LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN A LÝ THUYẾT * Góc với đường tròn + Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau + Cá[.]
Trang 1LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
A LÝ THUYẾT
* Góc với đường tròn
+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
+ Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau
+ Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 900 có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung
+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông và ngược lại góc vuông nội tiếp thừ chắn nửa đường tròn
+ Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau
* Với C là độ dài đường tròn, R là bán kính, l là độ dài cung thì:
+ Độ dài đường tròn: C 2R
+ Độ dài cung tròn:
0 0
180
Rn
l + Diện tích hình tròn: S R2
+ Diện tích hình quạt tròn:
2 0 0
360
R n
S
B BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Cho đường tròn O đường kính AB Ax, là tiếp tuyến của đường tròn O và AC là dây cung (C khác B) Tia phân giác của xAC cắt đường tròn O tại D AD, và BC cắt nhau tại E Gọi K và F lần lượt là giao điểm của BD với AC và Ax
a) Chứng minh ABE cân
b) Chứng minh tứ giác AKEF là hình thoi và EK AB
c) Cho xAC 60
Chứng minh 2
.
DB DKR và ba điểm O K E, , thẳng hàng
Tính diện tích tứ giác ACEF phần nằm ngoài đường tròn
Bài 2 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn O R; Vẽ tiếp tuyến MA ( A là tiếp điểm), cát tuyến MBC ( B nằm giữa M và C) và O nằm trong góc AMC Lấy I là trung điểm củaBC Tia OI cắt cung nhỏ BC tại N AN, cắt BC tại D
a) Chứng minh AD là phân giác của góc BAC
Trang 2b) Chứng minh : 2
.
MD MB MC c) Gọi H K, là hình chiếu của N lên AB và AC Chứng tỏ ba điểm H I K, , thẳng hàng (đường thẳng Sim-Sơn)
Bài 3 Cho đường tròn O R; và O R ; tiếp xúc ngoài tại A Qua A vẽ đường thẳng cắt O
tại B và cắt O tại C
a) Chứng tỏ OB/ /O C
b) Chứng tỏ tỉ số diện tích hai hình quạt nằm trong góc ở tâm AOB và AO C của hai hình tròn không đổi khi cát tuyến BAC quạt quanh A
Bài 4 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O đường kính BC Tia phân giác của góc BAC
cắt đường tròn tại D
a) Chứng tỏ ODBC
b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp ABC Tính góc BIC
Bài 5 Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn O , vẽ hai tiếp tuyến AB AC, đến đường tròn ( B và C là các tiếp điểm) Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại D và cắt O
tại E Từ E vẽ EF vuông góc với BC ( F thuộc BC) và EH vuông góc với AC ( H
thuộc AC)
a) Chứng minh DEFFEH
b) Chứng minh 2
.
EF ED EH c) Gọi N là giao điểm của DF và EB M, là giao điểm của FH và EC Chứng tỏ rằng tứ giác
MENF nội tiếp
d) Cho BAC 30 Tính độ dài cung nhỏ BC và diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi hai bán kính OB và OC
Bài 6 Cho hình vuông ABCD cạnh a Lấy M thuộc cạnh AB N, thuộc cạnh AD sao cho
45
MCN Gọi E F, lần lượt là giao điểm của CM và CN vớiBD
a) Chứng minh tứ giác DCEN nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của MF và NE Chứng minh CH vuông góc với MN tại I
c) Chứng minh MN là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DIB
Bài 7 Cho đường tròn O R; và ba điểm A B C, , sao cho sd AC 30 , dây cung ABR 3 và
,
AB AC ở về hai phía AO
a) Tính độ dài cung CAB theo R
b) Chứng minh OC/ /AB
Bài 8 Trên tiếp tuyến tại A của đường tròn O R; , lấy đoạn AI R 3
Trang 3a) Tính độ dài OI theo R
b) Đường cao AH của OAI cắt đường tròn O tại B Chứng tỏ IB là tiếp tuyến của O
Bài 9 Cho đường tròn O R; và một điểm A ở ngoài đường tròn sao cho OA 3R Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB AC, đến đường tròn (B C, là hai tiếp điểm) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt O tại D (D khác B) Đường thẳng AD cắt O tại E (khác D)
a) Chứng minh: 2
.
AB AE AD b) Chứng minh: BC EC AC BE.
c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và AC theo R
Bài 10 Cho đường tròn O; Rdây ABR 2 Từ A và B vẽ hai tiếp tuyến cắt nhau tại C Đường thẳng OC cắt cung nhỏ AB tại I Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp ABC
Bài 11 Cho hình bình hành ABCD A 90 Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt
DC tại M và cắt BD tại N
a) Chứng tỏ: AM = AD
b) Tính độ dài cung nhỏ AB theo R nếu góc ADC bằng 60 và OA = R
c) Gọi I là giao điểm của AC và BD Chứng tỏ: 2
.
IA IN IB
d) Chứng tỏ IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AND
Bài 12 Cho đường tròn O R; và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau Trên cung nhỏ
BC lấy điểm M bất kì Trên tia đối của tia MA lấy E sao cho MB = ME
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo góc CMB
c) Chứng minh: CM BE
Bài 13 Cho đường tròn O R; và đường kính AB C là điểm bất kì trên (O) (C khác A và B) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại D Gọi M là trung điểm của AD
a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O)
b) OM cắt AC tại I, chứng tỏ khi C di chuyển, I thuộc về đường tròn cố định tiếp xúc trong với (O)
c) Biết BC = R Tính diện tích phần giới hạn bởi cung nhỏ AC và các đoạn AD, CD
Bài 14 Cho đường tròn O R; và O R ; tiếp xúc ngoài nhau tại A Vẽ tiếp tuyến chung ngoài
BC của hai đường tròn B O C, O Tiếp tuyến tại A của hai đường tròn cắt BC tại M
a) Chứng minh M là trung điểm của MC
b) Chứng minh: BAC OMO
c) Tia CA cắt (O) tại D Chứng minh: 2
DA DC R
Trang 4d) Tia BA cắt O tại E Chứng minh:S ABC S ADE
Bài 15 Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R Kẻ đường
cao BD và CE của tam giác, hai đường này cắt nhau tại H Đường thẳng DE cắt đường tròn (O) tại M, N và cắt BC tại K
a) Chứng minh: AED ACB
b) Chứng minh: AM = AN
c) Chứng minh: KE.KD = KB.KC
d) Cho A 60 Tính diện tích tứ giác ADOE theo R