THỂ TÍCH MỘT SỐ KHỐI CHÓP ĐẶC BIỆT A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau Cho khối chóp 1 2 nS A A A có tất cả các cạnh bên bằng nhau 1 2 nSA SA SA Dựng đường cao 1 2 nSH A A[.]
Trang 1THỂ TÍCH MỘT SỐ KHỐI CHÓP ĐẶC BIỆT
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau
Cho khối chóp S A A. 1 2 A n có tất cả các cạnh bên bằng nhau:
SA SA SA
Dựng đường cao SHA A A1 2 n của khối chóp
Khi đó theo định lý Pytago ta có:
1 1 2 2 n n
SH SA HA SA HA SA HA
Lại có SA1SA2 SA n suy ra HA1HA2 HA n
Như vậy: Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt
đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác
1 2 n
A A A
Khi đó SH h R đ tan
Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau
Cho khối chóp S A A. 1 2 A n có tất cả các
cạnh bên đều tạo với đáy một góc
Dựng đường cao SHA A A1 2 n của khối
chóp
Khi đó: SA H1 SA H2 SA H n suy
ra
1 tan 2 tan ntan
Do đó HA1HA2 HA n suy ra hình
chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt
đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp
của đa giác A A1 2 A n
Khi đó SH h R đ tan
Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy các góc bằng nhau
Trang 2Cho khối chóp S A A. 1 2 A n có tất cả các mặt bên đều tạo với
đáy một góc
Dựng đường cao SH A A A1 2 n của khối chóp Dựng
1 1 2
HK A A ,HK2 A A2 3,… ,HK n A A n 1
1 2
Tương tự như vậy ta có: SK H1 SK H2 SK H n
Suy ra SHHK1tan HK2tan HK ntan do đó
Suy ra điểm H trùng với tâm đường tròn tiếp xúc với tất cả
các cạnh (hay đường tròn nội tiếp) của đa giác A A1 2 A n
Khi đó SH h r đ tan
B BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA=SB=SC= a
Biết rằng ASBBSC 60 , ASC 90 Thể tích khối chóp đã cho là:
A.V=
3
3
6
a
B V=
3
2 6
a
C V=
3
2 12
a
D.V=
3
3
12
a
Lời giải:
Dễ thấy các tam giác ASB, BSC là tam giác
đều do đó AB = BC =a
2
AC SA SC a AB BC
Do đó tam giác ABC vuông tại B
Mặt khác SA = SB = SC =a nên hình chiếu
vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và là
trung điểm của cạnh huyền AC
Ta có: 2
2
a
SH ;
2 2
ABC
a
12
S ABC
a
V
Trang 3Chọn C
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, các cạnh bên SA=SB=SC= a Biết rằng ASB 60 ,BSC 90 , ASC 120 Thể tích khối chóp đã cho là:
A.V=
3
3
6
a
B V=
3
2 6
a
C V=
3
2 12
a
D.V=
3
3
12
a
Lời giải:
Tam giác SAB đều nên AB=a , SBC vuông tại S
2
BC SB SC a
AC SA SC SA SC a
Do AC2 AB2 BC2nên tam giác ABC vuông tại B
Mặt khác SA=SB=SC= a nên hình chiếu vuông góc
của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC và là trung điểm của cạnh huyền
AC
Ta có:
2
2 2
ABC
a
2
a
a
V SH S Chọn C
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC, có AB=AC= a, BAC 120
Các cạnh bên đều tạo với đáy một góc 60 .Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.V=
3
4
a
B V=
3
3 4
a
C V=
3
3 8
a
D.V=
3
3 12
a
Lời giải:
Diện tích tam giác ABC là:
2
ABC
a
S AB AC BAC
Do các cạnh bên đều tạo với đáy một góc bằng 60 hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống mặt đáy là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Trang 4Lại có: 2 2 3
A BAC
Suy ra SHR ABC.tan 60 a 3 . 1 . 3
a
V SH S Chọn A
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B có AB = 3, BC = 4
Biết rằng các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng 60 Thể tích khối chóp đã cho là
A.V= 5 3
3 B V=5 3
6 C V=5 3
2 D.V=
5 3
Lời giải:
Ta có: H là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác ABC
Lại có p r S ABC
Trong đó 1 .B 6
2
ABC
5
Khi đó tan 60 5 3
6
SH r
Do đó 1 . 5 3
V SH S Chọn A
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = AC= 10,
BC= 12 Các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc bằng nhau và bằng 30o Thể tích khối chóp đã cho là
A 18 3 B 48 3 C 16 3 D.
9 3
Lời giải:
Trang 5Do các mặt bên của khối chóp đều tạo với đáy một góc
bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống
mặt đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Gọi M là trung điểm của BCAM BC
10 6 8
10 10 12 2
2
S
p
tan 30 3
3 ABC
V SH S .Chọn C