Microsoft Word TOAN11 De vadap anToan HSG 11 2019 5ecb264923 doc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019 Môn thi Toán Lớp 11 (Thời[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT LƯU HOÀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán - Lớp: 11 (Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Giải phương trình sau: 2
2013 2013
x x Câu 2 (3,0 điểm) Cho phương trình (2sinx1)(2 s 2co x2sinx m ) 1 2 cos x2 (Với m là tham số)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;
Câu 3 (5,0 điểm)
a) Giải hệ phương trình:
2 2
b) Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư và 4 chiếc phong bì thư đã để sẵn địa chỉ Tính xác suất để có ít nhất một lá thư bỏ đúng địa chỉ
Câu 4 (4,0 điểm) Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC
a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu: sin cos
sin sin
B cosC A
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M sin22A sin22B sin22C
cos A cos B cos C
Câu 5 (3,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C1): x2y2 13, đường tròn (C2):
2 2
(x6) y 25
a) Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2)
b) Gọi giao điểm có tung độ dương của (C1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau
Câu 6 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a
và vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông
b) M là điểm di động trên đoạn BC và BM = x, K là hình chiếu của S trên DM Tính
độ dài đoạn SK theo a và x Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK
-HẾT -
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký giám thị coi thi số 1: Chữ ký giám thị coi thi số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG
Môn : TOÁN
Câu 1 x2 x2013 2013 ĐK x 2013
Đặt t x2013 ( với t t0) t2 x 2013 t2 x 2013 Ta có hệ PT:
2
2
2013 2013
x t
t x
(x t x t )( 1) 0
+ Với x +t =0 ta được t = -x x2013 x Giải ra ta được 1 8053
2
x là nghiệm
+ Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t x 1 x2013 Giải ra ta được
1 8049 2
x
là nghiệm
Đáp số : 1 8053
2
2
x
0,25 0,5 0,5
0,25 0,25
0,25
Câu 2 (2sinx1)(2 s 2co x2sinx m ) 1 2 cos x2
a , Với m =1 ta được phương trình :
(2sinx1)(2 s 2co x2sinx 1) 1 2cos x2 (2sinx1).cos x2 0
x x k x k + s 2 0
co x x k
b, Phương trình đã cho tương đương với : (2sinx1)(2 s 2co x m 1) 0
Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0; thì phương trình :
1 2
2
m cos x vô nghiệm hoặc có hai nghiệm 5
;
x x .Từ đó ta được m <-1v
m >3 v m =0
0,5 1,5 0,5
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu 3
2 2
3( 3 ) 2( 4 ) 3
2 2
3 1 0
Ta được nghiệm của hệ là : 3 13;0 ;
2
3 13
; 4 ; 2
3 13
;0 ; 2
3 13
; 4 ; 2
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 4
, Tìm hệ số của x4trong khai triển sau: 3 5
3
1 n nx
x
biết n là số nguyên thoả mãn
Trang 3hệ thức 2 1 2 2 20
n
n
C C n
Từ hệ thức 2 1 2 2 20
n
n
C C n Đk n2,n Z n23n40 0 n 8 n 5
Ta được n= 8 thoả mãn
Ta có :
8
0
k k
k k k
Khai triển chứa x4m
40 14
3
k
k
Vậy hệ số của x4 là 2 6
8.2 1792
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 5 a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin cos
sin sin
B cosC A
2
2
A
A
vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A
b,M sin22A sin22B sin22C
cos A cos B cos C
sin sin sin
M
cos A cos B cos C
1
1
1
cos C C cos A B
M
M
2
0
2
cos A B
C cos A B
Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
(C1) có tâm O(0;0),bán kính R1 13
(C2) có tâm I(6;0),bán kính R2 5
Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Với A có tung độ dương nên A(2;3)
0,25 0,25 1,0
Trang 4Với A có tung độ dương nên A(2;3)
Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0
Gọi d1 d O d d ( , ); 2 d I d ( , )
Yêu cầu bài toán trở thành: R22 d22 R12 d12 d22 d12 12
2
0 (4 3 ) (2 3 )
3
b
0,25
0,25 0,25
*b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0
*b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0
0,25
a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên
SA vuông góc với AB và AD Vậy các tam
giác SAB và SAD vuông tại A
Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB
Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC
Vởy tam giác SBC vuông tại C
Tương tự tam giác SDC vuông tại D
b, Ta có BM =x nên CM = a- x
(vì có AKD DCMˆ ˆ 90 ,0 DAK CDMˆ ˆ )
AK DC
2 2 2 2
a
x ax a Tam giác SAK vuông tại A nên
SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất K O x 0 SKnhỏ nhất 6
2
a
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
-Hết -
Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
- Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác
S
A
D
M
K