Chứng minh: a EF là đường trung bình của tam giác ABC; b AM là đường trung trực của EF.. Các đường phân giác ngoài của ?̂ và ?̂ cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của ?̂ và ?̂ cắt
Trang 1Bài 1 Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC Kẻ tia Mx song song với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F Chứng minh: a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF
Bài 2 Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC Trên cạnh AB lấy điểm D và E sao cho AD = DE = EB Đoạn CD cắt AM tại I Chứng minh:
a) EM song song vói DC;
b) I là trung điểm của AM;
Trang 2c) DC = 4DI
Bài 3 Cho hình thang vuông ABCD tại A và D Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC Chứng minh:
a) ∆AFD cân tại F; b) 𝐵𝐴𝐹̂ = 𝐶𝐷𝐹̂
Bài 4 Cho hình thang ABCD (AB//CD) Các đường phân giác ngoài của 𝐴̂ và 𝐷̂ cắt nhau tại E, các đường phân giác ngoài của 𝐵̂ và 𝐶̂ cắt nhau tại F Chứng minh: a) EF song song với AB và CD;
b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD
Bài 5 Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của
AD, BD, AC, BC Chứng minh:
a) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng;
b) NP = 1
2 DC - AB Bài 6 Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d Các tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của 𝐵̂ và 𝐶̂ cắt nhau tại F Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC
a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng
b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d
Dạng 4.Tổng hợp
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH Từ H kẻ tia Hx vuông góc với AB tại P và tia Hy vuông góc vói AC tại Q Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm D và E sao cho PH = PD, QH = QE Chứng minh:
Trang 3a) A là trung điểm của DE;
2 (AA'+BB'+CC'+DD’)
Trang 10Bài 1 Cho tứ giác ABCD, đường chéo BD là đường trung trực của AC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và AB Vẽ ME ⊥ BC và NF ⊥ CD (E € BC, F € CD) Chứng minh rằng ba đường thẳng ME, NF và AC đồng quy
Bài 2 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD Đường thẳng MN cắt tia AB và
AC lần lượt là tại P và Q Hỏi hai điểm D và E phải có điều kiện gì để tam giác APQ cân tại A ?
Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi Bx và Cy lần lượt là các đường chứa tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên Bx
và Cy
a) Chứng minh rằng tứ giác BCKH là hình thang;
b) Tam giác ABC phải có điều kiện gì để hình thang BCKH là hình thang cân? Bài 4 Cho tam giác ABC, trực tâm H Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực Chứng minh rằng khoảng cách từ O đến BC bằng nửa độ dài AH
Bài 5 Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH và đường phân giác BD Biết rằng AH = 1
2 BD, tính số đo các góc của tam giác ABC
Bài 6 Cho đoạn thẳng AB và n điểm 𝑂1, 𝑂2, ,𝑂𝑛 không nằm giữa A và B sao cho
𝑂1𝐴 + 𝑂2𝐴 + + 𝑂𝑛𝐴 = 𝑂1𝐵 + 𝑂2𝐵 + + 𝑂𝑛𝐵 = a Chứng minh rằng tồn tại một điểm M sao cho 𝑂1𝑀 + 𝑂2𝑀 + + 𝑂𝑛𝑀 ≤ a
Bài 7 Cho hình thang cân ABCD (AB < CD) Vẽ AH ⊥ CD Chứng minh rằng: a) HD bằng đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo;
b) HC bằng đường trung bình của hình thang
Bài 8 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB Trên tia đối của tia BC lấy điểm O sao cho BO = 1
2 BC Đường thẳng OM cắt OC tại N Chứng minh rằng:
AN = 14 AC
Trang 11Bài 9 Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác ABM vuông cân tại B, tam giác CAN vuông cân tại C Chứng minh rằng khi A di động trên một nửa mặt phẳng bờ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 10 Cho điểm M nằm giữa hai điểm A và B nhưng không là trung điểm của đoạn thẳng AB Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tam giác CAM và DBM cân tại C và D sao cho 𝐶̂ = 𝐷̂ Gọi H và F lần lượt là trung điểm của AD và
BC Chứng minh rằng: HF = 12 CD
Trang 19Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD = AB Trên tia đối của tia CD lấy điểm E sao cho CE = AC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AD, K là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AE
a) Chứng minh rằng HK song song với DE
b) Tính HK, biết chu vi tam giác ABC bằng 10
Bài 2: Cho ∆ABC có AB < AC, AH là đường cao Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC
a) Chứng minh MNKH là hình thang cân
b) Trên tia AH và AK lần lượt lấy điểm E và D sao cho H là trung điểm của AE và
K là trung điểm của AD Chứng minh tứ giác BCDE là hình thang cân
Bài 3: Cho ∆ABC có trung tuyến AM, I là một điểm thuộc đoạn thẳng AM, BI cắt
AC ở D
a) Nếu AD = 1
2 DC Khi đó hãy chứng minh I là trung điểm của AM
b) Nếu I là trung điểm của AM Khi đó hãy chứng minh AD = 12 DC; ID = 14 BD
Trang 20Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AC,
DB Đường thẳng EF lần lượt cắt AB, CD tại H, K Chứng minh
rằng: 𝐾𝐻𝐵̂ = 𝐻𝐾𝐶.̂
Bài 6: Hình thang cân ABCD AB // CD có AB = 4cm, CD = 10cm, BD = 5cm Tính khoảng cách từ trung điểm I của BD đến cạnh CD
Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Gọi I là trung điểm của AH, E
là giao điểm của BI và AC Tính các độ dài AE và EC, biết AH = 12cm, BC = 18cm
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M là trung điểm của
HC, K là trung điểm của AH Chứng minh rằng BK vuông góc với AM
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AC Gọi I là trung điểm HK Chứng minh rằng: AI ⊥ BK
Trang 24Bài 1: Cho ∆ABC và đường thẳng d qua A không cắt đoạn thẳng BC Vẽ BD ⊥ d,
CE ⊥ d (D,E € d) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh ID = IE
Bài 2: Cho hình thang vuông ABCD tại A và D Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC Chứng minh:
Trang 25a) ∆AFD cân tại F;
a, Chứng minh rằng N, E, F lần lượt là trung điểm của BC, BD, AC
b, Gọi I là trung điểm của AB , đường thẳng vuông góc với IE tại E và đường thẳng vuông góc với IF tại F cắt nhau ở K Chứng minh: KC = KD
Bài 5: Cho hình thang ABCD, AB là đáy nhỏ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD và AC
a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thẳng hàng;
b) Chứng minh PQ // CD và PQ = 𝐶𝐷−𝐴𝐵
2 ; c) Hình thang ABCD phải có điều kiện gì để MP = PQ = QN
Bài 6: Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm
M của cạnh bên AD Chứng minh rằng:
a) 𝐵𝑀𝐶̂ = 90˚ b) BC = AB + CD
Bài 7: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC Gọi A', B', C' thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d Chứng minh rằng BB', CC', AA' = 2AA'