Phòng Giáo dục và Đào tạo Đề thi Giữa học kì 2 Môn Toán lớp 9 Thời gian làm bài 90 phút (Đề 1) Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức và với a Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 b Rút gọn biểu thức P[.]
Trang 1Phòng Giáo dục và Đào tạo
Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề 1) Bài 1 (2,0 điểm)
a Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16
b Rút gọn biểu thức P
c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương
trình
Hai xí nghiệp cùng may một loại áo Nếu xí nghiệp thứ nhất may trong
5 ngày và xí nghiệp thứ hai may trong 3 ngày thì cả hai xí nghiệp may được
2620 chiếc áo Biết rằng trong một ngày xí nghiệp thứ hai may được nhiều hơn xí nghiệp thứ nhất 20 chiếc áo Hỏi mỗi xí nghiệp một ngày may được bao nhiêu chiếc áo?
Bài 3 (2,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình sau:
Trang 22 Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d)
a Hãy xác định tọa độ các giao điểm A, B của hai đồ thị hàm số trên
b Tính diện tích của tam giác OAB (O là gốc tọa độ)
Bài 4 (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) với cạnh AB cố định khác đường kính Các đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I, K, CH cắt AB tại D
1 Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong một đường tròn
a Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức A ta được:
b Với ta có:
Trang 3Gọi số áo mà xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 may trong 1 ngày lần lượt là x, y (chiếc
áo), điều kiện:
Trang 4Lập luận được hệ phương trình: (thỏa mãn)
Câu 3:
1
Ta có:
2
a Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2 = x + 2
Giải phương trình trên tìm được:
Trang 51 Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong một đường tròn
Ta có hai đường cao AE và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC Khi đó CD vuông góc với AB
Trang 6Vậy (góc nội tiếp chắn cung CF)
Vậy EF // IK (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
4 Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua một điểm cố định
Gọi M là trung điểm BC
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFEB, có AB là đường kính (vì ) Suy ra M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFFEB
Khi đó, (góc nội tiếp chắn cung nhỏ bằng nửa số đo góc ở tâm)
Mặt khác, ta chứng minh được các tứ giác AFHD và BEHD nội tiếp
Trang 7Điều kiện rồi đặt nhân tử chung
Phòng Giáo dục và Đào tạo
Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề 2) Bài 1 (2,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol và đường thẳng
1 Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (Q)
2 Gọi A, B là hai giao điểm của (P) và (Q) Tính diện tích tam giác OAB,
Bài 2 (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương
trình:
Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 860 chi tiết máy Đến tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10% Do đó, tháng thứ hai cả 2 tổ sản xuất được 964 chi tiết máy Tính số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được trong tháng đầu
Bài 3 (4,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O) Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC Dây AM cắt CD tại F Tia BM cắt đường thẳng CD tại K
1 Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp
2 Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB
3 Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I Chứng minh IK = IF
Trang 8Bài 4 (1,0 điểm) Với các số a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 1
Chứng minh
Đáp án và hướng dẫn giải Câu 1:
a Hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là nghiệm của phương trình:
b Gọi A, B là hai giao điểm của (P) và )Q) Tính diện tích tam giác OAB
Trang 9Câu 2:
Gọi số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được trong tháng đầu là x, y (
, chi tiết máy)
Vì trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 860 chi tiết máy nên ta có phương trình:
Vì đến tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10% Do đó, tháng thứ hai cả 2 tổ sản xuất được 964 chi tiết máy, nên ta có phương trình:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Vậy trong tháng đầu, số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được lần lượt là: 360
và 500
Câu 3:
Trang 10a Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp
Ta có
Nên 4 điểm E, F, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BF, suy ra tứ giác BMFE nội tiếp
b Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB
Nên F là trực tâm, suy ra
c Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I Chứng minh IK = IF
Ta có:
Trang 12Phòng Giáo dục và Đào tạo
Đề thi Giữa học kì 2
Trang 13Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề 3) Bài 1 (2 điểm) Giải các hệ phương trình sau:
Bài 2 (2 điểm) Gải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình’
Hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất làm được 1000 sản phẩm Sang tháng thứ hai, do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức 20%, tổ hai vượt mức 15% so với tháng thứ nhất Vì vậy, cả hai tổ sản xuất được 1170 sản phẩm Hỏi tháng thứ nhất, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm?
Bài 3 (2 điểm)
Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b Tìm a, b biết (d) song song với đường thẳng (d’) có phương trình: y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P) có phương trình y = x2 có hoành độ bằng – 2
Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), kẻ đường kính AB Điểm M bất kì
trên (O) sao cho Từ M kẻ tại H Vẽ đường tròn (I) đường kính MH cắt MA, MB lần lượt tại E và F
a Chứng minh: và ba điểm E, I, F thẳng hàng
b Kẻ đường kính MD của đường tròn (O), MD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là N Chứng minh tứ giác BONF nội tiếp
c MD cắt EF tại K Chứng minh
Trang 14d Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P Chứng
minh ba đường thẳng MP, FE và BA đồng quy
Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá
trị lớn nhất của biểu thức
Đáp án và hướng dẫn giải Câu 1:
Trang 16Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O)
và (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I)
Suy ra tam giác MHB vuông tại H, đường cao HF
Vậy (hệ thức lượng trong tam giác vuông)
b Kẻ đường kính MD của đường tròn (O), MD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là N Chứng minh tứ giác BONF nội tiếp
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I)
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Chứng minh tương tự câu a, ta được tam giác AMH vuông tại H, đường cao
HE
đồng dạng tam giác MFE
Suy ra (hai góc tương ứng bằng nhau)
Mặt khác ta có:
Trang 17Ta có tam giác MKF đồng dạng với tam giác MBD (g.g)
Nên
Khi đó tam giác MHK đồng dạng với tam giác MDH (c.g.c)
d Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P Chứng minh ba đường thẳng MP, FE và BA đồng quy
Gọi Q là giao điểm của PM và AB
Xét tam giác MQO có:
Trang 18(chứng minh bằng cách khai triển rồi đưa về
Áp dụng:
Phòng Giáo dục và Đào tạo
Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9
Thời gian làm bài: 90 phút
(Đề 4) I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
(Hãy chọn phương án đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài
Trang 19Câu 6 Cho đường tròn tâm (O; R) và dây cung BC = R Hai tiếp tuyến của
đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại A Khi đó bằng:
Câu 7 Cho tam giác đều MNE ngoại tiếp đường tròn bán kính 1 cm Diện tích
của tam giác MNE bằng:
Trang 20Câu 3 (0,75 điểm) Giải hệ phương trình
Câu 4 (3,25 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC Trên đường tròn (O)
lấy điểm A sao cho AB < AC Trên OC lấy điểm M sao cho M nằm giữa O và
C Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia đối của tia AB tại N, cắt
AC tại F Đường thẳng NM cắt đường tròn (O) tại F và K (F nằm giữa E và N)
a Chứng minh bốn điểm A, B, M, E cùng thuộc một đường tròn và chứng minh bốn điểm N, A, M, C cùng thuộc một đường tròn
b Vẽ tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt MN tại H Chứng minh tam giác là tam giác cân
c Gọi giao điểm thứ hai của NC với đường tròn (O) là D Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Câu 5 (0,75) Giải phương trình
Đáp án và hướng dẫn giải I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
Trang 23Vậy tập nghiệm của phương trình là:
b Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi
Câu 3:
Điều kiện:
Trang 24x, y là nghiệm của phương trình:
X2 - 3X + 3 = 0 phương trình vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
Trang 25Suy ra tứ giác ABME nội tiếp cùng thuộc một đường tròn Xét tứ giác AMCN ta có:
A nhìn NC với 1 góc vuông
M nhìn NC với 1 góc vuông
A, M là hai đỉnh liền kề
Suy ra tứ giác AMCN nội tiếp cùng thuộc một đường tròn
b Vẽ tiếp tuyến tạ A của đường tròn (O) cắt MN tại H Chứng minh tam giác là tam giác cân
(1)
Xét đường tròn (O) ta có:
là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC
là góc nội tiếp chắn cung AC
(2)
Từ (1) và (2) suy ra là tam giác cân tại H
c Gọi giao điểm thứ hai của NC với đường tròn (O) là D Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
ta có:
là tam giác cân tại H
mà
Trang 26suy ra H là trung điểm của NE
Xét vuông tại D có DH là trung tuyến
Trang 27Tập nghiệm của phương trình là: