Bai tap on tap chuong i hinh hoc 9 chon loc co dap an

BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC 9 I Phương pháp giải 1 Các định nghĩa có trong chương * Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc  ký hiệu là sin ñoái sin huyeàn AC caïnh BC caïnh [.]

BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I HÌNH HỌC 9

I Phương pháp giải

1 Các định nghĩa cĩ trong chương:

* Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin

của gĩc  ký hiệu là sin 

đối sin

huyền

AC cạnh

BC cạnh

  

* Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cosin của gĩc  ký hiệu là cosin

cos sinB AB cạnh kề

BC cạnh đối

* Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của gĩc  , ký hiệu là tg

AC cạnh đối

tg tgB

AB cạnh kề

* Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cotg của gĩc  , ký hiệu là cot g

cotg cotgB AB cạnh kề

AC cạnh đối

2 Các tính chất cĩ trong chương

a) Tính chất của hai gĩc phụ nhau:

Nếu hai gĩc phụ nhau thì:

* sina cosb

* cosa sinb

b) Gĩc nhọn cĩ:

1 sin   0;1 cos    0;sin 2   cos 2   1

Định lí: Nếu hai gĩc phụ nhau thì sin gĩc này bằng cos gĩc kia và tg gĩc này bằng cotg gĩc kia

 cot ;cot 

tga gb ga tgb

sin ;cot cos ; .cot 1

3 Các hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuơng

* Định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích

của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền

2 ; 2

b a b c a c

* Định lí 2: Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền

bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền h2 b c 

* Định lí 3: Trong một tam giác vuông, tích hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng b c a h  

* Định lí 4: Trong một tam giác vuông, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông

 

1 1 1

h b c

4 Định lí về cạnh góc vuông trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) Cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc nhân với côsin của góc kề

b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc nhân với cotg của góc kề

5 Các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

ABC vuông tại A, ta có:

 sin

b a B c a sinC

 cos

b a C c a cosB



b c tgB c b tgC

 cot

b c gC c b cotgB

II Bài tập

Bài 1: (33/96/SGK T1)

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sin  bằng:

(A) 5

3; (B)

5

4;

(C) 3

5; (D)

3

4 b) Trong hình 42, sin  bằng:

(A) PR

RS , (B)

PR

QR;

(C) PS

SR; (D)

SR

QR

c) Trong hình 54, cos30 bằng:

(A) 2

3

a

3

a

;

(C) 3

2

2 3.a

Giải

a) Theo định nghĩa: Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin 

3

sin

5

   đáp án C là đáp án đúng

b) Theo định nghĩa sin cạnh đối SR

cạnh huyền QR

án D đúng

c) Theo định nghĩa: Tỷ số giữa cạnh kề và cạnh

huyền được gọi là cos của gĩc  Do đĩ ta cĩ

cos30

cạnh đối a cạnh huyền a

đáp án đúng

Bài 2: (34/93/SGK T1)

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức

sau là đúng:

(A) sin b

c

c

 

(C) tg a

c

c

b) Trong hình 45: Hệ thức nào trong các hệ thức sau khơng

đúng?

(A) sin2  cos2  1;

(B) sin   cos  ;

(C) cos   sin(90    );

(D) sin

cos

tg 





Giải

a) Với hình 44

Theo định nghĩa: Tỷ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi

là tang của gĩc  , ký hiệu tg tg cạnh đối a

cạnh kề c

án C là đáp án đúng

b) Theo định lí thì đáp án C là đáp án sai

Bài 3: (35/94/SGK T1)

Tỷ số giữa hai cạnh gĩc vuơng của một tam giác vuơng bằng 19 : 28 Tìm các gĩc của

nĩ

Giải

Theo định nghĩa: Tỷ số giữa hai cạnh của một tam giác vuơng được gọi tang của gĩc

  Gĩc nhọn  của tam giác vuơng đã cho cĩ số đo là:

19 0,6786 34 10

28

tg       

 gĩc nhọn cịn lại là 90 34 10 55 50       

Bài 4: (36/94/SGK T1)

Cho tam giác cĩ một gĩc bằng 45 Đường cao chia cạnh kề với gĩc đĩ thành hai đoạn thẳng cĩ độ dài là 20cm và 22cm

Tính cạnh lớn trong hai cạnh cịn lại (lưu ý cĩ hai trường hợp hình 46 và hình 47)

Giải

Theo định lí về đường vuơng gĩc, đường xiên và hình chiếu thì: khi

HB HC AB AC

 vuông tại H (vì AH là đường cao ứng với cạnh BC) có ABH  45  nên tam giác vuông cân AH HB  20( )cm

ACH

 vuông tại H nên ta có: AC2AH2HC2 (Theo định lí: Py-ta-go)

20 21 400 441 841

841 29( )

* Với hình 47

Theo giả thiết BH 21 và HC 20 nên BH HC AB HC (Theo định lí 2: Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó: Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

AHB

 vuông tại H có ABH 45  (giả thiết) nên là tam giác

vuông cân tại HHA HB  21( )cm

Do AHB vuông tại H nên AB2AH2HB2 (Định lí

Py-ta-go)

21 21 441 441 882 AB 882 29,7( )cm

Bài 5: (37/94/SGK T1)

Cho ABC có AB 6 ;cm AC 4,5 ;cm BC 7,5cm

a) Chứng minh ABC vuông tại A, tính các góc B, C và độ dài đường cao AH của tam giác đó

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích MBC bằng diện tích ABC nằm trên đường nào?

Giải

GT

ABC

 có AB 6 ;cm AC 4,5cm

7,5

BC cm

AH BC

KL * ABC vuông tại A

* Tính B ?;C ?;AH  ?

* M nằm trên đường nào để

BMC ABC

S S

a) Chứng minhABC vuông tại A Tính B và C Tính độ dài AH

* Chứng minh ABC vuông tại A

Muốn chứng minh một tam giác là tam giác vuông có nhiều cách Trong các cách

đó có một cách sử dụng định lí: “Nếu một tam giác có tổng các bình phương của hai cạnh, bằng bình phương cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông”

ABC

 có:

2 2

6 36

36 20,25 56,25 (1) (4,5) 20,25

AB AC



Từ (1) và (2) ta có AB2AC2BC2 ABC vuông tại A

* Tính B và C:

4,5 0,75 37 6

AC

AB

     

90 90 37 53

         

Vậy: 37

53

B C



 





  



* Tính độ dài đường cao AH

ABC

 vuông tại A (chứng minh trên) AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC

muốn tính độ dài đường cao AH khi biết độ dài hai cạnh góc vuông và độ dài của cạnh huyền ta vận dụng định lí 3 “Trong tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng” Do đó:

6.4,5 27

7,5 7,5

AB AC

BC

b) Xác định vị trí của điểm M để S MBC S ABC

MBC ABC

S S (giả thiết) mà MBC và ABC có chung cạnh BC diện tích bằng nhau

có cạnh đáy chung thì đường cao của hai tam giác này phải bằng nhau M cách

BC một khoảng bằng AHM nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng AH (3,6 )cm

Bài 6: (38/95/SGK T1)

Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh hoạ trong hình 48

Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét)

Giải

Theo giả thiết IKB IKA AKB        50 15 65

BIK

 vuông tại I (giả thiết) nên:

380 65 814,9( )

IB IK tgIKB  tg   cm

IAK

 vuông tại I nên IA IK tgIKA  380 50 tg   452,9( )cm

Vậy khoảng cách giữa hai thuyền là:

814,9 452,9 362( )

AB IB IA     m

Bài 7: (39/98/SGK T1)

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực

hình 49 (làm tròn đến mét)

Giải

Do BC AD// (cùng vuông góc với AE

ADE BCE

  (hai góc đồng vị)  50 

Đặt độ dài của đoạn thẳng nối hai cọc là x

Ta có: 20 50 5 23,8 6,5 17,3( )

sin50

x tg      m

Bài 8: (40/95/SGK T1)

Tính chiều cao của cây trong hình 50

Giải

Chiều cao của cây là: 1,7 32 35 1,7 21 22,7( )  tg     m

Bài 9: (41/96/SGK T1)

Cho ABC vuông tại C có

AC cm BC cm BAC x ABC y 

Dùng thông tin sau (nếu cần) để tìm x y :

sin23 36 0,4;cos66 24 0,4       :

25 48 0,4

tg   

Giải

Tính độ lớn của BAC khi biết số đo của cạnh đối BC và cạnh kề AC Vì a tính số đo của ABC khi biết cạnh đối AC 2cm và cạnh kề BC 5cm Ta có ABC y

2 0,4

5

tgy

   nên y  21 48 

90 90 21 48 68 12

          

Do đó x y   68 12 21 48 46 24       

Bài 10: (42/96/SGK T1)

Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: “Để đảm bảo an toàn khi

dùng thang, phải đặt thang này toạ với mặt đất một góc có độ lớn

từ 60đến 70” Đo góc thì khó hơn đo độ dài Vậy hãy cho biết,

khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách mặt đường khoảng

bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Giải

Theo định lí: Muốn tính độ dài của AC và AC ta áp dụng công thức

.sin cos

b a B a C

Do đó ta có: AC BC cosC 3.cos60 1,5( )   m

.cos 3cos70 1,03( )

AC B C   C   m Vậy khi dùng thang đó (có độ dài 3m) thì chân thang

nên đặt cách chân tường là khoảng 1,03m đến 1,5m

là an toàn

Bài 11: Cho hình vuông ABCD có

AB BC CD DA a    Qua điểm A kẻ một đường thẳng cắt cạnh BC tại K và cắt DC tại

I Chứng minh 12 12 12

AK AI  a

Giải

GT

ABCD có A B C D    90 

AB BC CD DA a   

AI BC K 

AI DC I 

KL

AK  AI a

Sau khi đọc kỹ đề bài, hiểu đề bài, vẽ hình chính xác, ghi giả thiết và kết luận

Qua giả thiết và kết luận ta đặt câu hỏi:

Giả thiết và kết luận của bài toán này, giống giả thiết và kết luận của định lí nào trong các định lí ta đã học?

Giả thiết và kết luận của bài tốn này, về cơ bản nằm trong dạng của định lí 4 về hệ thức lượng trong tam giác vuơng

Định lí 4: Được phát biểu: Trong một tam giác vuơng, nghịch đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền, bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh gĩc vuơng Liên hệ giữa giả thiết về kết luận của định lí này với giả thiết và kết luận của bài tốn, cĩ những dữ liệu chưa hồn tồn giống nhau

Vế trái của đẳng thức ở kết luận của bài tốn là nghịch đảo của bình phương hai đoạn thẳng nhưng hai đoạn thẳng này cùng nằm trên một đoạn thẳng chứ khơng phải là hai cạnh gĩc vuơng trong một tam giác vuơng như định lí 4: Cịn vế phải của đẳng thức ở kết luận của bài tốn ta cĩ thể coi như nghịch đảo của bình phương đường cao AD

Do đĩ muốn đưa bài tốn về dạng của định lí 4 ta phải tạo hình, tức là tạo ra một tam giác vuơng nhận AD là đường cao ứng với cạnh huyền và AI là một cạnh gĩc vuơng của tam giác đĩ

Kẻ AH AI H CD (  ) Ta phải chứng minh AH AK

Muốn chứng minh AH AK ta chứng minh ADH ABK

ADH

 và AKBcĩ:

1 3 (hai góc cùng phụ với ) 2

(hai cạnh của hình vuông ABCD) 90

AD AB ADH ABK









ADH AKB

    (g.c.g) AH AK (hai cạnh tương ứng

của hai tam giác bằng nhau)

AHI

 vuơng tại A cĩ AD là đường cao ứng với cạnh huyền HI nên

AD  AH  AI (1) (Theo định lí 4) Thay

2 2

AD a và AH2 AK2 vào (1) ta cĩ:

AD  AH  AI  a  AK  AI

Bài 12: ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H Tính độ dài AD biết

AH cm BH HC  cm

Giải

GT

ABC AB AC

AD BC D BC 

,

AH BD BH AC 

CH AB

KL

?

AD khi AH  14cm

30

BH HC  cm

Bài toán này cũng như mọi bài toán khác, muốn giải được nó là phải khai thác triệt để các giả thiết

Với giả thiết: “Tam giác cân”, “trực tâm” tức là BH AC CH AB AE BC ,  ,  Lại có:

30

BH CH  cm (giả thiết) Từ giả thiết này ta tạo ra các tam giác vuông bằng cách tận dụng tính chất của tam giác cân; đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung trực của cạnh đó Từ đó ta lấy E đối xứng với H qua D thì được:

Tứ giác BHCE có các đường chéo BC và HE giao nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên nó là hình bình hành (cách nhận 5: Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành) Hình bình hành BHCE lại có hai đường chéo HE và BC vuông góc với nhau nên nó là hình thoi (Theo dấu hiệu 3: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)

Do BHCE là hình thoi nên EB AB (vì BE CH// )  ABE vuông tại B cũng do BHCE

là hình thoi nên: BH HC CE EB   (Theo định nghĩa: Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau)

ABE

 vuông tại B nên ta có: BE2 AE DE. (Theo định lí 1: Trong một tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền)

Đặt DE x

Có hai trường hợp xảy ra:

* Nếu BAC 90  thì : 302 ( Vì BE BH  30 ) (2cm  x 14).x

900 2x 14x x 7x 450 0

    

Với x 18 là một số dương nên là nghiệm thích hợp

Từ đó ta có AD 14 18 32  

Vậy AD bằng 32cm

* Nếu BAC  90 ta có x x(2  14) 30  2

2x 14x 900 x 7x 450 x 7x 450 0

( 18)( 25) 0

     

Với x 25 là nghiệm dương cũng là nghiệm thích hợp

Vậy AD 25 14 11( )   cm

Bài 13: Cho ABC A (  90 )  cĩ AB AC và C   45  Trung tuyến, AM, đường cao AH với MA MB MC a   Chứng minh các cơng thức:

a) sin2   2sin cos  ; b) 1 cos2    2cos2; c) 1 cos2    2sin2

Giải

GT

( 90 )

ABC A

AB AC ACB  

,

MB MC AH BC 

MA MB MC a  

KL

* sin2   2sin cos  

* 1 cos2    2cos2

* 1 cos2    2sin2

Muốn giải được bài này ta phải sử dụng các kiến thức cơ bản đã học

* Tỉ số lượng giác giữa các cạnh trong tam giác vuơng

* Các định nghĩa

a) Chứng minh cơng thức: sin2   2sin cos  

ABC

 vuơng tại A (giả thiết) cĩ AM là trung

tuyến thuộc cạnh huyền BC và HA là đường

cao thuộc BC nên:

sin cạnh đối AH

cạnh huyền AC

cos cạnh kề CH.AMH 2C

cạnh huyền AC (vì AMC

 cân tại C)

2

AMH 

AH CH AH CH AH CH AH AH

AC AC AC BC CH a a

b) Chứng minh 1 cos2    2cos2

2

2

2cos 2

AC AC BC CH a a

1 cos2 1 HM a HM MC HM CH

Từ (1) và (2) có 1 cos2    2cos2

c) Chứng minh 1 cos2    2sin2

Từ hệ thức cơ bản sin2  cos2   1 cos2   1 sin2 thay

cos    1 sin  vào 1 cos2    2cos2 được 1 cos     2 2sin2

Nên 2sin2   1 cos 22 