Ly thuyet va bai tap tu luyen ve chung minh he thuc ve canh on thi vao lop 10 chon loc

CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH A Phương pháp giải + Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lý Ta lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông + C[.]

CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC VỀ CẠNH

A Phương pháp giải

+ Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lý Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông

+ Các bước suy luận để chứng minh:

- Giả sử cần chứng minh: AB AC AD.AE 

- Ta lập sơ đồ: AB AC AD AE AB AE ABE~ ADC

AD AC

- Khi đó bước đầu tiên ta sẽ chứng minh tam giác đồng dạng để suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ rồi chứng minh được hệ thức hình học đề bài đã ra

+ Ngoài ra có những bài toán ta sẽ không trực tiếp ra được hệ thức cần chứng minh mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba

B Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên tiếp tuyến

Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C Tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF

Hướng dẫn giải

+ Có ACB nhìn đường kính AB nên ACB90

+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên FAB900

+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:

B chung

 900

ACB FAB 

Suy ra hai tam giác FAB và ACB đồng dạng theo trường hợp góc - góc

2

AB BF BC BF AB

BC BA

    (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (1)

+ Có ADB nhìn đường kính AB nên ADB900

+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên EAB900

+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:

ˆ

B: chung

 900

ADB EAB 

Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc - góc

2

BE AB BE BD AB

BA BD

    (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Từ (1) và (2) suy ra BC BF BE BD  AB2 (đpcm)

Ví dụ 2 Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =

2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho

C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E Chứng minh hệ thức: AM2  AE AC

Hướng dẫn giải

+ Có AMB nhìn đường kính AB nên AMB900

+ Xét tam giác AMB có AMB90 ; MI AB (MN vuông góc với AB tại I ) có:

2

AM AI AB (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

+ Có ACB nhìn đường kính AB nên ACB900

+ Xét tam giác AEI và tam giác ABC có:

 900

ACB AIE 

BAC : Chung

Suy ra hai tam giác AEI và tam giác ABC đồng dạng với nhau theo trường hợp góc - góc

AE AI AE AC AI AB

AB AC

    (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM2 AE AC

C Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn O cà dây CD A là điểm chính giữa cung CD M thuộc CD, dây AN

qua M

a, Chứng minh AC2  AM AN

b, Chứng minh AD DN DM AN 

Bài 2: Cho tam gisc đều ABC nội tiếp (O) D là điểm trên cung nhỏ BC CD và AB kéo dài

cắt nhau ở M, BD và AC kéo dài cắt nhau ở N Chứng minhAB2 BM CN

Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB Qua A kẻ tiếp tuyến xy Một điểm M thuộc Ax, nối BM cắt (O) tại C Chứng minh MA2 MB MC

Bài 4: Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R) Kẻ MH vuông góc với AB

(H thuộc AB ), MH cắt đường tròn tại N Trên tia đối BA lấy điểm C MC cắt đường tròn tại D ND cắt AB tại E Chứng minh tứ giác MDEH nội tiếp và chứng minh các hệ thức sau:

2

NB NE ND và AC BE BC AE 

Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M kẻ

tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm) Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D ) Gọi I là trung điểm của dây CD Kẻ AH vuông góc với MO tại H Chứng minh OH OM R  2

Bài 6 Cho đường tròn (O R, ) hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau tại I (C thuộc cung nhỏ AB) Kẻ đường kính BE của đường tròn (O)

a) Chứng tỏ rằng AC DE

b) Chứng minh hệ thức IA2 IB2 IC2 ID2 4 R2

Bài 7 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) Trên cung BC không chứa A ta lấy

điểm P bất kì (P khác B và P khác C) Các đoạn PA và BC cắt nhau tại Q

a) Giả sử D là một điểm cố định trên đoạn PA sao cho PD PB Chứng minh rằng tam giác

PDB đều

b) Chứng minh rằng PA PB PC 

c) Chứng minh hệ thức 1 1 1

PQ PB PC 

Bài 8 Giả sử A và B là hai điểm phân biệt trên đường tròn (O) Các tiếp tuyến của đường

tròn (O) tại A và B cắt nhau tại điểm M Từ A kẻ đường thẳng song song với MB, cắt đường tròn (O) tại C MC cắt đường tròn (O) tại E Các tia AE và MB cắt nhau tại K Chứng minh

rằng MK2 AK EK và MK KB

Bài 9 Cho tam giác ABC vuông tại A Lấy điểm D trên cạnh AC AC2DC làm tâm vẽ đường tròn tiếp xúc với BC tại E Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF cắt AD tại I và cắt AE tại K Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N

a) Chứng minh năm điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh hệ thức IF BF

IK BK

Bài 10 Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC và

cát tuyến ADE với đường tròn (D nằm giữa A và E) Tia phân giác của góc DBE cắt DE tại

I Chứng minh rằng

a) BD CD

BE CE b) AI AB AC  .