DẠNG 13 CÁCH XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG Phương pháp Cho mặt phẳng và đường thẳng a không vuông góc với Xác định mặt phẳng chứa a và vuông gó[.]
Trang 1DẠNG 13 CÁCH XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHỨA MỘT ĐƯỜNG THẲNG
VÀ VUÔNG GÓC VỚI MỘT MẶT PHẲNG
Phương pháp:
Cho mặt phẳng và đường thẳng a không vuông góc với Xác định mặt phẳng chứa
a và vuông góc với
Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
Chọn một điểm Aa
Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với Khi đó mp a b chính là mặt phẳng ,
Câu 1:Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông, SA (ABCD Gọi ( ) là mặt phẳng ) chứa AB và vuông góc với (SCD , ( ) cắt chóp ) S ABCD theo thiết diện là hình gì?
A hình bình hành B hình thang vuông
C hình thang không vuông D hình chữ nhật
Hướng dẫn giải:
Dựng AH CD
Ta có CD SA CD (SAD)
Suy ra CD AH
mà AH (SCD suy ra ) AH ( )
Do đó (AHB )
Vì //CD nên (SAD) HK CD K// ( SC )
Từ đó thiết diện là hình thang ABKH
Mặt khác AB (SAD nên AB) AH
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H
Chọn đáp án B
ACa OC SO SC OC , mà 1
a
SOOCOM SC Chon
A
a
β
α
A
H
Trang 2Câu 2:Cho hình chóp S ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có ABa AD, 2 a SA
vuông góc với đáy và SAa Gọi P là mặt phẳng qua SO và vuông góc với SAD Diện tích thiết diện của P và hình chóp S ABCD bằng bao nhiêu?
2
2
2
2
a
D a 2
Hướng dẫn giải:
Gọi MN là đoạn thẳng qua O vuông góc AD (M N thuộc , AD BC ) ta có , MNSAD
nên SMN là thiết diện cần tìm
SMN vuông tại M nên 2 2
SMN
SM MN
Chọn B
Câu 3:Cho hai mặt phẳng vuông góc ( )P và ( ) Q có giao tuyến Lấy A, B cùng thuộc và lấy C trên ( ) P , D trên ( )Q sao cho ACAB, BDAB và ABACBDa Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng ( ) đi qua A và vuông góc với CD là?
A
2
2
12
a
B
2
2 8
a
C
2
3 12
a
D
2
3 8
a
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Ta có:
( ) ( )
( ),
BD Q BD
Gọi H là trung điểm BC , ta có AH BC AH CD
Trong mặt phẳng (BCD , kẻ HI) CD thì ta có CD(AHI)
Khi đó mặt phẳng ( ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam
giác AHI
Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên BCa 2
Trong tam giác vuông BCD , kẻ đường cao BK thì 2
3
a
BK
và
6
a
HI
Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích
2
3 12
a
S
Câu 4:Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại ’ ’ ’ A , với ABc,
ACb, cạnh bên AA’h Mặt phẳng P đi qua A’ và vuông góc với ’B C Thiết diện của lăng
trụ cắt bởi mặt phẳng P có hình:
Trang 3A h và h .1 .2 B h.2 và h 3 C h .2 D h .1
Hướng dẫn giải:
Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua A' và vuông góc với BC Từ A' ta dựng A K' 'B C' ', Vì (ABC)(BCC B' ') nên A K' 'B C' 'A K' '(BCC B' ')A K' 'BC' (1)
Mặt khác trong mặt phẳng (BCC B dựng ' ') K x' B C' và cắt B B' tại 1 điểm N (2) (điểm gì đề chưa có cho nên cho tạm điểm N )
Từ (1) và (2) ta có : ' ' ' ' ( ' ' )
' '
BC A K
BC A K N
BC K N
Chọn đáp án A
Câu 5:Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng ' ' ' ' a Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC Thiết diện là hình gì? '
A Hình vuông B Lục giác đều
C Ngũ giác đều D Tam giác đều
Hướng dẫn giải:
Ta có AC là hình chiếu của AC lên (' ABCD )
mà AC BD nên AC' BD, (1)
Ta có ( ' ' ) '
' ( ' '
AD AA B B
A B AD
Lại có A B' AB suy ra '
' ( ' ' )
' ' , (2) ' ( ' ' )
A B AB C D
AC A B
Từ (1) và (2) suy ra AC' ( 'A BD), (3)
Mặt phẳng trung trực AC là mặt phẳng ( ) đi qua '
trung điểm I của AC và ( )' AC', (4)
Từ (3) và (4) suy ra ( ) qua
( )//( ' )
A BD
Do đó
Qua I dựng MQ BD //
Trang 4Dựng
//A'D
NP// ' ' //
//B'C//A'D
//
MN
B D BD
QK
KH BD
2
a
MN NP PQ QK KM
Suy ra thiết diện là lục giác đều
Chọn đáp án B
Câu 6:Cho hình lập phương ABCD A B C D có cạnh bằng a Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC Diện tích thiết diện là
A
2
3 2
a
2
3 4
a
2
3 3
4
a
S
Hướng dẫn giải:
Ta có mặt phẳng trung trực của ACcắt hình lập phương
ABCD A B C D theo thiết diện là lục giác đều MNPQRDS cạnh
a
B C
Khi đó 1 2 2 3 23 3
a a