SKKN Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Phát huy trí lực học sinh trong giải Toán bất đẳng thức và cực trị PHẦN I PHẦN MỞ ĐẦU I 1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Toán học là bộ môn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khoá mở[.]

PHẦN I: PHẦN MỞ ĐẦU

I.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Toán học là bộ môn khoa học trí tuệ cao nhất đồng thời là chìa khoá mởcửa, tạo nền cho tất cả các ngành khoa học khác Song toán học mà chúng ta đã,đang và tiếp tục nghiên cứu nó phần lớn trên cơ sở lý thuyết nhưng nó cũng đãgóp phần nhiều cho thành tựu khoa học thực nghiệm như Lí học, Hoá học, thiênvăn học và Tin học

Ngay từ thời kì tiền của loài người, toán học đã hình thành từ những vật

cụ thể để đi đến phép đếm rồi so sánh Trải qua qú trình lao động sáng tạo conngười không những chiếm lĩnh khoa học ngày một hiện đại và sáng tạo, tìm ranhững quy luật của các con số, phép toán, công thức toán học và cả những chânlý

Ngày nay bộ môn Toán chiếm một ưu thế quan trọng trong giáo dục đặcbiệt là trong dạy học, học tập, nó đòi hỏi ở người thầy giáo một sự lao dộngnghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phương pháp để dạy các em học sinh học vàgiải các bài toán, đó cũng là nhiệm vụ trung tâm của người thầy giáo dạy Toán

Ai cũng biết rằng muốn giải toán phải luyện tập nhiều thông qua việc giảicác bài toán đa dạng, gải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn và tỉ mỉ, để

tự tìm ra đáp sốcủa chúng Như nhà tâm lí học, toán học cổ Xô Clat đã nói

“Những hiểu biết mà ta thu được một cách không khó khăn thì sẽ không lâubền, chúng ta chỉ (có thể do sự giúp từ bên ngoài) những gì mà ta tìm hiểu đượccũng giống như cây cối chỉ sự dụng thứ nước do rễ của chúng hút được từ tronglòng đất” (Đối thoại toán học) Để đạt được nhiệm vụ trong giảng dạy muốn vậyngười thầy dạy toán, học sinh phải kiên trì biết vận dụng kiến thức đã học trongnhiều tình huống khác nhau Một bài toán thường có nhiều cách giải, mỗi bàitoán nằm trong mỗi dạng toán khác nhau, nó đòi hỏi phải vận dụng kiến thức đãhọc trong nhiều lĩnh vực, nhiều mặt một cách sáng tạo, do đó phải xếp bài toán

nào vào vấn đề nào là một việc rất khó, và cũng khó ở một số bài toán được gặp

ở hai hoặc nhiều vấn đề khác nhau

Trong chương trình phổ thông cấp 2 hiện nay các loại bài tập thật đadạng, phong phú và không ít phức tạp, mà học sinh gặp khó khăn Trong khuônkhổ của đề tài này, xin nêu một số phương pháp đề cập đến giải toán về “Bấtđẳng thức và cực trị” Phải nói rằng các loại toán này là khó, đa dạng mặc dùtrong chương trình cấp 2 (từ lớp 8 - 9) đã đề cập song học sinh gặp nhiều bế tắckhi đứng trước loại toán này

I.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Nhằm nâng cao chất lượng học tập bộ môn đại số nói chung Rèn luyện khảnăng tư duy, giúp học sinh có những hứng thú toán học, khắc phục tình tạng thụđộng, dập khuôn, máy móc trong quá trình giải bài tập Giúp học sinh củng cố,khắc sâu kiến thức về bất đẳng thức - bài toán tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏnhất của một số dạng toán thường gặp

I.3 THỜI GIAN, ĐỊA ĐIỂM

I.3.1 THỜI GIAN

- Thời gian để tôi nghiên cứu đề tài là 2 năm

I.3.2 ĐỊA ĐIỂM

- Địa điểm để thực nghiệm đề tài là học sinh các lớp khối 8 khối 9ủtrường THCS Mạo Khê II - Đông Triều - Quảng Ninh

I.4 ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Trong tình hình đổi mới sự nghiệp giáo dục, đặc biệt quan tâm tới nhữnghọc sinh có năng khiếu, ham học tập, thì đòi hỏi người thầy đặc biệt quan tâm,giúp đỡ các em về phương pháp giải toán Cũng các loại bài tập này hiện nayhay được đề cập đến và trong các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp huyện thị trở lên,cũng có thể nói rằng loại toán bất đẳng thức - cực trị không chỉ ở trong bộ mônđại số và cả trong hình học, không những trong lý thuyết toán, mà có thể ápdụng trong thực tiễn

Từ những vấn đề nêu trên, những khó khăn, tác dụng, yêu cầu của toánhọc, đó cũng là lí do chính để chọn đề tài: Phát huy trí lực học sinh trong giảitoán “Bất đẳng thức - cực trị” ở lớp 8 - 9.

PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG

II.1 CHƯƠNG 1 : TỔNG QUAN

Nắm được định nghĩa bất đẳng thức, các tính chất cơ bản của bất đẳngthức đại số, các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng Nêu một

số ví dụ áp dụng bất đẳng thức Một số dạng toán cực trị và phương pháp giảichúng

II.2 CHƯƠNG 2 : NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU

số Cần lưu ý cho học sinh là khi nói về một bất đẳng thức mà không nói rõ gìhơn thì đó là một bất đẳng thức đúng

Trong khi học trong chương trình thì học sinh phải nắm thật vững, cơ bản

và sâu sắc về định nghĩa bất đẳng thức, cùng với các tính chất và phương phápchứng minh

II.2.1.1 Định nghĩa: a, b bất kỳ R: a > b a - b > 0

a < b a - b < 0hoặc A > B A - B > 0 A - B là những biểu thức chứa chữ v biến số

A < B A - B < 0

Đó là cơ sở quan trọng và thường lấy đó để chứng minh nhiều bài toán về bấtđẳng thức.

Trong quá trình giải các bài tập không đơn thuần chỉ là chứng minhnhững bất đẳng thức đúng mà thông thường ta gặp các bài toán dạng:

A B A - B 0

A B A - B 0

Trong trường hợp “ ”; “ ” thì sau khi đã chứng minh được bất đẳngthức đúng phải chỉ ra được các yếu tố nào (quan hệ) giữa các chữ có trong bấtđẳng thức với nhau hoặc quan hệ với một hằng số, tham số nào đó

Ví dụ x2 0 với x thì dấu bằng xảy ra khi x =0

Hay đẳng thức quen thuộc (a - b)2 0 thì dấu “=” xảy ra khi a - b = 0 hay a = b

Với x2 + y2 0 x, y R thì dấu “=” xảy ra khi x = y = 0

Như vậy trong khi giải các bài toán về bất đẳng thức thì việc tìm điều kiện

để dấu “=” xảy ra lại là một vấn đề không đơn giản, nó là một bài toán nhỏ nằmtrong một bài toán lớn (sẽ được diễn giải đối với từng loại bài trong các ví dụsau)

II.2.1.2 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức số

Vì bài toán về bất đẳng thức thường đa dạng, phức tạp mới chỉ có địnhnghĩa thì chưa thể giải hết được các bài tập Như vậy cần nắm vững những tínhchất sau:

II.2.1.2.8 a > b 0 và n Z+ =>

Đó là những tính chất rất cơ bản cần trang bị cho học sinh khi tiếp nhậnvấn đề này song các tính chất trên không có tính chất hai chiều

Trong khi giải bài tập đòi hỏi việc biến đổi đồng nhất hay tương đương là

vô cùng quan trọng, nó đòi hỏi phải nắm kỹ kiến thức cơ bản và kĩ năng kĩ xảo.Cũng cần trang bị cho các em những vốn kiến thức cơ bản như chứng minh vàcông nhận những bất đẳng thức đúng để các em giải nhanh và góp phần cho sự

tư duy để giải các bài toán khó

Ví dụ: Trong khi giải các bài toán ta có thể lấy những bất đẳng thức đángnhớ như: (a b)2 0 (a + b - c + d +)2 0

Tổng quát hoá (a b + +)2k 0

Hoặc ai mà ai là những số dương => ai 0

Hoặc: trong biểu thức có tổng độ dài của các yếu tố về đoạn thẳng hoặccác tính chất về mối quan hệ cạnh (góc) của tam giác

II.2.1.3 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường dùng.

II.2.1.3.1 Dựa vào định nghĩa tức để chứng minh: A > B ta xét:

A - B nếu A - B > 0 thì khẳng dịnh A > B là đúng

Nếu A - B < 0 thì bất đẳng thức sai

II.2.1.3.2 Dùng phép biến đổi tương đương (có nhiều cách biến đổi)

chẳng hạn chứng minh A > B ta biến A -> M; B -> N rồi so sánh M với N:

M > N => A > B

Hoặc biến đổi tương đương dựa vào các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

II.2.1.3.3 Dụa vào các bất đẳng thức đúng đã biết như các hằng đẳng

thức đã nói ở (2)

II.2.1.3.4 Dùng phép làm trội: thường chứng minh với bất đẳng thức là

một dãy số Tách dãy đó thành những nhóm có giá trị tổng đặc biệt nào đó theomột quy luật nhất định để tính được giá trị tổng gồm nhiều hạng tử

Giả sử: M1 + M2 + M3 + +Mn > P

Khi đó ta tính ;

II.2.1.3.5. Dùng phép phản chứng để chứng minh: Để chứng minh A > B

ta giả sử A B từ đó dẫn đến những điều trái giả thiết

Ví dụ: Chứng mih:

Giả sử:

(vô lý)Vậy

II.2.1.3.6 Dùng phép trung toán (hay quy nạp toán học)

II.2.1.3.7 Dùng phối hợp các phương pháp trên một cách hợp lí và lôgic.Nói chung các bài tập về bất đẳng thức là rất đa dạng và khá phức tạp.Thông thường những bài toán vận dụng phương pháp dùng định nghĩa, phépbiến đổi tương đương phản chứng đỡ khó khăn hơn và gần gũi với học sinh hơnhoặc kết hợp các phương pháp

Bài toán về bất đẳng thức thường là cho dưới dạng khi biết một số điềukiện nào đó hãy chứng minh một biểu thức, bất đẳng thức ở nhiều (hay đề cập) ởđại số song có cả ở trong hình học cũng thường gặp

Việc giải bài toán về bất đẳng thức là khó bởi lẽ đương nhiên ngoài kiếnthức cơ bản liên quan tới bất đẳng thức, đòi hỏi phải vận dụng một cách đúngđắn trong trường hợp nào cho phù hợp Kĩ năng biến đổi tốt giúp cho trong khigiải đỡ dài dòng và tránh được những sai lầm góp phần cho sự tư duy, sáng tạomột cách chắc chắn

II.2.1.4 Thực tiễn trong giải toán và hướng dẫn (các ví dụ)

II.2.1.4.1 Chứng minh rằng a > b > 0 thì a 2 > b2

Dùng định nghĩa để chứng minh:

Xét a2 - b2 = (a - b) (a + b)

Vì a > b => a - b > 0 à a > b > 0 => a + b > 0

để vận dụng vào bài toán.

Vì a > 0; b > 0 và => a + b > 0 mà (a -b) (a + b) > 0

=> a - b > 0 a > b

Trong những bước đầu hình thành kĩ năng cơ bản cho học sinh, giáo viênthường xuyên cho các em chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản, rồi saukhi đã chứng minh được thì công nhận chúng để vận dụng vào các bài toán phứctạp hơn

II.2.1.4.2 Chứng minh (a + b)2 4ab Khi nào thì dấu bằng xảy ra?Dùng định nghĩa xét: (a + b)2 - 4ab

a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 0

=> Dấu bằng xảy ra khi a - b = 0 a = b

II.2.1.4.3 Cho a, b không âm Chứng minh

Với điều kiện của bài toán a 0, b 0 nên ta có thể vận dụng: a = ()2; b = ( )2

Dùng phép biến đổi tương đương ta có:

Xét vế trái: VT

a + b - 2 = ( - )2 0

nên => điều phải chứng minh Dấu “=” xảy ra khi a = b

Thông qua bài toán này giáo viên giới thiệu bất đẳng thức trên (bất đẳngthức Côsi với 2 số không âm)

Có thể giới thiệu công thức (định lí CôSi)

Với 3 số không âm: a, b, c

Ta luôn có a + b + c 3

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Tổng quát a1 + a2 + +an n với các ai (i = ) không âm

Cần nhấn mạnh điều kiện để có thể vận dụng được định lí Côsi và với các sốkhông âm

Ta có: a +b + c 3

=> (a +b + c) ( ) 9 = 9

Rõ ràng vận dụng định lí Côsi giải ngắn gọn hớn và cũng không phức tạp

Trên cơ sở đó sử dụng kết quả 4.2.1 vận dụng vào bài toán sau:

Chứng minh bất đẳng thức: với x, y, z 0

Dựa vào bất đẳng thức chứng minh trên ta thay a = y + z; b= z + x; c = x + y

Rõ ràng a,b, c > 0

Ta có bất đẳng thức

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: y + z = z + x = x + y hay x = y = z

II.2.1.4.4. Chứng minh rằng nếu x2 + y2 = 1 thì -

Đối với bài toán này ta không thể dùng trước định nghĩa hay biến đổi, áp dụngcác bất đẳng thức khác mà ta phải xuất phát từ bất đẳng thức đúng nào đó

Từ: x2 + y2 = 1 (*) và từ (x - y)2 0

Ta có: x2 + y2 2xy => 2xy 1 (**)

Cộng (*) với (**) ta có: x2 + 2xy + y2 2

(x + y)2 2 | x + y| hay -Dấu bằng xảy ra x = y = hoặc x = y = -

* Chứng minh rằng nếu a + b = 2 thì a4 +b4 2

Xét a4 +b4 - 2

Dùng phép biến đổi đồng thức: Vì a + b = 2 nên ta có thể đặt:

Dấu “=” a = b = 1 hoặc a = b = -1 nhưng vì a + b = 2 => a = b = -1 (loại)

II.2.1.4.5 Cho 4 số a, b, c, d.Chứng minh (ab + cd)2 (a2 + c2) (b2 + d2)(1)

Dùng phép biến đổi tương đương:

Trên đây cũng chính là bất đẳng thức Bunhiacopski

Từ đó đối với học sinh khá giỏi có thể đưa ra trường hợp tổng quát màkhông đòi hỏi phải chứng minh vì việc chứng minh rất phức tạp đối vớihọc sinh cấp 2 mà chỉ yêu cầu nhìn nhận đúng và sử dụng đến bất đẳngthức

Cho 2n số a1, a2, an R và b1, b2, bn R

Khi đó ta có (a1b1 + +anbn)2 ( a + + a ) ( b + + b )

Dấu “=” xảy ra khi

Vận dụng kết quả bài toán 4.3.1 trên đưa ra bài toán:

Cho 4x - 6y = 1 Chứng minh rằng 4x2 + 9y2

Thật vậy từ giả thiết: 4x - 6y = 1 2.2x + (-2).3y = 1

Rõ ràng a = 2; b = 2x; c = -2; d = 3y

Ta có [2.2x + (-2).3y]2 [22 + (-2)2][(2x)2 + (3y)2]

1 8 (4x2+ 9y2) 4x2 +9y2

Ta có:

=> x = ; y = -

Vậy dấu “=” xảy ra khi x = ; y =

II.2.1.4.6. Loại toán dùng phương pháp làm trội

Với những số nguyên dương n nào thì bất đẳng thức sau đúng: 2n > n2

Dùng phương pháp quy nạp:

Dùng phép thử: Với n = 1 : 2 > 1 đúng

Với n = 2 : 22 = 22 không đúng Với n = 3, 4 bất đẳng thức không đúng Với n = 5 : 25 > 52 đúng

Trong một số phương pháp trên trong các bài toán đã trình bày qua các ví

dụ thì các phương pháp làm trội, phương pháp quy nạp là gặp khó khăn đối vớicác em bởi lẽ phương pháp này ít được đề cập trong trường phổ thông (loại trừtrường chuyên, lớp chọn) Do đó cần hướng dẫn chi tiết cho từng đối tượng họcsinh cũng không nêu ra nhiều mà cần tập trung cho những phương pháp thôngthường Kết thúc phần này được nêu một số bài toán chứng minh bất đẳng thứctrong tam giác

II.2.1.4.8. Cho a, b, c là số đo ba cạnh của một tam giác Chứng minh bấtđẳng thức: a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2+ 4abc > a3 + b3 + c3

Đây là một bài toán khó đối với học sinh nhưng có thể thấy được rằng a, b, chiển nhiên là những số dương và phải thấy được quan hệ các cạnh trong một tamgiác: a + b > c; b + c > a; a + c > b ( HH lớp 8)

Trước hết ta có nhận xét:

c(a - b)2 + 4abc = c[(a - b)2 + 4ab]= c(a + b)2

Bất đẳng thức a(b - c)2 +b(c - a)2 + c(a - b)2+ 4abc - a3 - b3 - c3 > 0

[a(b - c)2 - a3] + [b(c - a)2- b3] + [ c(a - b)2- c3 ] > 0 a[(b - c)2 - a2] + b[(c - a)2- b2] + c[(a - b)2- c2 ] > 0 a(b - c - a)(b - c + a) + b(c - a - b)(c- a + b) + c(a + b - c)(a + b + c)> 0

Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

* Cho tam giác ABC có chu vi 2p= a +b + c (a, b, c độ dài ba cạnh)

Ta nói rằng M là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của một biểu thức A nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn

1 A M (Hằng số) hay A M (Hằng)

2 Có lúc A = M ( trong điều kiện nào đó của bài toán để bài toán xảy ra dấu bằng) thì ta nói biểu thức A đạt giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là M

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC:

a2 0; a2= 0 a = 0

|a| 0; |a| = 0 a = 0

- |a| a |a|; - |a| = a = |a| a = 0

|a + b| |a| + |b|; |a+b|= |a| + |b| ab 0

|a - b| |a| - |b|; |a-b|= |a| - |b| ab 0 và |a| |b|

Vấn đề cực trị là loại toán khó, đa dạng, phong phú ở cả các môn số học, đại số, hình học Trong khuôn khổ của đề tài xin được nêu một số dạng quen thuộc ở bộmôn đại số cấp 2, chủ yếu tập trung cho 2 lớp 8 và 9 bởi vấn đề cực trị hiện mà nhiều học sinh khá giỏi cũng như yêu cầu rất quan tâm và cũng là sự thay thế nhiều trong lĩnh vực này

II.2.2.2 Các bài toán đại số cực trị có thể ở một số dạng sau đây và phương pháp giải:

II.2.2.2.1 A = |x+ a| + |x+b| + +|xn + p| với a, b, p Z

Phương pháp giải

Cách 1: Dựa vào tính chất giá trị tuyệt đối

A = A nếu những giá trị của biến để A 0 = - A nếu những giá trị của biến để A < 0

- Xét tất cả các nghiệm của |xn + p|

- Phân ra từng miền (khoảng) xác định

- Lập bảng xét dấu

- Tìm giá trị mà A đạt được giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong khoảng

(miền) xác định nào đó của biến)

Cách 2: Dựa vào các bất đẳng thức tam giác

II.2.2.2.2 A = +

Phương pháp giải:

- Trước hết xác định miền của tam thức bậc 2 dưới dấu căn sao cho thích hợp

- Nếu các biểu thức dưới căn đưa được về dạng luỹ thừa 2 của một tổng (hoặc hiệu) thì đưa về dạng (1)

- Nếu biến đổi biểu thức dưới căn về dạng:(mx n)2 + q thì khi đó có thể tìm được giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất

Lưu ý là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) phải thoả mãn với điều kiện của bài toán tìm được ở phần đầu

- Trước hết phải đặt điều kiện để mẫu số khác 0

- Có thể đưa mẫu số về dạng biểu thức luôn dương (âm) hoặc luôn lớn hơn hoặc nhỏ hơn một hằng số nào đó)

- Có thể thực hiện phép chia đa thức tử cho đa thức mẫu về dạng:

A= M +

- Xác định giá trị x của biểu thức phân để nó triệt tiêu để đưa về dạng cơ bản:

A = M +Q(x) M hoặc A - M + Q(x) M

Ngoài ra còn có một số dạng khác dưới những dạng phức tạp hơn

II.2.2.3 Thực tiễn giải toán và hướng dẫn

II.2.2.3.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: