Chuyen de quy nap toan hoc 2023 hay chon loc

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un= un là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.. - Ba cách cho một dãy số: + Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát... Xét tính tăng, gi

Phương pháp quy nạp toán học và cách giải bài tập

Bài viết Phương pháp quy nạp toán học và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11

1 Lý thuyết

Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ ℕ∗ là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì n = k, (k ≥ 1) (gọi là giả thiết quy nạp) Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng với n = k + 1

Các bước làm bài toán như trên ta gọi là phương pháp quy nạp toán học, hay gọi tắt là phương

pháp quy nạp

Tổng quát:

Xét mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n Để chứng minh một mệnh đề P(n) đúng với mọi n

≥ n0 (n0 là số tự nhiên cho trước) thì ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra P(n) đúng với n = n0

Bước 2: Giả sử n ≥ n0 đúng khi n = k, (k ≥ n0)

Bước 3: Ta cần chứng minh P(n) đúng khi n = k + 1

Kết luận: Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi n ≥ n0

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

Lời giải

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k Có nghĩa là ta có:

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh:

Thật vậy, ta có:

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

1 4 + 2 7 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 (1)

Lời giải

Bước 1: Với n = 1, ta có: 1 4 = 1.(1 + 1)2 (đúng) Vậy (1) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k Có nghĩa là ta có: 1 4 + 2 7 + + k(3k + 1) = k(k + 1)2 (2) Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: 1 4 + 2 7 + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4) = (k + 1)(k + 2)2

Thật vậy 1 4 + 2 7 + + k(3k + 1) + (k + 1)(3k + 4)

= k(k + 1)2 + (k + 1)(3k + 4)

= (k + 1)[k(k + 1) + 3k + 4] = (k + 1)(k + 2)2 (điều phải chứng minh)

Vậy (1) đúng khi n = k + 1 Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n

Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức

Phương pháp giải:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) > Q(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥ m (m là

số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng khi n = m P(m) > Q(m) luôn đúng

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy ý, k ≥ m Giả sử đúng với n = k, ta được P(k) > Q(k) đúng Bước 3: Ta sẽ chứng minh đẳng thức đúng khi n = k + 1

Theo nguyên lí quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên

Bước 2: Giả sử với n = k, k ≥ 3 thì (1) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (2)

Ta phải chứng minh (2) đúng với n = k + 1

Có nghĩa ta phải chứng minh: 3k + 1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 3 ta được: 3.3k > 3.k2 + 12k + 15

3k + 1 > (k2 + 2k + 1) + 4(k + 1) + 5 + (2k2 + 6k + 5)

Vì (2k2 + 6k + 5) > 0 ∀k ≥ 3 Vậy 3k + 1 > (k + 1)2 + 4(k + 1) + 5 (đúng)

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2 ta có:

Lời giải

Bước 3: Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1

Thật vậy ta có:

Vậy (1) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Dạng 3: Chứng minh sự chia hết

Phương pháp giải:

Làm theo 3 bước như phần lý thuyết đã nêu

Chú ý một số dấu hiệu chia hết

- Dấu hiệu chia hết cho 2: các số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8

- Dấu hiệu chia hết cho 5: các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5

- Dấu hiệu chia hết cho 3: các số có tổng các chữ số chia hết cho 3

- Dấu hiệu chia hết cho 9: các số có tổng các chữ số chia hết cho 9

- Dấu hiệu chia hết cho 4: hai chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 4

- Dấu hiệu chia hết cho 6: các số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3

- Dấu hiệu chia hết cho 8: ba chữ số tận cùng tạo thành 1 số chia hết cho 8

- Dấu hiệu chia hết cho 10: chữ số tận cùng bằng 0

- Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2

- Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6

- Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6 và 8

Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) = 13 + 2.1 = 3⋮3 Suy ra P(n) đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 1, tức là: P(k) = ( k3 + 2k)⋮3

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ∗

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ∗ thì 4 6n + 5n – 4 chia hết cho 5

Lời giải

Đặt P(n) = 4 6n + 5n – 4

Bước 1: Với n = 1, ta có P(1) = 4 61 + 51 – 4 = 25⋮5 Suy ra mệnh đề đúng với n = 1 Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 1, tức là: P(k) = (4 6k + 5k – 4)⋮5

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Đặt S(n) = (n – 2)1800

Bước 1: Với n = 3, ta có S(3) = 1800 Suy ra mệnh đề đúng với n = 1

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng khi n = k ≥ 3, tức là: S(k) = (k – 2)1800

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Tức là chứng minh: S(k + 1) = (k – 1)1800

Thật vậy: ta tách đa giác (k + 1) cạnh thành đa giác k cạnh và tam giác A1AkAk+1 bằng cách nối đoạn A1Ak Khi đó tổng các góc trong của đa giác lồi (k + 1) cạnh bằng tổng các góc trong của đa giác lồi k cạnh cộng với tổng ba góc trong của tam giác A1AkAk+1

Tức là: S(k + 1) = S(k) + 1800 = (k – 2)1800 + 1800 = (k – 1)1800

Do đó mệnh đề đúng khi n = k + 1

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ∗; n ≥ 3

Ví dụ 2: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh (n ≥ 4) là:

Lời giải

Đặt

Bước 1: Khi n = 4, ta có S(4) = 2 Suy ra mệnh đề đúng với n = 4

Bước 3: Ta cần chứng minh mệnh đề đúng khi n = k + 1

Do đó mệnh đề đúng khi n = k + 1

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học ta có mệnh đề đúng với mọi n ∈ ℕ∗; n ≥ 4

3 Bài tập tự luyện

Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 Một học sinh chứng minh mệnh đề “8n + 1 chia hết cho 7, với mọi số tự nhiên n khác 0” (*) như sau:

- Giả sử (1) đúng với n = k, tức là 8k + 1 chia hết cho 7

- Ta có: 8k + 1 + 1 = 8(8k + 1) - 7, kết hợp với giả thiết 8k + 1 chia hết cho 7 nên suy ra được 8k + 1 +

1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n ∈ ℕ∗

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp

Câu 4 Với mọi n ∈ ℕ∗, hệ thức nào sau đây là sai?

Câu 5 Cho với n ≥ 2 và n ∈ ℕ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 8 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

Câu 9 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta có:

Câu 10 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có:

Câu 11 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 5, ta có: 2n > n2

Câu 12 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 3, ta có: 2n > 2n +1

Câu 13 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 4 ta có: 3n-1 > n(n +2)

Câu 14 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì n3 + 11n chia hết cho 6

Câu 15 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì 4n + 15n – 1 chia hết cho 9

Các dạng toán về Dãy số và cách giải

Bài viết Các dạng toán về Dãy số và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11

Dạng khai triển: u1; u2; u3; ; un;

Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un= u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ;m} với được gọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển của nó là u1; u2; u3; ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi

b) Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (un) được gọi là tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ∗

- Dãy số (un) được gọi là giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ∗

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗

- Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m,

M sao cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗

2 Các dạng bài tập

Dạng 1 Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (un): un = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n) Hãy tìm số hạng uk

→ Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm

Bài toán 2: Cho dãy số (un) cho bởi (với f(un) là một biểu thức của un) Hãy tìm số hạng uk

→ Tính lần lượt u2; u3; ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk-1 vào uk

Bài toán 3: Cho dãy số (un) cho bởi Hãy tìm số hạng uk

→ Tính lần lượt u3; u4; ; uk bằng cách thế u1; u2vào u3; thế u2;u3vào u4; … ; thế uk -2; uk-1 vào uk

Bài toán 4: Cho dãy số (un) cho bởi Trong đó f({n; un)}) là kí hiệu của biểu thức un + 1tính theo un và n Hãy tìm số hạng uk

→ Tính lần lượt u2; u3; ; uk bằng cách thế {1;u1} vào u2; thế {2;u2} vào u3; … ; thế {k-1;uk-1} vào uk

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) được xác định như sau: Tìm số hạng u11

Lời giải

Chọn D

Ta có:

- Nếu un+1 – un > 0 ∀n ∈ ℕ∗ thì (un) là dãy số tăng

- Nếu un+1 – un < 0 ∀n ∈ ℕ∗ thì (un) là dãy số giảm

Cách 2: Khi un > 0 ∀n ∈ ℕ ∗, ta xét tỉ số

- Nếu >1 thì (un) là dãy số tăng

- Nếu < 1 thì (un) là dãy số giảm

Cách 3: Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1 > un ∀n ∈ ℕ∗ (hoặc un+1 < un ∀n ∈ ℕ∗)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số

- Dãy số (un) có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Nếu dãy số (un) tăng hoặc giảm thì dãy số (qn un) (với q < 0) không tăng, không giảm

Xét hiệu un+1 – un= (3n + 9) – (3n + 6) = 3 > 0 ∀n ∈ ℕ∗

Vậy (un) là dãy số tăng

Xét hiệu

(do n là số tự nhiên) Vậy (un) là dãy số giảm

Vậy (un) là dãy số giảm

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau (∀n ∈ ℕ∗):

Lời giải

Vậy (un) là dãy số tăng

Vậy (un) là dãy số giảm

Vậy (un) là dãy số tăng

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

- Cách 1: Dãy số (un) có un = f(n) là hàm số đơn giản

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un = f(n) ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗ hoặc un = f(n) ≥ M, ∀n ∈ ℕ∗

- Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Nếu dãy số (un) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên, dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (un) có un = qn (|q| ≤ 1) bị chặn

Dãy số (un) có un = qn (|q| < -1) không bị chặn

Dãy số (un) có un = qn với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (un) có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un) có un = an2 + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (un có un = amnm + am-1nm-1 + + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu am <

Vậy (un) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

Giả sử mệnh đề trên đúng với : n = k ≥ 1; –2 ≤ uk ≤1

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho dãy số (un) biết Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Câu 2 Cho dãy số (un) biết Viết năm số hạng đầu của dãy số

Câu 3 Cho dãy số (un) xác định bởi khi đó u5 bằng:

Câu 6 Cho dãy số (un) biết Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Cả A, B, C đều sai

Câu 7 Cho dãy số (un) biết Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 10 Cho dãy số (un) biết Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Dãy số tăng B Dãy số giảm

C Dãy số không tăng, không giảm D Có u10 = 2

Câu 11 Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn?

Câu 12 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:

A Tăng, bị chặn trên B Tăng, bị chặn dưới

C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C đều sai

Câu 13 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:

A Tăng, bị chặn trên B Tăng, bị chặn dưới

C Giảm, bị chặn D Cả A, B, C đều sai

Câu 14 Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

A Bị chặn B Không bị chặn C Bị chặn trên D Bị chặn dưới

Câu 15 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un), biết:

A Dãy số tăng, bị chặn B Dãy số tăng, bị chặn dưới

C Dãy số giảm, bị chặn trên D Cả A, B, C đều sai

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d

- Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng

- Nếu (un) là một cấp số cộng với công sai d, ta có công thức truy hồi

un+1 = un + d, n ∈ ℕ∗

Nhận xét:

- Cấp số cộng (un) là một dãy số tăng khi và chỉ khi công sai d > 0

- Cấp số cộng (un) là một dãy số giảm khi và chỉ khi công sai d < 0

- Đặc biệt, khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau)

b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) được xác định bởi công thức:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng Nếu là cấp số cộng hãy xác định số hạng

đầu tiên và công sai:

a) – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19

b) 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20

c) Dãy số (an), với an = 4n – 3

Lời giải

a) Ta thấy 1 – (– 2) = 4 – 1 = 7 – 4 = 10 – 7 = 13 – 10 = 16 – 13 = 19 – 16 = 3 Nên dãy số – 2; 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19 là cấp số cộng

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là u1 = – 2, công sai là d = 3

b) Ta thấy: 4 – 2 = 2 nhưng 10 – 6 = 4

Nên dãy số 2; 4; 6; 10; 12; 14; 16; 18; 20 không là cấp số cộng

c) Ta có: an = 4n – 3 thì an+1 = 4(n + 1) – 3

Xét an+1 – an = 4(n + 1) – 3 – (4n – 3) = 4 (không đổi)

Vậy dãy số (an) với an = 4n – 3 là cấp số cộng

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng là a1 = 4.1 – 3 = 1, công sai là d = 4

Ví dụ 2: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn:

a) Xác định công sai và hạng đầu tiên của cấp số cộng trên

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số cộng trên

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên

d) Số 6061 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng

Lời giải

Gọi cấp số cộng có số hạng đầu tiên là u1 và công sai d

Số hạng tổng quát của (un) là un = u1 + (n – 1)d

Vậy u1 = 1 và d = 3

b) Số hạng tổng quát là: un = 1 + (n – 1).3 hay un = 3n – 2 với n ∈ ℕ∗

b) Nếu phương trình x3 – ax2 + bx – c = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì 9ab = 2a3 + 27c

Lời giải

Vậy ta có điều phải chứng minh

b) Giả sử phương trình có ba nghiệm x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng khi đó: x1 + x3 = 2x2 (1) Mặt khác: x3 – ax2 + bx – c = (x – x1)(x – x2)(x – x3)

= x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1)x – x1 x2 x3

Suy ra x1 + x2 + x3 = a (2)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dạng 3 Tính tổng của một cấp số cộng

Phương pháp giải:

Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức:

Câu 1 Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng?

Câu 4 Cho cấp số cộng (un), biết u1 = – 5,d = 3 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A u15 = 34 B u15 = 45 C u13 = 31 D u10 = 35

Câu 5 Cho cấp số cộng (un), biết u1 = – 5; d = 3 Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?

A Số thứ 15 B Số thứ 20 C Số thứ 35 D Số thứ 36

Câu 6 Cho cấp số cộng (un) biết: Số hạng đầu tiên là

A u1 = 16 B u1 = 6 C u1 = 7 D u1 = 14

Câu 7 Cho cấp số cộng (un) thỏa: Tính số hạng thứ 100 của cấp số

A u100 = – 243 B u100 = – 295 C u100 = – 231 D u100 = – 294

Câu 8 Cho cấp số cộng (un) có u1 = 123 và u3 – u15 = 84 Tìm số hạng u17

A u17 = 242 B u17 = 235 C u17 = 11 D u17 = 4

Câu 12 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 321 và un + 1 = un – 3 với mọi n ∈ ℕ ∗ Tính tổng S của

125 số hạng đầu tiên của dãy số đó

Các dạng toán về Cấp số nhân và cách giải

Bài viết Các dạng toán về Cấp số nhân và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11

1 Lý thuyết

a) Định nghĩa:

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân

Nếu (un) là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: un = un-1 q với n ∈ ℕ∗

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1; 0; 0; … 0; …

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u1; u1; … u1;…

- Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0; 0; 0; … 0; …

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân (un) được xác định bởi công thức:

Ví dụ 1: Cho các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân Nếu là cấp số nhân hãy xác định số hạng

đầu tiên và công bội:

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân (un) thỏa mãn:

a) Xác định công bội và hạng đầu tiên của cấp số nhân trên

b) Xác định công thức tổng quát của cấp số nhân trên

c) Tìm số hạng thứ 15 của cấp số cộng trên

d) Số 12288 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân

Lời giải

a) Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho Theo đề bài, ta có

Lấy hai vế của phương trình dưới chia cho hai vế của phương trình trên ta được q = 2

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu tiên là u1 = 3 và công bội q = 2

b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là un = u1 qn–1 nên un = 3.2 n–1

c) Số hạng thứ 15 của cấp số nhân là: u15 = 3.214 = 49152

d) Giả sử số 12288 là số hạng thứ n của cấp số nhân, ta có:

un = 12288 ⇔ 3.2n–1 = 12288 ⇔ 2n–1 = 212 ⇔ n = 13

Vậy số 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân

Dạng 2 Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân Chứng minh cấp số nhân