NGUYÊN HÀM I Phương pháp giải Nguyên hàm Cho K là một khoảng ;a b ,nửa khoảng (a;b], [a,b) hay đoạn [a;b] Hàm số F x gọi là một nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu F x f x , x K [.]
Trang 1NGUYÊN HÀM
I Phương pháp giải
-Nguyên hàm : Cho K là một khoảng a b; ,nửa khoảng (a;b], [a,b) hay đoạn [a;b] Hàm số F x gọi là một nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu : F x f x , x K
Nếu F x là một nguyên hàm của f x thì họ các nguyên hàm của f x là :
- Bảng các nguyên hàm :
dx x C
1
ln
u
Với 1:
1
.
1
x
1
1
u
cosxdx sinxC
cos u u dx sinuC
sinxdx cosxC
2 tan
cos
dx
cos
u
u
sin
dx
sin
u
u
ln
x
a
ln
u
a
- Tính chất cơ bản : Nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K thì :
f x g x dx f x dx g x dx
Chú ý:
1) Biến đổi chia tách, thêm bớt , khai triển tích số , hằng đẳng thức, nhân chia lượng liên hợp , viết mũ phân số ,
m
a a
2) Biến đổi lượng giác tích thành tổng , hạ bậc,…
II Ví dụ minh họa
Bài toán 1 Chứng minh F x là một nguyên hàm của f x :
Trang 2 sin 3 sin 3
a F x e f x e x
x
x
Giải
a F x e x f x đpcm
2
)
1 sin
x
đpcm
Bài toán 2 Chứng minhF x là một nguyên hàm của f x :
a F x x xx f x x
2
1
1
x
Giải
x
1
1 1
)
x x
b F x
Bài toán 3 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
2
x
b f x x x
Giải
Bài toán 4 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
4
Giải
4 95
5
x
Trang 3Bài toán 5 Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2
2
5 1
x x
b f x
x
Giải
2
x
4
3
x
x
Bài toán 6 Tìm nguyên hàm của các hàm số:
7 21
)
2 7
x
a f x
x
2
)
1
b
x
Giải
x
b)Ta có
2
4 1
1
x
x
x
Bài toán 7 Tính
2
) x x x
x
Giải
3 2 2
Bài toán 8 Tìm nguyên hàm của các hàm số:
2
x
b f x x
Giải
) cos 2sin
) sin
Bài toán 9 Tìm nguyên hàm của các hàm số :
2
a f x x b f x) sin 3 cos 2x x
Trang 4Giải
2
2
1
cos
x
) sin 3 cos2 sin sin 5 cos cos5
Bài toán 10 Tính:
1
)
sin cos
cos
x
x
Giải
2
Bài toán 11 Tính:
2
) 10 x
) 2x 3x
Giải
2
ln100 2 ln10
ln 4 ln 6 ln 9
Bài toán 12 Tính :
2
e
) 3
x
Giải
2
e
5
ln 3
x
x