Cac-Chuyen-De-Boi-Duong-Hoc-Sinh-Gioi-Lop-8.Pdf

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử... 53Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng

Mục Lục

Trang

Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 19

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 58

c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn 2 2

Đặt

2

2 ;2

Đặt

2 2

2 2

23

21

HẰNG ĐẲNG THỨC: a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc - ca)

+) Nếu x= =y 2 ( khôn thỏa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)

Bài 3: Giải phương trình sau: 3 3 3

Tính giá trị của biểu thức: = − + − + −  + + 

Bài toán được chứng minh

Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + d2 = 1 Tính giá trị của biểu thức

Bài 1: Giải hệ phương trình sau

- Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p

q trong đó p là ước của hệ số tự do, q kà ước dương của hệ số cao nhất

Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

1 Đối với đa thức bậc hai : ax 2 + bx + c

Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất bx

- Tính a.c rồi phân tích a.c ra tích của hai thừa số ac = a1c1 = a2c2 =

- Chọn ra hai thừa số có tổng bằng b , chẳng hạn : ac = a1c1 với a1 + c1 = b

- Tách bx = a1x + c1x

- Dùng phương pháp nhóm số hạng để phân tích tiếp

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm )

P x =a x +a − x − + +a x+a a a ∈Z n≥

+) Nếu x = a là nghiệm của P(x) thì P(a) = 0

Hệ Quả : Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ước của a0

+) Định lý Bezut: Nếu Pn(x) = 0 có nghiệm x = a thì Pn(x) = (x - a) H(x) bậc (n - 1)

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 2

Bài 5: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a p q

( 5)(3)

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

Nên ta làm như sau:

Bấm máy tính cho ta nghiệm là : 1

3 Đối với đa thức nhiều biến

Tương tự như phân tích đa thức dạng: 2

– Áp dụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức

Bài 1: Phân tích thành nhân tử 2 2 2 2 2 2

A= ab +a b+abc + ac +a c+abc + bc +b c+abc = a b c ab bc ca+ + + +

Bài 3: Phân tích thành nhân tử: A=abc−(ab bc+ +ca)+ + + −a b c 1

- Các đa thức không thể sử dụng các phương pháp như đặt nhân tử chung, nhóm hạng tử

và sủ dụng hằng đẳng thức cũng như đoán nghiệm,

- Trong các thành phần của đa thức có chứa các hạng tử bậc 4, ta sẽ thêm bớt để đưa về hằng đẳng thức số 3: 2 2 ( )( )

a −b = a b a b− +

- Đôi khi thêm, bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

1 Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức: a 2 – b 2

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Đặt t = x2, ta được G(t) = at2 + bt + c Sau đó dùng phương pháp tách hạng tử

Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4 2

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau, nên ta làm như sau:

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính và đa thức không có hai nghiệm

là 1 và -1 Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau: nên ta làm như sau:

Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử:( 2 ) ( 2 )( 2 )

F Đối với đa thức bậc cao có dạng 3 1 3 2

1

x + +x + + luôn luôn có nhân tử chung là bình

phương thiếu của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 7 5 4 3 2

G ĐỐI VỚI ĐA THỨC ĐA ẨN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2 2 2

x +y −z + xy− z−

88

Bài 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: ( 2 2 )2 2 2 2 2 2 2

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

2 2

3 3 3

53

A Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

Khái niệm: Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của

biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại

một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của

biểu thức A ứng với các giá trị của biểu thức thuộc khoảng xác định nói trên

Xét biểu thức A x( )

+) Ta nói A x( ) có giá trị lớn nhất là M, nếu

( )

A x ≤M x∀ và có giá trị x0 sao cho A x( )0 =M (Chỉ ra 1 giá trị là được)

+) Ta nói A x( ) có giá trị nhỏ nhất là m, nếu

- Chỉ ra dấu “ = ” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến

Ký hiệu: Min A là giá trị nhỏ nhất của A và Max A là giá trị lớn nhất của A

+) Nếu m > 0, n > 0 thì ta tìm được giá trị nhỏ nhất

+) Nếu m < 0, n <0 thì ta tìm được giá trị lớn nhất

Dễ thấy rằng luôn tồn tại (x; y) để có dấu của đẳng thức, như vậy ta sẽ tìm được cực trị của đa thức đã cho

Trong cả hai trường hợp trên:

- Nếu r = 0 thì phương trình F(x; y) = 0 có nghiệm

- Nếu F x y( ); ≥ >r 0 hoặc F x y( ); ≤ <r 0 thì không có (x y; ) nào thảo mãn F(x; y) = 0

a> ac b− < r= ⇒ F x y phân tích được tích của hai nhân tử, giúp ta

giải được các bài toán khác

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của

x

y y

y z

z z

Bài 16: Tìm min của: 2 2

- Dồn biến từ điều kiền rồi thay vào biểu thức

- Biến đổi biểu thức thành các thành phần có chứa điều kiện để thay thế

Mặt khác:

20

Bài 9: Tìm GTLN, GTNN của S =ab+2009, với a, b, là hai số thực khác 0 và

02

1; 21

1; 22

02

0

2

32

Bài 11: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : 2 2 2

Từ giả thiết =>y= − 1 x thay vào C ta được: 3 ( )3 2

y= − thay vào E và làm tiếp

Bài 8: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của P 1 1 1 1

y x

Bài 35: Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2 2

7x +9y +12xy−4x−6y− = , Tìm min max của: 15 0

Bài 48: Cho 3 số x,y,z thỏa mãn : x+ + =y z 3, Tìm GTLN của :B=xy+yz+zx

Hướng dẫn

Ta có : B=xy+z x( +y)=xy+3−(x+y) ( x+y)

- Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ

- Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ

Bài 17: Tìm max của: ( )4 ( )4

Bài 1: (Chuyên Toán Quảng Ngãi năm 2014 – 2015)

A Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

Phương pháp: Biểu thức dạng này đạt giá trị nhỏ nhất khi mẫu đạt giá trị lớn nhất

B

=+ +

Lời giải

Ta có :

2 2

B Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

Bài 8: Tìm min hoặc max của:

x

=+

x

=+

=+

Cách 1: Tách tử thành các nhóm có nhân tử chung với mẫu

Cách 2: Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm

1 Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

+

=+

c =(x+2)(x+8) ( >0)

x

Lời giải

−

=+ b 22 1

2

x B x

+

=+

+

=+

=+ + +

Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]

Tìm GTNN của các biểu thức sau 20102 2680 ( )

=+

Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau 4 22

1

x A

=+ +

x

−

=+

+

=+

+

=+

=+

−

=+

x B x

+

=+

Bài 17: Tìm min hoặc max của: 28

I x

−

=+

+

=+

11

x H x

+

=+

Bài 21: Tìm min hoặc max của:

=+

Lời giải

2

10

21

2 2

11

x G x

+

=+

x

+

=+

+

=+ +

Lời giải

Ta có : 1 2

2

x K

= −

+ +

=+

+ , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0

2 Bậc của tử bằng bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau

N x

+ +

=+

Bài 8: Tìm min hoặc max của:

Làm tương tự như các bài trên

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

Lời giải

Hạ phép chia ta được : 3 23 2

x H

Bài 19: Tìm min hoặc max của: 222 2 9 22

H

y y

∆ = + − + = => = − = , làm giống các bài trên

Bài 20: Tìm min hoặc max của: 2 2 1

1

x J

y y

Bài 22: Tìm min hoặc max của: 2 2 4 2 2

4

x y R

y y

Bài 27: Tìm min hoặc max của:

y y

H

y y

x x

Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

y y M

y y

y y

N

y y

Lời giải

Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

1

y y P x y

Bài 35: Tìm min hoặc max của:

11

y y R

y y

+) Nếu m≠1 phương trình có vô số nghiệm

+) Nếu m = 1 phương trình vô nghiệm

−

=+

Bài 2: Cho phương trình 2

(m −1)(x+ + =2) 1 m

(Vô số nghiệm)

(Vô số nghiệm) (Vô nghiệm)

a Tìm m để x = 3 là nghiệm của phương trình

Để phương trình có nghiệm thì xảy ra 2 trường hợp

+) Phương trình có nghiệm duy nhất khi 2

Vậy m≠ −1 thì phương trình luôn có nghiệm

c Để phương trình có nghiệm duy nhất thì 2

2

11

41

m

m

m m

a Thay x = 1 vào phương trình ta được m∈ −{ 1; 2}

b Phương trình có nghiệm xảy ra 2 trường hợp là có nghiệm duy nhất hoặc có vô số

( + −1) 2 = + − ⇔4 ( −2) = −4

+) Phương trình có nghiệm duy nhất khi m− ≠ ⇔ ≠2 0 m 2

+) Phương trình có vô số nghiệm 2 2 0 2

Vậy phương trình có nghiệm với mọi m

c Phương trình vô nghiệm 2 2 0

+) − − = ⇔m 1 0 m= −1 khi đó phương trình trở thành 0x = -5 (vô nghiệm)

−

=

−

Vậy m=1;m= −1 phương trình vô nghiệm

Bài 3: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm : (m+1)x− +(x 2)=0

Bài 5: Với giá trị nào của m thì:

a 2x− =1 5a+4 có nghiệm dương b 3(x+2)=ax+4 có nghiệm lớn hơn -1

c 2

(a −3a+2)x+ =3 3a có nghiệm duy nhất

Lời giải

x Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình vô nghiệm khi m∈ −{ 1; 2; 7}

Bài 9: Giải và biện luận phương trình sau: m 3m22 4m2 3 1

+) − ≤b 0 thì bất phương trình vô số nghiệm

+) − >b 0 thì bất phương trìn vô nghiệm

Ví dụ 2: Giải các hệ bất phương trình sau

x x

2

x x

x x

x x

+) − >b 0 thì bất phương trìn vô nghiệm

Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau

A Phương trình bậc cao đưa về dạng tích

1 Phương trình bậc cao đưa về phương trình tích

- Nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì ó

Bài 2: (HSG – Đông Anh – 2003)

Giải các phương trình sau

( )2

2

1 00

3

+ =

1 3

3 21; 1 / 3

1 4

2 2 2 2

2 2

4( 5)( 6)( 10)( 12) 34( 5)( 12)( 6)( 10) 3

158;

F Phương trình dạng: ax 5 + bx 4 + cx 3 + bx + a = 0 ( phương trình đối xứng )

- Nhận thấy x = -1 là nghiệm của phương trình vậy vế trái của phương trình có 1 nhân tử

là x + 1

Sau đó phương trình quay trở về dạng E

Ví dụ: Giải các phương trình sau

x x

x x

Vậy phương trình có tập nghiệm S = −{ }1

e +) Với x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) Với x ≠ 0 chia cả hai vế cho x2 ta được: 2

x x

2

2

12;

+) x = 0 không là nghiệm của phương trình

+) Chia cả hai vế cuả phương trình cho x3 ta được:

Dấu « = » xảy ra khi b = 0 hoặc b = 1

Tương tự : c2 ≥c7 Dấu « = » xảy ra khi c = 0 và c = 1

Bài 1: Tìm các số a, b, c, d sao cho: 4 3 2

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

A Rút gọn, tính giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 1: a Cho a – 2b = 5 Tính giá trị biểu thức 3 2 3

=+ + và

2

1

x N

M =bc y−z +ac z−x +ab x−y =by a+ +c cz a+ +b ax b+ −c bcyz+acxz+abxy

Ta phải tạo ra nhân tử: a + b + c

Bài 11: Cho x y z 0

x+ + =y z Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 4

bcx +acy +abz = abc

Chia cả hai vế cho abc a2 b 2 c 2 4

Bài 5: Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ

thuộc vào giá trị x :

C Chứng minh phân số tối giản

- Có hai cách cơ bản chứng minh tử số và mẫu số có ƯCLN bằng 1

+) Cách 1: Giả sử d = (a,b), sau đó chỉ ra d = 1

++ là phân số tối giản n N∀ ∈

++ là phân số tối giản n N∀ ∈

Bài 2: Chứng minh rằng phân số 12 1

n n

++ là phân số tối giản n N∀ ∈

+ Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 2009 sao cho

phân số A chưa tối giản

D Các bài toán về biểu thức hữu tỷ

Các bước rút gọn biểu thức hữu tỷ

- Tìm điều kiện xác định: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, cho tất cả các nhân tử khác 0

- Phân tích tử và mẫu thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung

Bài 1: Cho biểu thức 44 5 22 4

a Rút gọn A b Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên

c Tìm giá trị của A khi x = 6

Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp toán học

c d ( lưu ý: không có tính chất trừ vế với vế )

d Nhân cả hai vế của bddt với cùng một số

Dấu “=” xảy ra khi:

Dấu “=” xảy ra khi: a+ =b c

Bài 6: Chứng minh rằng nếu a b+ ≥2 thì 3 3 4 4

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Bài 7: Chứng minh rằng nếu ∀a b c, , ta luôn có: 4 4 4

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bài toán được chứng minh

Dạng 2: Dùng các phép biến đổi tương đương

- Ta biến đổi các bất đẳng thức cần chứng minh tương đường với BĐT đúng hoặc BĐT đã được chứng minh là đúng

- Nếu < ⇔ <A B C D, với C < D luôn đúng

Bài 1: Cho a, b, c, d, e là các số thực, Chứng minh rằng:

Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh

b Giả sử tồn tại cả ba số a, b, c lớn hơn 1⇔abc>1 ( mâu thuẫn với giả thiết )

Vậy luôn tồn tại 1 số nhỏ hơn 1

Bài 3: Chứng minh bất đẳng thức sau: 10 10 2 2 8 8 4 4

Do đó bài toán được chứng minh

Bài 5: [ Vào 10, ĐHSP TPHCM năm 2007 – 2008 ]

Bất đẳng thức cuối đúng với mọi a > 0 nên bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = 0

Dấu “=” xảy ra khi x = y

Bài 8: [ Chuyên An Giang năm 2010 - 2011 ]

Bất đẳng thức đúng với mọi x, y ≥ 0 do đó bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 0 hay a = b = 4

Bài 9: [ Vào 10 chuyên KHTN, ĐHQGHN, năm 2000 – 2001 ]

Cho hai số thực x, y ≠ 0 Chứng minh rằng: 42 2 22 2 22 22 3 (1)

Dấu “=” xảy ra khi = ±x y

Bài 10: Cho các số thực a,b Chứng minh rằng: 2 2 2 (1)

Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy rakhi a = b

Dạng 3: Bất đẳng thức dạng nghịch đảo ( Cô si cộng mẫu )

Vậy bài toán được chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 4 2 + 3 + 4 ≤ + +5 6 7

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 3: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 1 (1)

Vậy bài toán được chứng minh , Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 2: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 7 4 7 9 1 2 3

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 2: Cho a + b > 1 Chứng minh rằng: 4 4 1

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 4: Cho a, b, c, d, > 0 và abcd = 1 Chứng minh rằng:

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Bài 6: Cho a b c, , >0;abc=1 Chứng minh rằng: (a+1)(b+1)(c+ ≥1) 8

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

Bài 7: Cho a b c d, , , >0;abcd =1 Chứn minh rằng: 2 2 2 2

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = d

Bài 8: Cho x+ + =y z 1 Chứng minh rằng:

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

b Theo chứng minh trên:

⇒xy+yz+zx≤

Vậy bài toán được chứng minh Dấu “=” xảy ra khi x = y = z

Bài 9: Cho a b c, , ≥0 thỏa mãn: a+ + =b c 1 Chứng minh rằng: a b+ +2c≥4(1−a)(1−b)(1−c)

Cộng vế các bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Bài 11: Cho a b c, , ≥1 Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 3

+a +b +ab +abc +b +c +abc +c +a +abc

Cộng vế các bất đẳng thức thức ta được điều phải chứng minh

- Muốn chứng minh bất đẳng thức A≥B đúng, ta giả sử A≥B là sai, tức là A < B là đúng

- Sau đó chứng minh A < B là sai ⇒ ≥A B là đúng

Bài 2: Với mọi số thực a, b, c hãy chứng tỏ: 2 2 2

Bài 4: Cho các số thực a b c, , ∈(0; 2) Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba bất đẳng thức sau là saia(2− >b) 1; (2b − >c) 1; (2c −a)>1

Do đó: a(2−a b) (2−b c) (2− ≤c) 1 ( mâu thuẫn ) Vậy ta có bài toán được chứng minh

Bài 5: [ Chuyên Thái Bình: năm 2007 – 2008 ]

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 2

0+ + + + <

Bài 6: [ Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa: năm 2007 – 2008 ]

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn: a b c+ + >0;ab bc+ +ca>0;abc>0

Chứng minh rằng cả ba số a, b, c đều dương

Lời giải

Giả sử ba số a, b, c có 1 số không dương Không mất tính tổng quát, ta giả sử: a≤0

Mà lại có: abc> ⇒ ≠ ⇒ <0 a 0 a 0

Lại có: a+ + > ⇒ + > ⇒b c 0 b c 0 a b( + <c) 0

Từ giả thiết thứ hai: ab + bc + ca > 0, ta có: a b( + +c) bc> ⇒0 bc>0

Vì thế abc < 0 ( mâu thuẫn )

Vậy bài toán được chứng minh

Bài 7:Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau Chứng minh rằng: Tồn tại một trong các số 9ab,

Từ (1), (2) ta thấy mâu thuẫn nên bài toán được chứng minh

Bài 8: [ Chuyên HCM năm 2006 – 200 7 ]