50 bai tap tinh chat cua hai duong tiep tuyen cat nhau co dap an toan 9

TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU I Phương pháp giải 1 Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau Định lí Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì * Điểm đó cách đều hai tiếp điểm *[.]

TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

I Phương pháp giải

1 Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí:

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

* Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

* Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác

của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

* Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của

góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

2 Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là

đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác gọi là

ngoại tiếp đường tròn

Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm

của các đường phân giác của góc trong của tam giác

3 Đường tròn bàng tiếp

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác

và tiếp xúc với hai phần kéo dài của hai cạnh kia

gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc A

là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B

và C, hoặc là giao điểm của đường phân giác góc trong A

và đường phân giác góc ngoài tại B(hoặc C) Với một tam

giác, có ba đường tròn bàng tiếp

II Bài tập

Bài 1: (26/115/SGK T1)

Cho đường tròn ( )O Điểm Anằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến ABvà ACvới đường tròn (B C, là các tiếp điểm)

a) Chứng minh OABC

b) Vẽ đường kính CD

Chứng minh rằng BD/ /AO

c) Tính độ dài các cạnh của ABC, biết OB 2cm; OA 4cm

Giải

GT Đường tròn ( )O

Aở ngoài ( )O

ABvà AClà tiếp tuyến của ( )O

CD là đường kính

KL *OABC

*BD/ /OA

* Tính các cạnh của ABCkhi

2

OB cm; OA 4cm

Chứng minh

a) Chứng minh OABC

Muốn chứng minh được AO vuông góc với BCphải chứng minh được ABCcân tại A

ABCcó: AB AC(vì ABvà AClà hai tiếp tuyến của đường tròn ( )O cắt nhau tại Anên theo định lí

Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm đó cách đều hai tiếp điểm  ABCcân tại A(Tam giác có hai cạnh bằng nhau là tam giác cân ) Đường phân giác

AOcủa BAClại là đường cao ứng với đáy BC) vậy AOBC(AOlà đường phân giác của BAC

theo định lí…)

b) Chứng minh BD/ /AO

BCDcó OBODOC(cũng là bán kính của đường tròn( )O )

2

CD

BCD

  vuông tại B(Theo định lí: Nếu một tam giác có đường trung tuyến thuộc cạnh nào bằng nửa cạnh ấy thì tam giác

đó là tam giác vuông)

(chøng minh trªn)



/ /

 (cùng vuông góc với BC)

c) Tính độ dài các cạnh của ABC.

Muốn tính độ dài các cạnh của một tam giác ta thường sử dụng các định lí về tam giác vuông Định lí được sử dụng nhiều nhất là định lí Py-ta-go

BOAvuông tại B(chứng minh trên) nên 2 2 2

OA OB AB (Định lí Py-ta-go)

4 2 16 4 12

AB OA OB AB

Mà AB ACnên AC 2 3(cm)

OBAvuông tại B(Theo định lí về tiếp tuyến ) có 1.4 2( )

OA

OBODOC   cm nên OBAlà nửa tam giác đều OAB   30 BAC 2OAB 2.30    60 nên ABClà tam giác đều

2 3

AB BC CA cm

Bài 2: (27/115/SGK T1)

Từ một điểm Anằm ngoài đường tròn ( )O , kẻ các tiếp tuyến AB và ACvới đường tròn (B C,

là các tiếp điểm) Qua điểm Mthuộc cung nhỏ BCkẻ tiếp tuyến với đường tròn ( )O , nó cắt các tiếp tuyến AB và ACtheo thứ tự ở D và E Chứng minh rằng chu vi tam giác ADEbằng 2AB

Giải

GT Đường tròn ( )O

Tiếp tuyến ABvà AC

MBC

Tiếp tuyến tại Mcắt ABtại Dcắt AC

tại E

KL Chứng minh chu vi ADCbằng 2AB

Chứng minh

AB, AC, DE là các tiếp tuyến của đường tròn ( )O

Muốn giải được bài này ta phải sử dụng định lí: Nếu hai tiếp

tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: Điểm

đó cách đều hai tiếp điểm…)

Do đó ta có:

DM DB; EM ECvà AB AC(giả thiết)

chu vi của ADElà:

2

(vì AB AC)

Bài 3: (28/116/SGK T1)

Cho xAykhác góc bẹt Tâm của đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của xAynằm trên đường nào?

Giải

Gọi Olà tâm đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của xAy

Kẻ OBAxvà OCAythì được OBOC(cùng bán kính của một đường tròn ) Ocách đều 2 cạnh của xAynên O nằm trên tia phân giác của xAy

Bài 4: (29/116/SGK T1)

Cho xAykhác góc bẹt Điểm Bthuộc tia Ax Hãy dựng đường tròn ( )O tiếp xúc vớiAxtại Bvà tiếp xúc với Ay

Giải

Làm thế nào để dựng được đường tròn ( )O tiếp xúc với cạnh Ax

tại điểm Bvà cũng tiếp xúc với cạnh Aycủa xAy?

Biết rằng đường tròn đã tiếp xúc với hai cạnh của một góc thì

tâm của đường tròn đó cách đều hai cạnh của góc ấy

Theo tính chất đường phân giác của một góc:

Mọi điểm nằm trên phân giác của một góc

thì cách đều hai cạnh của góc đó Do vậy

ta có cách dựng:

 Vẽ tia phân giác Amcủa xAy

 Vẽ BnAxtại B

 Bncắt Amtại O

 Vẽ đường tròn tâm O, bán kính OBlà đường tròn phải dựng Đường tròn này tiếp xúc với

Ayvì Ocách đều Axvà Ay

Bài 5: (30/116/SGK T1)

Cho nửa đường tròn tâm Ocó đường kính là AB Gọi Axvà Bylà các tia vuông góc với AB( ,

Ax Byvà nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB) Qua điểm Mthuộc nửa đường tròn (Mkhác Avà B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax, Bytheo thứ tự ở C

và D

a) Chứng minh COD  90

b) CD ACBD

c) Chứng minh: Tích AC, BD không đổi khi điểm Mdi chuyển trên nửa đường tròn

Giải

GT Nửa đường tròn tâm O đường kính AB

Axtiếp xúc ( )O tại A, By tiếp xúc với ( )O

tại B

CDtiếp xúc ( )O tại M,CAx, DBy

KL *COD 90

*CDACBD

*AC BD. không đổi

Chứng minh

a) Chứng minh COD  90

Làm thế nào để chứng minh được COD  90 ?

Có nhiều cách chứng minh một góc có số đo bằng 90  Với giả thiết của bài này:

“Tiếp tuyến”, “vuông góc” ta dùng định lí:

“Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

* Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

*Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

*Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

Từ định lí trên ta có: 1 2

O O

O O

 







 mà O1O2O3O4 180

nên 1 2 3 4 180 90

2

O O O O   

Vậy COD  90

Cách khác:

Theo định lí về: Hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì: OClà tia phân giác của AOM và ODlà phân giác của MOB Mà AOM và MOB là hai góc kề bù, do đó OCOD

(Theo tính chất: Hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau) Vì vậy COD  90

b) Chứng minh CD ACBD

Biết CDCMMD Từ đây ta thấy Muốn có CD ACBD ta phải làm xuất hiện hai đẳng thức Từ hai đẳng thức vừa có ta cộng vế với vế thì được điều phải chứng minh

Theo định lí về hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm ta có







c) Chứng minh tích AC BD. không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn Vận dụng kiến thức nào để chứng minh được tích AC BD. không đổi?

Muốn chứng minh đại lượng không đổi, ta tìm mối liên hệ giữa đại lượng phải chứng minh không đổi với đại lượng không đổi có sẵn trong đề bài

Đại lượng không đổi có trong đề bài này là đại lượng nào?

Với nửa đường tròn cố định thì độ lớn của nửa đường tròn là không đổi, đường kính của đường tròn này không đổi và dĩ nhiên bán kính của đường tròn đã cho là đại lượng không đổi

Một bài toán có nhiều đại lượng không đổi, ta chỉ sử dụng đại lượng không đổi cần cho việc chứng minh mà thôi

Ta thấy bán kính OM là đại lượng không đổi mà ta phải sử dụng Vì OM là đường cao ứng với cạnh huyền CD của CODvuông tại O

Do CODvuông tại O có đường cao OM ứng với cạnh huyền CD nên:

2

.

OM CM MD(Theo định lí 2 về hệ thức lượng trong tam giác vuông “ Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền Mà CM ACvà MDBD(chứng minh trên) Do đó, 2

.

OM AC BD Nhưng OM không đổi nên 2

OM không đổi Do đó AC BD. không đổi khi Mdi chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB

Bài 6: (31/116/SGK T1)

Trên hình 82 tam giác ABCngoại tiếp đường tròn ( )O

a) Chứng minh 2ADABACBC

b) Tìm các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a)

Giải

GT ABCngoại tiếp đường tròn ( )O

Đường tròn ( )O tiếp xúc với AC

tại F

Tiếp xúc với BCtại E

KL *2ADABACBC

* Tìm các hệ thức tương tự

a) Chứng minh 2ADABACBC

Theo định lí vẽ hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm ta có

AF

AD ; BDBE; CECF

ADAFBDBECFCE

2

ADADBDBDCECE AO

Vậy 2AO ABACBD

b) Các hệ thức tương tự như hệ thức ở câu a) là:

2BEABBCAC

2CFACBCAB

Bài 7: (32/116/SGK T1)

Cho ABCđều ngoại tiếp đường tròn bán kính 1cm Diện tích của tam giác ABCbằng

2

( )6A cm ; 2

( ) 3B cm ; 3 3 2

( ) 4

C cm ; 2

( )3 3D cm

Hãy chọn câu trả lời đúng

Giải

Câu D là đáp án đúng