ôn thi cao học môn xác suất thống kê
Trang 1ÔN THI CAO HỌC MÔN TOÁN KINH TẾ (GV: Trần Ngọc Hội - 2009)
PHẦN II: XÁC SUẤT
A- CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
§1 ÔN VỀ TỔ HỢP
1.1 Định nghĩa Một tổ hợp chập k của n phần tử là một nhóm không có thứ tự
gồm k phần tử phân biệt được rút ra từ n phần tử đã cho
Ví du: Các tổ hợp chập 2 của 3 phần tử x, y, z là:
{x,y}; {x,z}; {y,z}
1.2 Công thức tính tổ hợp: Gọi Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử Ta có
công thức:
( ! )
=
−
k n
n C
k n k
Ví dụ: 206 20! 38760.
6!14!
C
Chú ý: Trên máy tính có phím chức năng nCr, ta tính C206 bằng cách bấm
2 0 nCr 6 =
1.3 Bài tóan lựa chọn:
Một lô hàng chứa N sản phẩm, trong đó có NA sản phẩm loại A và N − NA sản
phẩmlọai B Chọn ngẫu nhiên ra n sản phẩm (0 < n < N) Với mỗi số nguyên k thỏa 0
≤ k ≤ NA, 0 ≤ n − k ≤ N− NA Tìm số cách chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản
phẩm loại A
Lời giải
Để chọn ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩmloại A ta tiến hành 2 bước:
Bước 1: Chọn k sản phẩm loại A từ NA sản phẩm loại A Số cách chọn là
A
k N
C
Bước 2: Chọn n − k sản phẩm loại B từ N − NA sản phẩm loại B Số cách chọn là
−
− A
n k
N N
Theo nguyên lý nhân ta có số cách ra n sản phẩm, trong đó có đúng k sản phẩm loại A là:
. −−
§2 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
2.1 Phép thử và biến cố
1) Phép thử là một thí nghiệm được thực hiện trong những điều kiện xác
định nào đó Một phép thử có thể cho nhiều kết quả khác nhau, mỗi kết quả được gọi là
một biến cố
Ví dụ Thực hiện phép thử là tung một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Các biến
cố có thể xảy ra là: Xuất hiện mặt 1 chấm; Xuất hiện mặt có chấm chẵn,…
2) Biến cố tất yếu, kí hiệu Ω (Ômêga), là biến cố nhất thiết phải xảy ra khi thực hiện phép thử
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm
không quá 6” là biến cố tất yếu
3) Biến cố bất khả, kí hiệu Φ, là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử
Ví dụ: Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm lớn
hơn 6” là biến cố bất khả
4) Biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không xảy ra khi thực
hiện phép thử Ta thường dùng các kí tự A, A1, A2, B, C,… để chỉ các biến cố ngẫu nhiên
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” là một
biến cố ngẫu nhiên
Trong các ví dụ minh họa sau, khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta gọi Aj (j = 1,2,…,6)
là biến cố “Xuất hiện mặt j chấm” 5) Biến cố tổng của hai biến cố A và B, kí hiệu A + B (hay A ∪ B) là biến cố
định bởi:
A + B xảy ra ⇔ A xảy ra hoặc B xảy ra
⇔ Có ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra
Minh họa:
Trang 2Ta có thể mở rộng khái niệm tổng của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1 + A2 +…+ An xảy ra ⇔ Có ít nhất 1 trong n biến cố A1, A2,…, An xảy ra
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số
chấm không quá 2” và B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, ta có:
A = A1 + A2
B = A2 + A4 + A6
6) Biến cố tích của hai biến cố A và B, kí hiệu AB (hay A∩B) là biến cố định bởi:
AB xảy ra ⇔ A xảy ra và B xảy ra (trong cùng một phép thử)
Như vậy, biến cố tích AB xảy ra khi và chỉ khi cả hai biến cố A và B đồng thời
xảy ra trong cùng một phép thử
Minh họa:
Ta có thể mở rộng khái niệm tích của n biến cố A1, A2,…, An như sau:
A1A2…An xảy ra ⇔ Tất cả n biến cố A1, A2,…, An đồng thời xảy ra
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố sau:
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn
B : Xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 5
C: Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 5
Ta có: AB = A6 và ABC = Φ
7) Biến cố sơ cấp là biến cố khác biến cố bất khả và không thể phân tích dưới dạng
tổng của hai biến cố khác
Ta có thể xem các biến cố sơ cấp như là các nguyên tử nhỏ nhất không thể phân chia
đươc nữa Một biến cố A bất kỳ sẽ là tổng của một số biến cố sơ cấp nào đó, ta gọi
những biến cố sơ cấp đó thuận lợi cho biến cố A Như vậy, mọi biến cố sơ cấp đều
thuận lợi cho biến cố tất yếu, trong khi không có biến cố sơ cấp nào thuận lợi cho biến
cố bất khả
Ví dụ Khi tung một con xúc xắc 6 mặt, ta có tất cả 6 biến cố sơ cấp là Aj (j = 1,2,…,6) Gọi A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ Khi đó:
A = A1 + A3 + A5
Do dó có 3 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A là A1, A3, A5
8) Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu AB = Ư, nghĩa là A và B không bao
giờ đồng thời xảy ra trong cùng một phép thử
Minh họa:
Ví dụ Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố :
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn
B : Xuất hiện mặt 1 chấm
C : Xuất hiện mặt có số không quá 2
Ta có A và B xung khắc nhưng A và C thì không (AC = A2)
9) Biến cố đối lập của biến cố A, kí hiệu A, là biến cố định bởi
A xảy ra ⇔ A không xảy ra Minh họa:
Như vậy, A và A xung khắc, hơn nữa A + A = Ω, nghĩa là nhất thiết phải có một và chỉ một trong hai biến cố A hoặc A xảy ra khi thực hiện phép thử
Ví dụ: Tung một con xúc xắc 6 mặt, xét các biến cố
A : Xuất hiện mặt có số chấm chẵn
B : Xuất hiện mặt có số chấm lẻ
Trang 3Ta thấy ngay B là biến cố đối lập của A
10) Các biến cố đồng khả năng là các biến cố cĩ khả năng xảy ra như nhau khi thực
hiện phép thử
Ví dụ: Khi tung ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất 6 mặt, các biến cố sơ cấp Aj
(j = 1, 2,…,6) là đồng khả năng
2.2 Định nghĩa xác suất
Giả sử khi tiến hành một phép thử , cĩ tất cả n biến cố sơ cấp đồng khả năng
cĩ thể xảy ra, trong đĩ cĩ mA biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Tỉ số
n
mA
được gọi là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)
Như vậy,
S P(A) = ố biến cố sơ cấp thuận lợi cho A
Tổng số biến cố sơ cấp co ùthe åxảy ra
2.3 Cơng thức tính xác suất lựa chọn
Xét một lơ hàng chứa N sản phẩm, trong dĩ cĩ NA sản phẩm loại A, cịn lại
là loại B Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra n sản phẩm (0 < n < N) Khi đĩ, với mỗi 0 ≤ k
≤ NA thỏa 0 ≤ n − k ≤ N − NA, xác suất để trong n sản phẩm chọn ra cĩ đúng k sản
phẩm loại A là
k n k
N N N n n
N
p
C
−
−
=
§3 CƠNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT
3.1 Cơng thức cộng xác suất
1) Cơng thức cộng xác suất thứ nhất
Với A và B là hai biến cố xung khắc, ta cĩ
P(A+B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố xung khắc từng đơi, ta cĩ:
P(A1 + A2 + …+ An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An)
2) Hệ quả Với A là một biến cố bất kỳ, ta cĩ
P(A) 1 P(A)= −
3) Cơng thức cộng xác suất thứ hai
Với A và B là hai biến cố bất kỳ, ta cĩ:
P(A B) P(A) P(B) P(AB)+ = + −
Ví dụ 1: Một lơ hàng chứa 15 sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu
Chọn ngẫu nhiên từ lơ hàng ra 4 sản phẩm Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra cĩ:
a) Số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu
b) Ít nhất 1 sản phẩm xấu
Lời giải
Gọi Aj (j = 0,1,…,4) là biến cố cĩ j sản phẩm tốt và (4 − j) sản phẩm xấu cĩ trong
4 sản phẩm chọn ra Khi đĩ A0, A1,…,A4 xung khắc từng đơi và theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn với N = 15, NA = 10, n = 4 (ở đây loại A là loại tốt), ta cĩ
C
C
Cj j j
A
15
4 5 10
) (
−
=
Từ đĩ ta tính được:
1365
210 ) (
; 1365
600 ) (
1365
450 ) (
; 1365
100 ) (
; 1365
5 ) (
4 3
2 1
0
=
=
=
=
=
A P A
P
A P A
P A
P
a) Gọi A là biến cố số sản phẩm tốt khơng ít hơn số sản phẩm xấu Ta cĩ:
A = A4 + A3 + A2
Từ đây do tính xung khắc từng đơi của A2, A3, A4, cơng thức cộng thứ nhất cho ta:
4 3 2 210 600 450
1365 1365 1365
b) Gọi B là biến cố cĩ ít nhất 1 sản phẩm xấu trong 4 sản phẩm chọn ra Khi đĩ, biến cố đối lập B là biến cố khơng cĩ sản phẩm xấu nào trong 4 sản phẩm chọn ra nên
B = A4 Suy ra xác suất của B là
8462 , 0 1365
210 1 ) ( 1 ) ( 1 )
Trang 4Ví dụ 2: Một lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 60 sinh viên giỏi Toán, 70 sinh
viên giỏi Anh văn và 40 sinh viên giỏi cả hai môn Toán và Anh văn Chọn ngẫu nhiên
một sinh viên của lớp Tìm xác suất để chọn được sinh viên giỏi ít nhất một trong hai
môn Toán hoặc Anh văn
Lời giải
Gọi
- A là biến cố sinh viên được chọn giỏi moan Toán
- B là biến cố sinh viên được chọn giỏi môn Anh văn
Khi đó
- AB là biến cố sinh viên được chọn giỏi cả hai môn Toán và Anh văn
- A + B là biến cố sinh viên được chọn giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Anh
văn
Do đó
9 , 0 100
40 100
70 100
60 ) ( ) ( ) ( )
P
§4 CÔNG THỨC NHÂN XÁC SUẤT
4.1 Xác suất có điều kiện
1) Định nghĩa Xác suất có điều kiện của biến cố A biết biến cố B đã xảy ra,
kí kiệu P(A/B), là xác suất của biến cố A nhưng được tính trong trường hợp biến cố B
đã xảy ra rồi
Ví dụ: Thảy một con xúc xắc đồng chất 6 mặt Xét các biến cố sau:
- A là biến cố xuất hiện mặt có số chấm chẵn
- B là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lẻ
- C là biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hay bằng 4
- D là biến cố xuất hiện mặt có số chấm lớn hơn hay bằng 4
Khi đó
- P(A/B) = 0
- P(A/C) = 2/4 = 0,5
- P(A/D) = 2/3
Nhận xét: Trong ví dụ trên ta có xác suất của biến cố A là P(A) = 3/6 = 0,5 Do đó
P(A/B) < P(A);
P(A/C) = P(A);
P(A/D) > P(A)
Điều đó cho thấy xác suất có điều kiện của biến cố A có thể nhỏ hơn, có thể bằng
nhưng cũng có thể lớn hơn xác suất thông thường P(A) Đặc biệt, ta thấy xác suất để
biến cố A xảy ra là 0,5 không phụ thuộc vào việc biết hay chưa biết biến cố C đã xảy
ra Ta nói biến cố A độc lập với biến cố C theo định nghĩa sau:
2) Tính độc lập Nếu P(A/B) = P(A), nghĩa là sự xuất hiện của biến cố B
không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố A, thì ta nói A độc lập với B
4.2 Công thức nhân xác suất thứ nhất
Nếu biến cố A độc lập với biến cố B thì B cũng độc lập với A và ta có
P(AB) = P(A) P(B)
Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố độc lập từng đôi, nghĩa là với mọi 1 ≤
i ≠ j ≤ n , Ai và Aj độc lập, ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2)… P(An)
4.3 Công thức nhân xác suất thứ hai
Với A, B là hai biến cố bất kỳ, ta có
P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B)P(A/B)
Mở rộng: Với A1, A2, …, An là n biến cố bất kỳ, ta có:
P(A1A2 …An) = P(A1)P(A2/A1)… P(An/A1 A2 …An−1)
Chẳng hạn:
P(ABC) = P(A)P(B/A)P(C/AB)
Ví dụ: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5
sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ mỗi
lô 2 sản phẩm
a) Tính xác suất để trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Tính xác suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I
Lời giải
Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sản phẩm tốt và (2 − i) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm được chọn ra từ lô I, lô II
Khi đó
- A0, A1, A2 xung khắc từng đôi và ta có:
Trang 5105
45 )
(
; 105
50 )
(
; 105
10 )
(
2 15
0 5
2 10 2
2 15
1 5
1 10 1
2 15
2 5
0 10 0
=
=
=
=
=
=
C
C C
C C C C
C C
A P
A P
A P
- B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và ta có:
105
28 )
(
; 105
56 )
(
; 105
21 )
(
2 15
0 7
2 8 2
2 15
1 7
1 8 1
2 15
2 7
0 8 0
=
=
=
=
=
=
C
C C C
C C C
C C
B P
B P
B P
- Ai và Bj độc lập
a) Gọi A là biến cố chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phảm xấu Ta có:
A = A0 B2 + A1B1 + A2 B0
Do tính xung khắc từng đôi, công thức cộng xác suất cho ta:
P(A) = P(A0 B2) + P(A1B1) + P(A2 B0)
Từ đây, do tính độc lập, công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
0 2 1 1 2 0
P(A) P(A )P(B ) P(A )P(B ) P(A )P(B )
10 28. 50 56. 45 21. 0,3651.
105 105 105 105 105 105
b) Giả sử đã chọn được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Khi đó biến cố A đã xảy
ra Do đó xác suất để chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I trong trường
hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A1/A)
Theo Công thức nhân xác suất thứ hai, ta có
/A) P(A)P(A A)
Suy ra
P(A)
A) P(A /A)
Mặt khác A1A = A1B1
Vì hai biến cố A1 và B1 độc lập nên theo Công thức nhân thứ nhất ta có:
2540 , 0 105
56 105
50 ) ( ) ( ) ( ) ( A1A = P A1B1 = P A1 P B1 = =
P
Do đó xác suất cần tìm là:
0,6957.
0,3651
0,2540 P(A)
A) P(A /A)
§5 CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ VÀ CÔNG THỨC BAYES 5.1 Hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi
Các biến cố A1, A2,…, An được gọi là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi nếu hai tính chất sau được thỏa:
- A1 + A2 +… + An = Ω;
- ∀ 1 ≤ i ≠ j ≤ n, AiAj = Φ, nghĩa là các biến cố A1, A2,…, An xung khắc từng đôi và nhất thiết phải có một và chỉ một biến cố Aj nào đó xảy ra khi thực hiện một phép thử bất kỳ
Nhận xét Với A1, A2,…, An là một hệ đầy đủ và xung khắc từng đôi ta có
P(A1) + P(A2) + … + P(An) = 1
Ví dụ Có hai hộp, mỗi hộp chứa 10 viên bi, trong đó hộp I gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng;
hộp II gồm 8 đỏ, 2 trắng.Từ mỗi hộp, chọn ra 2 bi Xét các biến cố sau:
- Ai (i = 0, 1,2 ) là biến cố có i bi đỏ và 2 − i bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp I
- Bj (j = 0, 1,2 ) là biến cố có j bi đỏ và 2 − j bi trắng có trong 2 bi lấy từ hộp II Khi đó ta có các hệ sau là các hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi:
- A0 , A1 , A2
- B0 , B1 , B2
- A0B0 , A0B1 , A0B2 , A1B0 , A1 B1 , A1B2, A2 B0 , A2B1 , A2B2
- A0B0 , A0B1 + A1B0, A0B2 + A1B1 + A2B0 , A1B2+ A2B1 , A2B2
5.2 Công thức xác suất đầy đủ
Cho A1, A2,…, An là một hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi Khi đó, với
A là một biến cố bất kỳ, ta có:
n
j j
j 1
P(A) P(A )P(A/A )
=
=∑
Trang 65.3 Công thức Bayes
Với các giả thiết như trong 5.2, ta có với mỗi 1 ≤ k ≤ n:
k k k k
j j
j 1
P(A )P(A/A ) P(A )P(A/A ) P(A /A)
=
∑
Ví dụ Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 15 sản phẩm, trong đó lô I gồm 10 sản phẩm tốt, 5
sản phẩm xấu; lô II gồm 8 sản phẩm tốt và 7 sản phẩm xấu Chọn ngẫu nhiên từ lô I 2
sản phẩm bỏ sang lô II, sau đó từ lô II lấy ra 2 sản phẩm
a) Tính xác suất để trong 2 sản phẩm chọn ra từ lô II có 1 sản phẩm tốt và 1
sản phẩm xấu
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Tính xác
suất đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô I
Lời giải
Gọi
- A là biến cố chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II
- Aj (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩmxấu có trong 2
sản phẩm được chọn ra từ lô I
Khi đó A0, A1, A2 là hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
105
45 )
(
; 105
50 )
(
; 105
10 )
(
2 15
0 5
2 10 2
2 15
1 5
1 10 1
2 15
2 5
0 10 0
=
=
=
=
=
=
C
C C
C C C C
C C
A P
A P
A P
a) Yêu cầu của bài toán là tính xác suất P(A)
Theo Công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(A) = P(A0) P(A/A0) + P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)
Ta có:
136
72 )
/
17
1 9
1 8
C
C C A A P
136
70 )
/ (
136
72 )
/ (
2 17
1 7
1 10 2
2 17
1 8
1 9 1
=
=
=
=
C
C C C
C C
A A P
A A P
Suy ra xác suất của biến cố A là
5231 , 0
136
70 105
45 136
72 105
50 136
72 105 10
) / ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) ( )
=
+ +
=
+ +
A P
b) Giả sử đã chọn được 1 sản phẩm tốt và 1 sản phẩm xấu từ lô II Khi đó biến cố
A đã xảy ra Do đó xác suất cần tìm chính là xác suất có điều kiện P(A1/A) Ap dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có
0,4819.
0,5231 136
72 105 50 P(A)
) )P(A/A P(A
/A)
§6 CÔNG THỨC BERNOULLI 6.1 Công thức Bernoulli
Tiến hành n phép thử độc lập trong những điều kiện như nhau Giả sử ở mỗi phép thử, biến cố A hoặc xảy ra với xác suất pkhông đổi, hoặc không xảy ra với xác suất q = 1 – p Khi đó, với mỗi 0 ≤ k ≤ n, ta có Công thức Bernoulli tính xác suất để trong n phép thử, biến cố A xảy ra đúng k lần là:
k k n k
P (k) = C p q −
6.2 Hệ quả Với các giả thiết như trên ta có:
1) Xác suất để trong n phép thử biến cố A không xảy ra lần nào là qn 2) Xác suất để trong n phép thử biến cố A luôn luôn xảy ra là pn
Ví dụ Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ sản phẩm loại tốt là 60% Cho máy sản
xuất 5 sản phẩm Tính xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có:
a) 3 sản phẩm tốt
b) Ít nhất 3 sản phẩm tốt
Trang 7Lời giải
Gọi Ak (k = 0,1,…,5) là biến cố có k sản phẩm tốt và (5 − k) sản phẩm xấu có
trong 5 sản phẩm thu được Ap dụng Công thức Bernoulli với n = 5, p = 0,6, q = 0,4 ta
có
k k
k k n k k n
A
5( 0 , 6 ) ( 0 , 4 ) )
a) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có 3 sản phẩm tốt là:
3456 , 0 ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( )
5
A P
b) Xác suất để trong 5 sản phẩm thu được có ít nhất 3 sản phẩm tốt chính là
P(A3 + A4 + A5) Ta có:
68256 , 0
) 6 0 ( ) 4 , 0 ( ) 6 , 0 ( 3456 , 0
) ( ) ( ) ( ) (
5 4
4 5
5 4
3 5
4 3
=
+ +
=
+ +
= + +
C
A P A P A P A A A P
B - ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
§1 KHÁI NIỆM VỀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
1.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên là một đại lượng nhận giá trị thực tùy theo
kết quả của phép thử
Ta dùng các kí tự: X, Y, Z,… chỉ các đại lượng ngẫu nhiên
Các kí tự: x, y, z,… chỉ giá trị của các đại lượng ngẫu nhiên
1.2 Phân loại a) Loại rời rạc: Là loại đại lượng ngẫu nhiên chỉ nhận hữu hạn hoặc vô hạn
đếm được các giá trị
Ví dụ: Tiến hành n thí nghiệm Gọi X là số thí nghiệm thành công Khi đó
X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận n+1 giá trị 0; 1; ; n
b) Loại liên tục Là loại đại lượng ngẫu nhiên nhận vô hạn không đếm
được các giá trị mà thông thường các giá trị này lấp kín một đoạn nào đó trong tập các
số thực
Ví dụ Gọi T là nhiệt độ đo được tại một địa phương Ta có T là một đại
lượng ngẫu nhiên liên tục
1.3 Luật phân phối a) Trường hợp rời rạc
Với X là một đại lượng ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị tăng dần : x0,
x1,…,xn ta lập bảng:
trong đó
- pk = P(X = xk) ≥ 0 với k = 1, 2, …, n
-
n k
k 1
p 1
=
=
∑ , nghĩa là p1 + p2 +…+ pn = 1
Ví dụ Một lô hàng chứa 10 sản phẩm, trong đó có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu
Chọn ngẫu nhiên từ lô hàng ra 2 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 2 sản phẩm chọn ra Tìm luật phân phối của X
Lời giải
Ta thấy X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2 Ap dụng Công thức tính xác suất lựa chọn ta được:
Trang 83
1 )
2 (
; 15
8 )
1 (
; 15
2 )
0 (
2 10
0 4
2 6 2
2 10
1 4
1 6 1
2 10
2 4
0 6 0
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
C
C C
C C C C
C C
X P p
X P p
X P p
Vậy luật phân phối của X là
X 0 1 2
b) Trường hợp liên tục
Trường hợp X liên tục, thay cho việc liệt kê các giá trị của X ở dòng trên, ta chỉ ra
đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó (a, b có thể hữu hạn hoặc vô hạn) Còn thay
cho xác suất p0, p1,…, pn ta đưa ra hàm mật độ f(x) thoả các tính chất sau:
- f(x) ≥ 0 với mọi x ∈[a;b]
a
dx x
f ( ) 1
α
β
§2 CÁC ĐẶC SỐ CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
2.1 Mode Mode của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu Mod(X), là giá trị x0 của
X được xác định như sau:
- Nếu X rời rạc thì x0 là giá trị mà xác suất P(X = x0) lớn nhất trong số
các xác suất P(X = x)
- Nếu X liên tục thì x0 là giá trị mà hàm mật độ f(x) đạt giá trị lớn nhất
Như vậy, Mod(X) là giá trị tin chắc nhất của X, tức là giá trị mà X thường lấy
nhất Chú ý rằng Mod(X) có thể nhận nhiều giá trị khác nhau
Ví dụ: Xét lại ví dụ trên, ta có
X 0 1 2
Do đó Mod(X) = 1
2.2 Kỳ vọng (hay Giá trị trung bình)
1) Kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu M(X), là số thực được
xác định như sau:
- Nếu X rời rạc có luật phân phối
thì
n
k k
k 1
=
= ∑
nghĩa là M(X) = x1p1 + x2p2+…+ xnpn
- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì
b a
M(X)=∫ xf (x)dx
Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:
X 0 1 2
Do đó kỳ vọng của X là
M(X) = 0.2/15 + 1.8/15 + 2.1/3 = 1,2
2) Tính chất: Kỳ vọng có các tính chất sau:
Tính chất 1: Kỳ vọng của một đại lượng ngẫu nhiên hằng bằng chính
hằng số đó, nghĩa là:
M(C) = C (C: Const)
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có
M(kX) = kM(X)
Tính chất 3: M(X + Y) = M(X) + M(Y)
Tính chất 4: Với hai lượng ngẫu nhiên độc lập X và Y ta có
M(XY) = M(X)M(Y)
2.3 Phương sai và độ lệch chuẩn
1) Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu D(X), là số thực
không âm định bởi:
2
D(X) = M[(X− μ) ]
trong đó μ = M(X) là kỳ vọng của X
Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu σ (X ) Vậy
Trang 9(X) D(X)
2) Công thức tính phương sai:
Từ định nghĩa của phương sai ta có công thức khác để tính phương sai như sau:
D(X) = M(X2) – [M(X)] 2
trong đó M(X2), M(X) lần lượt là kỳ vọng của X2 và X
Như vậy,
- Nếu X rời rạc có luật phân phối
thì công thức trên trở thành
k
D(X)=∑= x p −( x p )∑=
- Nếu X liên tục với hàm mật độ f(x) có miền xác định [a;b] thì
b 2 b 2
D(X)=∫ x f (x)dx ( xf (x)dx)− ∫
Ví dụ: Xét lại ví dụ đã xét ở trên, ta có X có phân phối như sau:
X 0 1 2
và kỳ vọng của X là M(X) = 1,2 Suy ra phương sai của X là:
D(X) = M(X2) – [M(X)] 2 = 02.2/15 + 12.8/15 + 22.1/3 − (1,2)2 = 32/75
≈ 0,4267
Độ lệch chuẩn của X là:
6532 , 0 4267 , 0 ) ( )
σ
3) Tính chất: Phương sai có các tính chất sau:
Tính chất 1: Phương sai của một đại lượng ngẫu nhiên hằng C bằng 0,
nghĩa là:
D(C) = 0
Tính chất 2: Với k là hằng số ta có
D(kX) = k2(D(X)
Tính chất 3: Với X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập ta có:
D(X + Y) = D(X) + D(Y)
2.4 Sử dụng máy tính để tính các đặc số Ta có thể sử dụng phần mềm
thống kê trong các máy tính bỏ túi CASIO 500MS, 570MS, 500ES, 570ES, ) để tính
kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
Ví dụ Xét đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có phân phối như sau:
X 0 1 2
a) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570MS
1) Vào MODE SD: Bấm MODE (vài lần ) và bấm số ứng với SD, trên màn hình sẽ hiện lên chữ SD
2) Xóa bộ nhớ thống kê: Bấm SHIFT MODE 1 (màn hình hiện lên Stat clear)
AC
= Kiểm tra lại: Bấm nút tròn ∇ hoặc Δ thấy n = và ở góc số 0 là đã xóa
3) Nhập số liệu: Nhập (khi bấm SHIFT , trên màn hình hiện lên dấu ;)
b/c +
0 SHIFT , 2 a 1 5 M
1 SHIFT , 8 a 1 5 M
2 SHIFT , 1 a 3 M
4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút tròn ∇ để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy số liệu nào sai thì để màn hình ngay số liệu đó, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới sẽ thay cho số liệu cũ
Ví dụ Nhập sai 0 SHIFT , 2 ab/c 2 5 M+ Khi kiểm tra ta thấy trên màn hình hiện ra:
- x1 = 0 (đúng)
- Freq1 = 2/25 (sai) Sửa như sau: Để màn hình ở Freq1 = 2/25, bấm 2 ab/c 1 5 = thì nhận được số liệu đúng Freq1 = 2/15
Số liệu nào bị nhập dư thì để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu đó (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xóa Chẳng hạn, nhập dư3 SHIFT , 3 ab/c 4 M+ Khi kiểm tra ta thấy x4 = 3 (dư) Ta để màn hình ở số liệu đó và bấm SHIFT M+ thì tòan bộ số liệu dư (gồm giá trị của X = 3
và xác suất tương ứng 3/4) sẽ bị xóa
Chú ý Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xóa màn hình và thóat khỏi chế độ chỉnh sửa
Trang 105) Đọc kết quả:
Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú
Độ lệch chuẩn σ(X) SHIFT 2 2 = xσ =n 0, 6532 σ(X) x= σn
• Phương sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267
b) Đối với loại máy tính CASIO 500 và 570ES
1) Khai báo cột tần số: Bấm SHIFT SETUP ∇ 4 1
(Bấm ∇ bằng cách bấm nút trịn xuống)
2) Vào Mode Thống kê: Bấm MODE 3 1 (hoặc MODE 2 1 )
(Trên màn hình sẽ hiện lên chữ STAT)
3) Nhập số liệu: Như trong bảng sau:
4) Kiểm tra và sửa số liệu sai: Bấm nút trịn để kiểm tra việc nhập số liệu Thấy số
liệu nào sai thì để con trỏ ngay số liệu đĩ, nhập số liệu đúng và bấm = thì số liệu mới
sẽ thay cho số liệu cũ
Số liệu nào bị nhập dư thì để con trỏ ở số liệu đĩ và bấm DEL thì tịan bộ
số liệu đĩ (gồm giá trị của X và xác suất tương ứng) sẽ bị xĩa
Chú ý Sau khi kiểm tra việc nhập số liệu xong, phải bấm AC để xĩa màn
hình và thĩat khỏi chế độ chỉnh sửa Trong quá trình xủ lý số liệu, muốn xem lại bảng
số liệu thì bấm SHIFT 1 2
5) Đọc kết quả:
Đại lượng cần tìm Thao tác Kết quả Ghi chú
Kỳ vọng M(X) SHIFT 1 5 2 = X 1.2= M(X) X=
Độ lệch chuẩn σ(X) SHIFT 1 5 3 = xσ =n 0, 6532 σ(X) x= σn
• Phương sai D(X) = [σ(X)]2= (0,6532)2= 0,4267
§3 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 3.1 Định nghĩa Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là cĩ phân phối siêu bội, kí
hiệu X ∼ H(N, NA, n), trong đĩ N, NA, n là các số nguyên dương , 0 < n, NA < N, nếu
X rời rạc nhận các giá trị k nguyên từ max{0; n + NA − N} đến min{n; NA} theo Cơng thức tính xác suất lựa chọn:
k n k
N N N n N
C
−
−
3.2 Các đặc số của phân phối siêu bội
Giả sử X cĩ phân phối siêu bội X ∼ H(N, NA, n) Khi đĩ X cĩ các đặc số như sau:
a) Kỳ vọng:
M(X) np= v = NA
ới p
N b) Phương sai
N n
N 1
−
Ví dụ Một hộp chứa 12 bi gồm 8 bi đỏ và 4 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp ra 4 bi
Gọi X là số bi đỏ cĩ trong 4 bi chọn ra Hãy tìm luật phân phối của X và xác định kỳ vọng, phương sai của X
Lời giải
Ta thấy X cĩ phân phối siêu bội
X ∼ H(N, NA, n) với N = 12; NA = 8, n = 4
Do đĩ X nhận các giá trị k nguyên từ max {0; 4 + 8 − 12} = 0 đến min{4; 8} = 4 với các xác suất định bởi:
C
C
Ck k
k X
12
4 4 8
) (
−
=
=
Từ đây ta tính được
P(X = 0) = 1/495; P(X = 1) = 32/495; P(X = 2) = 168/495;
P(X = 3) = 224/495; P(X = 4) = 70/495
Vậy luật phân phối của X là:
P 1/495 32/495 168/495 224/495 70/495
Kỳ vọng của X là
M(X) np 4.= = 8 =2,667
12
