Bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm

Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoahọc thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần đúng các phơng trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và cácbài toán tối u.. Tro

Lời nói đầu

Toán học là một môn khoa học chiếm vị trí quan trọngkhông thể thiếu trong cuộc sống con nguời

Cùng với sự phát triển nội tại của toán học và các ngànhkhoa học khác, toán học chia thành toán lý thuyết và toánứng dụng

Giải tích số hay còn gọi là phơng pháp số là môn khoahọc thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu cách giải gần

đúng các phơng trình, các bài toán xấp xỉ hàm số và cácbài toán tối u

Việc giải một bài toán xấp xỉ hàm số nhằm mục đíchthay một hàm số dới dạng phức tạp nh dạng biểu thức hoặcmột hàm số dới dạng bảng bằng những hàm số đơn giảnhơn Trong lý thuyết xấp xỉ hàm ngời ta thờng nghiên cứucác bài toán nội suy, bài toán xấp xỉ đều và bài toán xấp xỉtrung bình phơng

Trong đồ án này em đề cập đến bài toán dùng phơngpháp xấp xỉ trung bình phơng hay còn gọi là phơng phápbình phơng tối thiểu để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm Để hoàn thành đồ án này em xin chân thành cảm ơncác thầy cô trong khoa Toán tin ứng dụng- Trờng đại họcBách Khoa Hà Nội đã quan tâm giúp đỡ em và tạo mọi điềukiện cho em trong suốt quá trình làm đồ án Đặc biệt em

xin chân thành gửi lời cảm ơn đến PGS-TS Lê Trọng Vinh,

ngời đã trực tiếp tận tình hớng dẫn, chỉ bảo về kinhnghiệm và tài liệu trong suốt quá trình em làm đồ án tốtnghiệp.

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội,tháng 5 năm 2008

Bùi VănBằng

Chơng I PHƯƠNG PHáP BìNH PHƯƠNG TốI THIểU LậP CÔNG THứC Từ THựC NGHIệM

1.1 Giới thiệu chung

1.1.1 Đặt vấn đề

Có rất nhiều phơng pháp khác nhau để lập những đathức từ thực nghiệm mà ta đã biết đến nh phép nội suy

dụng trong thực tiễn thì có những điều cần cân nhắc là:

nhiên sự đòi hỏi này không có ý nghĩa nhiều trong thực tế

trong thực tế chúng ta cho dới dạng bảng và thờng thu đợc từ

i

x

(



Những số y này nói chung chỉ xấp xỉ với các giá trị đúng

đem vào bài toán các sai số của các số liệu ban đầu nóitrên (chứ không phải là làm cho giá trị của hàm nội suy

một cách sát thực đơng nhiên cần tăng số mốc nội suy (nghĩa là làm giảm sai số của công thức nội suy) Nhng

điều này lại kéo theo cấp của đa thức nội suy tăng lên do

đó những đa thức nội suy thu đợc khá cồng kềnh gây khókhăn cho việc thiết lập cũng nh dựa vào đó để tính giá trị

1.1.2 Bài toán đặt ra

Chính vì những lý trên nên phơng pháp tìm hàm xấp

xỉ có thể sẽ sát thực hơn thông qua hai bài toán:

Bài toán 1(tìm hàm xấp xỉ)

hằng số

cho quá trình tính toán đơn giản đồng thời nhng sai số

có tính chất ngẫu nhiên (xuất hiện khi thu đợc các số liệu ) cần phải đợc chỉnh lý trong quá trình tính toán Trong bàitoán tìm hàm xấp xỉ trên việc chọn dạng của hàm xấp xỉ

Bài toán 2 (tìm các tham số của một hàm có dạng đã biết)

Giả sử đã biết dạng tổng quát của hàm

(1 - 2)

Giả sử qua thực nghiệm ta thu đợc n giá trị của hàm

những số liệu thực nghiệm thu đợc cần xác định các giá trị

Những hàm trong thực nghiệm thu đợc thờng mắc phảinhững sai số có tính chất ngẫu nhiên Những sai số nàyxuất hiện do sự tác động của những yếu tố ngẫu nhiên vàokết quả thực nghiệm để thu đợc các giá trị của hàm

Chính vì lý do trên, để đánh giá sự sai khác giữa haihàm trong thực nghiệm ta cần đa ra khái niệm về sai số(hoặc độ lệch) sao cho một mặt nó chấp nhận đợc trongthực tế, một mặt lại san bằng những sai số ngẫu nhiên(nghĩa là gạt bỏ đợc những yếu tố ngẫu nhiên tác động vàokết quả của thực nghiệm) Cụ thể nếu hai hàm thực chấtkhá gần nhau thì sai số chúng ta đa ra phải khá bé trênmiền đang xét

Khái niệm về sai số nói trên có nghĩa là không chú ý tớinhững kết quả có tính chất cá biệt mà xét trên một miềnnên đợc gọi là sai số trung bình phơng

1.2.2 Định nghĩa

Theo định nghĩa ta sẽ gọi là sai số (hoặc độ lệch)

nếu

= .(2 - 1)

1.2.3 ý nghĩa của sai số trung bình phơng

f

2

)]()([

Để tìm hiểu ý nghĩa của sai số trung bình phơng ta

là tập hợp các điểm cách đều trên

Theo định nghĩa tích phân xác định ta có

Gọi là tổng các độ dài của k đoạn nói trên

Với n đủ lớn và đủ bé, từ (2 – 2) ta suy ra < ( bé tùyý) Từ(2 - 3) suy ra

2 b  a

a

dx x x

 2

Nghĩa là tổng độ dài của các đoạn sẽ bé tùy ý.

Tóm lại: Với đủ bé (n khá lớn) thì trên đoạn (trừ tại

bé tùy ý), ta có

Trong đó là một số dơng tùy ý cho trớc

Từ nhận xét trên ta rút ra những ý nghĩa thực tiễn củasai số trung bình phơng nh sau:

Nếu sai số trung bình phơng của hai hàm f(x) và

tuyệt đại đa số giá trị của x trên [a, b] cho sai số tuyệt đối

1.2.4 Xấp xỉ hàm theo nghĩa trung bình phơng

Từ ý nghĩa của sai số trung bình phơng nói trên ta

điểm và nếu sai số trung bình phơng

=

Cách xấp xỉ một hàm số lấy sai số trung bình phơnglàm tiêu chuẩn đánh giá nh trên gọi là xấp xỉ hàm theonghĩa trung bình phơng

Rõ ràng: Nếu hàm thu đợc bằng thực nghiệm

những sai lạc tại từng điểm (nảy sinh do những sai số ngẫunhiên của thực nghiệm) Đó là lý do giải thích lý do vì saophơng pháp xấp xỉ theo nghĩa trung bình phơng đợc sửdụng rộng rãi trong thực tiễn

là xấp xỉ tốt nhất theo nghĩa trung bình phơng với hàm

Từ đó việc tìm hàm xấp xỉ tốt nhất (trong số những hàm

2.1 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa

2.1.1 Định nghĩa

.(3 - 1)

cho gọi là hệ cơ bản

2.1.2 Nội dung

Theo phần trên về tìm hàm xấp xỉ giả sử đã biết n giá

tơng ứng Khi đó việc tìm một đa thức suy rộng có dạng(3 - 1) mà xấp xỉ với hàm nói trên

sẽ chuyển về việc tìm m+1 hệ số trong(3 - 1)

Để quá trình tính toán đợc đơn giản ta xét đa thức suy

chọn n đủ lớn do đó có thể giả thiết n m + 1 Khác với bàitoán nội suy ở đây ta không cần xác định m + 1 giá trị

thờng nhiều hơn số ẩn)



Ta sẽ áp dụng phơng pháp bình phơng tối thiểu để tìm

x a

x

y

1

2 1

1 0

;

(3 - 4) Do đó (3 - 3) đợc chuyển về dạng

(3 - 5) Ta nhận thấy (3 - 5) là hệ (m + 1) phơng trình đại số tuyến tính dùng để xác định m + 1 hệ số: trong đa thức xấp xỉ Ma trận của hệ phơng trình tuyến tính (3 - 5) có các phần tử là , do đó là một ma trận đối xứng (dựa vào tính chất giao hoán của tích vô hớng) Ta sẽ gọi hệ phơng trình (3 - 5) là hệ phơng trình chuẩn Định thức của hệ phơng trình chuẩn có dạng G( =

(3 - 6) Ta gọi định thức là định thức Gram của hệ véc tơ trên tập điểm ) (x m  ] , [ i j ) , ,

, 1 0  m  [ , ][ , ] [ , ]

] , ] [

, ][ , [ ] , ] [

, ][ , [ 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 m m m m m m                   m   0, 1,

hợp này hệ phơng trình chuẩn (3 - 5) có và duy nhất

Do vậy ta có thể cho rằng hệ hàm cơ sở nghĩa là hệ

2.1.3 Sai số của phơng pháp

số ở đây hiểu theo nghĩa trung bình phơng Cụ thể là ta

đi tìm đại lợng

) ( ), , ( ), ( 1

0 x  x m x



) ( )

(

0

x a

.(3 - 7)

)] ( [

m

j j j j

j j

[ ] ,

m j

m

j j j j

a

0 0

,

0 0

x

y

0 1

)]

(

.(3 - 10)

0)(,

).(

0)()(,

1 2

1

m r

x

s r x

x

n

i r i s

r

n

i r i s i s

r

1

2 2

)(, 

Trong trờng hợp hệ hàm trực giao mà

thì hệ hàm đợc gọi là hệ trực chuẩn trêntập hợp

2.1.4.2 Xây dựng thuật toán

là hệ trực giao thì đa thức xấp xỉ tốt

,

i

i i

i i i

y y

a

2 0

,,







.(3 - 15)

Một đặc điểm chú ý ở đây là: Trong trờng hợp

chung khi cần thay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ (3 - 1’)thì hệ phơng trình chuẩn (3 - 5) dùng để xác định các hệ

trình tình toán (giải hệ phơng trình chuẩn) cần làm lại từ

đầu Tuy nhiên khi hệ hàm cơ sở là trực giao thì muốnthay đổi cấp m của đa thức xấp xỉ

Nhận xét trên rất bổ ích về mặt thực hành tính toán vìkhi muốn xấp xỉ một hàm thực nghiệm bằng một đa thứcsuy rộng cấp m (3 - 1’) do khuôn khổ của sự tính toán takhông cần chọn ngay từ đầu số m đủ lớn Khi đó nếu hệ

xuất phát ta có thể chọn số m nhỏ (chẳng hạn m = 1 hoặc2) Sau khi thực hành tính toán nếu thấy sai số trung bìnhphơng tơng ứng cha đủ bé (so với yêu cầu) thì ta có thểtăng dần số m lên và tính thêm các hệ số bổ sung (từcông thức (3 - 14))

2.2 Xấp xỉ hàm trong thực nghiệm bằng đa thức đại số

2.2.1 Đặt vấn đề

tại các điểm tơng ứng Ta đặt vấn đề xấp xỉ hàm bởi một đa thức cấp m có dạng

(4 - 1)

2.2.2 Xây dựng thuật toán

Để giải bài toán này ta áp dụng những kết quả tổng

, , …, .(4 - 2)

(4

- 4) 2.2.3 Sai số trung bình Từ (3 -7) và (3 - 11) ta suy ra sai số trung bình của đa thức xấp xỉ có dạng (4 - 4) là

(4 - 5) Về mặt thực hành, để tìm các hệ số của phơng trình chuẩn (4 - 4) ta làm theo lợc đồ trong bảng 1 Các hệ số vế trái của phơng trình đầu tiên cho bởi các tổng ô lần lợt từ cột (1) đến cột (m), của phơng trình thứ 2 cho bởi các tổng lần lợt từ cột 2 đến cột (m + 1), còn các vế phải của (4 - 4) cho bởi các tổng ở lần lợt từ cột (2m + 2) đến cột cuối cùng (3m + 2) Bảng 1

… …

(1) (2

) (3) … (2m+ 1) (2m+ 2) (2m+ 3) (2m+ 4) … (3m+ 2)                                                         n i i m i n i m i m n i m i n i m i n i m i n i i i n i m i m n i i n i i n i i n i i n i m i m n i i n i i y x x a x a x a x a y x x a x a x a x a y x a x a x a n a 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 0 1 1 1 1 3 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 1 0

















i i j n

i i

n

n x

P y

2 1

) ( 1



Đối với trờng hợp các điểm cách đều nhau

thì quá trình tính toán sẽ đơn giản hơn rấtnhiều Dới đây ta sẽ trình bày kết quả trong trờng hợp này

Sau phép đổi biến (4 - 8) thì đa thức (4 - 1) cũng có bậc

m i

(4 10)

-Hệ phơng trình (4 - 10) so với hệ (4 - 4) đơn giản hơn rấtnhiều vì các tổng những lũy thừa lẻ của bằng 0

.(4 - 13)

i

m i m n

i

m i n

i

m i n

i i

n

i i

y u u

b u

b u

b u

b

y u u

b u

b u b u

b

y u

b u

b u b n b

1 1

2 1

2 2

1

1 1

1

0

1 1

1 1

3 2 1

2 1 1

0

1 1

1

2 2 1

1 0

u u

Tóm lại: Trong mội trờng hợp ( lẻ hoặc chẵn) vế trái của

chẵn) chỉ phụ thuộc vào n (vì nhận các giá trị nguyên)

Do đó có thể lập những bảng tính sẵn các hệ số này (tùythuộc vào n)

Cuối cùng, sau việc giải phơng trình (4 - 10) ta thu đợc

làm phép đổi biến ngợc lại để chuyển biến về biến

đổi biến (4 - 8) nếu n lẻ, dùng công thức (4 - 12) nếu nchẵn

Dới đây ta xây dựng công thức cụ thể hệ (4 - 10) trongcác trờng hợp m = 1, m = 2

b

y n

b

2 1 0

0 1

i

i i i

u

y u b

y n b

i

i i i

i i

y u u

b u b

y u u

b

y u

b b n

2 4

2

2 0

2 1

2 2 0

2 2

2

2 1

2 2 4

2 2

4 0

i i

i i i

i

i

i i

i i

i i i i

i

u u

n

u y y

u n b

u

y u b

u u

n

u y u u

y b

2 2 4

5 2 2 4

2 4

2 2 4

4 3

2 2

1

i i

i i

i

i i

i i

u u

n

n u

u n

u

u u

n

u u

Khi đó các kết quả (4 - 14) và (4 - 15) có thể tóm tắt trong

bảng 2 Ngoài ra từ (4 - 16) ta nhận thấy các số theo

những giá trị lẻ của n từ 3 đến 21 ở bảng 3 Trong phần dới

của bảng 4 cho các số theo những giá trị chẵn của n từ 4

đến 22

Bảng 2

m Các hệ số của Q (u)

b bb

100000.10

357143.10

100000.10

485714.10

333333.10

100000.10

142857.10

476190.10

150000.10

714286.10

119048.10

357143.10

245098.10

175439.10

129870.10

0207459.10

174825.10

151131.10

133127.10

118973.10

107551.10

0116550.10

699301.10

452489.10

309598.10

221141.10

163452.10

0116550.10

499500.10

242405.10

128999.10

737137.10

445778.10

142857.10

595283.10

303030.10

640625.10

394531.10

289062.10

228906.10

781250.10

195312.10

781250.10

390625.10

156250.10

167411.10

372024.10

118371.10

515996.10

375940.10

282326.10

0162109.10

141555.10

125651.10

112973.10

102628.10

0139509.10

930060.10

651042.10

473485.10

355114.10

0214629.10

109419.10

604683.10

356004.10

220567.10

2.3 XÊp xØ hµm trong thùc nghiÖm b»ng ®a thøc trùc giao

Theo định nghĩa ta sẽ gọi (5 - 1) là hệ đa thức trực giao

Cụ thể là: Khi cho u các giá trị thực nghiệm

(5 - 1)) có dạng

.(5 - 4)

Từ (3 - 14) ta suy ra các hệ số của (5 - 4) có thể thu đợc

) ( 0 ) ( ) ( ,

1 2

1

m r

x R R

R

s r x

R x R R

R

n

s r

n

s r

i

.(5 - 5)

Từ (3 - 11) ta suy ra sai số trung bình phơng của đa thức

- 6)

Nghĩa là hàm xấp xỉ cũng là một đa thức đại số thông ờng nh đã thu đợc trong phần (2.2)

Tuy nhiên do tính trực giao của hàm cơ sở (5 - 1) nênkhác với phần 2.2 ở đây ta không cần giải hệ phơng trìnhchuẩn mà tìm các hệ số của đa thức (5 - 4) trực tiếp từcông thức (5 - 5) đã chỉ ra ở trên Ngoài ra do những đặc

điểm của hệ hàm trực giao ta có thể tăng dần cấp của

mà không cần phải làm lại từ đầu quá trình tínhtoán Đó chính là u điểm của phơng pháp xấp xỉ hàm ở

đây so với những kết quả thu đợc trong phần (2.2)

2.3.3 Nội dung của phơng pháp

y a y

y

2 0

,

1 ,

, 1



Nội dung chủ yếu của việc tìm đa thức xấp xỉ (5 - 4)thực chất là tìm hệ thức trực giao (5 - 1) Để làm đợc điềunày ta tìm công thức truy hồi để xác định lần lợt các đathức trực giao của hệ (5 - 1).

(5 - 1)

Để xác định hệ số trong (5 - 8) ta sử dụng điều kiện

đầu tiên trong (5 - 3) với r = 1 và s = 0

Để xác định những đa thức trực giao của hệ còn lại của hệ

R R

Mäi ®a thøc trùc giao cÊp r + 1 (r 1) cña hÖ (5

()

(

)()(

)115

()

(

)(

1

2 1

1

1

2 1

2 1

x R

x R x R x

x R

x R x

= (5 14)

( ) ( )

( )

R x R x

R x R

) ( )

R x R

(

1

2 1 1

x R x

R x R

x R x R x

1

2 1

1

) (

) ( )

R x R x

( ) ( )

( )

Từ (*) và (* *) thì bổ đề 1 đợc chứng minh hoàn toàn.

Tuy nhiên để đơn giản các tử số và mẫu số của các công

Bổ đề 2

Các tử và mẫu số của các công thức (5 - 11) và (5 - 12) cóthể khai triển thành tổng những lũy thừa có dạng

.(5 - 19)

R x

R

x

1 1

2 1

( )



i r i r

n

i i r i r

r R x R x R x

R

1

2 1

(

[

1

2 1

n

i i r i

x R x

x R

x R x

1

2 1

2

1

) (

r r n

i

r i

r r n

i

r i r

n i

1 )

1 ( 1

1 2 ) 1 ( 1

i i r i r i

x R x x

R x R

x

1

)()

()(

i

r i

r r n

i

r i r n

i

r i n

x R x x

x x

1 )

( 1

2 ) 1 ( 1

1 2 1

) 1 (

) ( ) 1 ( 1

) 1 (

) 2 ( 2 )

1 ( 2

2 2

1 1

0

) (

.

) (

1 ) (

r r

r r

r r

r r

k k

k k

k k

k k

x x

x x R

x x

x x R

x x

x R

x x R

x R

)()

(

(

)()

()

(

)()

(

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) ( 1

0 ) ( 0 1

) ( 1 1

) ( 1

0 ) 2 ( 0 1

) 2 ( 1 2

2

0 ) 1 ( 0 1

x R a x R a x

R a x R x

x R a x R a x

R a x R x

x R a x R a x R x

x R a x R x

r r

r

r r r

r

k k

k

k k k

k R x R x

x

1

)(,

k i

k i

k

k k i

R

) ( 0 1

) ( 1 1

) (

)(

k k n

x R x R a x

R x R a x

R x

R

) ( 0

) ( 1 1

)()(

)()()

()(

k k n

x R x R a

x R x R a

x R x

R

) ( 0

) ( 1 1

) ( ) (

) ( ) ( )

( ) (

Từ đó dựa trên (5 - 3) ta có (với k < r)

= 0 + 0 + …+ 0

= 0.(5 - 25)

) ( 1

k k

k i

k x R x

a

1 0

)(

n

i r i

k i

k x R x

a

)(

k k r

r r

r r

r i r n

i r i

x x

x x R x

R

1

) ( )

1 ( 1

) 1 ( 1

)

r r n

r i r n

) 1 ( 1

1 ) 1 ( 1

) ( )

(

) ( )

i i r i

r r n

r i r

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

) ( )

(

) ( )

 r r r r  r r r  r

r n

r

r r r

n

i r i

r i n

i r i

x R x x

r r

r i r

r i

r i n

1 ( 1

) 1 ( 1

r r n

r i

r r n

i

r i

r i r n

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

r r n

r i

r r n

i

r i

r i r

n i

) 1 ( 1

1 )

1 ( 1

r r n

i

r i

r r n

i

r i r n

1 )

1 ( 1

1 2 ) 1 ( 1

MÆt kh¸c v× lµ ®a thøc bËc r - 1 víi hÖ sè cña lµ

()(

r i

n i

n

i i r i r i

x R x

R x R

)()()

i i r i r i

x R x x

R x R

x

1

)()

()(

.(5 - 32)

) 1 ( 1 2

r i

) 1 ( 1

)()

r r i

r r

r i r

r i

r i i

1 ( 1

) 1 ( 1

r i

r r

r i

r r

r i r

) 1 ( 1

n i

r i

r r n

i

r i

r r n

i

r i r

2 ) 1 ( 1

2 ) 1 ( 1

vµ (5 - 12) ta cÇn tÝnh tÊt c¶ c¸c tæng nh÷ng lòy thõa cãd¹ng

§Ó tÝnh mçi tö sè nµy ta dùa vµo (5 - 2)

vµ dùa vµo khai triÓn

r r i

r i

r r i

r i r

( 1

2 )

1 ( 1

2 ) 1 ( 1

i

r i

r r n

i

r i r n

i

r i n

i i r i

x R x x

x x

x R

x

1

) 1 ( 1

1 )

( 1

2 ) 1 ( 1

1 2 1