H ãy cố gắ ng kh i cò n có th ể Lê Minh An Vũ Thị Duyên http //cungnhauhoctoan com/ GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Bài 1 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Khi đó góc giữa SB và ([.]
Trang 1GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Khi đó góc giữa SB và (SAD) là
Lời giải.Chọn đáp án A
Ta có
(
BA⊥AD BA⊥SA ⇒ BA⊥(SAD) Khi đó
(
SB∩ (SAD) = S BA⊥(SAD) tại A ⇒(SB, (SAD)) = d\ BSA.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD) Khi đó góc giữa SC và (SAB) là
Lời giải.Chọn đáp án B
Ta có
(
CB⊥AB CB⊥SA ⇒ CB⊥(SAB) Khi đó
(
SC∩ (SAB) = S CB⊥(SAB) tại B ⇒(SC, (SAB)) = d\ CSB.
Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, SO⊥(ABCD) Khi đó góc giữa SA và (SBD) là
Lời giải.Chọn đáp án C
Ta có
(
AO⊥BD AO⊥SO ⇒ AO⊥(SBD) Khi đó
(
SA∩ (SBD) = S AO⊥(SBD) tại O ⇒(SA, (SBD)) = d\ ASO.
Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, SA⊥(ABCD) (Cungnhauhoctoan.com) Khi đó góc giữa SD và (SAC) là
Lời giải.Chọn đáp án D
Ta có
(
DO⊥AC DO⊥SA ⇒ DO⊥(SAC) Khi đó
(
SD∩ (SAC) = S DO⊥(SAC) tại O ⇒(SD, (SAC)) = d\ DSO.
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy Góc giữa SC và đáy bằng
45o Tính độ dài SA theo a
A.a√
√ 2
Lời giải.Chọn đáp án A
Ta có
(
SC∩ (ABCD) = C SA⊥(ABCD) tại A ⇒(SC, (ABCD)) = d\ SCA= 45
⇒ ∆SAC vuông cân tại A ⇒ SA = AC = a√2
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông, SA vuông góc với đáy và SA = a Góc giữa SB và đáy bằng 45o Tính diện tích đáy theo a
A.a2√
2
Lời giải.Chọn đáp án D
Ta có
(
SB∩ (ABCD) = B SA⊥(ABCD) tại A ⇒(SB, (ABCD)) = d\ SBA= 45
⇒ ∆SAB vuông cân tại A ⇒ AB = SA = a ⇒ SABCD= a2
Trang 2Bài 7. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào ĐÚNG?
A.Góc giữa đường thẳng a và mp (P) bằng góc giữa a và mp (Q) thì (P) song song với (Q)
B.Góc giữa đường thẳng a và mp (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mp (P) thì a song song với b
C.Hai đường thẳng a và b song song thì góc giữa a và mp (P) bằng góc giữa b và mp (P)
D.Góc α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thì 0o≤ α ≤ 180o
Lời giải.Chọn đáp án C
Câu A, B sai
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA⊥(ABC) Khi đó
\ (BC, (SAB)) = dABC
\ (BC, (SAC)) = dACB d
ABC= dACB (SAB) ∦ (SAC)
⇒ A sai;
\ (SB, (ABC)) = dSBA
\ (SC, (ABC)) = dSCA d
SBA= dSCA
SB ∦ SC
⇒ B sai
Câu D sai 0 ≤ α ≤ 90o
Bài 8. Cho tứ diện ABCD có AB, BC và BD đôi một vuông góc với nhau (cungnhauhoctoan.com) Trong các khẳng định sau khẳng định nào SAI?
A.Góc giữa AC và (ABD) là góc dCAB B.Góc giữa AC và (BCD) là góc dBAC
C.Góc giữa AD và (ABC) là góc dADB D.Góc giữa CD và (ABD) là góc dCDB
Lời giải.Chọn đáp án C
Ta có AD ∩ (ABC) = A và DB⊥(ABC) nên góc giữa AD và (ABC) là góc dDAB→ C sai
Bài 9. Cho tứ diện ABCD có AB, BD và DC đôi một bằng nhau và vuông góc với nhau Trong các khẳng định sau khẳng định nào ĐÚNG?
A.Góc giữa BC và (ABD) bằng 90o B.Góc giữa CD và (ABD) bằng 90o
C.Góc giữa AC và (BCD) bằng 45o D.Góc giữa AC và (ABD) bằng 45o
Lời giải.Chọn đáp án B
Ta có CD⊥AB và CD⊥BD nên CD⊥(ABD) ⇒ góc giữa CD và (ABD) bằng 90o
Bài 10. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là 2 cm và tâm O, trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S sao cho SO =√
2 Tính góc giữa SA và (ABCD)
Lời giải.Chọn đáp án B
Ta có SA ∩ (ABCD) = A và SO⊥(ABCD) nên góc giữa SA và (ABCD) là góc dSAO
Mà AO =AC
2 =
√
2 = SO, nên ∆ASO vuông cân tại O ⇒ dSAO= 45o
Bài 11. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy và
SA=1
2BC Tính góc giữa SA và (SBC).
Lời giải.Chọn đáp án B
Gọi M là trung điểm BC ta có BC⊥AM và BC⊥SA nên BC⊥(SAM) ⇒ (SAM)⊥(SBC) theo giao tuyến
SM Do đó hình chiếu của SA lên (SBC) là SM
Trang 3Góc giữa SA và (SBC) là góc giữa SA và SM hay là góc dASM
Mà SA = AM =1
2BC, SA⊥AM nên ∆SAM vuông cân tại A ⇒ dASM= 45
o
Bài 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và dABC= 60o SA vuông góc với đáy và
SA= a√
2 Tính góc giữa SB và (SAC)
Lời giải.Chọn đáp án A
Gọi O = AC ∩ BD Trước hết ta thấy BO⊥SAC nên góc giữa SB và (SAC) là góc dBSO
Lại có ∆ABC đều nên AO =1
2AC=
a
2 ⇒ SO = 3a
2
⇒ tan dBSO= BO
SO =√1
3 ⇒ dBSO= 30o
Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và đáy bằng 45o Tính góc giữa SC và (SAD)
Lời giải.Chọn đáp án C
Ta có SA⊥(ABCD) nên góc giữa SC và đáy là góc dSCA= 45onên ∆SCA vuông cân tại A
⇒ SC = AC√2 = 2a
Lại có CD⊥(SAD) nên góc giữa SC và (SAD) bằng góc dCSD
Mà sin dCSD=CD
SC = a 2a =
1
2 ⇒ dCSD= 30o
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a, dBAC= 60o(cungnhauhoctoan.com) ∆SAB đều
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính SC và góc α giữa SC với đáy
A.AC=√
√ 6
2 , α = 45o
C.AC= a√
√ 3
2 , α = 60o
Lời giải.Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm AB ⇒ SH⊥AB ⇒ AH⊥(ABCD) ⇒ góc giữa SC với đáy là góc dSCH
∆SAB đều nên SH = a√
3
2 . Lại có dBAC= 60onên ∆ABC đều ⇒ CH =a
√ 3
2 .
⇒ ∆AHC vuông cân tại H ⇒ SC =a
√ 6
2 và dSCH= 45
Bài 15. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 đáy ABC là tam giác vuông và CA = CB = a√
2 ∆A0ABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính giá trị tan của góc giữa A0Cvà (A0B0C0)
A. √1
√
Lời giải.Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm AB ⇒ A0H⊥AB ⇒ A0H⊥(ABC) Lại có (ABC) // (A0B0C0) nên góc giữa A0C với (A0B0C0) cũng là góc giữa A0Cvới (ABC) và bằng góc [A0CH
Mà CH =1
2AB= a, A
3 ⇒ tan [A0CH = A
CH =√
3
Trang 4Bài 16. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0đáy ABC là tam giác vuông và AB = AC = a 2 ∆B0BCcân tại B0
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa AB0và (A0B0C0) bằng 45o Tính AA0
A.a√
√ 2
Lời giải.Chọn đáp án D
Gọi H là trung điểm BC ⇒ B0H⊥BC ⇒ B0H⊥(ABC) Lại có (ABC) // (A0B0C0) nên góc giữa AB0 với (A0B0C0) cũng là góc giữa AB0với (ABC) và bằng góc [B0AH= 45o
⇒ ∆B0HAvuông cân tại H ⇒ B0H= AH = 1
2BC= a.
⇒ AA0= BB0=√
BH2+ B0H2= a√
2
Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, dBAC= 60o SA⊥(ABCD) và SA = a√
3, góc giữa SA
và (SBD) bằng 30o Tính diện tích hình thoi ABCD
A.a2√
3
3
Lời giải.Chọn đáp án D
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta thấy BD⊥(SAC) nên (SAC)⊥(SBD) theo giao tuyến SO
⇒ Hình chiếu của SA lên (SBD) chính là SO
⇒ Góc giữa SA với (SBD) là góc giữa SA và SO hay chính là góc dASO= 30o
⇒ AO = SA tan 30o= a ⇒ AC = 2a Mà dBAC= 60onên ∆ABC đều
⇒ SABCD= BA.BC sin 60o= 2a2√
3
Bài 18. Cho hình chóp tam giác đều, các cạnh bên có độ dài là a và tạo với đáy một góc 60o Tính chu vi đáy của hình chóp đó
3a√ 3
√ 3
Lời giải.Chọn đáp án C
Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO⊥(ABC)
Góc giữa SA đáy là góc dSAO= 60o⇒ AO = SA cos 60o= a
2. Gọi M là trung điểm BC ⇒ AM =3
2AO=
3a
4 .
∆ABC đều nên BC = AB = AM
sin 60o = a
√ 3
2 ⇒ Chu vi đáy là 3a
√ 3
2 .
Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, BD = 2AC = 2a Tính góc giữa SC và (SBD) biết
SA= SC, tam giác SBD vuông cân tại S
Lời giải.Chọn đáp án A
Gọi O = AC ∩ BD, tam giác SAC và SBD cân tại S nên SO vuông góc với AC và BD, tức là SO⊥(ABCD)
⇒ CO⊥(SBD) ⇒ góc giữa SC và (SBD) là góc dCSO
Ta có SO = 1
2BD= a, OC =
1
2AC=
a
2 ⇒ tan dCSO= OC
SO = 1
2 ⇒ dCSO≈ 26o
Bài 20. Cho hình lập phương ABCD.A0B0C0D0có cạnh bằng 1 cm Tính góc giữa AC0và (BDD0B0)
Lời giải.Chọn đáp án C
Gọi O, O0là tâm của hình vuông ABCD và A0B0C0D0, I là giao điểm của OO0với AC0
Trang 5⇒ I là giao điểm của AC0với (BDD0B0) Ta có AO0⊥BD và AO0⊥BB0nên AO0⊥(BDD0B0)
⇒ Góc giữa AC0và (BDD0B0) là góc dAIO0
Lại có AO0= a
√ 2
2 , O
0
a
2 ⇒ tan dAIO0= AO
0
IO0 =√
2 ⇒ dAIO0≈ 55o
Bài 21. Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên là các tam giác đều (Cungnhauhoctoan.com) Tính góc giữa cạnh bên và đáy của hình chóp
Lời giải.Chọn đáp án B
Gọi S.ABCD là hình chóp đều thỏa mãn đề bài Ta có đáy ABCD là hình vuông, gọi O là tâm của đáy
⇒ SO⊥(ABCD) ⇒ góc giữa cạnh bên SA và đáy là góc dSAO
Gọi cạnh đáy của hình chóp là a ⇒ AO =a
√ 2
2 ⇒ cos dSAO= AO
SA =
√ 2
2 ⇒ dSAO= 45o
Bài 22. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD M, N là trung điểm của SA, BC Biết AB = a, góc giữa MN
và đáy bằng 45o Tính SO
A. a
√
10
a√ 5
a√ 10
a√ 5
2 .
Lời giải.Chọn đáp án A
Kẻ MI // SO ⇒ I là trung điểm AO và MI⊥(ABCD) ⇒ góc giữa MN và đáy là góc [MNA= 45o
Xét trong ∆CIN có IN2= IC2+CN2− 2IC.CN cos 45o= 5a
2
8 ⇒ IN =a
√ 10
4 .
⇒ IM = IN tan 45o= a
√ 10
4 ⇒ SO = 2IM = a
√ 10
2 .
Bài 23. Cho hình chóp SABC có SA⊥(ABC), ∆ABC có ba góc nhọn Gọi H, K lần lượt là trực tâm ∆ABC
và ∆SBC Tính số đo góc giữa SC và (BHK)
Lời giải.Chọn đáp án D
Ta có BH⊥AC, BH⊥SA nên BH⊥(SAC) ⇒ SC⊥BH
Mà SC⊥BK nên SC⊥(BHK) Vậy góc giữa SC và (BHK) bằng 90o
Bài 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, dABC= 60o SA⊥(ABCD) và SA = a√
2, góc giữa SD
và (SAC) bằng 30o Tính diện tích hình thoi ABCD
2
a2√ 3
2a2√ 3
5 .
Lời giải.Chọn đáp án C
DO⊥(SAC) nên góc giữa SD và (SAC) là góc dDSO= 30o
Đặt AO = x ⇒ SO2= 2a2+ x2
Ta cóABC\= 60onên ∆ABC đều và ∆ADC cũng đều Do đó DO = x√
3
⇒ SO = DO
tan 30o = 3x Nên ta có phương trình 9x2= 2a2+ x2⇔ x = a
2. Vậy SABCD= 2AO.DO = a
3
2 .
Bài 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a√
3 SA vuông góc với đáy,
SA= 2a Kẻ SM, SN lần lượt vuông góc với SB, SD Tính góc giữa AC và (AMN)
Trang 6Lời giải.Chọn đáp án C
Ta có BC⊥(SAB) nên AM⊥BC do đó AM⊥(SBC) ⇒ SC⊥AM Tương tự
cũng có SC⊥(AMN) Kẻ AH⊥SC ⇒ H ∈ (AMN)
Như vậy ta có H là hình chiếu vuông góc của C lên (AMN)
⇒ góc giữa AC và (AMN) là góc [CAH Lại có AC = 2a = SA nên ∆SAC
vuông cân, do đó [CAH= 45o
Bài 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ∆SAB và ∆SAD là các tam giác vuông cân tại A Gọi M là trung điểm SD, (α) là mặt phẳng qua A vuông góc với SC Tính sin của góc giữa CM và (α)
A.
√
2
√ 3
2√ 2
3√ 2
2 .
Lời giải.Chọn đáp án C
Ta có SA⊥AB và SA⊥AD nên SA⊥(ABCD)
Từ đó CD⊥(SAD) ⇒ AM⊥CD ⇒ AM⊥(SCD) ⇒ AM⊥SC ⇒ M ∈ (α)
Kẻ AH⊥SC ⇒ (α) chính là mặt (AHM) Lại có CH⊥(AHM),
CM∩ (AHM) = M Nên góc giữa CM và (α) chính là góc [CMH
Lại có ∆CDM vuông tại D nên CM =a
√ 6
2 , CH =
2a
√ 3
⇒ sin [CMH =CH
CM = 2
√ 2
3 .
Bài 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a M là trung điểm BD (Cungnhauhoctoan.com) Tính giá trị sin của góc giữa SD và (SAM)
A.
√
2
√ 2
√ 2
√ 2
5 .
Lời giải.Chọn đáp án D
Gọi N là trung điểm AB, H = DN ∩ AM Ta có ∆ADN = ∆BAM
⇒ DN⊥AM ⇒ DN⊥(SAM) tại H ⇒ góc giữa SD và (SAM)
là góc [DSH
Mặt khác ta tính được AH = √a
5 ⇒ HD = √2a
5, SD = a
√ 2
⇒ sin [DSH =DH
SD =
√ 2
5 .
Bài 28. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a ∆SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD Tính giá trị sin của góc giữa SN và (SCM)
A.
√
3
√ 3
3
3
5.
Lời giải.Chọn đáp án D
Trang 7Ta có SM⊥AB, mà (SAB)⊥(ABCD) theo giao tuyến AB nên
SM⊥(ABCD) Gọi H = BN ∩ CM Ta có ∆ABN = ∆BMC nên suy ra
được BM⊥CM tại H Từ đó suy ra NH⊥(SCM) tại H nên góc giữa SN
và (SCM) là góc [NSH
Mặt khác ta tính được BH = √a
5 ⇒ NH = BN − BH = 3a
√ 5
10 ,
SN=√
SM2+ MN2= a
√ 5
2 ⇒ sin [NSH=
HN
SN = 3
5.
Bài 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ∆SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (Cungnhauhoctoan.com) Tính giá trị sin của góc giữa SD và (SBC)
A.
√
3
√ 6
√ 3
√ 6
4 .
Lời giải.Chọn đáp án D
Kẻ đường thẳng d qua S và song song với AD, khi đó
d = (SBC) ∩ (SAC) Kẻ AF // SD (F ∈ d) Khi đó góc
giữa SD và (SBC) cũng là góc giữa AF và (SBC)
Mặt khác BC⊥AB mà (SAB)⊥(ABCD) theo giao tuyến
AB nên BC⊥(SAB) Kẻ AE⊥SB ⇒ AE⊥(SBC) ⇒ góc
giữa AF với (SBC) chính là góc dAFE
Mà AE =a
√ 3
2 , AF = SD = a
√ 2
Vậy sin dAFE= AE
AF =
√ 6
4 .
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a√
3 Kẻ AP⊥SB, AQ⊥SD Gọi M là trung điểm SD Tính giá trị cosin của góc giữa CM và (APQ)
A. √1
3
√
7
√
9
√
10.
Lời giải.Chọn đáp án A
Ta có BC⊥(SAB) nên AP⊥BC do đó AP⊥(SBC) ⇒ SC⊥AP Tương tự
cũng có SC⊥AP nên SC⊥(APQ) Kẻ AH⊥SC ⇒ H ∈ (APQ)
⇒ SC⊥(AMN) tại H Gọi I = CM ∩ HQ ⇒ I = CM ∩ (APQ)
⇒ góc giữa CM và (APQ) là góc dCIH
Xét ∆CSM, cos [MCS=SC
3
√
10.
∆CHI vuông tại H nên cos dCIH = sin [MCS= √1
10.
ĐÁP ÁN
1 A
2 B
3 C
4 D
5 A
6 D
7 C
8 C
9 B
10 B
11 B
12 A
13 C
14 B
15 B
16 D
17 D
18 C
19 A
20 C
21 B
22 A
23 D
24 C
25 C
26 C
27 D
28 D
29 D
30 A