Bai tap on tap chuong iii hinh hoc 9 chon loc

15.Nêu cách tính số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung theo số đo của cung bị 18.Nêu cách tính độ dài cung n của hình quạt tròn bán kính R 19.Nêu cách tính diện tích hình qu

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG III

I CÂU HỎI

1.Góc ở tâm là gì ?

2.Góc nội tiếp là gì ?

3.Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là gì ?

4.Tứ giác nội tiếp là gì ?

5.Với ba điểm A, B,C thuộc một đường tròn khi nào thì:

s®AB  s®AC  s®CB ?

6.Phát biểu các định lí về mối quan hệ giữa cung nhỏ và dây căng cung đó trong một

đường tròn

7.Phát biểu định lí và hệ quả về các góc nội tiếp cùng chắn một cung

8.Phát biểu định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

9.Phát biểu quỹ tích cung chứa góc

10.Phát biểu điều kiện để một tứ giác nội tiếp được đường tròn

11.Phát biểu một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

12.Phát biểu định lí về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của đa giác đều 13.Nêu cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn

14.Nêu cách tính số đo của góc nội tiếp theo số đo của cung bị chắn

15.Nêu cách tính số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung theo số đo của cung bị

18.Nêu cách tính độ dài cung n của hình quạt tròn bán kính R

19.Nêu cách tính diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n

Giải 1.Định nghĩa góc ở tâm:

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn gọi là góc ở tâm

2.Định nghĩa góc nội tiếp

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó

3.Định nghĩa:

Góc tạo bởi một tia tiếp tuyến và một dây cung đi qua tiếp điểm gọi là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

4.Định nghĩa tứ giác nội tiếp

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là tứ giác nội tiếp)

5.Ba điểm A, B, C thuộc một đường tròn khi

Định lí:

Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì: s®AB  s®AC  s®CB

6.Định lí 1:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

a) Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b) Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

Định lí 2:

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

a) Cung lớn hơn căng dây lớn hơn;

b) Dây cung lớn hơn căng cung lớn hơn

7.Định lí và hệ quả về góc nội tiếp

a) Định lí:

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

b) Hệ quả:

Trong một đường tròn:

* Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

* Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

* Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90 ) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

* Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

8.Định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung

Định lí:

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn

9 Phát biểu quỹ tích cung chứa góc

Quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng cho trước dưới các góc bằng nhau là cung tâm chứa các góc bằng nhau dựng trên đoạn thẳng cho trước

10 Phát biểu điều kiện đi một tứ giác nội tiếp được đường tròn

Tứ giác thỏa mãn mà hai điều kiện sau thì nội tiếp được đường

a) Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180  thì nội tiếp được đường tròn

b) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm thì nội tiếp được đường tròn

11 Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

Có 5 dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp được một đường tròn

a) Hình thang cân nội tiếp được đường tròn

b) Hình chữ nhật nội tiếp được đường tròn

c) Tứ giác có tổng số đo của hai góc đối diện bằng 180  nội tiếp được đường tròn

d) Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một nội tiếp được đường tròn

e) Tứ giác có hai đỉnh liên tiếp nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới các góc bằng nhau thì nội tiếp được đường tròn (Áp dụng quỹ tích cung chứa góc)

12 Định lí về đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp đa giác đều

Bất kỳ đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một và chỉ một đường tròn nội tiếp

13 Cách tính số đo cung nhỏ, cung lớn

Số đo của cung tìm được tính theo công thức

180



 Rn

14 Cách tính số đo của góc nội tiếp

Số đo của góc nội tiếp được tính theo định lí:

Định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn

15 Cách tính số đo của góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây

Vận dụng định lí: “Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo của cung bị chắn” để tính số đo của góc tạo với tiếp tuyến và một dây

16 Muốn tính số đo của góc có đỉnh ở trong đường tròn, ta vận dụng định lí:

Số đo của góc có đỉnh ở trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

17 Muốn tính số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn, ta vận dụng định lí

Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn

18 Nếu cách tính độ dài cung n của hình quạt tròn bán kính R

Muốn tính độ dài cung n của hình quạt tròn bán kính R ta vận dụng công thức:

Bài 2: (89 / 104 / SGK T2)

Trong hình 67, cung AmB có số đo là 60  Hãy:

a) Vẽ góc ở tâm chắn AmB Tính AOB

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn AmB Tính ACB

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA Tính góc Abt

d) Vẽ ADB có đỉnh D nằm ở trong đường tròn

So sánh ADB với ACB

e) Vẽ AEB có đỉnh E ở bên ngoài đường tròn

(E và C cùng phía đối với AB) So sánh

AEB với ACB

Giải

a) Vẽ góc ở tâm AOB

Hình vẽ góc ở tâm AOB ở bên cạnh

Do cung AmB 60 (giả thiết) nên

60

AOB (Theo định lí) số đo của

góc ở tâm bằng số đo của cung bị chắn

OABOBA AOB 

b) Vẽ góc nội tiếp đỉnh C chắn AmB

Tính ACB

Muốn tính số đo của góc nội tiếp ta sử

dụng định lí: Số đo của góc nội tiếp

bằng nửa số đo của cung bị chắn

Số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

Do AmB 60 (giả thiết )  AOB 60 

c) Vẽ góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt và dây cung BA

Muốn tính số đo của góc tạo bởi tia

tiếp tuyến Bt và dây BA ta sử dụng

định lí:

Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến Bt

và dây cung BA ta sử dụng định lí: Số

đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và

một dây cung bằng nửa số đo của cung

VậyABt   30

d) Vẽ ADB có đỉnh D nằm ở bên trong đường tròn (O)

Gọi C là giao điểm của AD và (O) E là giao

điểm của BD và (O)

số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

có số đo bằng nửa tổng số đo của hai cung bị

*So sánh ADB và ACB

BDC có ADB là góc ngoài đỉnh C nên ADB ACBDBC(Theo định lí: mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong kề với nó  ADB ACB)

e) Vẽ AEB có đỉnh E ở ngoài đường tròn (O)

AE cắt (O) tại F BE cắt (O) tại C

bên ngoài đường tròn bằng nửa

hiệu số đo hai cung bị chắn)

So sánh ACB và AEB

ACE có ACB là góc ngoài đỉnh C

nên ACBCEA CAE ACB AEB

Bài 3: (90 / 104 / SGK T2)

a) Vẽ hình vuông cạnh có độ dài 4cm

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó

Tính bán kính R của đường tròn này

c) Vẽ đường tròn nội tiếp hình vuông đó

Tính bán kính r của đường tròn này

Giải

GT Đường tròn (O; R) ngoại tiếp

ABCD ABCD có AB = BC = CD = DA =

b) Vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD

Cách vẽ đường tròn (O) ngoại tiếp ABCD

- Kẻ đường chéo AC vẽ đường chéo BD cho cắt nhau tại O

Có OAOCOBOD(Tính chất đường chéo của hình vuông)

- Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OA được đường tròn O ngoại tiếp

hình vuông ABCD

- Tại O hạ OM AB MO cắt CD tại N

- Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OM được đường tròn O, bán kính

OM là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD

*Tính R

AOM vuông tại M có OAM  45  (Tính chất đường chéo của hình vuông)

 AOM vuông cân tại M

Do ACBD tại trung điểm O của mỗi đường nên AOB vuông cân tại OOM

vừa là đường cao vừa là trung tuyến thuộc đáy AB nên 4 2

b) Tính độ dài cung AqB và cung ApB

c) Tính diện tích hình quạt tròn OAqB

Giải

a) Muốn tính số đo của cung AqB ta vận dụng định lí

Trong một đường tròn số đo của một cung bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó

s®AOB   75 gi¶ thiÕt  s®AqB   75

Muốn tính số đo của AqB ta vận dụng định lí Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa

360  và số đo của cung nhỏ (có chung hai mút với cung lớn) nên sđ

360 s® 360 75 285

ApB    AqB      

b) Tính độ dài AqB và ApB

Muốn tính được độ dài cung AqB và cung ApB ta vận dụng công thức

; 180

c) Muốn tính diện tích hình quạt tròn OAqB

Muốn tính được diện tích hình quạt tròn OAqB ta vận dụng công thức:

2

S= R 1, 5 2, 25 ta cã DiÖn tÝch h×nh trßn 0;1 lµ:

Muốn tính được diện tích hình chấm đậm ta dựa vào kết quả của hình 69

Diện tích hình tròn 0;1,5 trừ đi diện tích hình quạt trên AOB Diện tích hình quạt trên AOB có AOB 80, bán kính 1,5 Tính diện tích hình quạt trên góc 80 bán kính 1 Hiệu của chúng là diện tích hình chấm đậm

Cách khác: Tính diện tích hình quạt tròn bán kính 1 và góc 80  trừ đi diện tích hình quạt tròn bán kính hình chấm đậm

Khi một bánh xe quay thì hai bánh xe còn lại cũng quay theo

Bánh xe A có 60 răng, bánh xe B có 40 răng, bánh xe C có 20 răng Biết bán kính bánh

xe C là 1 cm Hỏi:

a) Khi bánh xe C quay được 60 vòng thì bánh xe B quay được mấy vòng ?

b) Khi bánh xe A quay được 80 vòng thì bánh xe B quay được mấy vòng ?

c) Bánh của cái bánh xe A và B là bao nhiêu ?

Giải

a) Biết rằng số vòng quay của bánh xe tỉ lệ thuận với sự di chuyển của số răng cưa

Do đó khi bánh xe C quay 60 vòng thì di động của số răng cưa là:

60.20  1200 (lần số răng của chuyển động)

Khi đó số vòng quay của bánh xe B là: 1200 : 40  30(vòng)

b) Khi bánh xe A quay 80 vòng thì bánh xe B quay được:

Hãy xem biểu đồ hình quạt biểu diễn sự phân phối học sinh của một trường trung học cơ

sở theo diện ngoại trú, bán trú, nội trú (hình 72) Hãy trả lời các câu hỏi sau:

a) Có phải 1

2 số học sinh là học sinh ngoại trú không ?

b) Có phải 1

3 số học sinh là học sinh bán trú không ?

c) Số học sinh nội trú chiếm bao nhiêu phần trăm ?

d) Tính số học sinh mỗi loại, biết tổng số học sinh là 1800cm

Giải

)    90

a COD Hình quạt COD chiếm 1

2 nửa hình tròn đường kính AB nên đáp án a) đúng

Chú ý: Hai đoạn thẳng CE và CD là hai dây của đường

tròn (O) ngoại tiếp ABC

Do thế ta nên dùng định lí về quan hệ giữa cung và dây căng cung để chứng minh

AIC vuông tại I nên IACACB  90 (Theo định lí: Trong một tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau) (1)

BKC vuông tại  CBKACB  90 (2)

Từ (1) và (2) ta có IACCBK(cùng phụ ACB)CDCE

(Theo định lí: Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì chắn hai cung bằng nhau) CECD(Theo định lí: Trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau)

Ta dùng phương pháp nào để chứng minh BHD cân ?

Với giả thiết: “Đường cao” “nội tiếp “ ta nghĩ ngay đến các góc cùng phụ và vuông góc Từ đó ta có phương pháp

Trong các phương pháp chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, có một phương pháp

sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng

Câu này ta sử dụng tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng nhưng cũng có thể dùng định nghĩa tam giác cân đã chứng minh CH CD

Cách 1:

Ta có BI là đường cao thuộc đáy DH của BDH cân tại B (chứng minh trên ) BI lại

là trung trực của đoạn DHCH CD(Tính chất đường trung trực của một đoạn

thẳng)

Cách 2:

CDH có CI vừa là đường cao vừa là trung trực của DH (chứng minh trên) nên CDH

cân tại CCDCH(hai cạnh bên của một tam giác cân)

Bài 9: (96 / 105 / SGK T2)

Cho ABCnội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của BAC cắt đường tròn (O) tại M

Kẻ đường cao AH

a) Chứng minh OM đi qua trung điểm của dây BC

b) Chứng minh AM là tia phân giác của OAH

Giải

GT ABCnội tiếp đường tròn (O)

Phân giác của BACcắt (O) tại

a) Chứng minh OM đi qua trung điểm I của BC

Muốn chứng minh được I là trung điểm của BC ta phải sử dụng định lí và đường kính

đi qua điểm chính giữa của một cung và dây căng cung ấy

Do AM là phân giác của BAC nên BAM CAM BM CM (Theo định lí: Trong một đường tròn hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) M là điểm chính giữa của cung BC Đường kính OM đi qua trung điểm I của dây BC (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy)

OM BC tại I (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy)

b) Ta có: AH // OM (cùng vuông góc với BC)  A1 M1(Hai góc so le trong) (1)

AOM có OAOM R nên AOM cân tại O (Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân)

 A M (Theo định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau) (2)

Từ (1) và (2) ta có A1  A2 (cung bằng M1)AM là phân giác của OAH

Bài 10: (97 / 105 / SGK T2)

Cho ABC vuông ở A Trên AC lấy điểm M, vẽ đường tròn đường kính MC Kẻ BM cắt đường tròn tại D Đường thẳng OA cắt đường tròn tại S

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn

b) Chứng minh ABD ACD

c) Chứng minh CA là phân giác của SCB

Giải

Chứng minh

a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn

Có 5 phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp được đường tròn được sử dụng nhiều nhất Muốn chứng minh ABCD nội tiếp được đường tròn ta sử dụng phương pháp nào?

Với giả thiết: “Tam giác ABC vuông tại A”, “Đường tròn (O) đường kính C”, “BM cắt đường tròn (O) tại D” Ta biết ngay: Muốn chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn ta dùng phương pháp: quỹ tích cung chứa góc

Ta có: BAC   90 (giả thiết )

90

 

BDC (vì MDC nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính CM)

 A và D cùng nhìn đoạn BC dưới góc 90  Tứ giác ABCD nội tiếp được tròn tâm I đường kính BC (quỹ tích cung chứa góc)

b) Chứng minh ABD ACD

Muốn chứng minh ABD ACD ta phải dùng phương pháp nào?

Theo giả thiết và kết quả của câu a, ta thấy ABD và ACD là hai góc nội tiếp của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Do thế ta có ngay phương pháp chứng minh

A BD  (Theo định lí: Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa

số đo của cung bị chắn) (1)

2

A D

A CD  (Theo định lí về góc nội tiếp và cung bị chắn) (2)

Từ (1) và (2) ta có ABD ACD ( đều có số đo bằng 1s®

2 A D )

c) Chứng minh CA là phân giác của BCS

Ta có C1 D1 (Hai góc nội tiếp cùng chắn AB của đường tròn (I) đường kính BC)

C D (Hai góc nội tiếp cùng chắn SM của đường tròn đường kính CM) C1 C2

(cùng bằng D1)CA là phân giác của BCS

Bài 11: (98 / 105 / SGK T2)

Cho đường tròn (O) và một điểm A cố định trên đường tròn Tìm quỹ tích các trung điểm

M của dây AB khi điểm B di động trên đường tròn

đó

Giải

Đây là bài toán quỹ tích

Muốn giải bài toán quỹ tích cho đầy đủ

ta phải giải qua hai phần: (Hoặc tách

thành ba phần cũng được )

*Phần thuận: Trong phần thuận làm qua 3 bước

- Xác định yếu tố cố định, không đổi và di động

- Tìm mối quan hệ giữa các yếu tố di động và các yếu tố cố định và không đổi

- Từ mối quan hệ giữa các yếu tố di động và các yếu tố cố định và không đổi Xác định được cái yếu tố di động nằm trên đường nào để thỏa mãn điều kiện đề bài

*Phần đảo: Lấy điểm bất kì trên đường vừa tìm được Chứng minh điểm đó thỏa mãn

điều kiện đề bài

Kết luận: Những điểm thỏa mãn điều kiện đề bài nằm trên đường nào (quỹ tích là đường thẳng hay đường tròn) nằm từ đâu đến đâu

Giải cụ thể bài này:

Theo đề bài: Đường tròn (O) cố định thì tâm O là điểm cố định bán kính OA có độ dài không đổi Điểm A cũng là điểm cố định dẫn tới đoạn thẳng nối hai điểm cố định A và O

là đoạn thẳng cố định về vị trí, không đổi về số đo

B di động trên đường tròn (O) dẫn đến dây AB cũng di động theo Do dây AB di động dẫn đến trung điểm M của dây AB cũng di động

Nối tâm O của đường tròn với trung điểm M của dây AB thì được OM AB (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy)

M luôn luôn nhìn đoạn OA cố định và không đổi dưới góc không đổi bằng 90  M

nằm trên đường tròn đường kính OA

Phần đảo:

Lấy định lí M bất kỳ trên đường tròn đường kính OA Nối A với M cho cắt (O) tại B

Ta có AM O   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính OA) M là trung điểm của dây AB của đường tròn (O) (Theo định lí: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Vậy quỹ tích trung điểm M của dây AB là đường tròn đường kính OA

(Từ điểm A vì khi B tùy ý với A thì không còn dây AB, không có dây AB thì không có trung điểm M của dây AB)

A nằm trên cung tròn chứa góc 80 

Cho hình vuông ABCD O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

a) Gọi M là trung điểm OA N là trung điểm của BC CHứng minh bốn điểm C, M, N, D thuộc một đường tròn và DNCM

b) Trên hai cạnh AB và AD theo thứ tự lấy hai điểm I và K sao cho AI  AK Từ A hạ

Chứng minh

a) Chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp đường tròn

Có nhiều phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp lấy một đường tròn Trong các phương pháp đã nêu có 5 phương pháp được sử dụng nhiều để chứng minh một tứ giác nội tiếp được một đường tròn

Ta sử dụng phương pháp nào để chứng minh tứ giác CDMN nội tiếp được đường tròn

Tứ giác CDMN có đường chéo DN là cạnh huyền của CDNvuông tại C Từ giả thiết này ta có thể dùng hai phương pháp để chứng minh CDMN nội tiếp đường tròn

* Lợi dụng CDN vuông ở C Gọi E là trung điểm của D thì C, D, N cách đều E Nếu ta chứng minh được khoảng cách từ M đến E cũng bằng khoảng cách từ C, D, N đến E thì bốn điểm C, D, M, N nằm trên đường tròn tâm E

* Vì CDNvuông tại C, nên ta chứng minh được DMN vuông tại M thì tứ giác CDMN nội tiếp đường tròn theo định lí đảo

_Ta sử dụng phương pháp chứng minh bốn đỉnh của tứ giác CDMN cách đều điểm E Từ

Do MOD vuông tại O nên DMOMDO  90 (Theo định lí: Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau ) (1)

Thay NMH MDO vào (1) ta có DMOMDO    90 MDNvuông tại M

Do đó trung tuyến ME thuộc cạnh huyền DN có

cã N lµ trung ®iÓm cña c¹nh BC

l¹i cã NH // BD vu«ng gãc víi AC

Thay MDO NMH vào đẳng thức (a) ta có:

b) Chứng minh 5 điểm C, D, K, P, Q cùng nằm trên một đường tròn AIDvuông tại A

BQA vuông tại B có AI  AK(giả thiết)

Lại có BAQ ADI (cùng phụ ADI) và AB AD (cạnh của hình vuông ABCD)

 . 

 AID BQA c g c AKBQDK CQ (hiệu của các đoạn thẳng bằng nhau)  Tứ giác CDKQ có DK // CQ (Thuộc hai cạnh đối của một hình vuông) và DKCQ nên CDKQ là hình bình hành ) (theo dấu hiệu 3) Hình bình hành CDKQ lại có QCD 90 

nên là hình chữ nhật (dấu hiệu 2)

 Hai đường chéo CK và DQ cắt nhau tại trung điểm F của mỗi đường

FDFK FQFC (4)

DPQ vuông tại P (giả thiết) có PF là trung tuyến thuộc cạnh huyền DQ nên:

 

Từ (4) và (5) ta có: FD FKFP FQFCC D K P Q, , , , cách đều điểm F nên 5 điểm

C, D, K, P, Q cùng nằm trên đường tròn tâm F, bán kính PC

Bài 14:

Cho ABC cân ở A Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H

1 Chứng minh 4 điểm B, D, H, F cùng thuộc một đường tròn xác định tâm O của đường tròn đó

2 Chứng minh 4 điểm A,F, D, C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm O của đường tròn này

3 Chứng minh OO đi qua trung điểm của FD

4 Chứng minh B nằm ngoài đường tròn (O) đã nêu ở câu 21

* BDHF nội tiếp (O)

* ACDF nội tiếp (O’)

* OO' FDI

* OO'  O'A

Chứng minh

1 Chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp được đường tròn

Với giả thiết: “AD, CF là đường cao của ABC” ta có HDB và HFB là các góc vuông

Mà HDB vì HFB là hai góc đối diện của tứ giác BDHF nên ta có ngay phương pháp chứng minh:

Tứ giác BDHF có:

90 v× AD lµ ®­êng cao vu«ng gãc c¹nh BC

90 v× CF lµ ®­êng cao øng víi c¹nh AB

đó nội tiếp được đường tròn) Hay 4 điểm B, D, H, F cùng thuộc một đường tròn

2 Chứng minh tứ giác ACDF nội tiếp được đường tròn

Tứ giác ACDF có:

90 lµ ®­êng cao øng víi c¹nh AB

90 v× AD lµ ®­êng cao øng víi c¹nh BC

3 Chứng minh OO là đi qua trung điểm I của FD

Làm thế nào để chứng minh được một đường thẳng đi qua trung điểm của một đoạn thẳng? Mấy từ “Trung điểm, đoạn thẳng” ta nghĩ ngay đến đường trung trực của đoạn thẳng Muốn chứng minh OO là đường trung trực của đoạn FD, ta phải chứng minh được O cách đều F và D; O cách đều F và D

Chứng minh O cách đều F và O tức là chứng minh OF OD

Vận dụng kiến thức cơ bản nào để chứng minh OF OD

Muốn chứng minh được OF OD ta lợi dụng giả thiết “Đường cao” Từ giả thiết:

“Đường cao” ta có BFH vuông tại F

Cách 1:

O là trung điểm BHFO là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH của BFH

vuông tại F nên:

Từ (1) và (2) ta có OFOD Hay O cách đều F và OO nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng FD (a)

ADC và AFC vuông tại D và F có chung cạnh huyền AC Có O là trung điểm của

AC (chứng minh trên) nên DO và FO là các tuyến thuộc cạnh huyền AC nên

a) Chứng minh DAEB

Câu này thuộc thể loại chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau

Muốn giải thể loại toán này có rất nhiều phương pháp như đã nêu ở các bài trước Phương pháp được sử dụng nhiều nhất là:

Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta chứng minh hai tam giác có chứa hai đoạn thẳng đó bằng nhau

Muốn chứng minh DAEB ta phải chứng minh IEB IDA vì IDA chứa đoạn DA

và IEB chứa đoạn EB

IDA và IEB vuông tại D và E (giả thiết ) có

c¹nh huyÒn chung cña hai tam gi¸c

v× Ot lµ tia ph©n gi¸c cña

 IDA IEB(cạnh huyền - góc nhọn)

DAEB(Hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

b) Chứng minh AO I1 và BO I1 là các tam giác đều Xác định vị trí của O1 một cách nhanh nhất

* Chứng minh AO I1 là tam giác đều

Có nhiều phương pháp chứng minh một tam giác là tam giác đều Trong các phương pháp đó có bốn phương pháp thường được sử dụng là:

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều ta chứng minh tam giác đó có ba cạnh bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều ta chứng minh tam giác đó có ba góc bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều ta chứng minh tam giác đó là tam giác cân có một góc bằng 60 

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác đều ta chứng minh tam giác đó có hai đường trung tuyến Đồng thời là đường cao, phân giác

 là góc nội tiếp chứa A B

Do AOB    60 AB  120  AI là tia phân giác của A OB cắt A B tại I I là điểm chính giữa của AB AI IB   60

AI  ) BO I1 đều Tương tự cũng có IO B1 đều

Do DO I1 và IO B1 là hai tam giác đều lại có chung cạnh O I1 nên:

AO I IO B O A O B

      với đường tòn (I) có O A1 O B1 O1 là điểm chính giữa của cung AB của đường tòn (I) Đồng thời O1 là tâm của đường tòn ngoại tiếp AIB Đây là cách xác định nhanh nhất điểm O1 là tâm đường tròn ngoại tiếp AIB

Bài 16: Cho ABCvuông tại A Đường cao AH, trên đoạn thẳng HC lấy điểm K rồi dựng hình chữ nhật AHKO Lấy O làm tâm, vẽ đường tròn bán kính OK, đường tròn này cắt cạnh AB tại O, cắt cạnh AC tại E Gọi F là giao điểm thứ hai của đường tròn (O) với đường thẳng AB

a) Chứng minh AEF cân b) Chứng minh ODOE

c) Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp được đường tròn

Giải

Chứng minh

a) Chứng minh AEF cân

Nhắc lại: Có nhiều phương pháp chứng minh một tam giác là tam giác cân

Có ba trong các cách đó được sử dụng nhiều là:

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân: ta chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân: ta chứng minh tam giác đó có hai góc bằng nhau

* Muốn chứng minh một tam giác là tam giác cân: ta chứng minh tam giác đó có một đường chủ yếu mang hai tính chất

Với giả thiết ABC vuông cân tại A có AH là đường ứng với đáy BC

AH

 lại là phân giác của BA C (Tính chất của tam giác cân ) A1 A2  45 

Từ đó ta có ngay cách chứng minh AEF cân bằng phương pháp thứ ba: Chứng minh tam giác có một đường phân giác lại là đường cao là tam giác cân

Làm thế nào để chứng minh được AO là tia phân giác của CA F?

Muốn chứng minh được AO là tia phân giác của góc CA F ta phải khai thác triệt để các giả thiết ABC vuông cân tại A, AH là đường cao thuộc đáy BC, “Hình chữ nhật AOKH” vì:

ABC vuông cân tại A  Đường cao AH ứng với cạnh BC nên AH cũng là tia phân giác của ABC cân tại A A1 A2  45 

AHC vuông tại H (vì AH là đường cao ứng với cạnh BC) có HAC  45 

AOCH là hình chữ nhật (giả thiết) nên AO // HC (Tính chất cạnh đối của hình bình hành) C1 A3 (Hai góc so le trong)  45  Từ đó ta có:

Gọi I là giao điểm của ED và DE

DOF có ODOE (cũng là bán kính của (O))  DOF cân tại O (tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân) D1 F1(Theo định lí: Trong một tam giá cân hai góc ở đáy bằng nhau)

DOF có DOI là góc ngoài đỉnh O nên DOI D1 F1 (Theo định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó) hay DOI  2F1

c) Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp đường tròn

Có 5 phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp được một đường tròn

Muốn chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp được đường tròn ta dùng phương pháp nào trong các phương pháp đã nêu?

Dựa vào giả thiết “ ABC vuông ở A và kết quả của câu b DOE  90  ta có ngay

phương pháp chứng minh tứ giác ADEO nội tiếp đường tròn là: Dùng quỹ tích cung chứa góc

Ta có DAE  90 (vì ABC vuông tại A)

90

DOE   (vì ODOE đã chứng minh ở câu b )

A

 và O cùng nhìn DE dưới các góc bằng 90  nên A, O nằm trên cung chứa góc 90 

dựng trên đoạn DE

Vậy: Tứ giác AOED nội tiếp đường tròn đường kính DE (Theo quỹ tích cung chứa

góc)

Bài 17: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB C là điểm chính giữa của A B Trên A C

lấy điểm E Trên dây EB lấy điểm F sao cho AE BF

Muốn chứng minh một góc có số đo bằng 45  ta có thể dùng các phương pháp sau:

* Muốn chứng minh một góc có số đo bằng 45  ta chứng minh góc đó tạo bởi một cạnh và tia phân giác của góc có số đo bằng 90 

* Chứng minh góc đó là góc nội tiếp chắn cung có số đo là 90 

* Muốn chứng minh một góc có số đo bằng 45  ta chứng minh góc đó là góc ở đáy của tam giác vuông cân

* Muốn chứng minh một góc có số đo bằng 45  ta chứng minh góc đó là góc so le tại góc có số đo bằng 45  được tạo bởi hai đường thẳng song song và một cát tuyến v.v Câu này với giả thiết và kết quả của câu a) ta dùng phương pháp:

Muốn chứng minh CFE  45  ta chứng minh CEF vuông cân tại C

Ta có: C2 C3  90 (BCA  90  vì nội tiếp chắn nửa đường tròn ) Mà C3 C1 (chứng minh trên)

Do đó C1C2    90 CEF vuông tại C (a)

Lại có CE CF (hai cạnh tương ứng của ACF BCF) (b)

Từ (a) và (b) ta có CEF vuông cân tại C nên CFE  45 

c) Chứng minh tứ giác BFCD nội tiếp đường tròn

Ta sử dụng phương pháp nào để chứng minh tứ giác BFCD nội tiếp được đường tròn?

Từ giả thiết “Điểm chính giữa của cung AB” các kết quả của các câu trên, ta có:

CBD vuông ở C ( vì BCD kề bù bởi ACB  90 ) lại có CBD phụ với CBA  45 ,  nên

45 135 180

BDC CFB

        mà BDC và BFC là hai góc đối diện của tứ giác

BDCF nên BDCF nội tiếp được đường tròn (Theo định lí: Nếu một tứ giác có tổng số

đo hai góc đối diện bằng 180  thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn)

d) Chứng minh F nằm trên một cung tròn

Theo đề bài đường tròn (O) cố định, điểm chính giữa C của cung AB cố định dẫn đến: Khi E di động trên cung AC thì F cũng di động theo BE Do C, B cố định nên AC vì tiếp tuyến tại B cũng cố định theogiao điểm D cố định (vì AC và BD cố định)

BCD

 vuông cân tại C cố định  đường tròn ngoại tiếp BCD cũng là đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFCD cũng cố định Do BDC  45 không đổi BFC  135  không đổi F luôn nhìn BC dưới góc 135  không đổi nên F nằm trên cung chứa góc 135 

dựng trên đoạn BC không đổi

Vậy khi E di động trên cung AC thì F nằm trên cung chứa góc 135  dựng trên đoạn

Đây là bài toán chứng minh số đo của một góc bằng tổng số đo của hai góc khác

Trong chương trình hình học của trung học cơ sở chỉ có một định lí nói về một góc có số

đo bằng tổng số đo của hai góc khác Định lí: Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó

Nếu vận dụng định lí này thì ta chỉ chứng minh được C1 D1 B1

Nhưng đề bài lại yêu cầu ta chứng minh C1 D1 E1 chứ không phải là C1 D1B1

Như thế ta phải chứng minh E1 B1

Làm thế nào để chứng minh được E1 B1 ?

GT

0

( 90 ;AB AC) ,

Chứng minh trực tiếp E1 B1 là điều khá khó Ta phải dùng phương pháp trung gian Tức là tạo ra một góc bằng B1 nhưng cũng bằng góc E1

Làm thế nào để tạo ra một góc vừa bằng B1 vừa bằng E1?

Bất kỳ bài toán hình học nào (kể cả đại số, lượng giác) muốn giải được phải khai thác triệt để giả thiết để đi đến kết luận

Ta tận dụng giả thiết “bằng nhau” tức là AC CD DE để tạo ra hình bình hành sẽ dẫn đến các góc bằng nhau

Tứ giác ABDK có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm C của mỗi đường nên ABCK

là hình bình hành (Theo dấu hiệu 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành)

Do ABCK là hình bình hành nên AK // BD (Tính chất cạnh đối của hình bình hành: Hình bình hành có các cạnh đối song song) B1 K1 (Hai góc so le trong)

Cũng do ABCK là hình bình hành nên AB // KD mà ABAE nên KDAE(Theo định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường kia)

Do CDDE nên KD mà là trung tuyến mà là đường cao Nếu CKE cân tại K E2 C2

(Theo định lí: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau)

Vậy CKE vuông K

Thật tuyệt vời các bạn ạ Toán học là một lâu đài nguy nga, được xây cất trên thảm hoa muôn hương ngàn sắc

Ta chỉ kẻ thêm một đoạn thẳng nhỏ nhoi mà ta đã đưa bài toán từ trong sáng mờ mờ ảo

ảo ra ánh sáng tuyệt vời

Các bạn thân mến ! Tôi viết bộ sách này vào thời điểm đã sắp đưa thân xác lên dàn lửa (80 tuổi)

Các bạn, nhất là các bạn trẻ nên “lao” vào học toán

Toán học là bộ môn giúp con người nâng cao được năng lực tư duy Có tư duy tốt mới làm việc tốt, một hành động tốt hợp vào đạo lí Tư duy tốt sẽ giúp ích cho mọi người Đất nước có nền toán học phát triển thì đất nước đó sẽ hùng mạnh, sẽ phát triển bền vững, không lệ thuộc bất kỳ nước nào