Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Thông qua giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân,học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diện tích, thể tích các hình, các kiến thức vật lí, hóa học, sinh học có liên quan; các kỹ năn

PHẦN I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài.

Trong chương trình Giải tích lớp 12 có một phần rất quan trọng của giải tích

đó là Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Nó có mặt trong tất cả các đề thi từ kỳthi TN THPT đến các kỳ thi học sinh giỏi các cấp Vì thế nguyên hàm và tích phân

là một chuyên đề được nhiều người rất quan tâm Làm thế nào để dạy phần nguyênhàm và tích phân một cách hiệu quả là vấn đề mà nhiều giáo viên dạy toán rất trăntrở suy nghĩ Các bài tập về nguyên hàm và tích phân rất phong phú và công cụ đểgiải chúng rất đa dạng Thông qua giải các bài toán về nguyên hàm và tích phân,học sinh sẽ hiểu được sâu sắc hơn về diện tích, thể tích các hình, các kiến thức vật

lí, hóa học, sinh học có liên quan; các kỹ năng được rèn luyện, tư duy và khả năngsáng tạo được phát huy, bởi vì các phương pháp giải toán nguyên hàm và tích phânkhông theo một khuôn mẫu nào cả Có thể nói nguyên hàm và tích phân là mộtcông cụ sắc bén của toán học

Để giải bài toán về nguyên hàm và tích phân có thể xuất phát từ nhiều kiếnthức khác nhau, bằng nhiều hướng đi khác nhau Vì vậy, nếu không phân tích đượcđầy đủ và chi tiết các dữ kiện và điều kiện của bài toán, nếu khả năng tổng hợpkém, khả năng khái quát hóa, đặc biệt hóa không được rèn luyện thì việc địnhhướng và tìm lời giải cho bài toán nguyên hàm và tích phân sẽ rất khó khăn Mặtkhác việc giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần nguyên hàm, tíchphân và ứng dụng sẽ giúp học sinh đạt điểm cao trong kỳ thi TN THPT và kỳ thihọc sinh giỏi các cấp

Với lí do đó, tôi đã chọn sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại

và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”

2 Nhiệm vụ của đề tài

Thực trạng đứng trước một bài toán Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng họcsinh thường lúng túng và đặt ra câu hỏi: “ Phải định hướng tìm lời giải bài toán từđâu ?” Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã vội làmngay, có khi sự thử nghiệm đó sẽ dẫn tới kết quả, tuy nhiên hiệu suất giải toán nhưthế là không cao Do đó việc hình thành cho học sinh khả năng tư duy theo cácphương pháp giải là một điều cần thiết Việc trải nghiệm qua quá trình giải toán sẽgiúp học sinh hoàn thiện kỹ năng định hướng và giải toán Cần nhấn mạnh mộtđiều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm được một lời giải cho bài toán Nguyênhàm và tích phân thường không suy nghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đếnbản chất của bài toán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán nhưng vẫn không phânloại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán

Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thông thườnghọc sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơn giản Còn khiđưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ ra rất lúng túng

và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quả giải toán của họcsinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôi thấy cần thiết phải

hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán, giúp học sinh chủ động hơntrong việc phân loại và tìm kiếm phương pháp giải hiệu quả.

3 Đối tượng nghiên cứu.

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toánkhông chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi

Với đề tài này, tôi cố gắng xây dựng cơ sở kiến thức vững chắc, hệ thốngbài tập và ví dụ logic giúp học sinh tiếp thu vấn đề một cách thuận lợi nhất, quy lạ

về quen để bài toán Nguyên hàm, tích phân không còn luôn luôn là bài toán hócbúa, khó giải

Thông qua nghiên cứu và kết hợp các hoạt động:

Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (haynhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong đóyêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán

Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức củahọc sinh

Trong mỗi bài toán Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng đều yêu cầu họcsinh thực hiện phân tích bản chất của bài toán cũng như đưa ra các hướng khai thác

mở rộng cho bài toán

Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

4 Phạm vi nghiên cứu và cách thức thực hiện.

Nội dung này được triển khai thông qua 3 buổi học (mỗi buổi học 3 tiết).Các buổi học giáo viên nêu vấn đề và định hướng cách suy nghĩ giải toán, giáoviên hướng dẫn làm các ví dụ mẫu Để tăng cường tính chủ động cho học sinhtrong buổi học thứ nhất tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đềthi về Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng cho bài học Yêu cầu học sinh về nhàchuẩn bị lời giải, phân loại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng nhưtrả lời câu hỏi: “Bản chất bài toán ấy là gì? có tổng quát, mở rộng, phân loại dạngtoán được không, cách giải hiệu quả là gì?” Bài toán Nguyên hàm, tích phân vàứng dụng thường xuyên xuất hiện trong các đề thi ĐH, đề thi học sinh giỏi với mức

độ tương đối khó Vì vậy để giải được dạng toán này chúng ta cần tìm hiểu bảnchất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho loại toán

PHẦN II NỘI DUNG

I CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM.

Ví dụ 1 Nguyên hàm của hàm số là

A B

C D .

Giải

Cách 1: Khi nắm được bảng nguyên hàm cơ bản, ta lựa chọn được đáp án B

Cách 2: Khi nắm chưa vững công thức nguyên hàm cơ bản, ta có thể dùng định

nghĩa là nguyên hàm của khi và chỉ khi , lần lượt thử

đáp án, ta chọn được đáp B.

Cách 3: Dùng máy tính Casio

 Ta biết việc này đúng với mọi thuộc tập xác định

 Vậy sẽ đúng với chẳng hạn Khi đó . Khi đó

 Thuật toán trên máy tính CASIO

Được kết quả , do đó loại phương án A

Làm tương tự phương án B, ta được kết quả là Chọn phương án B

Khi đó không cần thử phương án C, D

Lưu ý: +) Khi sử dụng cách 3, mới đầu nhìn vào dường như việc bấm máy tính rất

rối, nhưng thực chất chỉ là nhập biểu thức (*) và thực hiện gán giá trị () Khi thành thạo kỹ năng bấm máy tính thì việc nhập (*) hết khoảng hơn “1s”

Do đó từ bây giờ trở đi trong tài liệu này tôi chỉ nêu là nhập biểu thức (*)

+) Trong một số tình huống khi gán giá trị thì có thể một phương án nào đó

nó đúng Do đó để chắc chắn ta có thể gán thêm để tăng độ tin cậy của đáp

án, như trong VD1 này nếu phương án A ta gán thì kết quả bằng , khi gán được kết quả

Ví dụ 2 [Đề thi minh họa ĐHQG 2016] Nguyên hàm của hàm số là

Cách 3: Xét với phương án A: Nhập (*) và gán ta được đáp án -22.1671683

Loại A.

Xét với phương án B: Nhập (*) và gán ta được đáp án 0, gán ta được

đáp án 0 Chọn B Khi đó không kiểm tra đáp án C, D

Ví dụ 3 Tìm nguyên hàm của hàm số

Giải

Nếu vào phòng thi thì với phần đông thí sinh sẽ lựa chọn dùng Casio

Xét với phương án A: Nhập (*) và gán ta được đáp án 3.889087297 Loại A Xét với phương án B: Nhập (*) và gán ta được đáp án 2.121320344 Loại B Xét với phương án C: Nhập (*) và gán ta được đáp án , gán

ta được đáp án 0 Chọn C Khi đó không kiểm tra đáp án D.

Ví dụ 4 (Đề thi THPT Quốc gia 2017) Cho hàm số là một nguyên

hàm của hàm số Tìm nguyên hàm của hàm số

*) Qua 4 ví dụ trên thì ví dụ 1, có thể xử lý bằng tự luận, cần học sinh nắm được

bảng nguyên hàm cơ bản, các ví dụ phía sau thì việc sử dụng máy tính sẽ hiệu quảhơn

*) Phương pháp trên không chỉ áp dụng cho các bài thi trắc nghiệm mà nó còn là

một cách để học sinh kiểm tra kết quả khi làm bài tự luận

1.2 TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHO TRƯỚC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN

Phương pháp: Sử dụng giả thiết mục đích là tìm giá trị của C trong

nguyên hàm, khi sử dụng Casio thì đúng với mọi giá trị thuộc tập xác định Do đó

Xét với phương án A: Nhập (**) và gán ta được đáp án Nhận thấy đáp

án A sai khác đáp án đúng 1 đơn vị, do đó chọn C.

Nếu không nhận thấy điều này thì có thể xét tương tự đến khi chọ đáp án C.

Ví dụ 6 Gọi là nguyên hàm của hàm số thoả mãn

Giá trị của là:

Giải

của hàm , khi gán thì (**) bằng 0 Cho nên

+) Nhập máy tính , kết quả 0,9428090416 là giá trị của

+) Lưu kết quả vào A( )

+) Nhập được kết quả Vậy Chọn đáp án A

Với bài toán này làm tự luận sẽ vô cùng vất vả, trong khi sử dụng máy tính thì đạtđược kết quả nhanh chóng

II CÁC BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM TÍCH PHÂN.

Đối với bài toán này thì dù hàm đơn giản hay phức tạp thì dùng Casio luôncho kết quả Tuy nhiên đối với những hàm phức tạp thì máy tính có thể chokết quả hơi lâu, do đó khi đi thi học sinh nên có hai máy tính, một cái dùng chotích phân, một cái dùng cho các câu khác trong khi chờ đợi kết quả câu tích phân+) Bước 1: và nhập hàm

+) Bước 2: và chờ kết quả

+) Bước 3: Khi có kết quả bước 2, thực hiện lệnh (lưu kết quả vào A),

Sau đó nhập vào máy tính , với là kết quả ở các đáp án, nhập đến khi kết quả bằng 0 thì đó là đáp án đúng

Ví dụ 7 [Báo Toán học Tuổi trẻ tháng 12 năm 2016]

Bản chất khi tính ta được hàm số với biến là Do đó ta dùng lệnh để nhập

và dùng CALC thử 4 phương án ta được phương án C cho kết quả bằng 4 Vậy chọn C

2.2 XÁC ĐỊNH CÁC ẨN SỐ A, B, C TRONG BÀI TOÁN TÍCH PHÂN

Quan sát bảng kết quả và dựa vào điều kiện ta

Trong ví dụ 10 thì và trong 4 phương án nên ta chọn

Trong ví dụ 11 thì và trong 4 phương án nên ta chọn

Quan sát bảng giá trị ta thấy tất cả các giá trị

tìm được đều có phần thập phân phức tạp Do đó ta

loại đáp án A

Đáp án B: Suy ra

Nhập vào máy hàm số

Nhập

Quan sát bảng giá trị ta thấy ta thấy tồn tại

Do đó ta chọn đáp án B

Bình luận: Để chọn Bắt đầu (Start), Kết thúc (End) và Bước (Step) thích hợp,

chúng ta nên xem xét phân tích kĩ điều kiện của các ẩn số kết hợp với các đáp ántrong đề bài ( Ví dụ: thì ta chọn ; thì thường chọn

hoành, đây là bài toán cơ bản trong SGK 12

+) Diện tích của mặt phẳng giới hạn bởi

Công thức:

Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Bước 1: Tìm giao điểm của các đồ thị bằng cách

giải các phương trình hoành độ giao điểm

Bước 2: Chia hình phẳng thành các hình nhỏ giới

hạn bởi hai đồ thị (giả sử là và

) Áp dụng công thức

Chú ý: Qua lý thuyết nhận thấy việc tính diện tích hình phẳng trọng tâm là bài

toán tính tích phân thông thường (đã hướng dẫn ở mục 2.1)

Ví dụ 14 Tính diện tích giới hạn bởi đồ thị của các hàm số ; ;

Ví dụ 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

parabol , cung tròn có phương trình

( với ) và trục hoành(như hình vẽ)

Như vậy: Diện tích cần tìm

• Sử dụng máy tính CASIO fx-580VN X để tính tích phân trên và lưu kết quả:

+) Việc giải quyết bài toán thể tích cũng tưng tự bài toán diện tích với phần trọngtâm là tính tích phân

Mở rộng: Tính thể tích vật thể khi quay hình

phẳng giới hạn bởi

quanh trục Ox.(Hình vẽ)

Bước 1: Tìm các giao điểm a, b,c là nghiệm của các phương trình

và

Bước 2: Áp dụng công thức

Ví dụ 16 Tính thể tích vật thể khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình (H)

giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành, và quanh trục Ox

Do đó ta có

Nhập máy tính biểu thức tích phân, ta được kết quả

Nhận xét: Đối với một số biểu thức đơn giản ta có thể khai triển để việc bấm máy trở nên nhanh và dễ dàng hơn

V ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ

Ví dụ 16 Một người muốn dán tấm bảng hiệu cũ là một phần của hình elip với

kích thước như hình vẽ (1 đơn vị là 1m) Tính gần đúng chi phí mà người đó phải

bỏ ra để mua giấy dán biết giá của giấy là (nghìn)

+) Đối với những bài toán tính diện tích của một

hình phức tạp không có sẵn công thức ta có thể sử dụng tích phân để tính diện tích.+) Để có thể áp dụng tích phân để tính diện tích ta cần xây dựng hệ trục tọa độ

và xây dựng các hàm số phù hợp, đơn giản mà không mất tính tổng quát, kếtquả diện tích không đổi

Ví dụ 17 Một cái lu có bán kính ở 2 đầu là

và ở giữa là , chiều cao của cái

lu là (hình vẽ) Tính lượng nước tối đa

mà lu có thể chứa được

Dựa vào kích thước của cái lu trên đề bài ta có thể

xây dựng hệ trục tọa độ phù hợp và đơn giản

như hình vẽ Khi đó ta có thể sử dụng công thức tích phân để tính thể tích

 Từ chiều cao của cái lu ta tìm được cận của tích phân

 Từ đồ dài bán kính 2 đầu và ở giữa ta lấy được 3 điểm ; ;

Ví dụ 18 Sân trường THPT Lê Lợi có một bồn hoa hình tròn có tâm O Một nhóm

học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này chia bồn hoa thành bốnphần, bởi hai đường Parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O Hai đườngParabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình vuông cócạnh bằng 4m (như hình vẽ) Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện

tích dùng để trồng cỏ (Diện tích được làm tròn đến hàng phần trăm) Biếtkinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/ 1 kinh phí trồng cỏ là 100.000 đồng/1 Hỏi cả trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm tròn đến hàngchục nghìn)

Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, do ABCD là hình vuông cạnh 4m nên ta có

từ đó ta dễ dàng được phương trình đườngtròn là và phương trình 2 parabol là và

Ta có: S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và parabol

(P):

Chi phí để trồng bồn hoa đó là: (nghìn đồng)

Bài 4 Cho trên và là một nguyên hàm của hàm số

thỏa mãn Biết thỏa mãn Tính

Bài 5 [Câu 26 Đề minh họa Bộ GD-ĐT lần 2 năm 2017]

Biết với a, b, c là các số nguyên Tính S = a + b + c

Bài 8 Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường và quanh trục Ox Đường thẳng cắt

đồ thị hàm số tại M (hình vẽ bên) Gọi V1 là thể tích khối tròn xoay tạothành khi quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết rằng V = 2V1 Khi đó:

Bài 9 Cho hàm số có đồ thị (C), biết rằng (C) đi qua A(-1;0), tiếptuyến d tại A của (C) và hai đường thẳng có diện tích bằng (phầngạch chéo trong hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, đồ thị (C) và haiđường thẳng có diện tích bằng

Bài 10 Tìm thể tích V của vật tròn xoay sinh ra bởi đường tròn

khi quay quanh trục Ox

Bài 11

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40cm Người thiết kế

đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của

viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như

hình vẽ bên) Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng:

Bài 12 Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số cung tròn cóphương trình và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ bên).Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng D quanh trục Ox

A B C D

PHẦN III KẾT LUẬN

Để góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trường THPT, việcđổi mới phương pháp dạy giải bài tập có một vai trò rất quan trọng, vì nếu tổ chức

có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học thì có thể nâng cao chất lượng dạy toán học

Trong đề tài này, tôi đã trình bày một số ý kiến về vấn đề “Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại và đề ra cách giải nhanh các bài toán trắc nghiệm khách quan phần Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng”

Những kết quả nghiên cứu của đề tài cho phép tôi tin rằng bồi dưỡng chohọc sinh khả năng phân tích, tổng hợp, ứng dụng lý thuyết vào các bài toán thựctiễn, giáo viên đã góp phần thực hiện các mục đích yêu cầu của việc dạy học theohướng phát triển năng lực cá nhân, đặc biệt phát triển năng lực trí tuệ của học sinh,rèn luyện cho học sinh sự linh hoạt và khả năng sáng tạo

Song đề tài cũng không thể tránh khỏi những thiếu xót, tôi rất mong được sựgóp ý chân thành từ các đồng nghiệp Tôi xin cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2021

Tôi cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

Người viết

Đỗ Thị Hồng Hạnh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 12 - Tác giả: Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn - Nhà