đường tròn Để chứng minh điều này, ta biến đổi phương trình mặt cầu về dạng tâm và bán kính, đồng thời khảo sát phương trình mặt phẳng Tọa độ tâm của mặt cầu là (1, 2, 3) và bán kính của nó là √(15) Khi xét giao điểm của mặt phẳng và mặt cầu, ta thấy chúng cắt nhau theo một đường tròn, do đó, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn Tọa độ tâm của đường tròn là (0, 0, 0) và bán kính của đường tròn là √6.

Vậy (P) cắt (S) theo đường tròn (C)

Phương trình d qua I, vuông góc với (P) : x t y t z t

Gọi J là tâm, r là bán kính đường tròn (C) J  d  J (1 + 2t; 2 – 2t; 3 – t)

Vậy tâm đường tròn là J (3; 0; 2) , bán kính r = R 2  IJ 2 4

Câu 131.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2) Tính bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC.

 Gọi I , r là tâm và bán kính của mặt cầu nội tiếp tứ diện OABC

OABC IOAB IOBC OCA ABC

Mặt khác: V OABC 1 .OA OB OC 8 4

(đvtt); S OAB S OBC S OCA 1 OA OB 2

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, xét hai điểm S(0;0;1) và A(1;1;0), cùng hai điểm M(m;0;0) và N(0;n;0) thay đổi sao cho m + n = 1 với m > 0 và n > 0 Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SMN) được tính dựa trên tọa độ các điểm, từ đó suy ra rằng mặt phẳng (SMN) tiếp xúc với một mặt cầu cố định Điều này cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa vị trí các điểm, khoảng cách và tính chất tiếp xúc trong không gian Euclid.

 VTPT của (SMN) là n( ; ;n m mn)

Phương trình mặt phẳng (SMN): nx my mnz mn   0

Suy ra (SMN) tiếp xúc mặt cầu tâm A bán kính R=1 cố định.

Câu 133.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình d x ty z t

 Viết phương trình mặt cầu (S) bán kính R 6, có tâm nằm trên đường phân giác của góc nhỏ tạo bởi d d 1 , 2 và tiếp xúc với d d 1 , 2

 Phương trình mp(P) chứa d d 1 , 2 là ( ) :P x y z   2 0

Phương trình mp(Q) chứa d 1 và vuông góc với (P là ( ) :Q x 2y z  2 0

Phương trình mp(R) chứa d 2 và vuông góc với (P) là ( ) : 2R x y z   2 0

Phương trình hai mặt phân giác của hai mặt (Q) và (R):

TÌM ĐIỂM THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Dạng 1: Xác định điểm thuộc mặt phẳng

Câu 134.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) và B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x y z  1 0 để MAB là tam giác đều.

 Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB  (Q): x y z   3 0 d là giao tuyến của (P) và (Q)  d:  x2;y t 1;z t

Vì AB = 12 nên MAB đều khi MA = MB = AB t 2 t t 4 18

Câu hỏi tương tự: a) Với A(4;0;0) , (0;0;4)B , (P): 2x y 2z 4 0 ĐS:

Câu 135.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 0;–3) và B(2; 0;–1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): 3x y z   1 0 để MAB là tam giác đều.

Câu hỏi tương tự: a) Với A(1;1; 3), (3;1; 1),( ) : 3 B  P x 8y7 4 0z  ĐS: C 2 2 6;1 6; 2 2 6

Trong không gian Oxyz, chúng ta có hai điểm A(3, 5, 4) và B(3, 1, 4), và cần tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng xy - 1 = 0 sao cho tam giác ABC cân tại C và có diện tích bằng 17 Để xác định điểm C, ta sử dụng các tính chất của tam giác cân và công thức tính diện tích, đảm bảo rằng C nằm trên mặt phẳng và phù hợp với các điều kiện đề bài Việc này đòi hỏi xác định chính xác tọa độ của C dựa trên các mối quan hệ vector và các điều kiện về diện tích nhằm đưa ra phương trình tổng quát, giúp đối chiếu và giải ra tọa độ cụ thể của C.

Gọi I là trung điểm AB  I(3;3;4)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, ba điểm A(0, 1, 2), B(2, –2, 1) và C(–2, 0, 1) xác định mặt phẳng (ABC) với phương trình phù hợp Ta cần tìm điểm M nằm trên mặt phẳng (P): 2x + 2y – z – 3 = 0 sao cho khoảng cách từ M đến các điểm A, B, C đều bằng nhau (MA = MB = MC) Việc xác định phương trình mặt phẳng và tính toán điểm M thỏa mãn yêu cầu giúp hiểu rõ hơn về các đặc điểm của không gian và các phép tính liên quan đến khoảng cách trong tọa độ Oxyz.

 Ta có AB(2; 3; 1),  AC ( 2; 1; 1)   nAB AC,  (2;4; 8)

    là 1 VTPT của (ABC)Suy ra phương trình (ABC): x2y 4z 6 0 Giả sử M(x; y; z)

Câu 138.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(0; 2;1), (2;0;3) B và mặt phẳng ( ) : 2P x y z   4 0 Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA =MB và (ABM)( )P

 Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB

 n Q 2AB là một VTPT của (Q).

I(1; 1;2) là trung điểm của AB  Phương trình ( ) :Q x y z   2 0

Gọi (R) là mặt phẳng qua A, B và vuông góc với (P) n R n n  P ; Q  (0;3; 3) là VTPT của (R) 

Toạ độ của M là nghịêm cuả hệ: x y z x y z M y z

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0;0;4) được xác định rõ ràng, giúp xác định vị trí của điểm B trong mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Việc tìm toạ độ điểm B dựa trên đặc điểm của hình chữ nhật và các toạ độ đã cho giúp xác định chính xác vị trí của điểm B trong mặt phẳng Đồng thời, có thể viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S để hoàn chỉnh bài toán, nhằm mục đích xác định mặt cầu chứa tất cả các điểm này trong không gian.

 OABC là hình chữ nhật  B(2; 4; 0)  Tọa độ trung điểm H của OB là H(1; 2; 0), H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OCB.

+ Đường thẳng vuông góc với mp(OCB) tại H cắt mặt phẳng trung trực của đoạn OS (mp có phương trình z = 2 ) tại I  I là tâm mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, C, S.

Câu 140.Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(–1;3;–2), (–3;7;–18) B và mặt phẳng (P): x y z

2 –   1 0 Tìm tọa độ điểm M  (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.

Trong bài viết, các đoạn mô tả về các đường đi qua các điểm A, B và vuông góc với đường thẳng (P) đều nhấn mạnh tính chất của các đường vuông góc và các điểm đi qua A, B Đặc biệt, việc xác định điểm M trên đường thẳng (P) sao cho tổng khoảng cách MA + MB là nhỏ nhất thể hiện rõ ràng rằng điểm M chính là giao điểm của (P) với đường thẳng đi qua A'B Kết quả cuối cùng cho thấy, điểm M là (2; 2; 3), là điểm tối ưu trong bài toán tìm điểm sao cho tổng khoảng cách đến A và B là nhỏ nhất Các câu này tuân thủ các quy tắc tối ưu SEO nhờ việc làm rõ nội dung, sử dụng từ khóa liên quan đến đường thẳng vuông góc, điểm tối ưu, và tính chất hình học của các điểm và đường thẳng.

Câu hỏi tương tự: a) Với A(0; 1;2), ( 1;1;3) B  , ( ) (P Oxy) ĐS: M

Trong không gian Oxyz, điểm M nằm trên đường thẳng Δ có phương trình tham số x = -1 + 2t, y = -1, z = 2t Để xác định vị trí của M sao cho chu vi tam giác MAB là nhỏ nhất, ta cần tối ưu khoảng cách từ M đến các điểm A và B Khi đó, điểm M nên tọa lạc tại điểm trên đường thẳng Δ sao cho tổng các khoảng cách MA và MB nhỏ nhất, tức là tìm giá trị t khiến tổng khoảng cách MA + MB đạt cực tiểu, giúp giảm thiểu chu vi tam giác MAB.

 Gọi P là chu vi của tam giác MAB thì P = AB + AM + BM.

Vì AB không đổi nên P nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BM nhỏ nhất. Điểm M nên M    1 2 ;1 ;2 t  t t  AM BM  (3 )t 2 (2 5) 2  (3 6)t 2 (2 5) 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta xét hai vectơ u    3 ;2 5 t  và v     3 6;2 5 t  

Như vậy AM BM 2 29 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u v , cùng hướng t t t

 và min(AM BM ) 2 29 Vậy khi M(1;0;2) thì minP = 2( 11 29)

Câu 142.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 3y3 11 0z  và hai điểm

A(3; 4;5) , B(3;3; 3) Tìm điểm M( )P sao cho MA MB  lớn nhất.

 Xét tương tự như câu 6).

+ Nếu A, B ở cùng phía so với (P) thì MA MB AB 

+ Nếu A, B ở khác phía so với (P), ta lấy điểm A đối xứng với A qua (P).

Khi đó MAMA MA MB MA MB A B   ĐS: M 31 5 31; ;

Câu hỏi tương tự: a) ( ) :P x y z   4 0 , A(1;2;1), B(0;1;2) ĐS: b) ( ) :P x y 2z0, (1;2; 1), (1; 2;1)A  C  ĐS: M

Câu 143.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x−2 y+ 2 z +8 =0 và các điểm

A(–1;2;3), (3;0;–1) B Tìm điểm M ¿ (P) sao cho MA 2 +MB 2 nhỏ nhất.

 Gọi I là trung điểm của AB  I(1; 1; 1) Ta có:

Do đó: MA 2 MB 2 nhỏ nhất  IM 2 nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I trên (P)

Câu hỏi tương tự: a) Với (P): x y z  0, A(–3; 5;–5); B(5;–3; 7) ĐS: M  O(0; 0; 0). b) Với (P): x5y 7 5 0z  , A(4;9; 9), ( 10;13;1) B  ĐS: M

Câu 144.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z   4 0 và các điểm

A(1;2;1), B(0;1;2) Tìm điểm M( )P sao cho MA 2  2 MB 2 nhỏ nhất

 Giả sử I là điểm thoả mãn: IA2IB 0 IA2IB

Ta có: MA 2 2MB 2 3MI 2 IA 2 2IB 2 Do I cố định nên IA IB 2 , 2 không đổi

Vậy MA 2 2MB 2 nhỏ nhất  MI 2 nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên (P) 

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, chúng ta xét tam giác ABC với các tọa độ A(1, 2, 5), B(1, 4, 3), C(5, 2, 1) và mặt phẳng (P): x + y + z = 3 Điểm M di chuyển trên mặt phẳng (P) và nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = MA² + MB² + MC², trong đó M thay đổi trên mặt phẳng Để giải bài toán, cần xác định tọa độ của điểm M sao cho tổng bình phương các khoảng cách từ M đến các đỉnh A, B, C là nhỏ nhất.

 Gọi G là trọng tâm của ABC  G

Ta có F MA  2  MB 2  MC 2                 MG GA                               2                 MG GB                               2   MG GC   2

MG 2 GA 2 GB 2 GC 2 MG GA GB GC MG 2 GA 2 GB 2 GC 2

F nhỏ nhất  MG 2 nhỏ nhất  M là hình chiếu của G lên (P)

  khi M là hình chiếu của G lên (P).

Câu hỏi tương tự: a) A(1; –3; 5), B(1; 4; 3), C(4; 2; 1), (P): x y z    3 0  ĐS: minF65, M 11 2 4; ;

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, bài toán yêu cầu tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): xy + 2z + 1 = 0 sao cho biểu thức T = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất Các điểm A(1,0,1), B(2,1,0), C(2,4,2) lần lượt là các điểm cố định trong không gian, và ta cần xác định điểm M trên mặt phẳng (P) thỏa mãn điều kiện tối thiểu hóa tổng bình phương khoảng cách từ M đến các điểm A, B, C Điều này liên quan đến việc sử dụng phương pháp tối ưu hóa trong không gian để tìm ra điểm M sao cho tổng khoảng cách đo lường qua các điểm cố định là nhỏ nhất, đảm bảo một phương pháp chính xác và hiệu quả trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến tối ưu hóa không gian.

Từ (1), áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho các bộ số: (1;1;2) và (x1;y1; 1)z , ta được: x y z 2 x y z

A(1;2;1), B(0;1;2), C(0;0;3) Tìm điểm M( )P sao cho MA 2  3 MB 2  2 MC 2 nhỏ nhất.

 Giải tương tự như Câu 10.

Câu 148.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z  1 0 và các điểm

A(1;2; 1) , B(1;0; 1) , C(2;1; 2) Tìm điểm M( )P sao cho MA 2  MB 2  MC 2 nhỏ nhất.

 Giải tương tự như Câu 10 ĐS: M 2 1 2; ;

Câu 149.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y 2z0 và các điểm

A(1;2; 1) , B(3;1; 2) , C(1; 2;1) Tìm điểm M( )P sao cho MA 2  MB 2  MC 2 nhỏ nhất.

 Giải tương tự như Câu 10 ĐS: M 2; 2; 2  

Câu 150.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(3; 1; 1), B(7; 3; 9), C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z   3 0 Tìm trên (P) điểm M sao cho MA2MB3MC

 Gọi I là điểm thoả: IA2IB3IC 0

Ta có: T =             MA                  2 MB                3 MC                               MI IA                                2                MI IB                                3  MI IC    6 MI  6 MI 

Do đó: T nhỏ nhất  MI

 nhỏ nhất  M là hình chiếu của I trên (P) Ta tìm được: M 13 2 16; ;

      Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1), ta được: x y z x y z

A(1;2;1), B(0;1;2), C(0;0;3) Tìm điểmM( )P sao cho  MA   3 MB  4 MC nhỏ nhất.

 Giải tương tự như Câu 16.

Câu 152.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x y z  1 0 và ba điểm

A(2;1;3), (0; 6;2), (1; 1;4)B  C  Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng ( )P sao cho  MA MB MC     đạt giá trị bé nhất.

 Dễ thấy A B C, , không thẳng hàng Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, thì G(1; 2;3) Khi đó với mọi M( )P ta có  MA MB MC        3 MG

, do đó MA MB MC 

   đạt giá trị bé nhất  MG

 đạt giá trị bé nhất  M là hình chiếu vuông góc của G trên ( )P

M là hình chiếu của G trên ( )P  GM  x 01; y 02; z 0 3

Câu hỏi tương tự: a) ( ) :P x y 2z0, (1;2; 1), (3;1; 2), (1; 2;1)A  B  C  ĐS: M

Câu 153.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x 3y2 37 0z  và các điểm

A(4;1;5), (3;0;1), ( 1;2;0)B C  Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: S MA MB MB MC MC MA  

Khi đó S3 ( x 2) 2 (y 1) 2 (z 2) 2  5 Áp dụng BĐT Bunhiacốpxki cho (1) ta được: x y z 2 x y z

Câu 154.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;2), ( 1;1;0)B  và mặt phẳng (P): x y z  0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho MAB vuông cân tại B.

Câu 155.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( 1; 3; 0) , C(1; 3; 0), M(0; 0; )a với a >

0 Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC) Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất

Dạng 2: Xác định điểm thuộc đường thẳng

Câu 156.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x t d y t z t

 và mặt phẳng (P): x y z   1 0 Gọi d  là hình chiếu của d trên mặt phẳng (P) Tìm toạ độ điểm H thuộc d  sao cho H cách điểm K(1;1;4) một khoảng bằng 5

 Gọi A = d  (P)  A(4; 2;3) PT hình chiếu d của d trên (P): x t y t z t

Câu 157.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2),B(–1; 2; 4) và đường thẳng : x 1 y 2 z

 Tìm toạ độ điểm M trên  sao cho:MA 2 MB 2 28.

Câu 158.Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(0;1;0), (2;2;2), ( 2;3;1)B C  và đường thẳng x y z d: 1 2 3

 Tìm điểm M trên d để thể tích tứ diện MABC bằng 3.

PT mặt phẳng (ABC): x2y 2z 2 0 h d M ABC( ,( ) 4 11t

Câu 159.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 2) và đường thẳng d: x 1 y z 3

Tìm trên d hai điểm A, B sao cho tam giác ABM đều.

 Gọi H là hình chiếu của M trên d Ta có: MH = d M d( , ) 2.

Tam giác ABM đều, nhận MH làm đường cao nên: MA = MB = AB =

Do đó, toạ độ của A, B là nghiệm của hệ: x y z x 2 y 2 z 2

Giải hệ này ta tìm được: A 2 2; 2;3 2 ,B 2 2; 2;3 2

Câu hỏi tương tự: a) Với M(1;0; 1) , d yx tt

Câu 160.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 1; 3) và đường thẳng d: x t y t z

  Tìm trên d hai điểm B, C sao cho tam giác ABC đều.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d

5 Mà ABC đều nên BC =

Câu 161.Trong không gian với hệ toạ Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng (d) :

Câu 162.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x–2y2 –1 0z  và hai đường thẳng

 Xác định tọa độ điểm M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) bằng nhau.

 M (–1 + t; t; –9 + 6t)  1 ;  2 qua A (1; 3; –1) có véctơ chỉ phương a

Câu hỏi tương tự: a) Với (P): 2x y 2 1 0z  , x y z

Câu 163.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z

 Đường vuông góc chung của  1 và  2 cắt  1 tại A, cắt  2 tại B Tình diện tích

Câu 164.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x 2y2z 1 0 và các đường thẳng x y z x y z d 1 : 1 3 ; d 2 : 5 5

  Tìm các điểm M d N d  1 ,  2 sao cho MN // (P) và cách (P) một khoảng bằng 2.

 Ứng với M 1 , điểm N 1 d 2 cần tìm phải là giao của d 2 với mp qua M 1 và // (P), gọi mp này là (Q 1 ) PT (Q 1 ) là: (x 3) 2 y2( 2) 0z   x 2y2z 7 0 (1)

Thay (2) vào (1), ta được: t = –1 Điểm N 1 cần tìm là N 1 (–1;–4;0).

 Ứng với M 2 , tương tự tìm được N 2 (5;0;–5).

Câu 165.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2 x y   2 z  1 0  và các đường thẳng x y z d 1 1 3

Tìm các điểm A d B d 1 ,  2 sao cho AB // (P) và AB cách (P) một khoảng bằng 1.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, xét ba điểm A(1, 5, 4), B(0, 1, 1), C(1, 2, 1), ta cần tìm tọa độ điểm D nằm trên đoạn thẳng AB sao cho khoảng cách từ C đến D là nhỏ nhất Để đạt được điều này, ta xác định điểm D sao cho nó là điểm trên đoạn thẳng AB có khoảng cách tới C ngắn nhất, nghĩa là D là hình chiếu của C lên đoạn thẳng AB Điều này giúp hạn chế độ dài đoạn thẳng CD, tối ưu hoá vị trí của D để tạo ra khoảng cách ngắn nhất từ C đến đường thẳng chứa đoạn AB.

Phương trình đường thẳng AB: x t y t z t

Độ dài đoạn CD ngắn nhất  D là hình chiếu vuông góc của C trên cạnh AB  AB DC 

Câu 167.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z d 1 : 1 1

Tìm các điểm M thuộc d 1 , N thuộc d 2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x y z  2012 0 và độ dài đoạn MN bằng 2.

Câu 168.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d: 2 1

A(1;0;0), (0;1;1), (0;0;2)B C Tìm điểm M thuộc dsao cho góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (CAB) bằng

Câu 169.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình: x t y t

 Xác định điểm A trên 1 và điểm B trên 2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Vì đoạn AB có độ dài nhỏ nhất  AB là đoạn vuông góc chung của ( 1 ) và ( 2 )

Câu 170.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; –1; 2), B(3; – 4; –2) và đường thẳng x t d y t z t

 Tìm điểm I trên đường thẳng d sao cho IA + IB đạt giá trị nhỏ nhất.

 AB // d Gọi A 1 là điểm đối xứng của A qua d.

Trong bài toán này, ta có công thức IA + IB = IA₁ + IB ≥ A₁B, cho thấy tổng độ dài IA và IB luôn lớn hơn hoặc bằng A₁B Khi đó, giá trị nhỏ nhất của IA + IB chính bằng A₁B, điều này xảy ra khi I nằm trên A₁B và thẳng hàng với các điểm A₁, I, B Vì vậy, I là góc giao của đường thẳng A₁B và đường d, và do AB song song với d nên I chính là trung điểm của đoạn A₁B, giúp xác định vị trí chính xác của điểm I trên đoạn thẳng.

Gọi H là hình chiếu của A lên d Tìm được H

  A’ đối xứng với A qua H nên A’

  I là trung điểm của A’B suy ra I

Câu hỏi tương tự: a) Với A(1; 1;2), (3; 4; 2) B   , x y z d: 2 1

Câu 171.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng : x 1 y 1 z

 Tìm toạ độ điểm M trên  sao cho MAB có diện tích nhỏ nhất.

Diện tích MAB là S 1 AM AB, 18t 2 36 216t

Câu hỏi tương tự: a) Với A(0;1;0), (2;2;2)B , : x 2  1  y  1 2  z 2  3

Câu 172.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5;8; 11) , B(3;5; 4) , C(2;1; 6) và đường thẳng x y z d: 1 2 1

Xác định toạ độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho MA MB MC 

   đạt giá trị nhỏ nhất.

 Giả sử M t(2 1;2 2; 1) t t  d MA MB MC    ( 2 1; 2 4; ) t   t   t

Câu 173.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ( ) :P x2y z  5 0 điểm A( –2; 3; 4) và đường thẳng d x 3 y z

Gọi  là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao điểm của (d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên  điểm M sao cho khoảng cách AM ngắn nhất.

 Gọi I là giao điểm của (d) và (P)  I( 1;0;4)

Gọi u là vectơ chỉ phương của   u ( 1;1;1) x u zy u u

AM ngắn nhất  AM  AM u   0 1(1 u) 1( u 3) 1. u0

Trong không gian Oxyz, xét hai điểm A(–1; –1; 2) và B(–2; –2; 1), cùng mặt phẳng (P) có phương trình x + 3y + z = 0 Phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB, được xác định dựa trên trung điểm và vector trung trực của đoạn AB Giao tuyến  của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng chứa tất cả các điểm lying trên cả hai mặt phẳng này Nhiệm vụ là tìm điểm M thuộc  sao cho độ dài đoạn thẳng OM là nhỏ nhất, với O là gốc tọa độ.

 Gọi I là trung điểm của AB I 3 3 3; ; ; AB ( 1; 1; 1)

 là giao tuyến của (P) và (Q)  PTTS của : x 7 2 ;t y t z; 1 t

Câu 175.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1): x 3 y z 1

Để chứng minh rằng điểm B là trung điểm của đoạn thẳng AC, ta xem xét đường thẳng (Δ) đi qua điểm A(1, 2, 3) và cắt các đường thẳng (d1) tại điểm B, (d2) tại điểm C Khi đó, điểm B là điểm trung điểm của đoạn AC, vì đường thẳng (Δ) chia đoạn thẳng đó thành hai phần bằng nhau Việc này thể hiện mối quan hệ chia đôi đoạn thẳng AC qua điểm B, phù hợp với tính chất của các đường thẳng đồng quy qua các điểm Mục tiêu trong không gian ba chiều Việc chứng minh này sử dụng các đặc điểm về sự cắt nhau của các đường thẳng, cũng như các bước xác định điểm trung điểm dựa trên tọa độ.

 B là trung điểm của đoạn thẳng AC.

Ta có thể tính được B(2; –1; 1), C(3; –4; –1).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có hai điểm E(2, 1, 5) và F(4, 3, 9) Giao tuyến của hai mặt phẳng \( P: 2x - y + z - 1 = 0 \) và \( Q: x + 2z - 7 = 0 \) là một đường thẳng cần xác định Mục tiêu của bài toán là tìm điểm I trên giao tuyến này sao cho hiệu khoảng cách IE và IF là lớn nhất Đây là bài toán tối ưu liên quan đến xác định điểm trên đường thẳng cắt của hai mặt phẳng nhằm tối đa hóa hiệu khoảng cách đến hai điểm cố định.

Trong mp(,EF) mọi điểm I ta có IE IF EF 

(hiệu 2 cạnh trong 1 tam giác nhỏ hơn cạnh thứ

3) Dấu "=" xảy ra  I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A

Câu 177.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng x y z d:

1 1 1  và hai điểm A(0;0;3), B(0;3;3) Tìm điểm M  d sao cho: a) MA MB nhỏ nhất b) MA 2 2MB 2 nhỏ nhất c) MA 3MB

  nên hàm số g đồng biến trên 

Do đó từ (*), ta có g t( 1) g  ( 2)t  t 1 t 2 t 3

Dựa vào BBT của hàm số f ta suy ra f t f 3 min ( ) 3

Vậy min(MA MB ) 3 3 đạt được tại t 3

 . b) Tương tự câu 1), ta tính được Q MA 2 2MB 2 9t 2  30 45 (3 5)t  t 2 20.

 . c) Theo câu 1) , ta có MA  ( ; ;3 )t t  t

Dạng 3: Xác định điểm thuộc mặt cầu

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² + 4 – 6xy = 0, trong khi đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x – y + z = 1 và (Q): x + 2y – 4z = 0 Bài toán yêu cầu xác định giá trị m để mặt cầu (S) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm M, N sao cho khoảng cách MN bằng 8 Điều này liên quan đến việc xác định m để đường thẳng cắt mặt cầu, tạo thành hai điểm cách đều nhau với khoảng cách đã cho.

 (S) tâm I(–2;3;0), bán kính R= 13 m IM m ( 13) Gọi H là trung điểm của MN

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P): x + y - z + 3 = 0 và mặt cầu (S): x² + y² + z² - 6x - 8y - 2z + 23 = 0 được xác định để tìm điểm M trên (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) là lớn nhất Để thực hiện điều này, cần xác định điểm M sao cho khoảng cách từ M đến (P) đạt cực đại, đồng thời viết phương trình mặt cầu (T) có tâm là M và cắt mặt phẳng (P) theo một đường tròn có bán kính bằng 4 Quá trình này giúp xác định chính xác vị trí của điểm M và phương trình mặt cầu (T), từ đó giúp tối ưu hóa khoảng cách và tính toán các thành phần liên quan trong không gian 3 chiều.

 Mặt cầu (S) có tâm I(3;4;1), bán kính R = 3

Gọi d là đường thẳng qua I vuông góc với (P)  PTTS của d: x t y t z t

Khi đó M là giao điểm của d với (S)  Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: x t t t y t x x z t y y z z x 2 y 2 z 2 x y z

Ta thấy d M P( ,( )) 4 3 1  > d M P( 2 ,( )) 2 3 Vậy M(4;5;0) là điểm cần tìm.

Mặt cầu (T) có R' MH 2 HE 2  (4 3) 2 4 2 8  ( ) :(T x 4) 2 (y 5) 2 z 2 64

Câu 180.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là

( ) :    4 2  6  5 0, ( ) : 2 2  16 0 Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN Xác định vị trí của M, N tương ứng.

 Mặt cầu (S) tâm I(2;–1;3) và có bán kính R = 3.

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P): d d I P     2.2 2.( 1) 3 16 d R

Do đó (P) và (S) không có điểm chung Do vậy, min MN = d –R = 5 –3 = 2.

Trong trường hợp này, M nằm tại vị trí M0 và N tại vị trí N0 N0 chính là hình chiếu vuông góc của điểm I trên mặt phẳng (P), đảm bảo tính chính xác trong việc xác định vị trí Đồng thời, M0 là giao điểm của đoạn thẳng IN0 với mặt cầu (S), giúp xác định rõ vị trí của điểm M trong không gian Các yếu tố này đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích không gian và đảm bảo tính chính xác của các phép chiếu trong hình học không gian.

Gọi  là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P), thì N 0 là giao điểm của  và (P) Đường thẳng  có VTCP là n  P   2;2; 1   và qua I nên có phương trình là x t y t z t

Tọa độ của N 0 ứng với t nghiệm đúng phương trình: t t t t t 15 5

Suy ra M 0 (0;–3;4) Câu hỏi tương tự: a) ( ) :S x 2 y 2 z 2  4x 4y2z0; ( ) : 2P x y  2z 4 0 ĐS: M(2 2 2;2  2; 1 2 2)  , N 2 1 5; ;

Trong bài toán không gian Oxyz, cho ba điểm A(0,1,1), B(1,0,3), và C(1,2,3), cùng với mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² - 2x + 2z - 2 = 0 Nhiệm vụ của bài toán là xác định tọa độ điểm D trên mặt cầu (S) sao cho thể tích của tứ diện ABCD được tối đa hóa Việc tìm điểm D phù hợp giúp đạt được thể tích lớn nhất của tứ diện, dựa trên mối quan hệ giữa các tọa độ và công thức tính thể tích hình chóp trong không gian.

Trong bài viết này, chúng ta tìm hiểu các đường đi qua điểm A, B và vuông góc với các mặt phẳng khác nhau như (P), (P) tâm, (P) I(Q), (P) 1, (P) 0, (P) –1, bán kính R=2, PT, và mp(Q) Các đường này đều đi qua điểm A, B và có đặc điểm vuông góc với các mặt phẳng tương ứng, giúp xác định các phương trình chính xác và ứng dụng trong hình học không gian Đặc biệt, các đường vuông góc này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hệ trục, các mối quan hệ phức tạp giữa các mặt phẳng và điểm trong không gian ba chiều Ngoài ra, bài viết cũng trình bày các phương trình như \( 2x - 2y + z + 1 = 0 \) liên quan đến các đường đi qua A, B và vuông góc với các mặt phẳng đã đề cập, góp phần giải quyết các bài toán về hình học phân tích trong không gian.

Ta có V ABCD 1 ( ;(d D ABC S)) ABC

3 nên V ABCD lớn nhất d D ABC( ;( )) lớn nhất

Gọi D D 1 2 là đường kính của (S) vuông góc với mp(ABC) Ta thấy với D là 1 điểm bất kỳ thuộc (S) thì

Trong hình học không gian, đường đi qua điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) là một yếu tố quan trọng trong việc xác định các mối quan hệ hình học Dấu đi qua A, B và vuông góc với (P) thể hiện các đường thẳng song song hoặc vuông góc phù hợp, giúp xác định vị trí chính xác của các đường vuông góc đó Những đường này cũng có thể trùng hoặc đi qua các điểm A, B theo cách mà chúng vuông góc với mặt phẳng (P), góp phần vào việc phân tích các quan hệ không gian phức tạp Đặc biệt, đường D đi qua A, B và vuông góc với (P) hoặc đi qua A, B và vuông góc với (P) còn có thể trùng hoặc khác nhau, tùy thuộc vào vị trí cụ thể của các đường và điểm trong không gian Ngoài ra, đường D1 và D2 cũng đóng vai trò trong việc xác định các mối liên hệ vuông góc với (P), từ đó hỗ trợ các phép tính và chứng minh hình học chính xác hơn.

Dưới đây là các câu quan trọng chứa ý nghĩa của đoạn văn để xây dựng một đoạn văn mạch lạc và tối ưu cho SEO:Dường như nội dung đề cập đến các đường thẳng đi qua các điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P) Các đường thẳng này còn có dạng như D D 1 2 đi qua A, B và vuông góc với (P), hoặc I(Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Ngoài ra, còn có các trường hợp đi qua A, B và vuông góc với các điểm như (P) 1;0;–1), cùng với các đường đi qua A, B và vuông góc với (P) trong các dạng như VTCP hay n ABC = (2; 2; 1) − đi qua A, B và vuông góc với (P) Tất cả những thông tin này liên quan đến các đặc tính hình học, cụ thể là các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) đi qua các điểm A, B, phục vụ cho các nghiên cứu và ứng dụng trong môn hình học không gian.

 đi qua A, B và vuông góc với (P) D D 1 2 : đi qua A, B và vuông góc với (P)  x   1 2 ; t y  2 ; t z   1 t

Ta thấy: d D ABC( ;( 1 ))d D ABC( ;( 2 )) Vậy điểm

Dạng 4: Xác định điểm trong không gian

Trong không gian tọa độ Oxyz, mặt phẳng (α) được xác định bởi phương trình 3x + 2 - y + z = 4, cùng với hai điểm A(4,0,0) và B(0,4,0) Trung điểm I của đoạn thẳng AB có tọa độ là (2, 2, 0) Điểm K cần xác định sao cho vector KI vuông góc với mặt phẳng (α), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và mặt phẳng (α) Việc tìm tọa độ K giúp xác định vị trí chính xác của điểm nằm trên không gian trong điều kiện hai yêu cầu này, góp phần vào việc giải bài toán hình học không gian phức tạp.

 Gọi H là hình chiếu của I trên (): H(–1;0;1) Giả sử K(x o ;y o ;z o )

Câu 183.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA 2  MB 2  MC 2  MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất.

 Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G 7 14; ;0

Ta có: MA 2 MB 2 MC 2 MD 2 4MG 2 GA 2 GB 2 GC 2 GD 2

 GA 2  GB 2  GC 2  GD 2 Dấu bằng xảy ra khi M  G

Câu 184.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z   3 0 và điểm A(0; 1; 2) Tìm toạ độ điểm A đối xứng với A qua mặt phẳng (P).

Gọi I là trung điểm của AA x y z

Câu 185.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1;0;0), (0;1;0), (0;3;2)B C và mặt phẳng x y

( ) : 2  2 0 Tìm toạ độ của điểm M biết rằng M cách đều các điểm A B C, , và mặt phẳng ( ).

Câu 186.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC, biết

A(3;0;0), (0;3;0), (0;0;3) B C Tìm toạ độ đỉnh S biết thể tích khối chóp S.ABC bằng 36.

ABC có trọng tâm G(1;1;1)và AB= BC= CA= 3 2 S ABC 9 3

Do hình chóp S.ABC đều nên đường thẳng SG qua G và vuông góc với (ABC)

Dạng 5: Xác định điểm trong đa giác

Câu 187.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0;3) Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC.

 Lập phương trình mp(ABC); (P) qua A và (P)  BC; (Q) qua B và (Q)  AC

Giải hệ gồm ba phương trình ba mặt phẳng trên ta được trực tâm H

Câu 188.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A( 1;3;5) , B( 4;3;2) , C(0;2;1) Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

 Ta có: AB BC CA  3 2   ABC đều Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ABC cũng là trọng tâm của nó Kết luận:

Câu 189.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(–1; 0; 1), B(1; 2; –1), C(–1; 2; 3) Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Suy ra phương trình mặt phẳng trung trực của AB, AC là: x y z   1 0, y z  3 0.

VTPT của mp(ABC) là nAB AC,  (8; 4;4).

  Suy ra tâm đường tròn là I(0; 2;1).

Câu 190.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;3;1), B( 1;2;0) , C(1;1; 2) Tìm tọa độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

 H x y z( ; ; ) là trực tâm của ABC BH AC CH AB H ,  , (ABC)

I x y z( ; ; ) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC AI BI CI I  , (ABC)

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1, 0, 1), B(1, 2, 1) và C(1, 2, 3), điểm I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Để tìm phương trình mặt cầu (S) có tâm I đi qua các điểm A và B, và vuông góc với mặt phẳng (P) cùng với việc tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz), ta cần xác định chính xác tọa độ của I, sau đó xây dựng phương trình mặt cầu phù hợp để đáp ứng các điều kiện đề bài đề ra.

Từ (1) (2) I(0; 2;1) Bán kính mặt cầu là R d I Oxz ( ,( )) 2  (S):x 2 (y 2) 2 ( 1)z 2 4

Trong không gian Oxyz, xét tam giác ABC với điểm A(3,1,0), điểm B nằm trên mặt phẳng Oxy và điểm C nằm trên trục Oz Nhiệm vụ là tìm tọa độ các điểm B và C sao cho điểm H(2,1,1) là trực tâm của tam giác ABC Việc xác định vị trí của B và C dựa trên điều kiện H là trực tâm giúp xây dựng hình học chính xác và tối ưu hóa các phương pháp giải bài trên không gian Đảm bảo tính chính xác trong tính toán tọa độ của các đỉnh tam giác là yếu tố quan trọng để đạt được kết quả đúng đề bài đề ra.

H là trực tâm của ABC 

AB AC AH đồng phẳng, ,

Câu 193.Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 2; 3) và hai đường thẳng có phương trình x y z d 1 : 2 3 3

Chứng minh rằng đường thẳng d₁, d₂ và điểm A cùng nằm trong một mặt phẳng là bài toán xác định tính đồng phẳng của các phần tử này Để làm điều đó, ta cần chứng minh các điểm, đường thẳng d₁, d₂ và A đều thuộc một mặt phẳng duy nhất Xác định tọa độ các đỉnh B và C của tam giác ABC dựa trên các dữ kiện: đường d₁ chứa đường cao BH, còn đường d₂ chứa đường trung tuyến CM của tam giác Việc này giúp xác định chính xác hình dạng và vị trí của tam giác, đồng thời đảm bảo các yếu tố liên quan đến đường cao và đường trung tuyến đúng với yêu cầu đề bài.

Phương trình mặt phẳng chứa d d 1 2 ,

 trung điểm của AB là t t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tam giác ABC có điểm A(3, 2, 3) Đường cao CH của tam giác được xác định dựa trên điểm A và các điểm còn lại của tam giác Đường phân giác trong BM của góc B được mô tả bằng phương trình thể hiện sự chia đôi góc một cách chính xác Các phương trình của các đường này đều dựa trên các tọa độ của các đỉnh và các điểm phụ thuộc, giúp xác định chính xác vị trí của các đường cùng mối liên hệ trong không gian.

 Tính độ dài các cạnh của tam giác của tam giác ABC.

 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d 1

 (P): x y –2 1 0z  B là giao điểm của d 2 với (P)  B(1;4;3)

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d 2

 (Q): x 2y z  2 0 Gọi K là giao điểm của d 2 với (Q)  (2;2;4)K Gọi E là điểm đối xứng của A qua K  E(1;2;5)

Phương trình đường thẳng BE là yx t z t

 C là giao điểm của BE và CH  C(1;2;5)

Ta có AB = AC = BC = 2 2  Tam giác ABC đều.

Câu 195.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A 3; 1; 2  , B 1;5;1,

C 2;3;3 , trong đó AB là đáy lớn, CD là đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D.

 Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC = 3.

Gọi Δ là đường thẳng qua điểm C và song song với đoạn thẳng AB Mặt cầu (S) có tâm tại điểm A và bán kính R = 3 Điểm D là giao điểm của đường thẳng Δ và mặt cầu (S) Phương trình của đường thẳng Δ dựa trên vectơ chỉ phương ⃗AB = (-2, 6, 3), đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (P), giúp xác định chính xác vị trí của D.

Toạ độ điểm D thoả Hệ PT:

 Với t = – 1, thì D(4; – 3; 0) : không thoả vì AB = CD = 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hình thoi ABCD có điểm A(1,2,1) và B(2,3,2) cần xác định tọa độ các đỉnh C và D Tâm của hình thoi I nằm trên đường thẳng x y z d: 1 2, chính là trung điểm của các cạnh đối của hình thoi Việc tìm tọa độ các đỉnh C và D dựa trên đặc điểm hình học của hình thoi và vị trí tâm I giúp xác định rõ hình dạng không gian của hình thoi ABCD Đồng thời, phương trình mặt phẳng chứa hình thoi cần được viết dựa trên tọa độ các đỉnh và đặc điểm phối cảnh của hình học không gian, góp phần mô tả chính xác hình dạng của hình thoi trong không gian Oxyz.

  và điểm D có hoành độ âm.

 Gọi I( 1 ; ;2 )  t t  t d Ta có IA ( ;2 ; 1 ),t   t t IB (3 ;3 ; )t  t t

Do ABCD là hình thoi nên IA IB  0 3t 2 9 6 0t   t1, t2

Vì C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên:

Do D có hoành độ âm nên ta chọn được nghiệm C(1;0;1), ( 2; 1;0)D  

+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa hình thoi ABCD, giả sử (P) có VTPT n

 có thể chọn nIA IB,  (1;1; 4)

Suy ra phương trình mặt phẳng ( ) :P x y –4 3 0z 

Câu 197.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

Trong bài toán này, ta xét các điểm A(1,0,0), C(1,2,0), D(1,0,0) và S(0,0,3), cùng với các trung điểm M và N của các đoạn SB và CD Chứng minh rằng hai đường thẳng AM và BN vuông góc với nhau giúp làm rõ tính chất hình học của hệ hình Đồng thời, xác định tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ONB giúp hiểu rõ hơn về quan hệ vị trí giữa các điểm trong không gian Các phép tính và chứng minh liên quan đến tọa độ các điểm đều tuân theo quy tắc hình học không gian, đảm bảo tính chính xác và logic của bài toán.

 B(1; 2; 0) M là trung điểm SB, N là trung điểm CD

 , N(–1; 1; 0)  AM  BN Vì ONB nằm trong mp(Oxy) nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp ONB thuộc mp(Oxy) Gọi I x y( ; ;0) Ta có:  IO IN IO IB

Câu 198.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M(5;3; 1) , P(2;3; 4) Tìm toạ

Tiêu đề	200 Câu Tự Luận Hình Ở Oxyz Vẫn Đúng Có Lời Giải
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán cao cấp và Hình học không gian
Thể loại	Bài luận
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	75
Dung lượng	3,46 MB