Đơn yêu cầu công nhận sáng kiến môn Toán chỉ việc in

30 UBND THÀNH PHỐ THÁI NGUYÊN TRƯỜNG THCS THỊNH ĐỨC ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Tên sáng kiến Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán 8 Tác giả MA THỊ VIỆT Chức vụ G.

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến:

Vận dụng các phương pháp phân tích đa thức

thành nhân tử vào giải toán 8

Tác giả: MA THỊ VIỆT Chức vụ: GIÁO VIÊN Đơn vị công tác: TRƯỜNG THCS THỊNH ĐỨC, TPTN

TP Thái Nguyên, tháng 3 năm 2022

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

-  ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến thành phố Thái Nguyên

Tôi ghi tên dưới đây:

Số

TT Họ và tên

Ngày tháng năm sinh

Nơi công tác Chức

danh

Trình độ chuyên môn

Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo

- Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Môn Toán

- Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 06/10/2021

- Mô tả bản chất của sáng kiến

Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường THCS, mônToán đóng vai trò hết sức quan trọng Học tốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốtcác môn học khác Trong dạy học môn toán việc tìm ra những phương pháp giảngdạy phù hợp với trình độ học sinh là một yêu cầu rất quan trọng đòi hỏi người giáoviên phải biết chọn lọc, phối hợp tốt các phương pháp giảng dạy Việc lựa chọnnhững ví dụ điển hình mang bản chất lí thuyết, hệ thống các bài tập minh họa, ápdụng và khắc sâu kiến thức nâng cao là rất quan trọng Thông qua dạy học môntoán, người học được cung cấp những kĩ năng tính toán, những thao tác tư duy, đặcbiệt là có điều kiện rèn luyện và phát triển tư duy lôgíc

Qua tìm hiểu thực tế và bản thân tôi đang giảng dạy môn Toán lớp 8 tôinhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử Đa số học sinh khi giải còn thiếu lôgíc, chặt chẽ, chưa phân biệt được bài

đã cho ở dạng nào, vận dụng kiến thức gì để giải Với các tiết lý thuyết và luyệntập ở trên lớp thì phần nào học sinh đã hiểu và nắm được các phương pháp cơ bảnphân tích đa thức thành nhân tử Nhưng việc nắm chắc và hiểu sâu để sau này vận

thức, tìm x và nâng cao hơn nữa là các dạng toán như tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,chứng minh chia hết học sinh vẫn còn gặp khó khăn Do đó lượng kiến thức màcác em học được chưa vận dụng được hết các dạng toán Chính vì lí do đó tôi

mạnh dạn đưa ra kinh nghiệm hướng dẫn học sinh “Vận dụng các phương pháp

phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán 8” nhằm giúp học sinh nắm vững

các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát hiện phươngpháp giải phù hợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau

+ Nội dung của sáng kiến

1 Thực trạng

Trong thực tế giảng dạy việc làm cho học sinh biết vận dụng các kiến thức

đã học để giải toán là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được của ngườidạy toán Vì thông qua đó có thể rèn luyện khả năng tư duy logic, khả năng sángtạo, khả năng vận dụng cho học sinh Để làm được điều đó người thầy phải cungcấp cho học sinh các kiến thức cơ bản, các phương pháp vận dụng và biến đổi phùhợp giúp học sinh hiểu được thực chất của vấn đề để từ đó có kĩ năng giải toánthành thạo, thoát khỏi tâm lí sợ môn toán

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh còn lúng túng khi phân tích

đa thức thành nhân tử, chưa biết sử dụng phương pháp nào để phân tích thành nhân

tử Khi gặp những dạng toán khó hơn hầu như các e chưa có phương pháp giải

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử

Kết quả đạt được như sau:

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%8A 39 7 17,9% 9 23,1 18 46,2% 5 12,8%

%8B 35 9 25,7% 8 22,9

% 15 42,9% 3 8,5%8C 36 6 16,7% 10 27,8

% 16 44,4% 4 11,1%Kết quả thấp là do học sinh còn vướng mắc những điều tôi đã nói ở trên vàphần lớn các em chưa làm được câu c, d

2 Các giải pháp

2.1 Cung cấp các kiến thức liên quan đến bài toán

- Định nghĩa: Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đathức đó thành một tích của những đơn thức

- Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Áp dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ

2.2 Các giải pháp cụ thể

Để vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào giải toán,tôi đã hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sangdạng khác Từ phương pháp giải cơ bản học sinh tìm tòi các phương pháp giải cácdạng khác đối với mỗi dạng bài, loại bài Biện pháp cụ thể như sau:

Chú ý ở câu c ta cũng có thể đặt 5 làm nhân tử chung Tuy nhiên ta nên đặt

-5 làm nhân tử chung để hệ số x2 ở trong dấu ngoặc có dấu dương

Ví dụ 2 Phân tích thành nhân tử

Giải:

Ví dụ 3 Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải: Ở ví dụ này học sinh cần quan sát biểu thức, không phải biểu thức nào cũng

đặt được nhân tử chung luôn, ví dụ câu b cần phải đổi dấu hoặc thìmới xuất hiện nhân tử chung

Chú ý cho HS: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu cáchạng tử (lưu ý tính chất A= - (-A))

Ví dụ 4 Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải

Khi hướng dẫn HS làm câu b cần lưu ý cho HS: Bình phương của hai đathức

đối nhau thì bằng nhau A2 = (-A)2 nên ta phải biến đổi (5-x)2 = (x-5)2 để làm

xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 5 Tính giá trị biểu thức

với với

Giải: Ở ví dụ này trước tiên phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt

nhân tử chung sau đó thay các giá trị rồi thực hiện phép tính

(1)Thay vào (1) ta có 2.(-4).(-4+3.3-5) = 0

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng 0

(2)Thay vào biểu thức (2) ta có (19,6+0,4)2 =400

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng 400

Ví dụ 6 Tìm x

Để giải các bài toán tìm x:

- Chuyển tất cả số hạng về vế trái, vế kia bằng 0

- Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A.B=0 sau đó suy

ra A=0 hoặc B=0 từ đó tìm được các giá trị của x

Giải: Đối với dạng bài tập chứng minh chia hết này ta có thể dùng phương pháp

đặt nhân tử chung để phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử A=k.B Khi đó A B

Vì 50.29 50 nên chia hết cho 50

Vì 30.210 chia hết cho 30 nên 85 – 211 chia hết cho 30

2.2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hằng đẳng thức

* Ví dụ

Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử

Giải: Để phân tích đa thức thành nhân tử ta áp dụng hằng đẳng thức, tuy nhiên các

biểu thức này chưa có dạng hằng đẳng thức cơ bản nên phải biến đổi để đưa vềdạng cơ bản

Ví dụ 2 Phân tích thành nhân tử

Giải:

Ví dụ 3 Tính giá trị biểu thức

với với Giải: Ở ví dụ này trước tiên phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặtnhân tử chung sau đó thay các giá trị rồi thực hiện phép tính

(1)

Thay vào (1) ta có

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng 8000

(2)Thay vào biểu thức (2) ta có

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng 999999

Ví dụ 4 Tìm x biết:

Giải

Để giải các bài toán tìm x

- Chuyển tất cả số hạng về vế trái, vế kia bằng 0

- Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A2=0 ; A3=0;

A.B=0 sau đó suy ra A = 0 hoặc B = 0 từ đó tìm được các giá trị của x

Giải: Đối với dạng bài tập chứng minh chia hết này ta có thể dùng hằng đẳng

thức để phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử A=k.B (k khác 0) Khi đó A B

Vì 17.241 17 nên chia hết cho 17

Qua các ví dụ trên ta có thể thấy nếu ta nhóm các hạng tử không hợp lí thì takhông thể phân tích được thành nhân tử Vì vậy phải nhóm các hạng tử một cáchhợp lí, có thể dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa vào mối quan hệ đó và phải thỏa mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phântích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa

Ví dụ 2 Tính giá trị biểu thức

với

với

Giải: Ở ví dụ này trước tiên phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt

nhân tử chung sau đó thay các giá trị rồi thực hiện phép tính

Thay vào (1) ta có

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng 9

Ta có x + y = 10 Thay x + y = 10 vào biểu thức (2) ta có

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng 1100

Giải : Để giải các bài toán tìm x

- Chuyển tất cả số hạng về vế trái, vế kia bằng 0

- Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A.B=0 sau đó suy

ra A = 0 hoặc B = 0 từ đó tìm được các giá trị của x

hoặc Vậy

hoặc Vậy

Ví dụ 4 Chứng minh rằng

a) chia hết cho 6 với mọi n Z

Giải: Đối với dạng bài tập chứng minh chia hết này ta có thể nhóm các hạng tử để

phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử A=k.B (k khác 0) Khi đó A B

Tích n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6

b)

2.2.1.4 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

* Kiến thức trọng tâm

Khi phân tích đa thức thành nhân tử nhiều khi ta phải phối hợp nhiều phương pháp

để phân tích được triệt để

* Phương pháp giải

Ta có thể phối hợp các phương pháp theo trình tự:

- Đặt nhân tử chung nếu các hạng tử có nhân tử chung

giá trị của biến và thực hiện phép tính.

Thay vào (1) ta có

Vậy giá trị của biểu thức tại bằng -197

Ta có

Ví dụ 3 Tìm x

Giải : Để giải các bài toán tìm x

- Chuyển tất cả số hạng về vế trái, vế kia bằng 0

- Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa đẳng thức đã cho về dạng A.B = 0 sau đósuy ra A = 0 hoặc B = 0 từ đó tìm được các giá trị của x

Suy ra hoặc hoặc

Vậy

Giải: Đối với dạng bài tập chứng minh chia hết này ta có thể nhóm các hạng tử để

phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử A=k.B (k khác 0) Khi đó A B

Ta thấy tích là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên có 1 sốchia hết cho 2, một số chia hết cho 3 và 1 số chia hết cho 4 Vậy A chia hết cho2.3.4=24

2.2.2 Một số dạng nâng cao

2.2.2.1 Phương pháp tách một hạng tử thành các hạng tử

* Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax 2 + bx + c)

Bước 1: Tìm tích ac, rồi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng bằng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = ai + ci

Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ đó nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp

Ví dụ 1 Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + 4 thành nhân tử

* Đối với đa thức bậc từ 3 trở lên

Trước hết, ta chú ý đến một định lí quan trọng sau:

Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a thì f(a) = 0 Khi đó, f(x) có một nhân tử là

x – a và f(x) có thể viết dưới dạng f(x) = (x – a).q(x)

– a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, nếu có, phải là một ước của

hệ số tự do

Ví dụ 1 Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + 4 thành nhân tử

Lời giải

Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + 4 = 0

Đa thức f(x) có một nghiệm x = –2, do đó nó chứa một nhân tử là x + 2 Từ đó, tatách như sau

Cách 1:

Cách 2:

Cách 3:

Cách 4:

Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1 Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nghiệm là x = 1 Từ đó f(x) có một nhân tử là x – 1.

Chẳng hạn, đa thức có 1 + (–5) + 8 + (–4) = 0 nên x = 1 là mộtnghiệm của đa thức Đa thức có một nhân tử là x – 1 Ta phân tích như sau :

Hệ quả 2 Nếu f(x) có tổng các hệ số của các luỹ thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ

số của các luỹ thừa bậc lẻ thì f(x) có một nghiệm x = –1 Từ đó f(x) có một nhân tử

f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x)

Dễ thấy , , , không là số nguyên nên –3, ± 6, ± 9,

± 18 không là nghiệm của f(x) Chỉ còn –2 và 3 Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm củaf(x) Do đó, ta tách các hạng tử như sau:

= (x – 3)(4x2 – x + 6)

các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x = , trong đó p, q  Z và (p , q)=1, thì p là

ước a0, q là ước dương của an

Ví dụ 3 Phân tích đa thức thành nhân tử

Hướng dẫn

của f(x) Như vậy f(x) không có nghiệm nguyên Xét các số , ta thấy lànghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1 Ta phân tích như sau

* Đối với đa thức nhiều biến

Ví dụ Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

1) Ở câu b) ta có thể tách y  z =  (x  y)  (z  x) (hoặc z  x=  (y  z)  (x  y))

2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0 Vì vậy, ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét giá trị riêng.

2.2.2.2 Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

* Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương

Ví dụ 1 Phân tích đa thức thành nhân tử

* Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Ví dụ 1 Phân tích đa thức x5 + x  1 thành nhân tử

Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + 1 như x7 + x2 + 1, x4 + x5 + 1 đều chứanhân tử là x2 + x + 1.

2.2.2.3 Phương pháp đổi biến

Đặt ẩn phụ để đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phương pháp cơ bản.

Ví dụ 1 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Đặt , đa thức đã cho có dạng :

Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc 4 đối với x thành

đa thức bậc 2 đối với y

Ví dụ 3 Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử :x4  6x3 + 12x2  14x  3

Lời giải

Thử với x = 1; 3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm

nguyên cũng không có nghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì sẽ có dạng :

2.2.2.5 Phương pháp đưa về một đa thức đặc biệt

* Đưa về đa thức : a 3 + b 3 + c 3  3abc

Ví dụ Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

3 Tính mới của sáng kiến

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (trên đây chỉ là một trongnhững phương pháp mà học sinh hay sử dụng) là một trong những chủ đề toán rấthay, khi nghiên cứu sâu thấy rất là thú vị, nó áp dụng được trong giải toán phươngtrình, vận dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị lớn nhỏ nhất của các biểu thức đại số…

- Những thông tin cần được bảo mật: Không

- Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến

- Học sinh nắm vững lý thuyết đã học trên lớp, các hằng đẳng thức đángnhớ, các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Học sinh sử dụng thành thạo các công thức toán học, từ những bài toán cơbản, đơn giản biết cách làm những bài toán khó thuộc nhiều dạng bài khác nhau.

- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả

Khi áp dụng đề tài nghiên cứu này vào giảng dạy cho học sinh lớp tôi dạy.Tôi thấy học sinh làm dạng toán này nhanh gọn hơn Học sinh không còn lúngtúng trong khi gặp dạng toán này Cụ thể khi làm phiếu kiểm tra với đề bài nhưsau:

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 2: Tìm x biết

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức

tại x = 53, y = 3Kết quả nhận được như sau:

- Học sinh không còn lúng túng về phương pháp giải cho từng loại bài

- Biết lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lí

- Hầu hết học sinh đã trình bày lời giải chặt chẽ

Kết quả đạt được sau khi giải bài tập cụ thể như sau:

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%

Sốlượng

Tỉ lệ

%8A 39 12 30,8% 14 35,9

% 11 28,2% 2 5,1%8B 35 13 37,1% 10 28,6

% 9 25,7% 3 8,6%8C 36 15 41,7% 11 30,6 6 16,7% 4 11%

Như vậy, so với tỉ lệ trước khi áp dụng sáng kiến thì tỉ lệ học sinh khá, giỏităng lên rõ rệt, giảm tỷ lệ học sinh trung bình và học sinh yếu kém Điều đáng kểhơn cả là học sinh đã có những phương pháp giải đúng, ngắn gọn và giải đượcnhững bài toán khó.

+ Hiệu quả trong lĩnh vực theo sáng kiến của tác giả

- Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu,

kể cả áp dụng thử

Tôi đã tiến hành quan sát, theo dõi; kết hợp với điều tra lấy ý kiến của 110 họcsinh khối lớp 8 về mức độ hứng thú và đánh giá sự tích cực trong học tập bộ mônToán 8 của các em Kết quả cụ thể là:

a) Đánh giá về mức độ hứng thú học tập bộ môn Toán 8, được thể hiện qua bảngđiều tra dưới đây: