Cac bai toan hinh hoc trong de thi hoc sinh gioi toan lop 9

1 Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn 2 Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE.. Chứng minh tâm của đường tròn nội tiếp tam giác AEF luôn

Hình học

Câu 1 (HSG toán 9 tỉnh An Giang năm 2018-2019) Cho 8 đường tròn có cùng bán kính, biết rằng khi sắp 3 đường tròn và 5 đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng sao cho khoảng cách giữa hai tâm liền kề bằng nhau thì khoảng cách lớn nhất giữa hai đường tròn biên bằng 20 cm và 32 cm (hình vẽ) Tính bán kính đường tròn

Câu 2 (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định Gọi C là một điểm di động trên (O) sao cho C khác A, C khác B và C không nằm chính giữa cung

AB Vẽ đường kính CD của (O) Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A Hai đường thẳng BC, BD cắt d tại E,

F

1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn

2) Gọi M là trung điểm của EF và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDFE Chứng minh : AB = 2.IM

3) Gọi H là trực tâm DEF Chứng minh khi điểm C di động trên (O) thì điểm H luôn chạy trên một đường tròn cố định

 Lời giải

32 cm

20 cm

Chuyên đề

1) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp được đường tròn

Ta có: BCD=BAD (cùng chắn cung BD )

Do: d là tiếp tuyến của (O) tại A  ⊥ d AB

90

ADB = (góc nội tiếp chắn nửa đ.tròn) AD⊥BF

Suy ra: BAD=BFA (cùng phụ ABF )

 ⊥ (T/c đường kính và dây cung)

AB⊥EF (EF là t/tuyến của (O))

 = = không đổi và N là điểm cố định (Vì O và B cố định)

Vậy khi C di động trên (O) thì H chạy trên đường tròn (N ; R)

Câu 3 (HSG toán 9 tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm 2018-2019) Cho hai đường tròn (O R; ) và ( )I r;tiếp xúc ngoài tại A R( r) Vẽ dây AB của (O R; ) và dây AC của ( )I r; sao cho AC⊥AB Gọi MN là tiếp tuyến chung ngoài cùa 2 đường tròn với M  ( ) O , N  ( ) I

1) Chứng minh ba đường thẳng BC, OI và MN đồng quy

2) Xác định số đo AOB để diện tích ABC lớn nhất

 Lời giải

1) Chứng minh : BC, OI, MN đồng quy

Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC và OI

Ta có O, A, I thẳng hàng (t/c đường nối tâm)

K

E

M

N

EI IN r

EO =OM = R

Suy ra : E trùng E’ Vậy ba đường thẳng BC, OI, MN đồng quy

2) Xác định số đo AOB để diện tích ABC lớn nhất

Vẽ OH ⊥ AB H( AB) ; IK ⊥ A K( AC)

Ta có: OAH = AIK =  (cùng phụ với KAI )

AB = 2.AH =2.OA.cosOAB =2.R.cos 

AC = 2.AK=2.IA.sinAIK =2.r.sin 

Vì ABC vuông tại A, ta có:

Câu 4 (HSG toán 9 tỉnh Bình Phước năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )O

và điểm D bất kì trên cạnh AB Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và CA Gọi P và Q là các giao điểm của MN với đường tròn ( )O (điểm P thuộc cung nhỏ BC và điểm Q thuộc cung nhỏ CA) Gọi I là giao điểm khác B của BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP Gọi K là giao điểm của DI với AC

a) Chứng minh rằng tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn

Để ý đến các tứ giác ABPC và BDIP nội tiếp đường tròn ta có PCK ABP DBP PIK= = = nên tứ giác CIPK nội tiếp đường tròn

b) Chứng minh PK.QC QB.PD=

Do các tứ giác BDIP và CIPK nội tiếp đường tròn nên BDP PBC= và BKD PCB= nên hai tam giác BPC

và DPK đồng dạng với nhau, suy ra PD PB

PK = PC

dễ thấy hai tam giác ADG và APB đồng dạng với nhau nên AD AP

DG = PB Đến đây ta suy ra được

AD = − AD không đổi Do vậy AD

AE có giá trị không đổi khi D thay đổi trên AB

Câu 5 (HSG toán 9 tỉnh Bình Thuận năm 2018-2019) Từ một điểm A cố định nằm ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AB, AC (với B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E) đến đường tròn (O) Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt AB, AC lần lượt tại

M và N

a) Chứng minh chu vi tam giác AMN không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến ADE

b) Gọi I là giao điểm của AO và BC Chứng minh AID=OIE

c) DI kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm F (khác D) Chứng minh tâm của đường tròn nội tiếp tam giác AEF luôn nằm trên một đường cố định

P

Q

I O

K

G E

N

E D

B M

A

Vậy chu vi tam giác AMN không phụ

thuộc vào vị trí của cát tuyến ADE

b) Chứng minh được  ABE  ADB (g-g)  AD AE AB = 2 (1)

AI AO AB

Từ (1) và (2) AD AE AI AO =

Chứng minh được  ADI  AOE AID AEO= nên tứ giác DIOE nội tiếp

OIE EDO= mà OED EDO=

Vậy AID OIE=

c) Chứng minh được OIE OIF= và OEI OFI=

IOE IOF=

Chứng minh được AOE=AOF (c g c)− −

 OA là tia phân giác của EAF

 Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác AEF luôn nằm trên AO cố định

Câu 6 (HSG toán 9 tỉnh Bình Định năm 2018-2019) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( )O , đường cao AH. Gọi M là giao điểm của AO vàBC Chứng minh rằng HB MB 2 AB

HC + MC AC Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

 Lời giải

✓ Cách 1:

Kẻ AD là đường kính của đường tròn ( )O

Xét 2 tam giác vuông HBA và CDA

Dấu " "= xảy ra DB = DC AB = AC  ABC cân tại A.

✓ Cách 2: (Cách này ai không thích thì xóa đi nha Do mình copy nên để nguyên trạng)

Gọi I là giao điểm của AH với đường tròn (O) Kẻ đường kính AD

Ta có ABD = ACD = AID =90 Do đó BC // DI  BI =CD

 A1 = A2

Ta có DIBC là hình thang cân nên CD = BI, CI = BD

Xét  AHB và  ACD có A1= A2 , AHB = ACD (=90 )

Xét  ABM và  AIC có BAM = IAC, 1

  ABC cân tạiA

Câu 7 (HSG toán 9 tỉnh Bắc Giang năm 2018-2019) Cho hai đường tròn ( )O và ( )O' cắt nhau tại

hai điểm phân biệt A và B ( AB không là đường kính của ( )O' ) Các tiếp tuyến tại A và tại B của

( )O' cắt nhau tại C Các đường thẳng AC và BC cắt ( )O tại điểm thứ hai lần lượt là D và E Lấy

điểm G di chuyển trên cung AB của đường tròn ( )O' (phần nằm bên trong ( )O , điểm G không

trùng với điểm A và B ) Các đường thẳng AG và BG cắt ( )O tại điểm thứ hai lần lượt tại H và K Hai đường thẳng DK và HE cắt nhau tại I

a Chứng minh điểm I nằm trên một cung tròn cố định khi G thay đổi

b Chứng minh rằng ba điểm C, G và I thẳng hàng

 Lời giải

a)

Khẳng định được ABG=DAH =DKH ABG; = AHK

Suy ra DKH = AHK suy ra KD/ /AH

Chứng minh tương tự được BK/ / EH từ đó suy ra tứ giác KGHI là hình bình hành

Ta có AGB = không đổi và chỉ ra được EID AGB = = 

I K

H D

Do  không đổi, các điểm ,D E cố định nên I nằm trên cung tròn chứa góc  dựng trên đoạn thẳng

Câu 8 (HSG toán 9 tỉnh Bắc Ninh năm 2018-2019)

1) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn ( )(O AB AC) và đường cao AD Vẽ đường kính

a)Xét hai tam giác ADB và ACE có ACE =90º (chắn 1

2 đường tròn) nên ACE=ADB= º 90

Hơn nữa ABD=AEC (cùng chắn AC ) Suy ra ADB∽ ACE

O

K

Q P

F

E M

B A

Từ đây ta có tỉ lệ thức AD AB A AE AB AC.

b) Ta cóPFQ=BAE (cùng chắn BE )

Mặt khác BAE=BAD DAE+ mà BAD=EAC vì ABD∽ AEC

Nên BAE=BAD+EAC =DAC

Do đó PAQ=PFQ

Suy ra tứ giác APQF nội tiếp  FAQ FPQ=

Vì FAQ=FBC (cùng chắn FC ) nên FPQ=FBC suy ra PQ BC//

Từ đó suy ra CG EF// (ĐL Talet đảo)CFE=GCF =20

Câu 9 (HSG toán 9 tỉnh DAK LAK năm 2018-2019) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O Vẽ hai tiếp tuyến AB AC B C, ( , là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của ( )O sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB D E( , thuộc ( )O ). Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC AB, lần lượt tại P Q,

a) Gọi H là giao điểm của BC với OA Chứng minh rằng tứ giác OEDH nội tiếp

b) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E Chứng minh rằng A P K, , thẳng hàng

 Lời giải

a) Áp dụng phương tích đường tròn ta có 2

AB = AD AE Áp dụng hệ thức trong tam giác ABO vuông

tại B, AH là đường cao có 2

 =   #  AHD=AEO nên tứ giác OEDH nội tiếp

b) Gọi I là giao điểm của AE và BC Ta có AHD=DEO=ODE=OHEBHD=BHE

Suy ra HI là phân giác ngoài của DHE mà HI⊥AH nên HA là đường phân giác ngoài của DHE

Q P

H D

C

B

E

lượt là trung điểm của IA , IB, IC, ID

a) Chứng minh rằng bốn điểm M , P, N, Q cùng thuộc một đường tròn

b)Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau tại I Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MPNQ có diện tích lớn nhất

 Lời giải a)

a) Ta có: MQ là đường trung bình của tam giác AID

Suy ra MQ / / AD DAB QMN Tương tự BCD NPQ

có DDAB BCD (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Suy ra QMN NPQ

Suy ra tứ giác MPNQ nội tiếp

Vậy bốn điểm M, P, N, Q cùng thuộc một đường tròn

Suy ra 1 2 2

24

Câu 11 (HSG toán 9 tỉnh HCM năm 2018-2019) Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường

tròn ( )O Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt AC tại D và cắt ( )O tại

E ( E khác B ) Cho biết AB=8 cm và BC=4 cm, tính độ dài các đoạn thẳng DE , OA và OD

 Lời giải

Kẻ đường cao AH của ABC , tia AH cắt ( )O tại M

Vì ABC cân tại A nên AM là đường kính và HB=HC=2 (cm)

Tam giác ABM vuông tại B nên 2

15

Ta có CBD=CBK, COM =COH mà CBK =COH (cùng phụC1) nên suy ra CBD=COM

Lại có AOC có OA=OC=R nên AOC cân tại O, COM là góc ngoài của AOC tại đỉnh O nên COM=2CAM=CAB

CDB=EDA (hai góc đối đỉnh)

DBC =EAD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Câu 12 (HSG toán 9 tỉnh Hà Nam năm 2018-2019) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn

( ) O , điểm M thuộc cung nhỏ BC của ( ) O (M khác B và C); MA và MD cắt BC lần lượt tại E, F Đường trung trực của BE cắt BD MA , lần lượt tại P và K ; đường trung trực của CF cắt ,

CA MD lần lượt tại Q và L

1 Chứng minh rằng 3 điểm K O L , , thẳng hàng

2 Chứng minh đường thẳng MO chia đôi đoạn PQ

3 Cho PK cắt AC tại S ; QL cắt BD tại T ; ST cắt MA MD , lần lượt tại U và V Chứng minh rằng 4 điểm U V K L , , , cùng thuộc một đường tròn

 Lời giải

1 Chứng minh rằng 3 điểm K O L , , thẳng hàng

Gọi I J , lần lượt là trung điểm của BE CF ,

Ta có IK AB Klà trung điểm của AE (1)

Có O là trung điểm của AC (2)

Từ (1) và (2)  KO là đường trung bình của tam giác ACE

2 Chứng minh đường thẳng MO chia đôi đoạn PQ

Chứng minh được  BPE vuông cân tại P

045

3 Cho PK cắt AC tại ;S QL cắt BD tại T ST cắt MA MD , lần lượt tại U và V Chứng minh rằng

4 điểm U V K L , , , cùng thuộc một đường tròn

Ta có OCD vuông cân tại O, TQ CD OTQ vuông cân tại O

Vì OPNQ là hình chữ nhật  OQP = ONP  OTH = ONP

Vậy UKLV là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Câu 13 (HSG toán 9 tỉnh Hà Nội năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) Đường tròn ( )I nội tiếp tam giác ABCtiếp xúc với các cạnh BC CA AB, , lần lượt tại , ,D E F Gọi S là

giao điểm của AI và DE

a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS

b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của BC.Chứng minh rằng ba điểm K O S, , thẳng hàng

c) Gọi M là giao điểm của KI và AC. Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác ABC cắt

đường thẳng DE tại N Chứng minh rằng AM = AN

 Lời giải

a) Ta có AI là tia phân giác của góc BACnên 1

b) Ta có: IAB#EAS  ASE=ABI =IBD

Tứ giác IBDS có IBD+ISD= ASE+ISD=180  Tứ giác IBDS nội tiếp

S

N H

I A

ISB=IDB=  (Góc nội tiếp cùng chắn BI nhỏ) mà 1 45

2

IAB BAC (Tính chất tia phân giác)

 ASB vuông cân tại S

ASB vuông cân tại S có SA là đường trung tuyến nên SA là đường trung trực của AB ( )*

Mặt khác ABCvuông có AO là trung tuyến nên 1

2

KHI = BAC+ABC

b)Chứng minh tam giác OMN là tam giác cân

c)Xác định vị trí điểm M trên AB sao cho đoạn thẳng MN ngắn nhất

KOI+KCI = (Tứ giác OICK nội tiếp đường tròn)

Mà ABC có BAC+ABC+ACB=180

Do đó KOI=BAC+ABC (vì KCI = ACB)

c)Ta có: MON cân tại O , HOI cân tại O , MON =HOI

Do đó OMN đồng dạng với tam giác OHI (g-g)

Vậy độ dài đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng HI H M N, I

Câu 15 (HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm 2018-2019) Cho ba điểm cố định A B C, , thẳng hàng theo thứ tự đó Một đường tròn ( )O thay đổi luôn đi qua B và C Vẽ các tiếp tuyến AD và AE với

đường tròn ( )O , D và E là các tiếp điểm

a) Chứng minh rằng AD= AB AC , từ đó suy ra D thuộc một đường tròn cố định

b) Gọi MN là đường kính của đường tròn ( )O vuông góc với BC Gọi K là giao điểm của AM với

đường tròn ( )O Chứng minh rằng ba đường thẳng AB DE, và NK đồng quy

 Lời giải

a) Xét ADC và ABD có:

I H K

N

M D

E

C O

B A

b) Gọi J là giao điểm của MN với AC Dây DE cắt AO tại H và cắt AC tại I

Ta có: AD=AE (tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA OE= =R

 AO là đường trung trực của DE

Do đó K I N, , thẳng hàng hay ba đường thẳng AB DE, và NK đồng quy

Câu 16 (HSG toán 9 tỉnh Hải Dương năm 2018-2019) Cho tam giác MNP có 3 góc M N P, ,nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O , bán kính R Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao , ,

MD NE PF của tam giác MNP cắt nhau tại H

Xét KMH có OM =OK , OH =QK nên OQ là đường trung bình của KMH

MPN

sin

NP R

Câu 17 (HSG toán 9 tỉnh Hải Phòng năm 2018-2019) Cho hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 tiếp xúc

ngoài nhau tại điểm I Vẽ đường tròn ( )O tiếp xúc trong với ( )O1 và ( )O2 lần lượt tại B và C Từ điểm I vẽ đường thẳng d vuông góc với O O1 2, d cắt cung lớn và cung nhỏ BC của ( )O lần lượt tại điểm ,A Q Cho AB cắt ( )O1 tại điểm thứ hai là ,E AC cắt ( )O2 tại điểm thứ hai là D

a) Chứng minh rằng tứ giác BCDE nội tiếp ;

b) Chứng minh rằng OA vuông góc với DE ;

c) Vẽ đường kính MN của ( )O vuông góc với AI (điểm M nằm trên AB không chứa điểm C )

Chứng minh rằng ba đường thẳng AQ BM CN, , đồng quy

 Lời giải

a) Chứng minh ABI ∽ AIE (g.g) 2

 =  Tứ giác BCDE nội tiếp

b) Vì tứ giác BCDE nội tiếp suy ra ADE=ABC

ABC= AOCADE= AOC

Vì AOC cân tại O suy ra 180

2

o

AOC

Suy ra ADE OAC+ =90o Vậy OA⊥DE

c) Gọi P là giao điểm của BM và CN

Vì O O1 2//MN BO I1 =BON (hai góc đồng vị)

Do O BI1 cân tại O1 suy ra 1

1

1802

Suy ra ba điểm , ,B I N thẳng hàng Suy ra BN⊥BM

Chứng minh tương tự ba điểm , ,C I M thẳng hàng CN⊥CM

Do đó I là trực tâm của PMN PI ⊥MN

Mà AI ⊥MN nên ba điểm , ,A I P thẳng hàng

2 1

P

N M

Vậy ba đường thẳng AQ BM CN, , đồng quy

Câu 18 (HSG toán 9 tỉnh Kiên Giang năm 2018-2019)Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AD là đường kính Biết AB=BC=2 5cm và CD=6cm Tính bán kính của đường tròn (O)

a) Tứ giác CQDP nội tiếp

F

E

Q P

a) Xét tứ giác MACD có: 0

MDC = MAC 90 =

=> Tứ giác MACD nội tiếp

Tương tự: Tứ giác CDNB nội tiếp

1MAD MCD

21CBD CND

2

MD CD

lần lượt tại các điểm , F E Gọi H là giao điểm của BE và CF

Dựng tiếp tuyến Ax của ( )O Ta có:

+ ACB=BAx (hệ quả của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

+ ACB= AFE (cùng bù với BFE , do tứ giác BFEC nội tiếp)

 BAx AFE=  Ax // EF

Mà OA ⊥ Ax  OA ⊥ EF

b) Chứng minh rằng: M H N, , thẳng hàng

ABC

 có BE CF, là hai đường cao và H là trực tâm

Kẻ đường cao thứ 3 là AS của ABC

, ,

M N S cùng thuộc đường tròn đường kính AK

 AMN ASN= (góc nội tiếp cùng chắn cung AN)

Mà AMN= ANM(AMN cân vì AM = ANtheo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Do đó ANM =ASN(1)

Ta có: ANE đồng dạng ACN (g.g)  2

AN =AE AC AEH

 ANH ASN= (2)

Từ (1) và (2) suy ra ANM = ANH , , M H N thẳng hàng

Câu 21 (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn ( ; )O R , điểm M di động trên cung nhỏ BC Xác định vị trí của M để S=MA MB+ +MC đạt giá trị lớn nhất và khi đó tính S

Câu 22 (HSG toán 9 tỉnh Long An năm 2018-2019) Cho đường tròn ( )O đường kính AB Từ

một điểm C thuộc đường tròn ( )O kẻ CH vuông góc AB ( C khác A và B ; H thuộc AB ) Đường

tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn ( )O tại D và E Chứng minh DE đi qua trung điểm của

A

Vẽ đường kính CM của đường tròn ( )O Gọi ,N I lần lượt là giao điểm của DE với CHvà CM ( )O và ( )C cắt nhau tại ,D E  OC ⊥ DE

Từ (1), (2) suy ra CH =2CN N là trung điểm của CH

Vậy DE đi qua trung điểm của CH

Câu 23 (HSG toán 9 tỉnh Lâm Đồng năm 2018-2019)

Cho tam giácABCcân tại ,A đường cao BH và đường phân giác AE cắt nhau tại M Chứng minh

rằng EH là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AM

Ta có AFH = AEH =900 suy ra tứ giác AEHFnội tiếp đường tròn đường kínhAH

Ta có tứ giác ALBC nội tiếp  KB KC =KL KA (1)

Vì tứ giác BFEC nội tiếp  KB KC =KF KE (2)

Từ ( ) ( )1 , 2  tứ giác ALFE nội tiếp đường tròn đường kính AH

Từ (3) và (4) Tứ giác BHCM là hình bình hành  HL đi qua trung điểm của BC

c).Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông ABT thì AT2 = AF AB và chú ý BFEC nội tiếp nên

AF AB= AE AC

Do đó, AT2 =AE AC nên AT là tiếp tuyến của đường tròn (CET)

M I

H

T L

K

E

F

O A

B

C

Hơn nữa, KFB= ACB=KLB nên suy ra KLFB nội tiếp, do đó AF AB =AL AK nên AT2 = AL AK.tức là AT là tiếp tuyến của (KLT )

Vậy (CET tiếp xúc với ) (KLT vì có ) AT là tiếp tuyến chung

Câu 25 (HSG toán 9 tỉnh Nam Định năm 2018-2019) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O R; ), vẽ đường tròn (O'; R') (R' R) tiếp xúc với cạnh AD tại H, tiếp xúc với cạnh BC tại G

và tiếp xúc trong với đường tròn ( )O tại M (điểm M thuộc cung CD không chứa điểm ).A Vẽ đường thẳng tt là tiếp tuyến chung tại M của hai đường tròn ( ) O và ( )O (tia Mt nằm trên nửa

mặt phẳng bờ là đường thẳng MA chứa điểm ) D

a) Chứng minh rằng DHM =DMt+AMH và MH MG, lần lượt là tia phân giác của các AMD và

a) Chứng minh rằng DHM =DMt+AMH và MH MG, lần lượt là tia phân giác của các AMD và BMC

Ta có DHM =DAM +AMH =DMt+AMH

AMH DHM DMt HGM DMt

MH

 là tia phân giác của AMD

Chứng minh tương tự, MG là tia phân giác của BMC

b) Chứng minh rằng EHI =EIM

Ta có: ICM =EMt=IGM nên tứ giác MIGC nội tiếp

c) Chứng minh rằng đường thẳng HG đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD.

Ta có: EHI =EIM  EHI ഗ EIM

mà ,I I  cùng thuộc tia EC nên I hay I HG đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ACD

Câu 26 (HSG toán 9 tỉnh Nghệ An bảng A năm 2018-2019)

1 Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn( )O Gọi D, E, Flần lượt là chân các đường cao kẻ từ

ba đỉnh A, B, Ccủa tam giác đó Đường thẳng EF cắt đường tròn ( )O tại điểm thứ nhất M (M khác phía với O so với đường thẳng AB), đường thẳng BM cắt đường thẳng DF tạiN Chứng minh rằng:

a.EF OA⊥

b.AM = AN

2 Cho tam giác nhọn ABC, Dlà điểm trong tam giác đó sao cho ADB=ACB+900

và AC.BD = AD.BC Chứng minh . 2

E

D O

1.a Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) suy ra OA xy⊥

Xét tứ giác BCEF có BEC =900 (GT); BFC =900(GT) do đó tứ giác BCEFlà tứ giác nội tiếp suy ra

ACB= Sd AB (góc nội tiếp) do đó BAx= ACB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AFE=BAx ở vị trí so le trong nên EF/ /xyhayEF⊥OA

1.b Đường thẳng EF cắt (O) tại điểm thứ 2 là P, BP cắt DF tại Q

Do đó Sd AM =Sd APsuy ra BA là tia phân giác của MBQ và AM =AP (1)

Tứ giác BCEFnội tiếp suy ra ACB=BFM , tứ giác ACDF nội tiếp suy ra ACB=BFQ

do đó BFQ=BFM = ACB, suy ra FB là tia phân giác của MFQ

Suy ra AD BD DE

AC = BC = BC  ADE~ACB, từ đó AB AC

AE = AD Mặt khác BAC=EAD , suy ra CAD=BAE Do đó CAD~BAE

2

a) EF ⊥ OA

b) AM = AN

 Lời giải

Qua điểm A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) suy ra OA ⊥ xy

Xét tứ giác BCEF có BEC = 900 (GT); BFC = 900(GT) do đó tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp suy ra

ACB = Sd AB (góc nội tiếp) do đó BAx = ACB) (2)

Từ (1) và (2) suy ra AFE = BAx ở vị trí so le trong nên EF // xy hay EF ⊥ OA

b).Đường thẳng EF cắt (O) tại điểm thứ 2 là P, BP cắt DF tại Q

AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên BCEF, ACDF nội tiếp, do đó ACB = AFP

E

D O

( )

1

2

Do đó Sd AM = Sd AP suy ra BA là tia phân giác của MBQ và  AM = AP (1)

Tứ giác BCEF nội tiếp suy ra ACB=BFM , tứ giác ACDF nội tiếp suy ra ACB = BFQ

do đó BFQ = BFM = ACB, suy ra FB là tia phân giác của MFQ

M và tiếp xúc với AB tại B, vẽ đường tròn tâm E đi qua Mvà tiếp xúc với AC tại C Gọi N là giao

điểm thứ hai của hai đường tròn ( )D và ( ) E

a) Chứng minh rằng tứ giác ABNC nội tiếp Từ đó chứng minh điểm N thuộc đường tròn ( ) O và ba

BAC ABM ACM

= + + =  nên tứ giác ABNC nội

tiếp, suy ra điểm N thuộc đường tròn (O) Mặt khác BNA BCA CBA MBA BNM= = = = do đó ba điểm

A, M, N thẳng hàng

b) Gọi K là giao điểm của các đường thẳng BD vàCE Gọi , P Q lần lượt là trung điểm của BK vàCK

Vì ABK ACK= =90 nên K thuộc (O) hay AKlà đường kính của đường tròn (O) Suy ra AK cố định, suy ra PQ BC cố định //

Mặt khác ABC cân nên KB KC= hay BKC cân tại K Các tam giác BDM,CEM cân nên ta

có BMD KBC KCB= = và CME KCB KBC= = ,

suy ra MD KE và // ME KD hay tứ giác // KEMDlà

hình bình hành, suy ra I là trung điểm MK Do đo PI là đường trung bình của KBM nên PI BC //Tương tự QI BC hay , ,// P I Q thẳng hàng Vậy I di chuyển trên đường thẳng PQ cố định

Câu 29 (HSG toán 9 tỉnh Phú Thọ năm 2018-2019) Cho tam giác ABC nội tiếp (O), D thuộc BC (D không trùng với B, C) và (O) tiếp xức trong với (O) tại K, tiếp xúc với đoạn CD, AD tại F, E Các đường thẳng KF, KE cắt (O) tại M, N

a Chứng minh rằng MN song song với EF

b Chứng minh rằng MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác KFC

c Chứng minh EF luôn đi qua điểm cố định khi D chạy trên BC

 Lời giải

a Qua K kẻ tiếp tuyến chung (d) với (O) và (O) Gọi H là giao điểm của (d) và BC ta có:

//

KEF FKH MNK= = MN EF

b Ta có tam giác HKF cân tại H suy ra HKF HFK=  MB MC= AM là phân giác của góc BAC Suy

ra BCM MKC= nên MC là tiếp tuyến của đường tròn (KFC)

d

H I

M

N

K E

F O

A

O'

c Gọi AM cắt EF tại I Ta chứng minh I cố định, thật vậy ta có AKN AMN AIE= = nên tứ giác AEIK nội tiếp

Suy ra DEF EKF= EAI EIA EKI IKE+ = + EIA IKF= hay MIF IKF=

Suy ra MIF∽ MKI g g( )MI2 = MK MF (1)

Ta có MC là tiếp tuyến (KFC) nên MC2 =MF MK (2)

Từ (1) và (2) suy ra MI MC= Lúc đó ta có MIC MCI= IAC ICA MCB BCI+ = + ICA BCI= nên

CI là đường phân giác của tam giác ABC, mà AM là đường phân giác của tam giác ABC nên I cố định

Câu 30 (HSG toán 9 tỉnh Quảng Bình năm 2018-2019)

Cho đường tròn ( )O và dây cung BC=a không đổi (O không thuộc BC ), A là điểm di động trên

cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD , BE , CK cắt nhau tại H ( DBC,

EAC , KAB)

a) Trong trường hợp BHC=BOC , tính AH theo a

b) Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của A để tích DH DA nhận giá trị lớn nhât

 Lời giải

a) Trong trường hợp BHC=BOC , tính AH theo a

Ta có: AEH =AKH =90 BAC+KHE=180BAC+BHC=180

BAC+BOC=180  BAC+2BAC=180  BAC=60  BOC=120

Gọi M là trung điểm của BC, suy ra OM ⊥ BC  MOC=60

E O

A

Suy ra tứ giác BHCF là hình bình hành  H , M , F thẳng hang Do đó OM là đường trung bình của

b) Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của A để tích DH DA nhận giá trị lớn nhất

+ Gọi N là giao điểm của tia AD với ( )O

Ta có HBC=HAC=NBC suy ra BC là trung trực của HN hay DH=DN

đó DH DA lớn nhất khi và chỉ khi DB=DC khi đó A là điểm chính giữa cúng lớn BC

Câu 31 (HSG toán 9 tỉnh Quảng Nam năm 2018-2019) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn ( ) O đường kính AD = 2 , a BC = a , 0

30

ADB  Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AB

và CD F, là giao điểm của hai đường thẳngAC và BD I, là trung điểm của EF

a) Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

b) Tính diện tích tứ giác OBIC theo a

c) Trên tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại A, lấy điểm M thuộc nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm

B sao cho ADM 30 0 Đường thẳng MB cắt đường tròn ( ) O tại điểm N (Nkhác B ). Dựng đường kính NKcủa đường tròn ( ) O Chứng minh ba đường thẳng AK BD , và MO đồng quy

 Lời giải a) Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

- Hình vẽ phục vụ câu câu a: 0,25 điểm

- Nếu học sinh vẽ ADB 300trừ câu a và không chấm câu c

OCD=ODC (vì tam giác OCD cân tại O)

Tứ giác BECF nội tiếp trong đường tròn đường kính EF nên ICE cân tại I

Nói được F là trực tâm tam giác EAD, suy ra 0

OCI = , nên IC là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O

b) Tính diện tích tứ giác OBIC theo a

,

IB = IC OB = OC Suy ra OI là đường trung trực của đoạn thẳng BC

Do đó OI ⊥BC Suy ra diện tích tứ giác OBIC là: 1

OBIC

c) Trên tiếp tuyến của đường tròn ( ) O tại A, lấy điểm M thuộc nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm B

sao cho ADM 30 0 Đường thẳng MB cắt đường tròn ( ) O tại điểm N (Nkhác B ). Dựng đường kính NKcủa đường tròn ( ) O Chứng minh ba đường thẳng AK BD , và MO đồng quy

(Không có hình vẽ, không chấm bài)

+ Gọi L là giao điểm của BD và MO, P là hình chiếu vuông góc của A lên MO

Mà BMP chung, suy ra hai tam giác MBP và MON đồng dạng

Suy ra BNO=BPL Mà BNO=BAK nên BAK=BPL (1)

Tứ giác ABLP nội tiếp nên BPL BAL= (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra BAK=BAL Suy ra hai tia AK và AL trùng nhau

Suy ra A, L, K thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng AK BD MO , , đồng quy tại L

Câu 32 (HSG toán 9 tỉnh Quảng Ngãi năm 2018-2019) Cho nữa đường tròn tâm O đường kính 2

AB= R Gọi C là trung điểm của AO, vẽ tia Cx vuông góc với AB cắt nữa đường tròn tại I Lấy

K là điểm bất kỳ trên đoạn CI ( K khác C và I ) Tia AK cắt nữa đường tròn ( )O tại M , tia BM

cắt tia Cx tại D Vẽ tiếp tuyến với đường tròn ( )O tại M cắt tia Cx tại N

a) Chứng minh rằng KMN cân

b) Tính diện tích ABD theo R khi K là trung điểm của CI

c) Khi K di động trên CI Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp AKD đi qua điểm cố định thứ

M Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến đường thẳng OM

a)Chứng minh MA.MB = MD2 và AHOB là tứ giác nội tiếp;

b)Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHB;

c)CA, CB cắt đường thẳng OM lần lượt tại P và Q Chứng minh O là trung điểm của PQ

. Lời giải a)Chứng minh MA.MB = MD2 và AHOB là tứ giác nội tiếp

Chứng minh MA.MB = MD2

Chỉ ra MH.MO = MD2

Suy ra MA.MB = MH.MO

Từ đó chứng minh được MAH MOB c g c( )

Suy ra MHA= MBO, suy ra AHOB là tứ giác nội tiếp

.b)Chứng minh HD là tia phân giác của góc AHB

AHOB là tứ giác nội tiếp suy ra OHB= OAB (1)

Tam giác AOB cân tại O suy ra OAB= OBA (2)

 =  (phần a) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra OHB= MHA

Từ đó AHD = BHD suy ra HD là tia phân giác của góc AHB

A

.c)CA, CB cắt đường thẳng OM lần lượt tại P và Q Chứng minh O là trung điểm của PQ

Chứng minh bốn điểm A, P, H, D cùng nằm trên một đường tròn (4)

+) Mà AHB= AOB= 2 ACB (6)

+) Từ (5), (6) suy ra APD= ACBPD/ /BC

Từ đó chứng minh được POD= QOC g c g( )

Suy ra OP = OQ, suy ra đpcm

Câu 34 (HSG toán 9 tỉnh Sóc Trăng năm 2018-2019) Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AH

là đường cao Trên đoạn HC lấy điểm M(Mkhác H và C) Gọi I J; lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến các cạnh AC và AB, N là điểm đối xứng của M qua IJ

a) Chứng minh rằng ABCN nội tiếp đường tròn ( )T

b) Kéo dài AM cắt đường tròn ( )T tại ( )P (P khác A) Chứng minh rằng 1 1 1

PM  PB+PC c) Gọi D là trung điểm của AH, kẻ HK vuông góc với CD tại K

Chứng minh rằng BAK=KHC

 Lời giải

a) Ta có tứ giác AIMJ là hình chữ nhật Do đó AIMJ nội tiếp đường tròn đường kính AM và IJ Vì N

đối xứng với M qua IJ nên JNI =JMI =  90

hay N thuộc đường tròn đường kính IJ và AM ANM =  90

Mặt khác I thuộc trung trực MN, MIC vuông cân nên I thuộc trung trực MC

suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp MNC

K J

P

I

N

M H

D

C B

A