Nguyen ham cua ham luong giac toan 12

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản               1 2 3 4 2 5 2 6 7 2 8 2 9 2 I sin xdx cos x C 1 I sin ax dx cos ax C a I cos xdx sin[.]

NGUYÊN HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1 Một số nguyên hàm lượng giác cơ bản

 

1

2

3

4

2

5

2

6

I sin xdx cos x C

1

I sin ax dx cos ax C

a

I cos xdx sin x C

1

I cos ax dx sin ax C

a

1 cos 2x x sin 2x

1 cos 2x x sin 2x

dx

cos x

cos ax a

dx

I

sin ax

















11

12

2

2

cot x C

sin ax a

sin xdx

cos x cos xdx

sin x 1

cos x 1

sin x





2 Các dạng nguyên hàm lượng giác thường gặp

Dạng 1: Nguyên hàm m n

Isin x.cos xdx

m2k 1  I sin x.cos x.sin xdx

1 cos x cos xd cos x

- TH2: Nếu n2k 1  Đặt tsinx

- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc

Chú ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa sinx và cosx dạng

If sin x cos xdxf sin x d sin x  Đặt tsinx

     

If cos x sin xdx f cos x d cos x  Đặt tcos x

Dạng 2: Nguyên hàm I m dx n

sin x.cos x

d cos x sin xdx

m 2k 1 I

sin  x.cos x 1 cos x  .cos x



Khi đó ta đặt: tcos x

- TH2: Nếu n2k 1  ta đặt tsinx

- TH3: Nếu m,n đều chẵn ta biến đổi

1 sin x cos x

sin x.cos x sin x.cos x



Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm tanx và cotx

Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx ta thường dùng các hằng đẳng thức

1 cot x; 1 tan x

sin x   cos x  

Nguyên hàm mà mẫu số là đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx;

A sin xBsin x cos C cos x thì ta chia cả tử số và mẫu số cho 2

cos x

2

tan

tan tan cos

x

Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng

1 cos ax.cos bxdx cos a b x cos a b x dx

2 1 sin ax.sin bxdx cos a b x cos a b x dx

2 1 sin ax.cos bxdx sin a b x sin a b x dx

2 1 cos ax.sin bxdx sin a b x sin a b x dx

2

Dạng 5: Nguyên hàm I dx

a sin x b cos x c



Ta có:

dx I

2a sin cos b cos sin c sin cos



x

t tan

2

2

m sin n sin cos p cos cos m tan n tan p

dt I

mt nt p





 

 



B BÀI TẬP

Ví dụ 1: Tính các nguyên hàm sau:

Isin x.cos xdx

Isin x.cos xdx

Isin x.cos xdx

Isin xdx

Ví dụ 2: Tính các nguyên hàm sau:

a)

3

cos x

1 sin x





b) 2 cos x dx

I

sinx



sin x.cos x

d) I 4 dx 2

sin x.cos x

Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:

Itan xdx

b)

4

tan x

cos 2x

c) Isin 2x cos 3xdx

Isin x cos 3xdx

Ví dụ 4: Xét các mệnh đề sau:

(1) dx ln cos x 1 C

sin x cos x 1





(2)

7

sin x cos xdx C

7

(3)

4

sin x tan x

(4) 3 sin x

3

Số mệnh đề đúng là:

Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' x  x sin x sin 2x. Biết rằng f(0) = 2 Giá trị của f

2



 

 

 

là:

A

2

2 f

2 4 3

   

 

2

8 f

2 4 3

   

 

2

2 f

2 2 3

   

 

2

8 f

2 2 3

   

 

 

Ví dụ 6: Cho hàm số f(x) thỏa mãn   35

sin x

cos x

4



  

 

  Tính giá trị của f 3



 

 

 

A f 0

3



  

 

  B f 3 16



  

 



  

 



  

 

 

Ví dụ 7: Tìm nguyên hàm

sin 2xdx I

2 s inx





2 sin x

2 sin x



2 sin x

2 sin x



I a cos x b cos 2x ln 1 cos x C(a; b )

1 cos x



b là

A a b 3

4

   B a b 5

4

4

4

  

Ví dụ 9: Biết rằng F(x) là một nguyên hàm của hàm số  

1

f x

2sin x 3cos x



 và   5

6



Khi đó:

A   1

4 tan x 6



F x

4 tan x 6 3

F x

2 tan x 3 6



 D

F x

2 tan x 3 2



Ví dụ 10: Tính nguyên hàm

2

tanx

dx cos x 1 cos x

I tan x 2 C B 2

I cos x 2 C C 2

I tan x 1 C  D 2

I cos x 1 C 