Dang bai tap the tich khoi lang tru xxnbz

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ I Phương pháp giải Hình lăng trụ Có 2 đáy song song bằng nhau và các cạnh bên song song bằng nhau Ta thường phân loại theo đa giác đáy lăng trụ tam giác, tứ giác Lăng trụ đứng k[.]

THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ

I Phương pháp giải

Hình lăng trụ: Có 2 đáy song song bằng nhau và các cạnh bên song song bằng nhau Ta

thường phân loại theo đa giác đáy: lăng trụ tam giác, tứ giác…

- Lăng trụ đứng khi cạnh bên vuông góc với đáy

- Lăng trụ đều là lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều

Thể tích của khối đa diện

- Thể tích của khối đa diện: mỗi khối đa diện có thể tích là một số dương, thỏa mãn ba tính chất sau đây:

(1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

(2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó

(3) Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1

Chú ý: Để đơn giản, thể tích của khối đa diện giới hạn bởi hình đa diện H cũng được gọi là thể tích của hình đa diện H

Thể tích khối lăng trụ:

Thể tích của khối lăng trụ bằng tích số của diện tích mặt đáy và chiều cao của khối lăng trụ

đó

.

V =B h

II Ví dụ minh họa

Bài toán 1 Tính thể tích của khối lăng trụ n-giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a

Giải

Gọi A A1 2 A n là đáy của khối lăng trụ đều và O là tâm của

đa giác đều A A1 2 A n. Hạ ON ⊥A A1 2.

Ta có: 1 cot 1 cot

2

a

n



Do đó diện tích đáy của khối lăng trụ đều là:

1 2

2

1 2

OA A

n



Vì lăng trụ đã cho là lăng trụ đều nên chiều cao của nó bằng cạnh bên: h=a.

Vậy thể tích của khối lăng trụ là 1 3

4

n



Bài toán 2 Cho khối lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác ABC vuông tại A,

, 60

AC=b ACB=  Đường thẳng BC tạo với mp AA C C(   ) một góc 30 

a) Tính độ dài đoạn thẳng AC

b) Tính thể tích khối lăng trụ đã cho

Giải

a) Ta có BA⊥AC BA, ⊥ AA nên BA⊥(ACC A ).

Vậy AC là hình chiếu của BC trên mp ACC A(  ).

Do đó góc BC A bằng 30 nên:

CC =AC −AC = b −b = b

Do đó CC = 2b 2.

Vậy thể tích của khối lăng trụ là:

3

Bài toán 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có mặt đáy là tam giác ABC vuông tại B và

AB=a BC= a AA = a Một mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với CA lần lượt cắt các đoạn thẳng CC và BB tại M và N

a) Tính thể tích khối ABC A B C   

b) Chứng minh rằng AN⊥A B và tính diện tích tam giác AMN.

Giải

a) Khối lăng trụ đứng ABC A B C   

3

1

2

ABC A B C ABC

V    =S AA = a a a= a

b) Ta có: CB⊥AB CB, ⊥ AA (do AA ⊥(ABC))

suy ra CB⊥(A AB ).

Mặt khác AN⊥CA , suy ra AN⊥A B

3

A AMN AMN

/ /  , / /   A AMN = M AA N = M AA B = C AA B =

( ) ( )

2 2

2

.

14

A I A C A A A I

Vậy:

2

3

A AMN AMN

S

A I





Bài toán 4 Cho lăng trụ tam giác ABC A B C    có tất cả các cạnh đáy đều bằng a, góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 60 và hình chiếu H của đỉnh A lên mp A B C(   ) trùng với trung điểm của cạnh B C 

a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy và góc giữa hai đường thẳng BC và AC.

b) Tính góc giữa mp ABB A(  ) và mặt đáy và tính thể tích của khối lăng trụ

Giải

a) Ta có AH là khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy

Vì A H là hình chiếu vuông góc của cạnh bên

AA trên mặt phẳng đáy nên AA H =  60

Trong tam giác AA H có:

Góc giữa BC và AC là ACB

Trong tam giác vuông AHC có:

3

AC B

HC



b) Từ H hạ HK⊥A B  Ta có HK là hình chiếu

của AK trên mặt phẳng (A B C  ). Suy ra

.

AK⊥A B 

Vậy góc giữa mặt phẳng (ABB A ) và mặt phẳng (A B C  ) là AKH.

Gọi I là trung điểm của A B  , ta có C I ⊥A B  , suy ra CI/ /HK.

Vì H là trung điểm của B C  nên HK là đường trung bình của tam giác B C I  , suy ra

3

Trong tam giác vuông AKH có: tan 3 : 3 2 3

AKH

HK

Thể tích khối lăng trụ là:

3

A B C

V =S    AH = B C A H AH   = a =

Bài toán 5 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A

cách đều ba điểm A, B, C, cạnh bên AA tạo với mặt phẳng đáy một góc 0

60 a) Tính thể tích của khối lăng trụ đó

b) Tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ

Giải

a) Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

Vì A A =A B =A C nên A O ⊥mp ABC( )

60

A AO =

tan 60

A O =AO

3 3 3

3

a

Vậy thể tích cần tìm là :

ABC

b) Vì BC⊥AO nên BC⊥AA hay BC⊥BB nên

BB C C  là hình chữ nhật

Gọi H là trung điểm của AB

3

3

xq AA B B BB C C

a

Bài toán 6 : Cho khối lăng trụ tam giác ABC A B C. 1 1 1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng 2 Mặt phẳng (AA B1 ) vuông góc với mặt phẳng (ABC),AA =1 3 , góc

1

A AB nhọn và mặt phẳng (A AC1 ) tạo một góc 0

60 với mặt phẳng (ABC) Hãy tìm thể tích khối lăng trụ

Giải

Hạ A K1 ⊥ AB K( AB)

K thuộc đoạn AB vì A AB1 nhọn

Hạ KM ⊥ACAM ⊥AC

Ta có A K1 ⊥(ABC) vì (AA B1 ) (⊥ ABC)

A MK

Đặt A K1 =x, ta có :

AK= A A −A K = −x

2

1

.cot 60

2

x

ABC A B C ABC

Bài toán 7 : Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác vuông cân, AB= AC=a AA,  =a.

Hình chiếu của B lên mp A B C(   ) là trung điểm của B C  Gọi M là trung điểm của A C  Tính

thể tích khối lăng trụ ABC A B C    và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng BC MB , 

Giải

Gọi H là trung điểm của B C  thì BH⊥(A B C  )

Tam giác vuông BB H ta có :

2

Do đó :

3

ABC A B C ABC

V    =S BH = a a =

Gọi N là trung điểm của AC thì BN/ / B M

Nên góc (BC MB , ) (= BC BN , )

Gọi I là trung điểm của BC thì C I / /BH. Suy ra C I ⊥(ABC).

Tam giác vuông C IN ta có : 2 2 2 2 3

Tam giác BNC có :

 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác BNC:

2

3 5

cos

2 2

a

NBC

a

+ −



10