TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán Tính f x dx g x Trong đó f(x) và g(x) là các đa thức theo biến x có bậc lần lượt là m và n • Trường hợp 1 m ≥ n Lấy f(x) chia cho g(x[.]
Trang 1TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán: Tính f x dx
g x Trong đó f(x) và g(x) là các đa thức theo biến x có bậc lần lượt
là m và n
• Trường hợp 1: m ≥ n
Lấy f(x) chia cho g(x) để đưa về các nguyên hàm cơ bản
• Trường hợp 2: m < n Phương pháp hệ số bất định
Bước 1: Đưa g(x) về dạng g(x) = (ax+b) (cx+d)n(px2+qx+r)
(Trong đó px2+qx+r = 0 vô nghiệm)
Bước 2: Đặt f x A B C 2 N n
Bước 3: Quy đồng mẫu và đồng nhất hệ số của (1) để tìm các giá trị A, B, C, …, M,
N, P
Một số trường hợp đặc biệt:
a) Bậc của f(x) nhỏ hơn bậc của g(x) 1 đơn vị (m=n-1)
Thử đặt t = g(x) và tính dt
• Nếu dt = k f(x)dx thì sử dụng
• Nếu dt ≠ k g(x)dx thì sử dụng phương pháp hệ số bất định
b) Tích phân dạng :
• Nếu ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm phân biệt thì sử ta sử dụng phương pháp hệ số bất định
• Nếu ax2+bx+c=0 có nghiệm kép x=x0 thì , sau đó đặt t=x-x0
• Nếu ax2+bx+c=0 vô nghiệm thì ta sử dụng phương pháp lượng giác hoá
c) Một số nguyên hàm cần nhớ:
Trang 2B BÀI TẬP
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a)
3 2
3
2
.
dx
x x
3 2
.
x dx
c)
2
2
6
sin
sin 3
xdx I
x
4
3 2
0
.
x
Lời giải
a) Đồng nhất hệ số:
2
2
Xét PT (1) cho
2 2
b) Đồng nhất
Ta có
2
cos
I
3
3
3 cos
2
0 3
0
I
t
Trang 3d) Ta có
4
3 2
0
.
x
cos
x
Đối cận
1 4
0
.
t
Ví dụ 2: Cho tích phân
1 2 0
xdx
với a b c, , Tính giá trị của biểu
thức T a 2b 3 c
Lời giải
2
1 0
1
0
a x
c
Do đó T a 2b c 0. Chọn A
Ví dụ 3: Cho tích phân
4 2 2 3
với a b c, , Tính giá trị của biểu
thức 2
T a bc
Lời giải
2
3
12
1 5
3
2
a
c
Chọn D
Ví dụ 4: Cho tích phân
ln 2
dx
với a b c, ,
Trang 4Tính giá trị của biểu thức T a 3b 2 c
Lời giải
Đặt te x dt e dx x tdx. Đổi cận 0 1
Khi đó
dt
2 1
Do đó 0; 1; 1 2.
2
a b c T Chọn B
Ví dụ 5: Cho tích phân
2
2 0
sin 2
2 ln ,
x
x
với a b, là các số hữu tỷ
Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A 3a 2b 2 B 3a 2b 1 C 3a 2b 1 D 3a 2b 2
Lời giải
Đặt t sinxdt cosxdx và đổi cận
1 2
Khi đó
2
2
t
1 0
2
3
2
a
t
b
Chọn C
Ví dụ 6: Cho tích phân
6 3 2
x
x x
với a b c, , Tính giá trị của biểu thức S a b c
2
2
2
S
Lời giải
Ta có
3
x x
Trang 56 6
a b c S a b c Chọn D
Ví dụ 7: Cho tích phân 2
6
x
với a b c, , Khẳng định nào sau đây là đúng
Lời giải
sin
1
t x
1
1 2
Ví dụ 8: Cho tích phân 4
0
cos x cos x dx a b 2 c.
với a b c, , Tính tổng S a b c.
24
12
S
24
S
24
S
Lời giải
1 cos 2
2
x
4
2
0
Ví dụ 9: Cho tích phân
2 4 1
2
dx
với a b c, , Tính giá trị của biểu thức T a b c
9
18
T
2
T
9
T
Lời giải
Trang 6
1
ln
I
1 6
1
a
c
Chọn D
Ví dụ 10: Cho tích phân
2 3
0
sin cos
ln 3 ln 3
1 cos
x
với a b c, , Tính tích Pabc
8
4
4
P
8
P
Lời giải
1
cos
1 2
1 2
2
1 8
a t
c
Chọn B