TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG A Phương pháp giải Tính chất 1 Nếu tất cả các số hạng của một tổng (hoặc hiệu) cùng chia hết cho cùng một số thi tổng (hoặc hiệu) chia hết cho số đó a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a[.]
Trang 1TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG
A Phương pháp giải
Tính chất 1: Nếu tất cả các số hạng của một tổng (hoặc hiệu) cùng chia hết cho cùng một số thi tổng (hoặc hiệu) chia hết cho số đó
a ⋮ m và b ⋮ m ⇒ (a + b) ⋮ m hoặc (a – b) ⋮ m với a ≥ b
Tính chất 2: Nếu chỉ có một só hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các
số hạng khác đều chia hết cho số đó thì tổng (hoặc hiệu) không chia hết cho số đó
a ⋮ m và b chia hết cho m ⇒ (a + b) chia hết cho m hoặc (a – b) chia hết cho m Với
a ≥ b
Chú ý: Tính chất 1 và tính chất 2 có thể áp dụng cho một tổng (hoặc hiệu) chứa nhiều số hạng
B Các dạng bài tập và phương pháp giải
Dạng 1: Xét tính chia hết của một tổng, một hiệu, một tích
Ví dụ 1: Áp dụng tính chất chia hết, xét xem một tổng hoặc hiệu sau có chia hết
cho 6 không?
1 60 24 36
2 48 12
3 15 42 30
Lời giải:
1 60 6;24 6;36 6 Suy ra 60 24 36 6 (tính chất 1)
2 48 6;12 6 Suy ra ( 48 12) 6 (tính chất 1)
3 15 6;42 6;30 6 Suy ra (15 42 30) 6 (tính chất 2)
Ví dụ 2: Áp dụng tính chất chia hết của một tích, xét xem các tích sau có chia hết
cho 8 không?
1 8 431
2 40 2015
Lời giải:
Vì 8 8nên 8 431 8 (tính chất 3)
Trang 2Vì 40 8 nên 40 2015 8 (tính chất 3)
Ví dụ 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?
1 Hiệu 94 38 không chia hết cho 2
2 Tổng 5 41 10 13chia hết cho 5
3 Tổng 45 37 23không chia hết cho 5
Lời giải:
1 Sai vì 94 2;38 2nên (94 38 ) 2
2 Đúng, vì 5 5 nên 5 41 5;10 5 nên 10 13 5 Do đó 5 41 10 13chia hết cho
5
3 Sai vì 45 5;(37 23) 60 5nên (45 37 23) 5
Ví dụ 4: Chia một số cho 15 được số dư là 9 Hỏi số đó có chia hết cho 3 không?
Có chia hết cho 5 không?
Lời giải:
Gọi là số chia hết cho 15 được số dư là 9 Khi đó 15k 9(k N)
Ta thấy 15 3 15k 3;9 3nên 15k 9 3tức là 3
Mặt khác 15k 5;9 5nên (15k 9) 5tức là 5
Dạng 2: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng hoặc hiệu chia hết cho một số
Ví dụ 5: Cho tổng S 56 32 8 x với x N Tìm điểu kiện của x để
a) S 8
b) S 4
Lời giải:
a) Vì 56 8;32 8;8 8 nên 56 32 8 x 8 x 8
b) Vì 56 4;32 4;8 4 nên S 56 32 8 x 4 x 4
Ví dụ 6: Cho tổng S 12 30 54 x với x N Điều kiện để S 6là:
A x có chữ số tận cùng là 6
B x là số chẵn
C x là số chia hết cho 3
D x là số chia hết cho 6
Trang 3Lời giải:
Vì 12 6;30 6;54 6nên (12 30 54 x) 6 x 6
Chọn đáp án D
C Bài tập tự luyện
Bài 1: Áp dụng tính chất chia hết, xét xem một tổng hoặc hiệu sau có chia hết cho
7 không?
a) 84+35
b) 21+49-14
c) 70-47
Lời giải:
1 Ta có 84 7,35 7 , suy ra (84 35) 7
2 Ta có 21 7,49 7,14 7 , suy ra (21 49 14) 7
3 Ta có 70 7,47 7 , suy ra (70 47) 7
Bài 2: Áp dụng tính chất chia hết, xem xét mỗi tổng hoặc hiệu sau có chia hết cho
12 không?
a) 12 173 36 41 21
b) 3 241 4 24 kvới k N
Lời giải:
1 Ta có 12 12 nên (12 173) 12, 36 12 nên (36 41) 12,21 12
Suy ra 12 173 36 41 21 12
2 Ta có 3 241 4 (12 241) 12,24 k 12, suy ra (3 241 4 24 k) 12
Bài 3: Cho tổng S 30 42 6 x với x N Tìm x để
a) S 6
b) S 3
Lời giải:
1 Ta có 30;42;6 6 , vậy để S 6thì x 6
2 Ta có 30;42;6 3 , vậy để S 3thì x 3
Bài 4: Khi chia một số cho 12 ta được số dư là 9 Chứng tỏ rằng số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 4
Trang 4Lời giải:
Gọi 12k 9(k N)
Vì mỗi số hạng đều chia hết cho 3 nên 3
Số hạng đều chia hết cho 4 nhưng 9 4nên 4
Bài 5:Cho 4 số không chia hết cho 5, khi chia cho 5 được những số dư khác nhau
Chứng tỏ rằng tổng của 4 số này chia hết cho 5
Lời giải:
Gọi 4 số hạng đó là 5 1,5b 2,5c 3,5d 4 (với a, b, c, d N ) Khi đó tổng của chúng là :
S (5a 1) (5b 2) (5c 3) (5d 4) 5a 5b 5c 5d 10
Mỗi số hạng đều chia hết cho 5 nên S 5