§Ò thi thö tuyÓn sinh vµo 10 THPT 1 UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học 2022 2023 Môn TOÁN 9 Thời gian 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu[.]
Trang 1UBND HUYỆN KHOÁI CHÂU
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2022 - 2023
Môn: TOÁN 9 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I (4 điểm)
1 Rút gọn biểu thức A
2 Chứng minh : 0 A1 với x thỏa mãn điều kiện xác định
Câu II (4 điểm)
1 Tính giá trị biểu thức P = 2022 2021
2
2 3
x x
tại x = 2 3122 332
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn: 2 2
x y xy x y
Câu III (4 điểm)
1 Cho hàm số y = (2m – 3)x – 4 có đồ thị (D)
a) Tìm m để đường thẳng (D) song song với đường thẳng : 2
3 1
y m x m b) Tìm m để (D) cắt đường thẳng y = x + 2 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức
2
P y x đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
2 Giải phương trình: 2 3
x x x x
Câu IV (4 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H
1 Biết CD = 8cm, AH = 2cm Tính bán kính R
2 Hạ HE vuông góc với CA, HF vuông góc với CB Chứng minh rằng:
Câu V (4 điểm)
1 Tính các góc của tam giác ABC biết: AB 2, BC 1 3, AC 2
2 Cho A =n 1
(2n +1) 2n 1 với n
*
Chứng minh rằng: A + A + A + + A < 11 2 3 n
- Hết -
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi số:
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu I
(4đ)
1 Rút gọn biểu thức A
2 Chứng minh : 0 A1
1 ĐKXĐ: x 0; x 1
1
A
0,5
1,5
2 Vì x 0; x 1nên x 0; x x 11
Do đó A 0
Vì x 0; x 1 nên 1 – A > 0 A 1
1
1
Câu II
(4đ)
Tính giá trị biểu thức P = 2022 2021
2
2 3
x x
2 3 2 2 3 2
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn:
x y xy x y
1 Có
2
2 3 2 3 2 3 2
12 4
2 3 2 2 3 2
3 1
1
Suy ra 2x + 1 = 3 nên 2
4x 4x 2 0 Khi đó P = 2021 2
Thay x= 3 1
2
ta được P = 3 - 3
1
Trang 32
Ta có các TH sau:
+)
loai
loai
+)
1
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu III
4 đ
1 Cho hàm số y = (2m – 3)x – 4 có đồ thị (D)
a)Tìm m để đường thẳng (D) song song với đường thẳng
y = -m2x - 3m – 1
b) Tìm m để (D) cắt đường thẳng y = x + 2 tại điểm M(x; y) sao cho biểu thức P = 2 2
2
P y x đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó
2 Giải phương trình: x2 2 x 4 3 x3 4 x
a) Đường thẳng (D) song song với đường thẳng
y = -m2x - 3m – 1
2
2
2 3
4 3 1
2 3 0
3 3
1 1 3 1 3
m
m m m
m m m m m
Trang 4b) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số là:
(2m – 3)x – 4 = x – 2 3
2
x m
với m2 Tung độ giao điểm là 2 1
2
m y m
Do đó
2 2
2
2
4 4 17 2
m m
P y x
Suy ra P 8 Dấu bằng xảy ra 7
2
m
Vậy Max P = 8 khi 7
2
m
0,5
0,5
2 x2 2 x 4 3 x3 4 x ĐKXĐ: x 0
Đặt 2
4
x a , xb ĐK: a, b 0
Ta có a2 + 2b2 = 3ab
2
x xx x x x pt vô nghiệm
Nếu a = 2b thì
2
0,5
0,5
0,5
0,5
Trang 5Câu IV
4,0 đ)
Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Dây CD vuông góc
với AB tại H Hạ HE vuông góc với CA, HF vuông góc với CB
1 Biết CD = 8cm, AH = 2cm Tính bán kính R
2 Chứng minh rằng: 3 AE2 3 BF2 3 AB2
Ta có ABC nội tiếp (O ;R) đường kính AB Nên ABC vuông tại
Dây CD vuông góc với đường kính AB tại H Nên H là trung điểm
Ta có CH2 = AH.BH => 16 = 2 BH => BH = 8 0,5
2 (2.0 điểm)
Do AHCvuông tại H và HE là đường cao =>AH2 = AE.AC
=>AH4 = AE2.AC2
0,5
Lại có : AC2 = AH.AB nên AH4 = AE2.AH.AB
Suy ra AH3 = AE2.AB
3 3
3
0,5
Tương tự 3 2
3
BH BF
AB
0,5
Do đó 3 2
AE +3 2
BF =
3
AH
AB +
3
BH
AB =3 2
1 Tính câc góc của tam giác ABC biết: AB 2, BC 1 3, AC 2
2 Cho 1
H
D
D
Trang 6Câu V
(4 điểm)
Chứng minh rằng: A + A + A + + A < 11 2 3 n
1
Vì AB < AC < BC nên góc B, C là góc nhọn
Hạ AH BC Đặt BH = x
0,5
Áp dụng định lí Pi-ta-go trong 2 tam giác vuông ta có
AH2 = 2 – x2 = 4 - 2
1 3x Suy ra x = 1
0,5
Do đó BH = 1, CH = 3
Nên cosB= 1
2
BH
AB suy ra góc B = 450
30 2
CH
C
AC
0,5
A = (2n +1) 2n 1 với n
*
Chứng minh rằng: A + A + A + + A < 11 2 3 n
Có
n
2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 2 1
.
1
A =
(2n +1) 2n 1 (2n +1) 2n 1
(2n +1) 2n 1
n
1 Cho n = 1,2,3,… rồi cộng vế với vế ta có:
A + A + A + + A < 1.Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
1