ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT A Phương pháp giải 1 Ước Chung Định nghĩa 1 Cho hai số a và b Nếu có một số d thoả mãn a ⋮ d và b ⋮ d thì d được gọi là ước chung của a và b Tập hợp các ước chung của h[.]
Trang 1A Phương pháp giải
1 Ước Chung
Định nghĩa 1: Cho hai số a và b Nếu có một số d thoả mãn a ⋮ d và b ⋮ d thì d được gọi là ước chung của a và b
Tập hợp các ước chung của hai số a và b được kí hiệu là ƯC(a,b)
Chú ý: ta cần chú ý tới:
Nếu x ∈ ƯC(a, b, c,…) thì a ⋮ x, b ⋮ x,c ⋮ x,…
Nếu ƯC(a, b) = 1 thì a và b được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau
Kí hiệu (a, b) = 1
ƯC(a, b) = Ư(a) ∩ Ư(b)
Ta có hai nhận xét sau:
Nếu số a chia hết cho m và n mà m, n là hai nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho tích m.n, cụ thể:
a ⋮ m,a ⋮ n và (m,n)=1 ⇒ a ⋮ m.n
Nếu tích a.b ⋮ m mà b và m là hai số nguyên tố cùng nhau thì a phải chia hết cho m,
cụ thể:
b ⋮ m và (b, m) = 1 ⇒ a ⋮ m
2 Ước chung lớn nhất
Ước chung lớn nhất của a, b là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của a, b Kí hiệu ƯCLN (a, b)
Nhận xét: Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b
3 Cách tìm ƯCLN
Trang 2Bài toán: Tìm ƯCLN(a, b, c,…)
Phương pháp giải
Ta có thể chọn một trong hai cách sau:
Cách 1: (Tìm ƯCLN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố): Ta thực
hiện theo các bước sau:
Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung
Bước 3: Lập tích của các thừa số chung đó, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất
Tích đó là ƯCLN cần tìm
Cách 2: (Sử dụng thuật toán Ơclit): Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Lấy số lớn chia số nhỏ, giả sử a = b x + r
+ Nếu r ≠ 0 ta thực hiện bước 2
+ Nếu r = 0 thì ƯCLN(a, b) = b
Bước 2: Lấy số chia, chia cho số dư B = r y +r1
+ Nếu r1 ≠ 0 ta thực hiện bước 3
+ Nếu r1 = 0 thì ƯCLN(a, b) = r
Bước 3: Quá trình này được tiếp tục cho đến khi được một phép chia hết
B Các dạng toán
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN của các số sau:
a) 108 và 240
b) 450; 1260 và 945
Lời giải:
a) 108 2 3 2 3
4
240 2 3.5
Trang 3b) 450 2 3 5 2 2
2 2
3
1260 2 3 5 7
945 3 5 7
Vậy ƯCLN (450;1260;945) 3 52 45
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN của các số sau:
a) 54; 90 và 18
b) 36; 40 và 18
Lời giải:
a) 54 18,90 18 nên ƯCLN (54;90;18) 18
b) Số 1 chỉ có một ước là 1
Do đó ƯCLN(36; 40; 18)=1
Dạng 2: Tìm ước chung thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 3: Tìm các ước chung của 104 và 156
Lời giải:
104 2 13;156 2 3 13
ƯCLN(104; 156)= 2
2 13 52 ƯC(104;156)=ƯC(52)= 1;2;4;13;26;52
Ví dụ 4: Tìm x N , biết 56 x,196 x và 5<x<25
Lời giải:
Vì 56 x,196 x nên x Ư(56; 196)
Ta có 56 2 7;1963 2 7 2 2
ƯCLN(56;96)= 2
2 7 28 Ư(56;96)=Ư(28)= 1;2;4;7;14;28
Vì 5<x<25 nên x 7;14
Ví dụ 5: Tìm ước chung có hai chữ số của 600 và 180
Lời giải:
600 2 3 5 ;180 2 3 5 ƯCLN(600;180)= 2
2 3 5 60
Trang 4ƯC(600;180)=Ư(60)= 1;2;3;4;5;6;10;12;15;20;30;60
Do đó ước chung có hai chữ số của 600 và 180 là 10;12;15;20;30;60
Dạng 3: Nhận biết hai số nguyên tố cùng nhau Chứng minh hai số nguyên tố cùng nhau
Ví dụ 6: Tìm các cặp số nguyên tố cùng nhau trong các cặp số dưới đây:
a) 8 và 12
b) 15 và 51
c) 9 và 13
d) 10 và 21
Lời giải:
a) ƯCLN(8; 12)=4 nên 8 và 12 không nguyên tố cùng nhau
b) ƯCLN(15; 51)=3 nên 15 và 51 không nguyên tố cùng nhau
c) ƯCLN(9; 13)=1 nên 9 và 13 là hai số nguyên tố cùng nhau
d) ƯCLN(10; 21)=1 nên 10 và 21 là hai số nguyên tố cùng nhau
Ví dụ 7: Chứng minh rằng hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi hai số lẻ liên tiếp là 2n+1 và 2n+3 ( n N)
Giả sử d là ƯCLN của chúng
Ta có (2n+1) d và (2n+3) d
Do đó 2n 3 (2n 1) d hay 2 d, suy ra d 1;2
Vì d là ước của số lẻ nên d 2
Vậy d=1, do đó hai số 2n+1 và 2n+3 nguyên tố cùng nhau, tức là hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau
Ví dụ 8: Cho hai số tự nhiên 2n+1 à 4n+3 ( n N ) Chứng tỏ rằng hai số này nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi d là ƯCLN(2n+1; 2n+3)
Suy ra (4n+3) d, (2n+1) d 2 (2n 1) d
Do đó 4n 3 2 (2n 1) d hay (4n+3-4n-2) d, tức là 1 d, do đó d=1
Trang 5Dạng 4: Bài toán đưa đến việc tìm ƯCLN của hai hay nhiều số
Ví dụ 9: Tìm số tự nhiên x lớn nhất mà 160 xvà 240 x
Lời giải:
Vì x là số tự nhiên lớn nhất mà 160 xvà 240 x nên x là ƯCLN(160;240)
Ta có 160 2 5;2405 2 3 5 4
Do đó ƯCLN(160;240)= 4
2 5 80 Vậy x=80
Ví dụ 10:Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng x+150 và x+375 đều là bội của x Lời giải:
(x+150) x mà x x nên 150 x
(x+375) x mà x x nên 375 x
Vì x là số tự nhiên lớn nhất nên x là ƯCLN(150;375)
Ta có 150 2 3 5 ;3752 3 5 3
ƯCLN(150;375)= 2
3 5 75 Vậy x=75
Ví dụ 11: Một căn phòng hình chữ nhật dài 680cm, rộng 480cm Người ta muốn
lát kín căn phòng đó bằng gạch hình vuông mà không có viên gạch nào bị cắt xén Hỏi cạnh viên gạch có độ dài lớn nhất là bao nhiêu?
Lời giải:
Muốn cho không viên gạch nào bị cắt xén thì độ dài mỗi cạnh viên gạch phải là ƯCLN(680; 480)
680 2 5 17;480 2 3 5 ƯCLN(680; 480)= 3
2 5 40 Vậy cạnh viên gạch có độ dài bằng 40cm
Ví dụ 12: Một lớp học có 18 nam và 24 nữ được chia đều vào các nhóm nhỏ sao
cho số nam trong các nhóm bằng nhau, số nữ trong các nhóm bằng nhau, biết rằng
số nhóm phải lớn hơn 2 Hỏi có bao nhiêu cách chia nhóm?
Lời giải:
Các số 18 và 24 phải chia hết cho số nhóm
Trang 6Vậy số nhóm là ƯC(18;24)
ƯCLN(18;24)=6, suy ra ƯC(18;24)=Ư(6)= 1;2;3;6
Vì số nhóm lớn hơn 2 nên có thể chia thành 3 nhóm hoặc 6 nhóm
Vậy có tất cả hai cách chia nhóm
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm ƯCLN rồi tìm ước chung của:
a) 540 và 168
b) 735 và 350
Lời giải:
a) Ta có 540 2 3 5;1682 3 2 3 7 3
ƯCLN(540 và 168)=12
Nên ƯC(540;168)=Ư(12)= 1;2;3;4;6;12
b) Ta có 735 3 5 7 ;3502 2 5 7 2
ƯCLN(735 và 350)=35
Nên ƯC(735 và 350)=Ư(35)= 1;5;7;35
Bài 2: Tìm số tự nhiên x lớn nhất biết rằng 120 và 216 cùng chia hết cho x
Lời giải:
Vì x là số tự nhiên lớn nhất mà 120 và 216 cùng chia hết, nên x là ƯCLN(120;216)
Ta có 120 2 3 5;2163 2 3 3 3
Nên x=ƯCLN(120;216)=24
Bài 3: Tìm các ước chung có hai chữ số của 800 và 1500
Lời giải:
Ta có 800=2 5 ; 1500=5 2 2 3 52 3
ƯCLN(800;1500)=50
ƯC(800;1500)=ƯC(50)= 1;2;5;10;20;25;50 Các ước chung có hai chữ số của
800 và 1500 là 10;20;25;50
Bài 4: Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 198+x và 270-x đều chia hết cho x
Lời giải:
Trang 7Mặt khác x lớn nhất nên x là ƯCLN(198;270)
198 2 3 11;270 2 3 5 Nên x=ƯCLN(198;270)=18
Bài 5: Một đám đất hình chữ nhật dài 88m, rộng 52m Người ta muốn chia đám đất
đó thành những ô vuông bằng nhau, lớn nhất Hỏi cạnh của mỗi ô vuông là bao nhiêu?( Độ dài mỗi cạnh là một số tự nhiên với đơn vị mét)
Lời giải:
Độ dài cạnh hình vuông lớn nhất chính bằng ƯCLN(88;52)
88 2 11;52 2 13 ƯCLN(88;52)=4
Vậy độ dài cạnh hình vuông lớn nhất là 4m
Bài 6: Chứng minh rằng hai số 2n+3 và 3n+4 với n Nlà hai số nguyên tố cùng nhau
Lời giải:
Gọi d là ước chung lớn nhất của 2n+3 và 3n+4
Suy ra (2n+3) d 3 (2n 3) d
Do đó 3 2n 3 2 (3n 4) d hay (6n 9 6n 8) d 1 d d 1