Tong hop mot so kien thuc can nho ve ham mu ham luy thua ham logarit

TỔNG HỢP MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÀM MŨ – HÀM LŨY THỪA – HÀM LOGARIT I HÀM SỐ LŨY THỪA 1 Định nghĩa Hàm số y x với ,  được gọi là hàm số lũy thừa 2 Tập xác định Tập xác định của hàm số y x l[.]

TỔNG HỢP MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÀM MŨ – HÀM LŨY THỪA –

HÀM LOGARIT

I HÀM SỐ LŨY THỪA

1 Định nghĩa: Hàm số yx với   , được gọi là hàm số lũy thừa

2 Tập xác định

Tập xác định của hàm số yx là:

 với  là số nguyên dương

 \ 0  với  là số nguyên âm hoặc bằng 0

 0;  với  không nguyên

3 Đạo hàm

Hàm số yx với   có đạo hàm với mọi x 0 và   1

'

x   x

4 Tính chất của hàm số lũy thừa trên khoảng 0; 

 yx  0  x 0;  

 Đồ thị hàm số luôn đi qua điểm  1;1

0 y' x ' x 0

         x 0;   hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp này

0

     do đó đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

0 y' x ' x 0

         x 0;   hàm số luôn nghịch biến

Trong trường hợp này

0

lim 0; lim

x x

     do đó đồ thị hàm số nhận trục Ox là đường tiệm cận ngang và trục Oy là đường tiệm cận đứng

5 Đồ thị hàm số lũy thừa  a

y x trên khoảng 0;

Đồ thị hàm số yx luôn đi qua điểm I 1;1

Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với sỗ mũ

cụ thể, ta phải xét hàm số đó trên toàn bộ tập xác

định của nó Chẳng hạn:

yx x .

yx x 0 

Hàm số:

1 3

yx x 0 

II HÀM SỐ MŨ

1 Định nghĩa

Cho số thực 0.

1

a a





 

x

ya được gọi là hàm số mũ cơ số a.

2 Tập xác định

Tập xác định của hàm số x

ya là : D

Do ya x    0; x suy ra tập giá trị của hàm số x

ya là T 0; 

3 Đạo hàm

Đạo hàm:  

 

 

 

ln

'

e e u

 

 

Công thức giới hạn:

0

1

t t

e t



 

Với hàm số x

ya ta có: y' a xlna

 Với a 1 khi đó y' a xlna 0. Hàm số luôn đồng biến

Trong trường hợp a 1 ta có lim lim x 0

    do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cận ngang

 Với 0  a 1 khi đó ' xln 0.

y a a Hàm số luôn nghịch biến Trong trường hợp a 1 ta có lim lim x 0

    do đó đồ thị hàm số nhận trục hoành là tiệm cân ngang

4 Đồ thị hàm số  x

Đồ thị hàm số  x

y a nhận trục Ox là tiệm cận ngang và luôn đi qua các điểm  0;1 và  1; a

Đồ thị hàm số x

ya nằm phía trên trục hoành

ya x   0 x 

III HÀM SỐ LOGARIT

1 Định nghĩa

Cho số thực 0.

1

a a





 

 Hàm số yloga x được gọi là hàm số lôgarít cơ số a.

2 Tập xác định

 Hàm số: y loga x0  a 1 có tập xác định: D0; 

Do loga x nên hàm số y loga x có tập giá trị là T 

 Hàm số y logaP x  điều kiện: P x  0.

Nếu a chứa biến x thì ta bổ sung điều kiện 0  a 1.

Đặc biệt: y logaP x n  điều kiện: P x  0 nếu n lẻ; P x  0 nếu n chẵn

3 Đạo hàm

u



ln

a

u u

u a



4 Tính chất

ln

a

x a

 Với a 1 ta có   1

ln

a x

x a

   Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 0; .

Trong trường hợp này ta có:

0

lim

x  y

   do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng

 Với 0  a 1 ta có:   1

ln

a x

x a

   Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng 0; .

 Trong trường hợp này ta có:

0

lim

x

y



   do đó đồ thị hàm số nhận trục tung là tiệm cận đứng

5 Đồ thị hàm số yloga x

tung vì có tập xác định là D0; .

Đồ thị nhận trục tung là tiệm cận đứng

 Nhận xét: Đồ thị hàm số x

ya và y loga x, 0  a 1 đối xứng nhau qua đường thẳng yx, (góc phần tư thứ nhất và thứ 3 trong hệ trục tọa độ Oxy).