Skkn hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách sử dụng phương pháp hình học nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp thpt của trường thpt quảng xương 4

MỤC LỤC Trang Mục lục 1 I Mở đầu 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 Đối tượng nghiên cứu 3 4 Phương pháp nghiên cứu 3 5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm 3 II Nội dung 4 1 Cơ sở[.]

Dạng 2 Một số bài tập tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa

mãn điều kiện cho trước

Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng SKKN ngành giáo dục

và đào tạo huyện, tỉnh và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên

25

I MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Số phức là nội dung mới được đưa vào dạy ở chương trình lớp 12 và thực sự gâykhông ít khó khăn cho các em học sinh lớp 12 bởi nguồn tài liệu hạn chế, đôi khichủ quan vì cho rằng nội dung này quá đơn giản Bên cạnh đó các bài tập về sốphức trong các đề thi THPT Quốc gia ngày càng đa dạng có cả các bài tập ở mức

độ nhận biết, thông hiểu, và cả các bài tập ở mức độ vận dụng và vận dụng cao.Các dạng bài tập về tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn sốphức cho trước hoặc thỏa mãn thêm một số điều kiện thường ở mức độ nhậnbiết, thông hiểu Các em chỉ cần nắm vững được kiến thức cơ bản về số phức,phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp vớikiến thức về các phương trình đường thẳng, đường tròn, elíp, hypecbol, thìcác em sẽ giải quyết tốt hệ thống các bài tập về tìm tập hợp điểm trên mặtphẳng tọa độ biểu diễn số phức Và thông qua các bài toán này các em biết vậndụng, khai thác, kết hợp với nhận xét đánh giá một cách linh hoạt để làm giải cácbài tập ở mức độ vận dụng, vận dụng cao nhằm giải quyết một cách triệt để cácbài tập về số phức trong các đề thi THPT Quốc gia

Từ năm học 2016- 2017 đến nay đã áp dụng hình thức thi trắc nghiệm vào mônToán, đây là một khó khăn đối với học sinh và với cả các thầy cô giáo Việc thitrắc nghiệm đòi hỏi các em phải tìm được phương pháp giải quyết bài toán mộtcách nhanh gọn và chính xác Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinhlớp 12 giải một số bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách sử dụng phương pháphình học nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT của Trường THPT Quảngxương 4” để viết sáng kiến kinh nghiệm trong năm học 2020- 2021 này

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu: một số bài tập trắc nghiệm số phức trong các đề thi minhhọa, và đề thi chính thức của BGD những năm gần đây, một số đề thi tham khảo,

… cùng quá trình ôn tập cho học sinh, tôi mong muốn học sinh trang bị đượcnhững kiến thức cơ bản, từ đó phát triển tư duy logic, linh hoạt vận giải quyếtcác bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách vận dụng nội dung biểu diễn hình họccủa số phức,… một cách chính xác và hiệu quả, giúp các em đạt kết quả cao hơntrong kỳ thi THPT Quốc gia và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán ởTrường THPT Quảng xương 4 nói riêng và THPT nói chung.

3 Đối tượng nghiên cứu

Dùng phương pháp hình học giải một số bài tập trắc nghiệm về số phức

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết+ Nghiên cứu sách giáo khoa về cấu trúc và chương trình giải tích 12 ( Chương sốphức)

+ Nghiên cứu các tài liệu, chuyên đề tham khảo trên internet

4.2 Phương pháp thực tập sư phạm:

Thực nghiệm sư phạm ở Trường THPT Quảng xương 4, tiến hành theo quy trìnhcủa đề tài sáng kiến kinh nghiệm để đánh giá hiệu quả của đề tài nghiên cứu

4.3 Phương pháp thống kê

Sử dụng phương pháp này để xử lý thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được

5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Số phức là chủ đề mới đối với học sinh phổ thông, đặc biệt là học sinh trung bìnhcủa trường THPT Quảng xương 4 vẫn còn là điều mới mẻ Chính vì thế, sáng kiếnkinh nghiệm này có thể giúp học sinh tiếp cận các bài toán số phức dễ dàng hơntheo các trình tự từ dễ đến khó bằng phương pháp hình học Bên cạnh đó quacác dạng bài tập có suy luận từ bài toán cơ bản, cụ thể là tính mới trong sángkiến của tôi

II NỘI DUNG

là thuần ảo  phần thực của bằng

Số vừa là số thực vừa là số ảo

+ Các điểm trên trục hoành biểu diễn các số thực Các điểm trên trục tung

biểu diễn các số thuần ảo

3 Cộng và trừ hai số phức:

 Tổng của hai số phức trên là:

Khi đó nếu biểu diễn số phức , biểu diễn số phức thì

lần lượt biểu diễn số phức và

4 Nhân hai số phức : Cho hai số phức và

 Tích của hai số phức trên là:

 Chú ý: Có thể thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân hai số phức mộtcách tương tự như các phép cộng, trừ, nhân trên tập số thực

Đối với các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tậphợp điểm biểu diễn một số phức trong đó số phức thoả mãn một hệ thứcnào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bàitoán này như sau:

Giả sử Khi đó số phức biểu diễn trên mặt phẳng

- Phương trình đường elip

2 Thực trạng vấn đề

Số phức là nội dung hoàn toàn mới đối với học sinh bậc trung học phổ thônghiện nay Vì chương trình mới đưa vào Sách giáo khoa nên có rất ít tài liệu về sốphức để học sinh và giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng nhưcác dạng bài tập về số phức còn nhiều hạn chế Chính vì vậy mà việc giảng dạycủa giáo viên và học tập của học sinh gặp không ít khó khăn Các bài tập liênquan đến số phức trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia những năm gầnđây tương đối đa dạng và phức tạp ở cả bốn mức độ nhận biết, thông hiểu, vậndụng và vận dụng cao nên tìm hiểu các dạng bài tập về số phức đang rất cầnthiết với hầu hết học sinh lớp 12 nói chung và học sinh lớp 12 Trường THPT

Quảng xương 4 nói riêng Vì vậy tôi chọn nghiên cứu một vấn đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài tập trắc nghiệm số phức bằng cách sử dụng phương pháp hình học nhằm nâng cao kết quả thi tốt nghiệp THPT của Trường

THPT Quảng xương 4”, nhằm giải quyết một số hạn chế trên và thay đổi tư duy

về số phức của một bộ phận học sinh lớp 12 vẫn thấy mới mẻ và ngại học

3 Giải pháp thực hiện

Trước thực trạng trên, ở đề tài này tôi chủ yếu đề cập đến vận dụng phươngpháp hình học giải một số bài tập trắc nghiệm về số phức ở mức độ nhận biết,thông hiểu, vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi trắc nghiệm những nămgần đây và một số đề tham khảo

Dạng 1 Tìm tọa độ điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức cho trước ( các bài tập thường ở mức độ nhận biết, thông hiểu)

1 Phương pháp: Số phức , được biểu diễn bởi điểm

Điểm biểu diễn số phức có tọa độ là

Câu 2 Gọi là điểm biểu diễn số phức , trong mặt phẳng tọa độ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Bài tập này giúp học sinh thấy mối liên hệ giữa mođun số phức khi biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ chính là chiều dài của véc tơ

Câu 3 Gọi lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức trong mặt phẳng tọa độ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hướng dẫn giải

Gọi là điểm biểu diễn của số phức

là điểm biểu diễn của số phức

Khi đó

.Dạng 2 Một số bài tập tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiệncho trước ( Thường gặp ở các bài tập mức độ vận dụng )

2.1 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường thẳng

2.1.a Phương pháp:

Nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện

là một đường thẳng

Cách 1: Sau đó chuyển sang ngôn ngữ hình học: Gọi lần lượt là các điểm

biểu diễn , là điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Khi đó

ta có: , hay tập hợp điểm là đường trung trực của đoạn thẳng Cách 2: Ngoài ra các em vẫn có thể giải bằng phương pháp biến đổi đại số thông thường bằng cách gọi biểu diễn số phức

Sau đó dự vào giả thiết suy ra mối liên hệ giữa suy ra đường chứa tập hợp điểm cần tìm

2.1.b Ví dụ

Câu 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các sốphức thỏa mãn điều kiện là đường thẳng có phương trìnhnào sau đây?

Cách 1: Gọi số phức lần lượt là các điểm biểu diễn số phức và , ta suy ra Điểm là điểm biểu diễn số phức

Theo bài ra ta có: nên tập hợp điểm là đường trung trực của đoạn thẳng

Vậy tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình:

Cách 2: Gọi là điểm biểu diễn số phức

Theo bài ra ta có:

.Vậy tập hợp điểm là đường thẳng có phương trình:

Như vậy tùy vào từng giả thiết của bài toán các em áp dụng một trong hai cách giải một cách linh hoạt và phù hợp để đưa ra kết quả nhanh và chính xác

Câu 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các sốphức thỏa mãn điều kiện là đường thẳng có phương

Như vậy các em có thể giải quyết bài tập trắc nghiệm này một cách đơn giản saukhi xác định được tọa độ các điểm Ngoài ra còn các em còn có thể dùng các phép biến đổi thông thường để suy ra tập hợp điểm biểu diễn sô phức thỏa mãn điều kiện cho trước, và tổng hợp cách giải cho hệ thống các bài tập tương

tự mà không phải mò mẫn cách giải đồng thời giảm bớt những sai lầm trong quá trình biến đổi nhằm đạt kết quả cao hơn trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia

Câu 3 Cho số phức thỏa mãn , tập hợp điểm biểu diễn số phức

là một đường thẳng có phương trình nào sau đây?

Câu 4 Cho số phức z thỏa mãn , tập hợp các điểm M biểu diễn

Câu 5 Cho số phức thỏa mãn Tập hợp điểm biểu diễn sốphức là đường thẳng Tính

Nếu số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau

hướng học sinh chuyển các giả thiết đã cho sang các khái niệm hình học

suy ra tập hợp điểm là đường trung trực của đoạn thẳng với có tọa

độ hoàn toàn xác định hoặc từ giả thiết ta dùng các phép biến đổi để tìm mối

liên hệ giữa suy ra đường thẳng cần tìm

2.2 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn

đó tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính bằng

Gọi I là điểm biểu diễn số phức , là điểm biểu diễn số phức

Theo bài ra ta có nên tập hợp điểm là đường tròn tâm , bán kính

C Hình tròn tâm I(-1;-1), bán kính R = 1 (kể cả những đường tròn).

D Đường tròn tâm I(1;-1), bán kính R = 1

( Hình tròn tâm I(-1;-1) bán kính R = 1

và kể cả đường tròn đó )

Tôi chỉ cần lưu ý lại cho học sinh cách xác định tọa độ tâm đường tròn và thỏa mãn dấu bằng sảy ra thì học sinh sẽ chọn đáp án chính xác

Câu 4 Trong mặt phẳng phức , tập hợp biểu diễn số phức thỏa

là hình vành khăn Chu vi của hình vành khăn là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Gọi là điểm biểu diễn số phức Khi đó ta có:

Tập hợp điểm biểu diễn là hình vành khăn giới hạn bởi 2 đường

Phần này tôi lưu ý các em công thức tính chu vi hình vành khăn.

Câu 5 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biết rằng tập hợp điểm biểu diễn các sốphức w thỏa mãn điều kiện là một đường tròn Tìm bán kínhcủa đường tròn đó

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Khi đó Tập hợp điểm biểu diễn là đường tròn đồng tâm , có bán kính lần lượt là

Câu 6 Cho số phức thỏa mãn Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức là một đường tròn Tâm của đường tròn đó là:

Theo giả thiết, ta có

.Vậy tập hợp các số phức là đường tròn tâm , bán kính

Như vậy sau các ví dụ này tôi có thể tổng quát cho học sinh nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường tròn nếu số phức thỏa mãn:

tâm , bán kính bằng ( với là điểm biểu diễn số phức )

2.3 Tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường elip

Như vậy sau các ví dụ này tôi có thể tổng quát cho học sinh nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức là một đường elip nếu số phức thỏa mãn:

; là hằng số cho trước và elíp có độ dài trục lớn bằng .

2.3.a Phương pháp

Nhận dạng tập hợp điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện

là một đường elip

Sau đó chuyển sang ngôn ngữ hình học: Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn

số phức , là điểm biểu diễn số phức thỏa mãn Khi

đó ta có: , hay tập hợp điểm là đường elíp có tiêu điểm là

Gọi là điểm biểu diễn số phức , lần lượt là các điểm biểu diễn số phức

Khi đó ta có Vậy tập hợp điểm là đườg Elip cótiêu điểm là , và độ dài trục lớn , suy ra

Vậy phương trình Elíp là Câu 2 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tập hợp điểm biểudiễn số phức là đường elip có độ dài tiêu cự bằng

A B

Hướng dẫn giải Gọi là điểm biểu diễn số phức , lần lượt là các điểm biểu diễn sốphức Khi đó ta có Vậy tập hợp điểm là đườg Elip

có tiêu điểm là , và độ dài trục lớn , suy ra

Vậy phương trình Elíp là Câu 3 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tập hợp điểmbiểu diễn số phức là đường elip có độ dài trục lớn bằng

Hướng dẫn giải Gọi là điểm biểu diễn số phức , lần lượt là các điểm biểu diễn số

đường Elip có tiêu điểm là , và độ dài trục lớn Vậy độ dàitrục lớn là

Dạng 3 Vận dụng giải một số bài tập tìm cực trị số phức

3.1 Phương pháp

Từ giả thiết vận dụng các bài tập dạng 2 tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

Sử dụng kiến thức về hình học suy ra cực trị của số phức theo yêu cầu bài toán

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Gọi là điểm biểu diễn số phức

Đặt suy ra

Gọi là hai điểm biểu diễn cho hai số phức

thuộc đường tròn tâm thuộc đường tròn tâm

Giá trị nhỏ nhất của là

A B C D

Lời giải

Suy ra thuộc Elip có: là các tiêu điểm, độ dài trục lớn

Phương trình đường thẳng AB:

+ Gọi là điểm biểu diễn số phức :

.Bài toán trở thành tìm M thuộc elip, N thuộc đường thăng để nhỏnhất Để nhỏ nhất thì có vị trí như hình vẽ.

Mặt khác là điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn là đường

Dễ thấy , , nằm trên đường thẳng

Xét điểm nằm trong đoạn thỏa mãn

Khi đó và tiếp xúc nhau tại

là các đỉnh trên trục lớn , là điểm đối xứng của qua

của hai đường tròn để tìm

4 Những kết quả đạt được

- Qua thời gian thực nghiệm, học sinh đã nắm được những kĩ năng cơ bản nhấtcủa việc nhận dạng bài tập số phức trên phương diện hình học

- Qua quá trình thực tế cho thấy những kiến thức cơ bản nhất phải được trang

bị, khắc sâu cho các em ngay từ năm lớp 10

- Qua sáng kiến này tôi muốn gửi gắm thêm niềm say mê học Toán của cả Thầy

và Trò, kết hợp với yếu tố về kiến thức các em còn được rèn luyện kĩ năng tínhtoán và phát triển tư duy lôgic, tư duy trìu tượng của học sinh giúp các em pháttriển toàn diện

- Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai và ứng dụng rộng rãi cho toàn bộhọc sinh khối 12 Các quý đồng nghiệp và các em học sinh có thể dùng sáng kiếnnày như một tài liệu ôn tập nội dung số phức trong kỳ thi THPT Quốc gia

Tôi đã đưa ra bài kiểm tra kiến thức phần này cùng một đề cho 2 lớp có lực học tương đương là lớp 12E ( lớp đối chứng ) và lớp 12K ( lớp thực nghiệm) và kết quả thu được là khả quan.

Lớp đối chứng (Lớp 12E) Lớp thực nghiệm ( Lớp 12K)

cô giáo trẻ mới ra trường

Tôi có thể khẳng định: Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của quá trình họctập, nghiên cứu về số phức Đồng thời là là sự tích lũy kinh nghiệm của quá trìnhdạy học với nhiều đối tượng học sinh, học hỏi từ các bạn đồng nghiệp Đa số bàitập nêu cách giải đơn giản nhất để học sinh tiếp cận hiệu quả Do yếu tố về thờigian, cũng như kiến thức và cách trình bày vẫn còn hạn chế Rất mong nhậnđược ý kiến nhận xét, góp ý của đồng nghiệp và các em học sinh để sáng kiếnnày được hoàn thiện hơn Hy vọng rằng tài liệu này có thể giúp ích cho quý đồng

nghiệp và các em học sinh trong quá trình giảng dạy và học tập để đơn giản hóacác bài tập về số phức trên phương diện hình học hóa số phức.

Thanh Hoá, ngày 18 tháng 05 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người

khác.

Văn Thị Trang