PHÉP CỘNG PHÂN SỐ A Phương pháp giải Muốn cộng hai phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu B Các dạng toán và phương pháp giải Dạng 1 Cộng hai hay nhiều phân số Ví dụ 1 Thực hiện phép tính a[.]
Trang 1PHÉP CỘNG PHÂN SỐ
A Phương pháp giải
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu
B Các dạng toán và phương pháp giải
Dạng 1 Cộng hai hay nhiều phân số
Ví dụ 1 Thực hiện phép tính:
a) 8 7;
27 27
b) 1 7
9 9
Lời Giải
Ví dụ 2 Tính tổng
a) 9 8
15 20
b) 35 41
105 123
Lời giải:
15 20 5 5 5
Trang 2105 123 3 3
Ví dụ 3 Tính tổng
a) 7 7
18 12
b) 10 13
33 55
Lời Giải
18 12 36 36 36
33 55 165 165 165 15
Ví dụ 4 Tính tổng
a) 11 9 17
15 10 30
b) 5 3 4
21 14 35
Lời Giải
❶ 11 9 17 22 27 17 66 11
15 10 30 30 30 30 30 5
21 14 35 210 210 210 120 30
Ví dụ 5 Chứng tỏ tằng các tổng sau lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2
a) 3 15 5
8 75 6
b) 5 5 5 5
11 12 13 14
Trang 3Lời Giải
❶ Ta có: 3 15 5 3 1 5 45 24 100 169
8 75 6 8 5 6 120 120 120 120
Lại có 120 169 240
120 120 120
Do đó 1 169 2
120
❷ Ta có : 5 5 5 5 5 5 5 5 20 1
11 12 13 14 15 15 15 15 15
Mặt khác, 5 5 5 5 5 5 5 5 20 2
11 12 13 14 10 10 10 10 10
Từ đó suy ra tổng đã cho lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2
Dạng 2 Các bài toán dẫn tới phép cộng phân số
Ví dụ 6 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn Nếu chảy một mình thì vòi A
chảy 5 giờ mới đầy bể, vòi B chảy 4 giờ mới đầy bể Hỏi hai vòi cùng chảy thì trong một giờ đã được nửa bể chưa?
Lời Giải
Trong 1 giờ vòi A chảy được 1
5 bể, vòi B chảy được
1
4 bể
Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1 1 9
5 4 20 (bể)
Ta có 9 10 1
20 20 2
Vậy cả hai vòi chảy trong một giờ chưa được nửa bể nước
Trang 4giờ Xe II khởi hành sau xe I là 1 giờ Hỏi sau khi xe II chạy được 1 giờ thi hai xe
đã gặp nhau chưa?
Lời Giải
Khi xe II chạy được 1 giờ thì xe I đã chạy được 2 giờ
Trong 2 giờ xe I chạy được 2
3 quãng đường AB
Trong 1 giờ xe II chạy được 1
2 quãng đường AB
Tổng quãng đường hai xe đã chạy là: 2 1 7 1
3 2 6 (quãng đường AB)
Vậy hai xe đã gặp nhau
Dạng 3 Tính tổng các phân số nhanh gọn, hợp lí
Ví dụ 8 Tính tổng A 1 13 5 1 1 1
3 21 7 6 14 2
Lời Giải
Ta có:
A
3 6 2 21 7 14
1
0
6
1
6
Ví dụ 9 Tính tổng: S 1 1 1 1 1 1 1 1 1
Trang 51 1 1 1 1 1 1 1 1
S
1
0 0 0 0
7 1
7
Ví dụ 10 Cho S 25 3 6 5 14 1
31 17 31 9 17 12
Chứng minh rằng S 1
2
Lời Giải
Ta có
S
31 31 17 17 9 12
17
1 ( 1)
36 17
36
Mà 17 18 1
36 36 2
1 S 2
Ví dụ 11 Cho S 1 1 1 1
21 22 23 35 Chứng minh rằng
1 S
2
Lời Giải
Tổng S có 35 − 21 + 1 = 15 số hạng
Ta nhóm thành 3 nhóm, mỗi nhóm 5 số hạng
Trang 61 1 1 1 1 1 1 1 1
S
25 30 35
1 1 1 107 1
S
5 6 7 210 2
Dạng 4 Viết một phân số thành tổng của nhiều phân số có mẫu khác nhau
Ví dụ 12 Viết phân số 5
8 thành tổng của 2 phân số khác nhau, mỗi phân số đều có
tử là 1
Lời Giải
Ta có
8 8 8 8 2
Ví dụ 13 Viết phân số 5
6 thành tổng của 4 phân số khác nhau, mỗi phân số đều có
tử là 1
Lời Giải
Ta có:
6 18 18 18 18 18 18 9 6 2
C Bài tập tự luyện
Bài 1 Tính tổng:
a) 5 2 3
24 3 4
Trang 7b) 7 13 19
10 18 45
Lời Giải
24 3 4 24 24 24 24 8
10 18 45 90 90 90 90
Bài 2 Tính tổng
a) 6 6 6
36 10 9
b) 136 111
16 74
Lời Giải
36 10 9 6 5 3 30 30 30 30
❷136 111 17 3 20 10
Bài 3 Cho bốn số 3; 1;0; 4
7 7 Hai số nào có tổng bằng một số trong hai số còn lại?
Lời Giải
Hai số 3
7 và
4
7 có tổng bằng −1 vì
1
Bài 4 Có một công việc, người thứ nhất làm một mình trong 4 giờ sẽ xong, người
thứ hai làm một mình trong 3 giờ sẽ xong Chứng tỏ rằng nếu hai người cùng làm trong 1 giờ sẽ xong quá nửa công việc
Trang 8Trong một giờ, người thứ nhất làm được 1
4 công việc, người thứ hai làm được
1 3 công việc
Suy ra, trong một giờ hai người cùng làm thì làm được 1 1 7 6 1
4 3 12 12 12 (công việc)
Vậy nếu hai người cùng làm trong một giờ thì xong quá nửa công việc
Bài 5 Tìm x , biết 7 1 x 43 1
Lời Giải
Ta có
7 1 7 3 10
43 1 215 4 219
8 10 40 40 40
Khi đó 10 x 219
Suy ra 1 x 240
40 , hay 1 < x < 6
Vì x nên x ∈ {2; 3; 4; 5}
Bài 6 Cho phân số P 3.n 5
6.n với n ,n 0 Tìm giá trị của n để phân số P có giá trị lớn nhất Giá trị lớn nhất đó là bao nhiêu?
Lời Giải
Trang 93.n 5 3.n 5 1 5
P
6.n 6.n 6.n 2 6.n
P có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi phân số 5
6.n có giá trị lớn nhất
Nhận xét: Phân số này có tử số là một số dương không đổi
Vậy phân số này có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi n là số nguyên dương nhỏ nhất, khác 0, tức n = 1
Khi đó P có giá trị lớn nhất bằng 8
6 hay
4
3