Skkn sáng tạo bất đẳng thức tổng quát từ một bất đẳng thức thông dụng

Trong giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc khai thác thê

Trang 1

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông, ngoài việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, thì việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong việc khai thác thêm các bài toán mới từ những bài toán điển hình, đồng thời biết vận dụng những bài toán đơn giản để giải những bài toán phức tạp hơn là điều rất cần thiết cho công tác dạy học toán, cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường phổ thông

Trong chương trình Toán THPT thì bất đẳng thức là phần kiến thức quan trọng và khó, nhưng lại có vai trò rất lớn trong việc phát triển tư duy logic, óc sáng tạo của học sinh Hầu đa trong các kỳ thi, bất đẳng thức là câu vận dụng cao, thách thức học sinh để có thể lấy điểm 10 Tuy nhiên, nếu chúng ta dạy học sinh một cách bài bản, rèn luyện kĩ năng phân tích, đặc biệt hóa, khái quát hóa

từ những bài toán đơn giản đã gặp, thì chắc chắn học sinh sẽ giải quyết được những bài toán phức tạp hơn

Trong Sáng kiến kinh nghiệm của tôi, tôi cũng đã xuất phát từ một bất đẳng thức quen thuộc để từ đó khái quát hóa thành nhiều bất đẳng thức tổng quát, mà

từ đó có thể đưa ra một lớp các bài bất đẳng thức cụ thể hay gặp trong trường

phổ thông Vì vậy tôi chọn tên Sáng kiến kinh nghiệm là: “Sáng tạo Bất đẳng thức tổng quát từ một bất đẳng thức thông dụng” Hy vọng, với Sáng kiến

kinh nghiệm này của tôi sẽ góp một phần nhỏ trong việc nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán, đặc biệt là phần bất đẳng thức trong trường phổ thông

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích tôi nghiên cứu và viết Sáng kiến kinh nghiệm này là: Tự học, tự nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của bản thân, nhằm cải thiện chất lượng giảng dạy cho học sinh được tốt hơn Tạo ra nguồn tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy của bản thân, đồng nghiệp và phục vụ cho việc học của học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Trong SKKN này, đối tượng mà tôi hướng đến nghiên cứu là một bất đẳng thức thông dụng trong trường phổ thông, để từ đó khái quát hóa và qua cái nhìn

ở nhiều góc độ để đưa ra một số bất đẳng thức tổng quát và các bài tập cụ thể áp dụng

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp mà bản thân tôi sử dụng để nghiên cứu trong SKKN này là đặc biệt hóa khái quát hóa, từ một bài toán bất đẳng thức thông dụng, bản thân

đã khái quát thành nhiều bất đẳng thức tổng quát để từ đó có thể sáng tạo ra được nhiều bất đẳng thức cụ thể

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Để nghiên cứu và thực hiện thành công SKKN của mình, bản thân đã dựa vào một bất đẳng thức cổ điển thông dụng AM - GM (Sách phổ thông còn gọi là bất đẳng thức Cauchy) và một bài toán chứng minh bất đẳng thức được GS -TSKH Nguyễn Văn Mậu in trong rất nhiều sách về bất đẳng thức mà Giáo sư là người chủ biên

Bất đẳng thức AM - GM (Cauchy)

1

Trang 2

Cho các số là các số thực không âm Khi đó ta có BĐT:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

Bài toán chứng minh BĐT ban đầu:

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Nói đến BĐT là nói đến một vấn đề khó trong trường phổ thông, đa phần học sinh ngại học BĐT, đặc biệt đối với những học sinh có học lực khá trở xuống thường có tâm lí lo sợ và chán không muốn học Trường tôi giảng dạy là trường THPT Lê Văn Hưu cũng có tình trạng tương tự, Bất đẳng thức chỉ có thể giảng dạy được ở các lớp mũi nhọn, còn ở các lớp đại trà rất khó để giảng dạy chuyên đề này một cách đầy đủ

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Tôi bắt đầu từ bất đẳng thức thông dụng mà chúng ta thường gặp trong các tài liệu môn Toán bất đẳng thức trong trường phổ thông:

Bài toán 1:

Chứng minh:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

Cộng các bất đẳng thức trên ta được:

(đpcm)

Bài tập áp dụng BĐT (1):

Bài tập 1: Cho Chứng minh bất đẳng thức:

Trang 3

Từ BĐT (1) ta có thể suy ra BĐT (2) như sau:

Bài toán 2:

Chứng minh:

(đpcm)

Từ BĐT (1) ta có thể suy ra BĐT (3) như sau:

Bài toán 3:

Chứng minh:

3

Trang 4

Theo (1) thì:

Nên:

Từ bài toán (3) và bài toán (1), ta có thể suy ra BĐT (4) như sau:

Bài toán 4:

Bài toán 5:

Trang 5

Chứng minh rằng: (5) Bài tập áp dụng BĐT (5):

Từ bài toán (3), ta có thể suy ra BĐT (6) như sau:

Bài toán 6:

Chứng minh:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

Cộng các BĐT trên ta được:

Mà theo (1) thì

5

Trang 6

Bài toán 7:

Bài toán 8:

Chứng minh rằng:

(8) Bài tập áp dụng BĐT (8):

Từ (1) nếu ta thay bởi , bởi , bởi , ta được BĐT tổng quát (9) sau:

Trang 7

Bài toán 9:

Từ (2) nếu ta thay bởi , bởi , bởi , ta được BĐT tổng quát (10) sau:

Bài toán 10:

Từ bài toán (3), ta cũng suy ra BĐT (11) như sau:

Bài toán 11:

7

Trang 8

Từ bài toán (4), ta cũng suy ra BĐT (12) như sau:

Bài toán 12:

Bài toán 13:

(13) Bài tập áp dụng BĐT (13):

Cũng từ (6), (7), (8), ta cũng có các BĐT tổng quát sau:

Bài toán 14:

Bài toán 15:

Trang 9

Cho

Bài toán 16:

(16) Bài tập áp dụng BĐT (14), (15), (16):

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

HD:

Từ BĐT (3) cũng gợi ý để ta suy ra BĐT (17) sau:

Bài toán 17:

Cho

Chứng minh:

Ta có:

9

Trang 10

Mà theo (2) thì:

Do đó:

Trang 11

Bài toán 18:

(18) Chứng minh:

Mà:

Từ đó suy ra:

11

Trang 12

Bài tập 53: Chứng minh rằng, nếu thì:

Bài toán 19:

Mà:

Từ đó suy ra:

Trang 13

Bài tập 60: Cho Tìm GTNN của biểu thức:

Bài toán 20:

Mà:

13

Trang 14

Tương tự ta có:

Do đó:

Mà theo BĐT (2) thì:

Từ đó suy ra:

Từ trên ta cũng có thể đưa ra hai BĐT sau:

Bài toán 21:

(21) Bài toán 22:

Trang 15

Cho Chứng minh rằng:

(22) Bài tập áp dụng BĐT (21, 22):

Bài toán 23:

(23) Chứng minh: Áp dụng AM-GM ta có:

; Cộng các BĐT trên ta được:

Mà:

Nên:

Bài tập áp dụng BĐT 23:

15

Trang 16

Trang 17

Một cách tương tự ta có thể chứng minh được bất đẳng thức (24) sau:

Bài toán 24:

(24) Bài tập áp dụng BĐT 24:

Từ bài toán 24 gợi ý cho ta có thể suy ra BĐT tổng quát sau:

Bài toán 25:

17

Trang 18

Từ trên suy ra:

Mà:

Do đó:

Vậy:

Bài tập áp dụng BĐT 25:

Trang 19

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Như đã nói ở trên, bất đẳng thức không chỉ khó đối với học sinh mà còn là vấn đề khó đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, trong quá trình làm SKKN này, tôi có điều kiện áp dụng trong việc giảng dạy về BĐT cho học sinh trong các buổi học bồi dưỡng Một tín hiệu đáng mừng là với cách dạy phát huy tính sáng tạo của học sinh trong việc khái quát hóa từ các bất đẳng thức cơ bản thường gặp để đưa ra các bất đẳng thức mới lạ hơn, nhưng

19

Trang 20

cách thức giải vẫn như bài toán cũ Đặc biệt khi tôi dạy BĐT trong SKKN của tôi, học sinh rất hào hứng đón nhận và bước đầu hình thành ở học sinh được khả năng tư duy sáng tạo

Với tôi, SKKN này là một tài liệu mà tôi dùng làm tư liệu phục vụ cho công tác giảng dạy của tôi

Sáng kiến kinh nghiệm của tôi cũng đã được các thành viên trong tổ chuyên môn lấy làm tài liệu phục vụ cho công tác giảng dạy

3 Kết luận, kiến nghị

3.1 Kết luận.

Trong khuôn khổ, phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm, tôi chỉ đưa ra được một lượng kiến thức như ở trên, vẫn còn một số bất đẳng thức đã được khái quát

mà tôi chưa có điều kiện đưa vào SKKN này Tôi hy vọng, SKKN của tôi sẽ có ích trong việc tự học, phát triển tư duy sáng tạo của các em học sinh và là tài liệu hữu ích cho các thầy cô giáo giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông

3.2 Kiến nghị.

Hàng năm, Sở GD & ĐT Thanh Hóa phát động phong trào viết SKKN trong cán bộ, giáo viên phổ thông, rất nhiều SKKN được xếp giải cấp ngành, nhưng cũng chỉ là nghe như vậy, các SKKN chưa được phổ biến rộng rãi Vì vậy tôi kiến nghị, các SKKN đạt giải nên đóng thành tập san và phân về các trường phổ thông để SKKN được áp dụng trong thực tiễn dạy và học

Tài liệu tham khảo

1 Lý thuyết cơ sở của hàm lồi và các bất đẳng thức cổ điển

Tác giả: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, nhà XB Đại học Quốc gia

Hà Nội năm 2013.

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

Tôi xin cam đoan nội dung trong SKKN trên là do tôi tự nghiên cứu và đánh máy, không sao chép từ tài liệu khác Tôi xin chịu trách nhiệm trước lời cam đoan của mình.

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2018

Người viết SKKN

Phạm Đình Huệ

Tiêu đề	Sáng tạo Bất đẳng thức tổng quát từ một bất đẳng thức thông dụng
Trường học	Trường THPT Lê Văn Hưu
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Sáng kiến kinh nghiệm
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	5,57 MB