Tong on hinh hoc khong gian 12 chon loc

* 1 đường thẳng song song với 1 mặt phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng mà cắt mặt phẳng đó thì đều cắt theo 1 giao tuyến song song với đường thẳng đã cho.. - Hai mặt phẳng chứa 2 đ

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG:

I Quan hệ song song:

* Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau thì cắt nhau theo 3 giao tuyến song song hoặc đồng quy

- Một đường thẳng song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng ấy

* 1 đường thẳng song song với 1 mặt phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng mà cắt mặt phẳng đó thì đều cắt theo 1 giao tuyến song song với đường thẳng đã cho

- Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với một mặt phẳng thì 2 mặt phẳng đó song song

- Hai mặt phẳng phân biệt, mỗi mặt phẳng chứa cặp đường thẳng cắt nhau tương ứng song song thì song song với nhau

- Giao tuyến của các mặt phẳng song song với một mặt phẳng là những đường thẳng song song

II Quan hệ vuông góc trong không gian:

1 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+   () 

, ( ), ( ) {O}

a b

   







  



a





 



  



 



2 Hai mặt phẳng vuông góc:

+ ( ) ( ) ( )

( )

a a











( ),

c a







 



+

( ) ( )

( ) ( )

c c











3 Góc:

* Góc giữa hai đường thẳng:

( , ) ( ', ')a b  a b trong đó a’ và b’ cùng đi qua O và lần lượt song song với a và b

+00 ( , ) 90a b  0; ( , ) 90a b  0 ab

* Góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng ():

+ Góc giữa đường thẳng  và mp() là góc giữa  và hình chiếu ’ của  trên ()

+ Nếu  cắt () tại O ta xác định hình chiếu của  trên () bằng cách: lấy một điểm A  O, rồi tìm hình chiếu H của A trên () Góc giữa  và () là góc giữa  và đường thẳng đi qua O và H

* Góc giữa hai mặt phẳng () và ():

+ Góc giữa hai mặt phẳng () và (): là góc giữa hai đường thẳng a và b lần lượt vuông góc với () và ()

+ Để xác định góc giữa hai mp () và () ta thường làm như sau:

+ Xác định giao tuyến c của () và ().

+ Xác định mp(P) vuông góc với giao tuyến c

+ Xác định giao tuyến a của (P) với () và giao tuyến b của (P) với ()

+ Góc giữa () và () là góc giữa a và b.

4 Khoảng cách:

① Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a là MH , với

H là hình chiếu của M trên đường thẳng a

Kí hiệu: d M a( , )=MH

② Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng( )a là MH , với H là hình chiếu của M trên mặt phẳng ( )a .

Kí hiệu: ( ,( ))d M a = MH .

③ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

M



M

H a



M

b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng

cách từ một điểm bất kì thuộc đường này đến đường kia

d a b =d M b =MH M Î a

④ Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng ( )a song song với

nhau là khoảng cách từ một điểm M bất kì thuộc đường a đến mặt

phẳng ( )a :

d a   d M   MH M a

⑤ Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

   , ,  ,    , 

d    d a   d A   AH a  A a

⑥ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

- Đường thẳng c cắt hai đường thẳng ,a b và cùng vuông góc với mỗi đường thẳng ấy gọi là

đường vuông góc chung của ,a b IJ gọi là đoạn vuông góc chung của ,a b.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

* Kỹ năng xác định và tính khoảng cách:

*) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d cho trước

Các bước thực hiện:

Bước 1 Trong mặt phẳng ( , )M d hạ MH ^d với H Î d

Bước 2 Thực hiện việc xác định độ dài MH dựa trên hệ thức lượng trong tam giác, tứ giác,

đường tròn, …

 Chú ý:

 Nếu tồn tại đường thẳng a qua A và song song với d thì: ( , ) d M d =d A d( , )=AK A d( Î )

.

 Nếu MA dÇ =I , thì: ( , )

( , )

d M d MI

d A d = AI .

*) Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng( )a

Các bước thực hiện:

Bước 1 Tìm hình chiếu H của O lên ( )a

- Tìm mặt phẳng ( )b qua O và vuông góc với ( )a

- Tìm D =( ) ( )a Ç b .

- Trong mặt phẳng ( )b , kẻ OH ^ D tại H  H là hình chiếu vuông góc của O lên ( )a

Bước 2 Khi đó OH là khoảng cách từ O đến ( )a .

 Chú ý:

 Chọn mặt phẳng( )b sao cho dễ tìm giao tuyến với ( )a .

 Nếu đã có đường thẳng d^( )a thì kẻ Ox/ /d cắt( )a tại H.

a

b

c

J

b J

I







M

H a

A

M



M

H a





a







O

H

 H

O d

 H

O A

K

 Nếu OA/ /( )a thỡ: ( ,( )) d O a =d A( ,( ))a .

Nếu OA cắt ( )a tại I thỡ: ( ,( ))

( ,( ))

a

 Ngoài tớnh trực tiếp ta cú thể tớnh giỏn tiếp khoảng cỏch từ một điểm đến mặt phẳng thụng

3 1

3

S ABC

ABC

V

S

*) Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau

 Đoạn vuụng gúc chung của hai đường thẳng chộo nhau ,a b

Trường hợp a  b:

- Dựng mặt phẳng ( )a chứa a và vuụng gúc với b tại B.

- Trong ( )a dựng BA  a tại A.

 AB là đoạn vuụng gúc chung.

Trường hợp a và b khụng vuụng gúc với nhau.

Cỏch 1: (Hỡnh a)

- Dựng mp ( )a chứa a và song song với b.

- Lấy điểm M tựy ý trờn b dựng MM  () tại M

- Từ M dựng b// b cắt a tại A.

- Từ A dựng AB MM Â cắt b tại B  AB là đoạn vuụng gúc chung./ /

Cỏch 2: (Hỡnh b)

- Dựng mặt phẳng ( )a ^ a tại O, ( )a cắt b tại I

- Dựng hỡnh chiếu vuụng gúc b của b lờn ( )a

- Trong mp( )a , vẽ OH  b tại H.

- Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

- Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A  AB là đoạn vuụng gúc chung.

 Khoảng cỏch giữa hai đường thẳng chộo nhau ,a b

Cỏch 1 Dựng đường vuụng gúc chung:

- Tỡm đoạn vuụng gúc chung AB của , a b.

- d a b( , )=AB

Cỏch 2 Dựng mặt phẳng( )a chứa a và song song với b Khi đú: ( , ) d a b =d b a( ,( ))

Cỏch 3 Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa a và b Khi đú: ( , ) d a b =d a b(( ),( ))

5 Thể tớch khối chúp và lăng trụ:

3

V  S h; Vhộp Sđáy.h; Vlăng trụ Sđáy.h

- Diện tớch hỡnh cầu và thể tớch khối cầu:

3

cầu

V  R ; Sxq 4R2

6 Cụng thức tỉ số thể tớch:

Cho hỡnh chúp tam giỏc S ABC Trờn cỏc cạnh SA AB SC lần lượt lấy cỏc, ,

điểm ', ', 'A B C tựy ý Ta cú: .

' ' '

S ABC

S A B C

V SA SB SC .

* Chỳ ý: Cụng thức này chỉ được ỏp dụng cho hỡnh chúp tam giỏc.

B MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

I TOÁN CHỨNG MINH

O A

K I

b

a B

A



(Hỡnh a)

A



M' a

b

b'

(Hỡnh b)



b'

A

O

B

S

A

B

C

B'

H

O

C

A

E F

K

Bài 1 Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD cùng vuông góc với đáy DBC Vẽ các đường

cao BE, DF của BCD, đường cao DK của ACD

a) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC)

b) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC Chứng minh rằng: OH  (ADC) HD:

a) + Chứng minh CD^(ABE); + Chứng minh AC^(DKF).

b) OH là giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với (ACD )

Bài 2 Cho hình thang ABCD (AB // CD), AB = 2a, BC = CA = AD = a Gọi d là đường thẳng vuông

góc với mp(ABCD) tại A, trên d lấy điểm S Mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SB tại I cắt SC, SD lần lượt tại J và K

a) Gọi O là trung điểm AB, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCIJ

Chứng minh OO' vuông góc với mặt phẳng (SBC)

b) Tìm điểm cách đều các điểm A, B, C, D, I, J, K

c) Gọi M là giao điểm của JK với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh AM là

tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

d) Chứng minh khi S chạy trên đường thẳng d thì IK luôn đi qua điểm cố

định

HD:

a) Từ giả thiết suy ra hình thang ABCD là một nửa lục giác đều

+ Chứng minh: BD^(SAD BC), ^(SAC AK), ^(SBD AJ), ^(SBC).

+ Chứng minh: tứ giác BCJI là tứ giác nội tiếp và OO'/ /AJ

b) Các điểm A, B, C, D, I, J, K nằm trên mặt cầu đường kính AB

c) Chứng minh AM ^AB(AB là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

d) Chứng minh IK luôn đi qua giao điểm của AMvà BD

Bài 3 Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thang cân, AB = 2a, CD = a và góc BAD =

600 Trên các cạnh AA’ và BB’ lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 2x, BN = 2y Trên các cạnh DD’ và CC’ lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho DP = x, CQ = y

a) Chứng minh MP cắt NQ tại I trên mp (ABCD)

b) MNPQ là hình gì? Tính các cạnh của tứ giác theo a, x, y

c) Tính y theo a và x để MNPQ là hình thang vuông tại M và P Trong T.H này hãy tính cosin của góc giữa 2 mp ABCD và MNPQ theo a, x

Bảng A – 2010 – 2011: Cho điểm O cố định và số thực dương a không đổi Một hình chóp S.ABC

thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đồng thời các điều kiện: OA = OB = OC = a, SAOA, SBOB, SCOC, ASB 900, BSC 600, CSA 1200 Chứng minh:

a) Tam giác ABC là tam giác vuông

b) Điểm S luôn cách O một khoảng không đổi

HD:

a) Chứng minh SA= SB = SC Tính độ dài các cạnh và sử dụng

định lý Pitago để chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

b) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh được: SI  (ABC);ABC););

OI  (ABC);ABC);)  S, I, O thẳng hàng

Tính được 2

3

a

SO=

Bảng A 2011 – 2012: Cho hình vuông ABCD cạnh a,

các nửa đường thẳng Bm và Dn vuông góc với mặt

phẳng (ABCD) và ở cùng một phía với mặt phẳng ấy

Lấy điểm M thuộc Bm và điểm N thuộc Dn Đặt BM = x,

DN = y

M

O'

K

O

S

I

J

I S

A

O

C

B

m

n

K

H

C

A

D N

M

a) Tìm hệ thức giữa x và y để hai mặt phẳng (ACM) và (CAN) vuông góc với nhau.

b) Chứng minh rằng khi x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện nêu ở phần a), đoạn vuông góc chung của AC và MN có độ dài không đổi

HD:

a) + Gọi H là giao điểm của AC và BD Chứng minh ·MHN là góc giữa hai mặt phẳng ( CAM và) (CAN )

+ Chứng minh ·BMH =DHN· từ đó suy ra hai tam giác DBMH : DDHN BM BH

tính được 2xy=a2

b) Kẻ HK^MN Chứng minh HK là đường vuông góc chung của AC và MN Chứng minh

1

2

HK= BD

Bảng A: 2012 – 2013: Trong mp (P) cho đường tròn đường kính BC cố định M là một điểm di động

trên đường tròn ấy Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) tại B lấy một điểm A cố định Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC

a) CMR khi M di động mặt phẳng (BHK) cố định

b) Xác định vị trí của M để diện tích tam giác BHK lớn nhất

HD:

a) Chứng minh AC^(BHK).

BHK

S = BH HK £ + = (ABC);const)

Vậy BHK có diện tích lớn nhất  BH = HK  BHK vuông

cân Khi đó

2

BK

BH =

BH = AB +BM ; 12 12 12

BK = AB + BC

BK = BH Û AB +BC = AB + BM

+

2 2 2

(với R là bán kính đường tròn (C), AB = h )

Mà B cố định  M thuộc đường tròn tâm B bán kính

2 2

hR

h + R  có hai vị trí của M làm cho diện

tích BHK đạt GTLN đó là giao của đường tròn (C) và đường tròn (B;BM)

Bài 7 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Lấy điểm M trên cạnh BC, mp(MB’D) cắt A’D’ tại N.

a) Chứng minh NB’MD là hình bình hành

b) Chứng minh MN  C’D

c) Gọi H là hình chiếu của A trên MN Khi M chạy trên đoạn BC, tìm tập hợp điểm H

II TOÁN TÍNH TOÁN

1 Tính góc và khoảng cách:

Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a, AD =

3a Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH

= 2HB, biết SH = a 3

1 Tính góc giữa các đường thẳng: a) SC và AD; b) SC và AB; c) SC và HD;

2 Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: d) SD và (ABCD); e) SC và (SHD);

M

A

K

H

f) SA và (SHD); g) SB và (SHD); h) BC và (SHD); i) SB và (SAD) HD:

1 Góc giữa hai đường thẳng

a) Có BC/ /ADÞ (SC AD, )=SCB· ; tính được tan· 31

6

SCB= b) Kẻ CN / /ABÞ (SC AB, )=SCN· .

c) Kẻ CJ / /HD HJ, ^CJ Þ (SC HD, )=SCJ· .

2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

d) góc giữa SD và (ABCD là ·SDH )

e) Kẻ CI ^HDÞ CI^(SHD)Þ (SC SHD,( ))=CSI· .

f) Kẻ AK ^HDÞ AK^(SHD)Þ (SA SHD,( ))=·ASK

g) Kẻ BE^HDÞ BE^(SHD)Þ (SB SHD,( ))=BSE·

h) (BC SHD,( ))=CPI·

·

BM ^SAÞ BM ^ SAD Þ SB SAD =BSI

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và SA = a 2 , đáy

ABCD là hình thang vuông tại A và D với AB = 2a, AD = DC = a Tính

góc giữa các cặp mặt phẳng sau:

a) (SBC) và (ABC); b) (SAB) và (SBC)

c) (SBC) và (SCD)

HD:

a) Chứng minh BC^(SAC)Þ ((SBC),(ACB))=SCA· .

b) Kẻ CI ^AB IM, ^SBÞ ((SAB SBC),( ))=IMC· .

c) Kẻ AH ^SA AK, ^SC Chứng minh AH^(SCD AK), ^(SBC)

· ((SBC),(SCD)) HAK

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tâm O,

cạnh a 2 Biết SA = 2a và SA ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách:

a) từ A đến (SBC); b) từ A đến (SCD) c) từ A đến (SBD)

d) Gọi M là trung điểm của BC, tính khoảng cách từ A đến (SDM)

e) Gọi I là trung điểm của SB, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DMI)

HD:

a) Kẻ AH ^SBÞ d A SBC( , ( ))=AH

b) Kẻ AK ^SDÞ d A SCD( ,( ))=AK

c) Kẻ AN ^SOÞ d A SBD( ,( ))=AN

d) Gọi L là trung điểm của CD và E là giao điểm của AL và DM Chứng

minh DM ^(SAE)

Kẻ AF^SEÞ AF^(SDM)Þ AF=d A SDM( ,( ))

f) Có AMDI 13 ( ,( )). DMI ( ,( )) 3 AMDI

MDI

V

S

a

Tính S MDI bằng công thức Hê rông.

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =2a, AD = a 3 Biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB

1 Tính khoảng cách từ: a) A đến (SBC); b) A đến (SCD) c) A đến (SBD)

2 Tính khoảng cách từ: d) A đến (SCH); e) từ A đến (SDH)

HD:

N

J P

A

D

S

H

I

I

S

H

E

I

M O

C

H

B

D A

S

K

N

a) ( ,(d A SBC))=2 ( ,(d H SBC)).

b) ( ,(d A SCD))=d H SCD( ,( ))

c) ( ,(d A SBD))=2 ( ,(d H SBD))

d) Kẻ AM ^CHÞ AM =d A SCH( ,( ))

e) AN^DH Þ AN=d A SDH( ,( ))

Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a Từ trung điểm H của AB dựng HS vuông góc với mặt phẳng

(ABCD) sao cho góc giữa mp(SAD) và mp(ABCD) bằng 600

a) Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD);

b) Gọi K là trung điểm của AD Chứng minh CK vuông góc với SD và tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD)

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK)

HD:

a) Gọi M là trung điểm CD Kẻ HN^SM Þ HN=d H SCD( ,( ))

b) Chứng minh CK^(SDH)

Kẻ KI ^SDÞ SD^(CKI)Þ ((SAD SCD),( ))=CIK· Tính góc theo

định lý côsin

c) Gọi E là giao điểm của CK và HD Kẻ HP^SB HQ, ^SE.

Chứng minh HP^(SBC HQ), ^(SCK) Từ đó suy ra góc giữa hai

mặt phẳng (SBC) và (SCK) là góc giữa HP và HQ

Bài 6: Cho tam giác đều ABC cạnh a Gọi Ax là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A,

trên Ax lấy điểm S, đặt SA = h.

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

b) Gọi H là trực tâm tam giác SBC Kẻ Hy vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng minh khi S di chuyển trên Ax, Hy luôn đi qua một điểm cố định

c) Hy cắt Ax tại S' Xác định h theo a để SS' ngắn nhất.

HD:

a) Gọi M là trung điểm BC Kẻ AKSM Ta có AK d A SBC( ,( ))

b) Chứng minh HSM Gọi O Hy (ABC) Chứng minh O AM và O

là trực tâm tam giác ABC

c) Sử dụng các tam giác đồng dạng chứng minh được

2

2

a

SA S A AO AM 

Áp dụng BĐT Cô si ta có SS'SA S A ' 2 SA S A a '  2 Dấu “=” xảy ra

khi và chỉ chi '

SA S A   h

Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a, và đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại A M là

một điểm di động trên d

a) Qua trung điểm I của đoạn AB, dựng mặt phẳng vuông góc với MC Biết MA = a, tính khoảng cách

từ A đến mặt phẳng ấy

b) Gọi H là trực tâm tam giác MBC Chứng minh rằng đường thẳng Hy vuông góc với mặt phẳng (MBC) luôn đi qua một điểm cố định, khi M chạy trên d

c) Đường thẳng Hy cắt d tại N Chứng minh rằng AM.AN làm một đại lượng không đổi Với vị trí nào của M trên d thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBC có bán kính nhỏ nhất?

HD:

a) Gọi E là trung điểm AC Suy ra BE(SAC)

+ Kẻ EFMC  MC(BEF)

+ Gọi J là trung điểm AE Kẻ JG EF/ / Ta có (IJG) / /(BEF )  (IJG)MC

E K

M H

C

A

D S

B

N

I P

Q

x

K

S'

O H

B S

I

+ Kẻ AK MC (K MC ) Ta có AK/ /(IJG )  d A IJG( ,( ))d K IJG( , ( ))KG.

AI  AC KG CK

b) Gọi D là trung điểm BC Chứng minh HMD Gọi

O Hy  ABC Chứng minh O AD và O là trực tâm tam giácABC

c) Sử dụng tam giác đồng dạng ta chứng minh được:

2

2

a

AM AN AO AM 

+ Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MNBCcắt mặt phẳng (MAC cố định theo)

giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC Do đó bán kính đường

tròn ngoại tiếp tứ diện MNBClà nhỏ nhất khi đường tròn ngoại tiếp tam giác

MNClà đường tròn lớn Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

MNClà bán kính mặt cầu

+ Trên đường thẳng quaAC lấy điểm P sao cho

2

a

AP  (điểm A nằm trong đoạn PC) Ta có

AP ACAM AN  điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC

+ Có bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNCnhỏ nhất khi PC là đường kính Khi đó tam giác

MPC vuông tại M M là giao điểm của đường tròn đường kính PC và đường thẳng d

+ Có AM là đường cao của tam giác vuông MPCnên

2

AM AP AC   AM 

Bài 8: QN - Bảng A: 2016 – 2017: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm

O; SO  (ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC Biết (MN ABCD ,( )) 600

a) Tính MN và SO

b) Tính góc giữa MN và (SBD)

HD: a) MN = 10

2

a ; SO = 30

2

b) Gọi H là trung điểm AO; F là trung điểm BO; E là giao

điểm của HN và BD

Qua E dựng đường thẳng song song với HM cắt MN tại K

Ta có góc tạo bởi MN và (ABCD) là góc MNH 600

Xác định được góc tạo bởi MN và (SBD) là góc NKF

a

AC a  CH  AC +)



2 cos

HN CH CN  CH CN NCH

4

a

HN



10 2 cos

MNH

+) HOENFE EH EN Vậy K là trung điểm MN => 1 10

a

KN  MN 

cos

5

FN FNK

KN

5

Bài 9 Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2

3

a

; AC = 2a Các điểm S, A, C cố định; điểm B di động trên đường tròn đường kính AC; AD và AE lần lượt là đường cao của các tam giác SAC và SAB

d

N

K G

J

F E O H

B

C A

M

M

C D

A

B O

S

H

K

F

a) Chứng minh AE vuông góc với mặt phẳng (SBC).

b) Tính côsin của góc BAC để khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAC) lớn nhất

c) Giả sử DE cắt BC tại M và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SBC) tại D cắt mặt phẳng (ABC) tại N Chứng tỏ A, M, N thẳng hàng và tích AM.AN không đổi Định góc BAC để MN có độ dài ngắn nhất

HD:

b) Chứng minh (EAD) ( SAC) Kẻ HDAD HE d E SAC ( ,( ))

+ Có tam giác EAD vuông tại E nên EH lớn nhất khi H là trung điểm AD Khi đó tam giác EAD

vuông cân tại E

+ Ta có

+ 12 12 12 22 32 52

AB AE  AS a  a  a

2 5

a AB

5

AB BAC

AC

ND SBC

AE SBC









+ ,A M N thẳng hàng vì nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng,

(ADE và () ABC )





+ Có tam giác MND vuông tại D, có DA là đường cao  AM AN AD2 a2 không đổi

+ Có MN AM AN 2 AM AN 2a Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AM AN a

+ Có 12 1 2 1 2 12 12 32

AB AM  AC a  a  a

2 3

a AB

3

AB BAC

AC

Bài 10: Cho hình chóp O.ABC có OA, OB và OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB = OC =

a Gọi K, H, M lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và AC; E là điểm đối xứng với O qua K a) Chứng minh BCE và OME là các tam giác vuông và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OCK)

b) Gọi I là giao điểm của CE với mặt phẳng (OMN) Chứng minh mặt phẳng (OMN) vuông góc với

CE và MN vuông góc với OI Tính diện tích tứ giác OMIN

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OB và CE

2 Tính diện tích, thể tích:

Bài 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc 

a) Tính V của hình chóp

b) Chứng minh rằng V 4 3 3

27

a

 Với giá trị nào của  thì đẳng thức xảy ra?

HD – ĐS:

a) Đặt OM x  OD x 2

+ Có SO OM tan x.tan

Mặt khác SO SD2 OD2  a2 2x2

M O

C

B

S

N

M

H

B

S

D

E

Ta tính được 2

a x









3

4 tan

3 (tan 2)

a

  b) Có 0 900 tan  Đặt 0 ttan2

Xét hàm số ( ) 3

( 2)

t

f t

t



 với t 0 Sử dụng đạo hàm ta chứng minh được ( ) 3 1

t

f t

t

đó suy ra

3

4 3 27

a

Bài 2 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB bằng  Gọi O là tâm của

mặt đáy

a) Tính Sxq của hình chóp ĐS: 2cot

2

xq

b) Chứng minh chiều cao hình chóp bằng: 2 1



 cot

a

c) Xác định góc  để O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS:  = 600

Bài 3 Trong mặt phẳng P cho tam giác OAB có góc AOB =  (00 <  < 900) và các cạnh OA = a, OB

= b () là đường thẳng vuông góc với P tại O Trên () lấy điểm C khác O Gọi H là trực tâm của tam giác CAB Qua H dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (CAB) nó cắt P tại K

a) Chứng minh rằng K là trực tâm của tam giác OAB, HK cắt () tại D Chứng minh rằng AC vuông góc với BD và AD vuông góc với BC

b) Tính tích số OC.OD theo a, b và  Xác định C để tứ diện ABCD có thể tích nhỏ nhất

c) Khi C di động trên (), chứng minh rằng tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD luôn thuộc một đường thẳng cố định

HD:

a) Gọi CE là đường cao của tam giác CAB Ta có AB(COE)  ABOE

Mặt khác AB(CHD)  ABOK Suy ra K OE









+ Mà BK CO (2)

+Từ (1) và (2) suy ra BK (COA) BK OA

Trong tam giác OAB có OK và BK là đường cao nên K là trực tâm

tam giác OAB

AC BD





















b) Ta có dãy các tam giác đồng dạng COE KHEKOD suy ra OC KH OK

OE HE OD

OC OD OK OE

Lại có OKF OAE OK OA OK OE OF OA a b .sin

3

V  d A BCD S Mà ( ,(d A BCD không đổi, nên thể tích khối tứ diện )) ABCD nhỏ nhất khi diện tích tam giác BCD là nhỏ nhất

2

BCD

S  OB CD Ta có OB không đổi nên S BCD nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất

D

K

H

A

C

E F