PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA CÁC SỐ TỰ NHIÊN A Phương pháp giải Phép trừ hai số tự nhiên Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x, sao cho b + x = a thì ta có phép trừ a – b = x Chú ý Tuy nhiên, tron[.]
Trang 1PHÉP TRỪ VÀ PHÉP CHIA CÁC SỐ TỰ NHIÊN
A Phương pháp giải
Phép trừ hai số tự nhiên
Cho hai số tự nhiên a và b, nếu có số tự nhiên x, sao cho b + x = a thì ta có phép trừ:
a – b = x
Chú ý: Tuy nhiên, trong tập hợp số tự nhiên không phải lúc nào phép trừ cũng được
thực hiện
Điều kiện để thực hiện phép trừ a – b là a ≥ b, với a là số bị trừ và b là số trừ Tính chất của phép trừ hai số tự nhiên
Tính chất 1: Ta có: a – 0 = a ; a – a = 0
Tính chất 2: Trừ một tổng cho một số:
(a + b) – c = (a – c) + b với a ≥ c
(a + b ) – c = a + (b – c) với b ≥ c
Tính chất 3: Trừ một số cho một tổng:
a – (b + c) = (a – b) – c với a ≥ b
a – (b + c) = (a – c) – b với a ≥ c
Tính chất 4: Trừ một số cho một hiệu:
a – (b – c) = (a – b) + c với a ≥ b
a – (b – c) = (a + c) – b
Tính chất 5: Tính chất phân phối của phép nhân với phép trừ:
a(b – c) = ab – ac
Trang 2Phép chia hai số tự nhiên
Cho hai số tự nhiên a và b với b ≠ 0 Nếu tồn tại một số tự nhiên x sao cho x.b = a thì ta có phép chia: a : b = x
Chú ý: Không tồn tại phép chia a : b nếu b = 0
Tính chất của phép chia
Tính chất 1: a : a = 1 (a ≠ 0) ; a : 1 = a ; 0 : a = 0
Tính chất 2: Chia một tổng cho một số và chia một hiệu cho một số:
(a + b) : c = (a : c) + (b : c)
(a – b) : c = (a : c) – (b : c)
Tính chất 3: Chia một số cho một tích và chia một tích cho một số:
a : (b c) = (a : b) : c
(a b) : c = a (b : c) = (a : c) b
Phép chia có dư và phép chia hết
Cho hai số tự nhiên a và b với b ≠ 0, ta luôn tìm được hai số tự nhiên q và r duy nhất sao cho:
a = b q + r với 0 ≤ r < b
Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu r = 0 , ta được a = b q
Đây là một phép chia hết, được kí hiệu: a b (đọc là a chia hết cho b)
Trường hợp 2: Nếu r ≠ 0 thì ta được một phép chia có dư được kí hiệu a = b q + r
với:
a là số bị chia;
b là số chia;
Trang 3q là thương;
r là số dư, 0 < r < b
B Các dạng toán
Dạng 1: Tính nhanh, tính hợp lí bằng cách áp dụng các tính chất của phép trừ, phép chia
Ví dụ 1: Tính nhẩm:
a) 97+214
b) 65+129
Lời giải:
1 97+214=(97+3)+(214-3)=100+211=311
2 65+129=(65-1)+(129+1)=64+130=194
Ví dụ 2: Tính nhẩm:
a) 431-199
b) 8250:250
Lời giải:
1 432 199 (431 1) (199 1) 432 200 232
2 8250 : 250 825: 25 (825 4) : (25 4) 3300 :100 33
Ví dụ 3: Tính nhẩm
a) 42 167 42 67
b) 273:13
Lời giải:
1 42 167 42 67 42 (167 67) 42 100 4200
2 273:13 (260 13) :13 260 :13 13:13 20 1 21
Ví dụ 4: Tính các thương sau:
a) aaaa : aa
b) abcabc : abc
Lời giải:
Trang 41 aaaa : aa (aa00 aa) 100 1 101
2 abcabc : abc (abc000 abc) : abc 1000 1 1001
Dạng 2: Tìm số chưa biết trong một đẳng thức
Ví dụ 5: Tìm số tự nhiên c, biết:
a) 11 x 35 108
b) (195 x) : 23 7
Lời giải:
a) 11 x 35 108
11 x 108 35 143
x 143:11 13
b) (195 x) : 23 7
195 x 7 23 161
x 195 161 34
Ví dụ 6: Tìm số tự nhiên x, biết:
a) 504 : (16 3x) 72
b) 272 (4x 15) 45
Lời giải:
a) 504 : (16 3x) 72
16 3x 504 : 72 7
3x 16 7 9
x 9 : 3 3
b) 272 (4x 15) 45
4x 15 272 45 227
4x 227 15 212
x 212 : 4 53
Dạng 3: Bài toán dẫn đến phép trừ và phép chia
Ví dụ 7: Hiệu của hai số là 72 Số lớn gấp ba lần số nhỏ Tìm hai số đó Lời giải:
Trang 5Số nhỏ:
Số lớn:
Số nhỏ là: 72 1 36
3 1
Số lớn là: 36 3 108
Ví dụ 8: Trên một đoạn đường dài 450 mét, người ta trồng được 152 cây ở hai bên
đường Ở mỗi bên đường, khoảng cách giữa hai cây liên tiếp là như nhau và cả hai đầu đường đều có cây Tính khoảng cách giữa hai cây liên tiếp
Lời giải:
Số cây ở một bên đường là:
152:2=76 (cây) Khoảng cách giữa hai cây là:
450: (76-1)=6 (m)
Dạng 4: Toán về phép chia có dư
Ví dụ 9: Tìm số bị chia trong một phép chia có dư mà số chia, thương, số dư lần
lượt là 43, 10, 26
Lời giải:
Vì số bị chia= Số chia thương+số dư nên số bị chia bằng 43 10 26 456
Ví dụ 10: Trong một phép chia có dư, số bị chia là 100 và số dư là 9 Tìm số chia
và thương
Trang 6Lời giải:
Ta gọi số bị chia, số chia, thương và số dư là a, b, q, r
Ta có a b q r (0 r b)
Suy ra b q a r 100 9 91
Vì 91 1 91 7 13 b q
Mặt khác b>9 nên ta chọn b=91, q=1 hoặc b=13, q=7
Do đó ta có hai đáp số: 91 và 1 hoặc 13 và 7
Ví dụ 11: Trong một phép chia có thương là 12 và số dư là 19 Hỏi số bị chia nhỏ
nhất là bao nhiêu?
Lời giải:
Vì số dư là 19 nên số chia nhỏ nhất là 20 Do đó số bị chia nhỏ nhất là:
a b q r 20 12 19 259
Ví dụ 12: Viết dạng tổng quát của các số a sao cho:
a) a chia hết cho 3
b) a chia cho 3 dư 1
c) a chia cho 3 dư 2
Lời giải:
1 Dạng tổng quát của các số a chia hết cho 3 là: a 3 k ( k N )
2 Dạng tổng quát của các số a chia cho 3 dư 1 là: a 3 k 1 ( k N)
3 Dạng tổng quát của các số a chia cho 3 dư 2 là: a 3 k 2 ( k N)
Ví dụ 13: Người ta viết liên tiếp dãy số: 0123456789012356789… Hỏi chữ số thứ
315 là chữ số nào?
Lời giải:
Từ 0 đến 9 có 10 chữ số
Ta thấy 315: 10=31 (dư 5)
Chữ số thứ 5 kể từ chữ số 0 là chữ số 4
Trang 7Vậy chữ số thứ 315 là chữ số 4
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính hiệu và tính thương của số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau với số 341 Lời giải:
Số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau là: 1023
Ta có 1023 341 682; 1023: 341 3
Bài 2: Trong kho có 112 tấn hàng Cần phải chuyển gấp một nửa số hàng đó đến
nơi khác bằng loại xe có trọng tải 7 tấn Hỏi phải điều động bao nhiêu xe nếu mỗi
xe chỉ chở một chuyến?
Lời giải:
Một nửa số hàng là: 112:2=56 (tấn)
Số xe cần phải điều động là: 56:7=8 (xe)
Bài 3: Viết dạng tổng quát của các số sau:
a) Số a chia hết cho 4
b) Số a chia cho 5 dư 3
c) Số a chia cho 7 dư 1
Lời giải:
1 Dạng tổng quát của các số a chia hết cho 4 là: a 4 k (k N)
2 Dạng tổng quát của các số a chia cho 5 dư 3 là: a 5 k 3 (k N)
3 Dạng tổng quát của các số a chia cho 7 dư 1 là: a 7 k 1 (k N)
Bài 4: Trong một phép chia có số bị chia là 93, số dư là 8 Tìm số chia và thương Lời giải:
Ta gọi số bị chia, số chia, thương và số dư lần lượt là a, b, q, r
Ta có a b q r (0 r b)
Suy ra b q a r 93 8 85
Vì 85 1 85 5 17 b q
Mặt khác b>8 nên ta chọn b=85, q=1 hoặc b=17, q=5
Do đó ta có hai đáp số: 85 và 1 hoặc 17 và 5
Bài 5: TÌm số tự nhiên x, biết:
Trang 850 x 20
x
Lời giải:
Ta có 6060 :50 x 20 101
x
Suy ra 50 x 20 6060 :101 60
x
hay 50 20 60
x
20
60 50 10
x
Do đó x 20 :10 2