Facebook Thế Văn gr 2k6 thi vào 10 1 Full kiến thức ôn thi vào lớp 10 môn toán Chuyªn ®Ò I c¨n bËc hai 1 AA =2 ; 2 BABA = (víi A 0 vµ B 0) 3 B A B A = (víi A 0 vµ B > 0); 4 BABA =2 (víi 0B ) 5[.]
Trang 1Full kiến thức ụn thi vào lớp 10 mụn toỏn
A = (với B > 0)
B A
B A C B
(với A 0 và B2 A
)
9
B A
B A C B
Các dạng bài toán th-ờng gặp trong CĐ I
Dạng 1: Tìm ĐKXĐ của biểu thức rồi thu gọn biểu thức đó
Dạng 2: Tính giá trị của biẻu thức sau khi đã thu gọn
Dạng 3: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức bằng hoặc lớn hơn một số
thực cho tr-ớc
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN, của biểu thức sau khi đã thu gọn
Để làm tốt các dạng bài tập trên đề nghị HS tập trung vào các vấn đề sau:
) (
x h x f
x g
0 ) (
x h x f
x f
+
x x
x
x x
x x
+
x x
x x
Ví dụ 1.1: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau
a) 4 −x 1; b) − x4 − 1; c) x2+ 2
Trang 2−
− +
1 1
II Biểu thức liên hợp và trục căn thức
Ví dụ 1.2: Tính giá trị các biểu thức sau:
( 3 1) 3 1 3 1 3
; 3 4 7 A e)
; 30 4
13
A
d)
15 3 12 A c)
; 5 6 46 A b)
; 42 2
=
−
=
a
Khi các biểu thức cần tính hay thu gọn mà ở MT đang chứa căn thì ta cần nghỉ đến
việc trục căn thức - nhân với biểu thức liên hợp
Chú ý:
1 1
a x
a x a x a x
a x a
+
= +
3 2 2
3
3 2 3
2 3
3 2 3
.
a x
a x a x k a x a x a x
a x a x k a
x
k
−
+ +
= + +
−
+ +
3 2 2
3
3 2 3
2 3
3 2 3
.
a x
a x a x k a x a x a x
a x a x k a
− +
Trang 32 3 4 3 2
9 2 3 4 1 3
2
1
3 5 3
3 5 3 2 5 2 5
3 5 3 2
5
3
1 2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 1
2
1
3 3 3
3 3
3 3 3
+ +
−
= + +
−
+ +
3 7
4
− d) 3 3
4 11
5 + e) 3 3 3
9 6 4
1 + +
VÝ dô 1.5: Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
A = 4−2 3+ 7−4 3; B =
738
22
7
6
+
++ C = 4+2 3− 4−2 3
Lêi gi¶i
321
33
4732
= 3−1+ 2− 3 = 3−1+2− 3 =1.
B =
) )(
(
) (
) )(
(
) (
738738
73822
727
2767
38
22
7
6
−+
−+
−+
−
=+
+
1
76163
x 2 x B
; 2 1 x 2
x
0 y x y x 2y x E
; 4
1 x 4
1 x 2
1 x
x
D = + + + + − = 2 + 2− 2
Lêi gi¶i
( )2 2
2 2
1 1 2
4
2 2 2
2 + − − = − − = − −
C
Trang 41 ,
2
1 4
1 2
1 4
1 2
1 4
1
2
1 4
1 4
1 2
= + +
= + + + +
=
x x
x x
x
x x x
11
b) TÝnh gi¸ trÞ cña K khi a=3 +2 2
c) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a sao cho K < 0
a
1
2 1
1 ( : ) 1 1
(
−
+ +
1 (
2 1
1 ( : ) ) 1 (
1 1
(
+
−
+ +
a a
a a
a
K =
a
a a
a a
a
a a
a
a a
a
1
1 ) 1 (
1 )
1 )(
1 (
2 1 :
) 1 (
2122
1
1223
+
+
=+
−+
=
−
a a
: ) 4
8 2
4 (
x x x
x x
x x
x
x x
x x
x
2
14
82
Trang 5P = [
) )(
(
) (
x x
x x x
−+
+
−22
82
4
]:[
) (
) (
2
22
x x
]
P =
3
43
22
2
242
32
2
48
+
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
) )(
(
) (
) (
: ) )(
=
−+
−
−
+
x
x x
m x
P x
14
x x
x x
x P
+
−+
2+
x x
x x
x
P
+
−+
x
x x x
x x
x x
x x
x x
11
11
11
111
) (
) (
) )(
( ] )
(
) )(
( [
−
++
−
=+
−++
3223
2
−+
−
=+
) )(
(
) (
Do đó:
2
13313
31
3
11
) (
042
044
4
43
612
43
61
2 2
−
=
−++
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
x
4x
và 02
) (
) (
Trang 6Ví dụ 1.10: (TN.THCS: 2002): Cho biểu thức:
)
12
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
x
1
11
12
1
12
) (
) (
136
1 1
4
3 1 3
11
1
11
11
) (
) (
)
x x
x x
x x
x
b) Thay x = 25, ta đ-ợc:
16
11
x x A
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn A
Trang 7b) Tính giá trị của A khi x =
4 9
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
Lời giải
0 1
x
1 1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1
−
= +
−
−
−
− +
= +
−
− +
−
+
= +
x
x x
x x x
x x
x
x x x
x x
1 4 9 4
1 1
1 1
x x
x
Đối chiếu với điều kiện, ta đ-ợc A 1 0 x 1
Ví dụ1.13: (Đề thi vào lớp 10 THPT - Nghệ An 2010-2011)
Cho biểu thức
1
2 1
x
x A
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
c) Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm GTNN của B = A(x – 1)
Lời giải
a) ĐKXĐ 1 x 0
( 1)( 1)
2 1
2 1 1
2 1
x x
x x
x x
1
2 2 2 1
1
2 1 2
+
= +
−
−
= +
−
− +
− +
= +
−
−
−
− +
=
x
x x
x
x x x
x
x x x
x x
x x
9
= +
− +
A
B
4
1 4
1 2
1 1
1 1
1
2 2
1 1
2
−
− + +
+ +
−
+
=
x x
x
x x
x
x A
1 1
1
2 1
1 1
1 1
2
−
− + +
+ + + +
+ +
−
+
=
x x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
A
Trang 8= ( ) ( ) ( )
1 1
2 1
1
1
1 1 1
2
+ +
− + +
= +
+
−
+ +
−
− +
+
+
x x x
x x x x x x x
x x x
x x x
= + +
−
−
x x
x x
3 2 4 1 1 3 3 2 4
3 2
−
−
= +
− +
22
23223
228
−+
+
−
−+
C = ( 5−3)2 + (2− 5)2 ; D = ( 10 + 2)(6−2 5) 3+ 5
(§S: A = 2; B = -1; C = 1; d = 16)
1.2 a) TÝnh A = 2
133333
b) Rót gän biÓu thøc: B = ( )(a b b a)
b ab
a ab
2
12
3
++
++++
+++
12
12
2
−
+
−+
x x
x B
1.7 Cho
1
12
211
−
+
−+
x x
x x x x
x x
x
x x
Trang 9c) T×m GTNN cña y
(§S:
4
1x khi4
1y
c/
1);
x(xy
11
1
−
++
x
x x
x
x A
=
x x
1.10 Cho biÓu thøc:
x
x x
x x
x
x x
x
1
141
11
K0;
x1,
x
x x
1.13 Cho biÓu thøc:
1
21
=
x x
x x
x x
A : CMR A < 0 víi 0 < x < 1
1.14 Cho biÓu thøc: P= − x − x x+−x x − + x x++x −x x
1
12
1
12
11
x x P
++
11
2
x
x x
x
x x
x
x M
a) Rót gän M
b) CMR: 1 > 3M víi mäi §K thÝch hîp cña x
Trang 10( M
x
x x
x M
b x
x x
x M
++
1
11
12
x x
x x
x x
31Ab/
;3x
x
−+
11
x
x x
x
1
11
x
x a
22
2 2
+
++
−+
a) Rút gọn A
b) Tìm ĐK của x và a để A2 A
c) Tìm các ĐK của x và a để
31
1
+
−
++
−+
=
x x x
x x
x A
2
1
x x x
x x x
11
) (
:
x
x x
x x
Trang 11( 1 0 =1− b 0x1
x
x P
x
1.23 Cho biÓu thøc:
x x x x
x A
x
x A
x a
11
21
) (
x x
x x
15
11
11
x x
Trang 12−+
x x x x x
x x x
x
P
1
21
12
11
1
:
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với x=7 −4 3
c) Tìm giá trị lớn nhất của a để P > a
P x
Trang 13x A
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 3 + 2 2
c) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
d) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ph-ơng trình A x =m− x có
3 a đ-ợc gọi là hệ số góc của đ-ờng thẳng y = ax + b (a0)
4 Với hai đ-ờng thẳng y = ax + b (d) và ' '( )'
d b x a
y= + , trong đó a và a'
khác 0 ta có:
(d
và (d)a
Trang 14*) ' ( ) ( )'
1
Ví dụ 2.1: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a) Có hệ số góc là 3 và đi qua điểm (1 ; 0)
b) Song song với đ-ờng thẳng 2
Vậy ph-ơng trình đ-ờng thẳng là: 2
2
1+
= x
Ví dụ 2.2: Cho hàm số: y = (2 - m)x + m - 1 (d)
a) Với giá trị nào của m thì y là hàm bậc nhất
b) Với giá trị nào của m thì hàm số y đồng biến, nghịch biến
c) Với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng (d) song song với đ-ờng thẳng
y = 3x + 2
d) Với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng (d) cắt đ-ờng thẳng y = -x + 4 tại một
điểm trên trục tung
e) Với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng (d) cắt đ-ờng thẳng y = -x + 4 tại một
điểm trên trục hoành
g) Với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng (d) vuông góc với đ-ờng thẳng y = 2x + 1 (k)
h) Với giá trị nào của m thì đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm M(-2; -1)
1
32
m m
1 4
2
2 − = − =
d
Trang 15h) Đ-ờng thẳng (d) đi qua M(-2; 1) ( )( )
3
4 1
2 2
1 = − − + − =
−
Ví dụ 2.3: Xác định các hệ số a và b của hàm số y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số
đi qua hai điểm A(1 ; 3) và B(2 ; 1)
1
3
b
a b
a
b
a
Chú ý: Ngoài cách giải trên HS có thể tham khảo cách giải tổng quát sau:
Ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm A(x1; y1) và B(x2; y2) là:
1 2 1 1
2
1
y y
y y x x
x x
3 1
x y
x
Ví dụ 2.4: Cho hàm số y = kx + 3 – 2x + k
a) Xác định k để hàm số là hàm bậc nhất đồng biến
b) Xác định k để đồ thị là đ-ờng thẳng đi qua M(1;3)
c) Xác định k để đồ thị là đ-ờng thẳng cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 1
3
k
k B
2
3 3 2
−
+ +
k
k k S
+ Nếu k > 2 > PTVN
+Nếu k < 2 > PT có nghiệm k = − 4 − 11 ;k = − 4 + 11
Bài tập vận dụng
2.1 Cho hàm số y = x + m (d) Tìm m để (d):
a) Đi qua điểm A(1;2011)
b) Song song với đ-ờng thẳng x - y + 3 = 0
x x x x x x
+++
1
22
a) Rút gọn y
b) Cho A(2 ; 5), B(-1 ; 1), C(4 ; 9) Chứng minh rằng A, B, C thẳng hàng và
đ-ờng thẳng ABC song song với đ-ờng thẳng ở câu a
c) CMR đ-ờng thẳng BC và hai đ-ờng thẳng 2y + x - 7 = 0, y = 3 đồng quy
Trang 16(a/ ĐK: 1x0,y=2x−2;b/ đ-ờng thẳng AB: y = 2x + 1 thay tọa độ C vào đ-ờng
thẳng AB; c/ đồng quy tại M(1 ; 3))
2.3 Cho hàm số y = 4x + 7
a) Các điểm A(-1 ; 3), B(4 ; 7/4) có nằm trên đồ thị hàm số không?
b) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua hai điểm A và B
c) Cho biết vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng đó Vẽ chúng trên cùng một mặt phẳng tọa độ
(a) A(-1 ; 3) thuộc đồ thị hàm số; b) y =
4
114
1 +
− x ; c) hai đ-ờng thẳng vuông góc
và cắt nhau tại A(-1 ; 3) )
2.4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A(0 ; 5), B(-3 ; 0), C(1 ; 1),
M(-4,5 ; -2,5)
a) CMR: A, B, M thẳng hàng và A, B, C không thẳng hàng
b) Tính diện tích tam giác ABC
(a/ Ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua hai điểm A, B là: 5
3
5 +
= x
y , kiểm tra xem điểm
M, điểm C có thuộc đ-ờng thẳng AB hay không; b/ Tam giác ABC vuông, S ABC =8,5)
2.5 Cho hai đ-ờng thẳng có ph-ơng trình: 2x - y = -6 và x + y = 3
a) Xác định tọa độ giao điểm M của hai đ-ờng thẳng
b) Hai đ-ờng thẳng lần l-ợt cắt trục hoành tại A và B Tính diện tích tam giác MAB
c) Giả sử (x ; y) là tọa độ của điểm thuộc miền tam giác MAB Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của 2x + y
a) M(-1 ; 4) b) S MAB =12 c) Xét đ-ờng thẳng có ph-ơng trình 2x + y = k ( D k ) ( D k ) luôn song song hoặc trùng với đ-ờng thẳng y = -2x và ( D k ) cắt Oy tại (0 ; k) Những điển có tọa độ(x ; y) thỏa 2x + y = k nằm trên ( D k ) nên việc tìm GTLN,
GTNN của k t-ơng ứng với vị trí của ( D k ) cắt miền tam giác MAB và
( D k ) cắt Oy sao cho k cao nhất và k thấp nhất
Do đó: - GTLN của k ứng với ( D k ) đi qua B, nghĩa là 2.3 + 0 = k k=6
- GTNN của k ứng với ( D k ) đi qua B, nghĩa là 2.(-3) + 0 = k k=−6
Trang 17a) Chứng minh rằng khi m thay đổi đ-ờng thẳng (d1) luôn đi qua một điểm A
cố định; đ-ờng thẳng (d2) luôn đi qua một điểm B cố định
b) Tính khoảng cách AB
c) Với giá trị nào của m thì (d2) // (d1)
d) Với giá trị nào của m thì (d2) và (d1) cắt nhau
2.8 Cho điểm A(0;-1) và B(-4; 3) Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) là đ-ờng trung
trực của AB Tính góc tạo bởi đ-ờng thẳng d với trục Ox
2.9 Cho hai điểm A(1;3) và B(-2;1)
a) Hãy lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (k) đi qua A và B
c ) Vuông góc với đ-ờng thẳng (k)
chuyên đề III Hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn
1 Ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn x và y có dạng ax + by = c, trong đó
0
+
c
b
a, , ,
2 Ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của
nó đ-ợc biểu diễn bởi đ-ờng thẳng ax + by = c
3 Để giải hệ hai ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn ng-ời ta th-ờng sử dụng hai ph-ơng pháp: cộng và thế (xem chi tiết SGK toán 9 tập 2)
4 Các b-ớc giải bài toán bằng cách lập hệ ph-ơng trình:
B-ớc1: Lập hệ ph-ơng trình
- Chọn hai ẩn và đặt ĐK thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại l-ợng ch-a biết theo các ẩn và các đại l-ợng đã biết
- Lập hai ph-ơng trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại l-ợng
B-ớc 2: Giải hệ hai ph-ơng trình nói trên
B-ớc 3: Trả lời: Kiểm tra xem các nghiệm của hệ ph-ơng trình, nghiệm nào
thích hợp với bài toán và đ-a ra kết luận
Chú ý: 1) Hệ ph-ơng trình: ( , , , ' , ' , ' )
' '
=
+
c b a c b a c y b x a
c by ax
- Có vô số nghiệm nếu: ' ' .
c
c b
b a
- Vô nghiệm nếu: ' ' .
c
c b
b a
Trang 18vô cùng quan trọng (chiếm một tỷ lệ rất cao trong việc thi lên lớp 10 THPT hàng năm) do đó chúng tôi tập trung đi sâu vào các bài tập và ph-ơng pháp giải bài toán bằng cách lập hệ ph-ơng trình
243
4
167
−
−
=++
5262
532
5
y x
y x
) (
7 4
40 10 24
3
4
16 7
4
x
y y
x
y y
3
y
x
Chú ý: Trong hai ph-ơng trình nên giữ lại ph-ơng trình nào đơn giản nhất
b) C1/ Từ ph-ơng trình thứ hai, ta có: x = 2y+2 5−6 (*) thay vào ph-ơng trình thứ nhất ta đ-ợc: ( 5+2)(2y+2 5−6)+ y=3− 5 y=3 − 5
−
−
=++
5262
532
5
y x
y x
) (
−
−
=
−+
−
5262
35222
52
y x
y
) (
(3)
Cộng vế theo vế hai ph-ơng trình của hệ (3), ta đ-ợc: x = 0, từ đó ta có y=3 − 5
Chú ý: Mọi bài toán giải hệ ph-ơng trình bậc nhất hai ẩn, ta đều giải đ-ợc bằng
ph-ơng pháp cộng hoặc ph-ơng pháp thế Nh-ng tr-ớc khi giải đối với từng bài, ta
phải chọn ph-ơng pháp đơn giản và tiện lợi nhất
=
−
(2) 1yx
(1) 5ykx
a) Với giá trị nào của k thì hệ ph-ơng trình có nghịêm (x ; y) = (2 ; -1)
b) Với giá trị nào của k thì hệ ph-ơng trình có nghịêm duy nhất ? Hệ ph-ơng trình vô nghiệm
Lời giải
a) Thay x = 2, y = -1 vào ph-ơng trình (1), ta đ-ợc: 2k - (-1) = 5 k=2
Và x = 2, y = -1 thỏa mãn ph-ơng trình (2)
Vậy với k = 2, hệ ph-ơng trình có nghiệm là: (x ; y) = (2 ; -1)
b) Hệ ph-ơng trình có nghiệm duy nhất 1
Trang 19+ Mối liên hệ giữa ba đại l-ợng vận tốc (v), quãng đ-ờng (s) và thời gian (t) trong bài tập chuyển động:
v
s t t
s v vt
+ Nếu vận tốc thực của thuyền (ca nô) là x km/h, vận tốc dòng chảy là y km/h thì vận tốc của thuyền (ca nô) khi xuôi dòng là x + y km/h, khi ng-ợc dòng là x – y km/h
+ Nếu một đội hoàn thành công việc xong trong a (ngày) thì một ngày cả đội làm đ-ợc
Ví dụ 3.3: (Toán chuyển động)
Hai ng-ời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc, đi ng-ợc chiều nhau và gặp nhau ở một địa điểm cách A là 2 km Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc nh- tr-ờng hợp trên, nh-ng ng-ời đi chậm hơn xuất phát tr-ớc ng-ời kia 6 phút thì họ sẽ gặp nhau ở chính giữa quãng đ-ờng Tính vận tốc mỗi ng-ời
Lời giải
Gọi vận tốc ng-ời đi nhanh là x (km/h)
Vận tốc ng-ời đi chậm là y (km/h) ĐK: x > y > 0
Nếu hai ng-ời cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đ-ờng ng-ời đi nhanh đi đ-ợc
2 km, ng-ời đi chậm đi đ-ợc 1,6 km, ta có ph-ơng trình:
y x
61
y x
8110
18
=
y x
y x
8110
181
612
, ,
,
giải ra ra đ-ợc: x = 4,5; y = 3,6 (TMĐK)
Vận tốc của ng-ời đi nhanh là 4,5 km/h, vận tốc của ng-ời đi chậm là 3,6 km/h
Ví dụ 3.4: (Toán chuyển động)
Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định và trong một thời gian đã định Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút Nếu vận tốc ô tô tăng 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô
−
=
−
1020
3040
3
y x
y x
Trang 20Giải ra ta đ-ợc: x = 50, y = 3 (TMĐK)
Vận tốc dự định của ô tô là: 50 km/h, thời gian dự định là: 3 giờ
Ví dụ: 3.5: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong
việc Nếu ng-ời thứ nhất làm một mình trong chín ngày rồi ng-ời thứ hai đến cùng làm tiếp trong một ngày nữa thì xong công việc Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thì bao lâu xong việc
Lời giải
Gọi thời gian ng-ời thứ nhất làm một mình xong công việc là x (ngày)
Thời gian ng-ời thứ âhi làm một mình xong công việc là y (ngày)
ĐK: x > 4; y > 4
Một ngày ng-ời thứ nhất làm đ-ợc
x
1 (công việc)
Một ngày ng-ời thứ hai làm đ-ợc
y
1(công việc) Hai ng-ời làm xong công việc trong 4 ngày Do đó, một ngày hai ng-ời làm đ-ợc 4
= +
y
x (1) Ng-ời thứ nhất làm trong 9 ngày rồi ng-ời thứ hai đến cùng làm 1 ngày nữa thì xong công việc nên ta có ph-ơng trình 10+ 1 = 1
= +
1 1 10
4
1 1 1
y x
y x
.Giải ra ta đ-ợc (x; y) = (12; 6)(TMĐK)
Vậy ng-ời thứ nhất làm một mình thì 12 ngày là xong công việc
Ng-ời thứ hai làm một mình thì 6 ngày là xong công việc
Ví dụ 3.6: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian qui
định Nếu giảm 3 ng-ời thì thời gian kéo dài thêm sáu ngày Nếu tăng thêm hai ng-ời thì xong sớm hơn dự định 2 ngày Hỏi theo qui định cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày, biết rằng khả năng lao động của các thợ là nh- nhau
xy y
x− 3 + 6 1 = 1 − 3 + 6 = (1) T-ơng tự nếu tăng thêm 2 (ng-ời) thì cần y – 2 (ngày), do đó ta có ph-ơng trình
xy y
x+ 2 − 2 1 = 1 + 2 − 2 = (2)
Trang 21= +
−
10
8 2
2
6 3
y
x xy y
x
xy y
x
(TMĐK)
Bài tập luyện tập 3.1 Giải các hệ ph-ơng trình sau:
=
−
5021
15
89
10
,
y x
−
−
=++
5262yx
532
42
=+
825
734
y x
y x
53
2
13
y x
y x
=+
+
30
11
2 2
xy
y
x
xy y
11164
y x xy
+
=+
+
6
232
=+
28
12
y y x x
x y y x
2
1
y x
y mx
−
=
−
43
32
y mx
my x
632
10
y x
y mx
=
−1
42
ay x
y x
a) Khi a = 1, giải hệ ph-ơng trình bằng ph-ơng pháp cộng
b) Tìm giá trị của a để hệ ph-ơng trình có nghiệm là x = -3, y = -10
(a/ x = 5/3, y = -2/3; b/ a = -2/5)
Trang 22(2) 22yx
(1) 3yax
- Tìm a để (D1) cắt (D2) tại điểm có tọa độ (2 ; 0)
- Tìm a biết rằng có điểm A trên (D1) và điểm B trên (D2)
=
03
0
B A
B A
y y
x x
(1) 2mymx
a) Xác định m để hệ ph-ơng trình trên có nghiệm duy nhất
b) Xác định m để hệ ph-ơng trình trên có nghiệm nguyên
c) Chứng tỏ rằng M(x ; y) với (x ; y) là nghiệm của hệ ph-ơng trình luôn nằm trên một đ-ờng thẳng cố định
d) Tìm giá trị của m để biểu thức P = xy có giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất
đó ( với x, y là nghiệm của hệ ph-ơng trình)
3.8 Tổng của hai số bằng 59 Hai lần của số này bé hơn ba lần của số kia là 7 Tìm
hai số đó (34 và 25)
3.9 Một sân tr-ờng hình chữ nhật có chu vi 340m Ba lần chiều dài hơn bốn lần chiều
rộng là 20m Tính chiều dài và chiều rộng của sân tr-ờng (100m và 70m)
3.10 Hai nguời thợ cùng xây một bức t-ờng trong 7 giờ 12 phút thì xong Nếu ng-ời
thứ nhất làm trong 5 giờ và ng-ời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai xây đ-ợc
4
3 bức
t-ờng Hỏi mỗi ng-ời làm một mình thì bao lâu xây xong bức t-ờng (12 và 18)
3.11 Tìm một số có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng chục lớn hơn 5 lần chữ
số hàng đơn vị là 1 và chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng đơn vị đ-ợc th-ơng là 2
và d- cũng là 2 (Số 83)
3.12 Một xe lửa phải vận chuyển một l-ợng hàng Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng
thì còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 5 tấn nữa Hỏi
xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng (8 toa và 123 tấn)
3.13 Hai đội xe chở cắt để san lấp một khu đất Nếu hai đội cùng làm thì trong 12
ngày xong việc Nh-ng hai đội chỉ cùng làm trong 8 ngày Sau đó đội thứ nhất làm tiếp trong 7 ngày nữa thì xong việc hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc
(Đội thứ nhất 21 ngày - đội thứ hai 28 ngày)
Trang 233.14 Hai xe lửa khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ng-ợc chiều
nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau Nếu xe thứ nhất khởi hành tr-ớc xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi đ-ợc 8 giờ chúng gặp nhau Tính vận tốc mỗi xe
(Xe thứ nhất 40km/h - xe thứ hai 35km/h)
3.15 Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một cái bể n-ớc cạn, sau
5
4
4 giờ thì đầy bể nếu lúc
đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở tiếp vòi thứ hai thì sau
5
6 giờ nữa mới đầy bể
Hỏi nếu một mình vòi thứ hai chảy thì bao lâu đầy bể (8 giờ)
3.16 Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ Thực tế, xí nghiệp
I v-ợt mức kế hoạch 10%, xí nghiệp II v-ợt mức kế hoạch 15%, do đó cả hai xí
nghiệp đã làm đ-ợc 404 dụng cụ Tính số dụng cụ mỗi xí nghiệp phải làm theo kế hoạch
( xí nghiệp I: 200 dụng cụ, xí nghiệp II: 160 dụng cụ)
3.17 Hai tr-ờng A và B có 210 học sinh thi đỗ hết lớp 9 đạt tỉ lệ 84%
Tính riêng thì tr-ờng A đỗ 80%, tr-ờng B đỗ 90% Tính xem mỗi tr-ờng có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi
(Tr-ờng A: 150, tr-ờng B: 100)
3.18 Ba chiếc bình có thể tích tổng cộng là 120 lít Nếu đỗ đầy n-ớc vào bình thứ
nhất rồi rót vào hai bình kia thì hoặc bình thứ ba đầy n-ớc còn bình thứ hai chỉ đ-ợc nữa thể tích của nó, hoặc bình thứ hai đầy n-ớc còn bình thứ ba chỉ đ-ợc một phần ba thể tích của nó Hãy xác định thể tích mỗi bình
( V1 =50l,V2 =40l,V3 =30l )
3.19 Hai bến sông A và B cách nhau 40 km Một ca nô xuôi từ A đến B rồi quay
ngay về A với vận tốc riêng không đổi hết tất cả 2 giờ 15 phút Khi ca nô khởi hành từ
A thì lúc đó, một khúc gỗ cũng trôi từ A theo dòng n-ớc và gặp ca nô trên đ-ờng trở
về tại một điểm cách A 8 km Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng n-ớc
3.20 Để làm xong một công việc, nếu A và B cùng làm thì mất 6 giờ; nếu B và C
cùng làm thì mất 4,5 giờ; nếu A và C cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút Hỏi nếu cả ba cùng làm thì phải mất bao lâu mới xong công việc đó
3.21 Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đ-ờng sau 3 giờ
thì gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tính vận tốc của mỗi xe
3.21 Một ô tô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ tr-a Nếu xe chạy với vận tốc 35
km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến B lúc 11 giờ tr-a Tính độ dài AB và thời điểm xuất phát tại A
3.22 Hai vòi n-ớc cùng chảy vào một cái bể n-ớc cạn, sau 44
5 giờ thì đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 6
5 giờ nữa mới đầy bể Hỏi một mình vòi thứ hai chảy thì đầy bể sau bao lâu?
3.23 Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng bằng 1006 Nếu lấy số lớn chia
cho số nhỏ đ-ợc th-ơng là 2 và số d- là 124
Trang 24chuyên đề IV Hàm số y=ax2(a0) - ph-ơng trình bậc hai một ẩn
a
b x
−
a
b x
a
b x
a
c x
x
a
b x
x
2
1
2 1
Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải ph-ơng trình: x2 −Sx+ p=0
(ĐK để có u và v là: S2 − P4 0)
* Nếu a + b + c = 0 thì ph-ơng trình ax2 +bx+c=0(a0) có hai nghiệm:
a
c x
x1 =1, 2 =
* Nếu a - b + c = 0 thì ph-ơng trình ax2 +bx+c=0(a0) có hai nghiệm:
a
c x
x1 =−1, 2 =−
Ví dụ 4.1: Xác định hệ số a của hàm số y=ax2, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2 ; 1) Vẽ đồ thị hàm số đó
Trang 25Lêi gi¶i
a) A(-2 ; 1) x=−2,y=1, thay vµo ph-¬ng tr×nh y=ax2 ta ®-îc :
4
11
1 2
cã nghiÖm kÐp 0
4 1 ' = + = = −
1
; 1
VÝ dô 4.3: Cho ®-êng th¼ng cã ph-¬ng tr×nh 2(m− 1) (x+ m− 2)y = 2( )d
2 1
−
x m x
m x
y
y m x m
3
2 0
0 2
2 ' '
m m m
m
m m
a
b) Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB th×
2
1 2
b x
1 2
2 2
2
1 1 2 2 2
1 2
y m m
m m
y m x m